数列与不等式的综合-高中数学知识点讲解

数列与不等式的综合1．数列与不等式的综合

【知识点的知识】

证明与数列求和有关的不等式基本方法：

（1）直接将数列求和后放缩；

（2）先将通项放缩后求和；

（3）先将通项放缩后求和再放缩；

（4）尝试用数学归纳法证明．

常用的放缩方法有：

2?1 1

2?―12?2?+1

2?＜，

2?+12?

2?―1＞，

2?+1＜2?，

11

?3＜

?(?2―1)=11

2[?(?―

1)―

1

?(?+1)]

1?―

1

?+1=

111

?(?―1)

=

?(?+1)＜?2＜

1

?―

1―

1

（n≥2），

?

11

?2＜

?2―1=11

（?―

1―

2

1

）（n≥2），

?+1

1?2=

441

4?2＜4?2―1=

2(2?―1―

4?2―1=2(2?―

1―

1

2?+1)，

2（?+1―?）=

2

?+1―

?＜

1

?=

2

2?＜

2

?+?―1= 2（?―?―

1）．

1

?+1+

1

?+2+?+

1

2?≥

1

2?+

1

2?+?+

1

2?=

?

2?=

1

2

?+(?+1)

?(?+1)＜

．

2

【解题方法点拨】

证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求

解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

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（1）添加或舍去一些项，如： ?2 + 1＞|a |； ?(? + 1)＞n ；

（2）将分子或分母放大（或缩小）；

? + (? + 1)

（3）利用基本不等式； ?(? + 1)＜

；

2

（4）二项式放缩；

（5）利用常用结论；

（6）利用函数单调性．

（7）常见模型：

①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．

【典型例题分析】

题型一：等比模型

?1 ― 1 典例 1：对于任意的 n ∈N *，数列{a n }满足 21 + 1 +

?2 ― 2 22 + 1 +? + ?? ― ? 2? + 1 = n +1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

2 （Ⅱ）求证：对于 n ≥2， ?2 +

2 ?

3 +? + 2 ??+1＜1 ― 1 2?． ?1 ― 1 解答：（Ⅰ）由 21 + 1 +

?2 ― 2 22 + 1 +? + ?? ― ? 2? + 1 = ? + 1①， ?1 ― 1 当 n ≥2 时，得 21 + 1 +

?2 ― 2 22 + 1 +? + ??―1 ― (? ― 1) 2?―1 + 1 = ?②， ??

― ? ①﹣②得2? + 1 = 1(? ≥ 2)．

∴??

= 2? +1 + ?(? ≥ 2)． ?1 ― 1

又 1＝7 不适合上式．

21 + 1 = 2，得 a

综上得??

= {

7 ，? = 1

2? + 1 + ?，? ≥ 2；

2 （Ⅱ）证明：当 n ≥2 时，?? =

2 2 2? + 1 + ?＜ 2? = 1 2?―1．

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2 ∴ ?2 + 2 ?

3 +? + 2 1 2 + ??+1＜ 1 22 +? + 1 2? = 1 1 2 (1 ― 2? 1 ― 1 2

) = 1 ― 1 2?． 2 ∴当 n ≥2 时，?2 + 2 ?3 +? + 2 ??

+1＜1 ―

1 2?． 题型二：裂项相消模型

典例 2：数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前 n 项和，对于任意 n ∈N *，总有 a n ，S n ，a n 2 成等差数列．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设?? = 1 ?

?2?，数列{b n }的前 n 项和为 T n ，求证：??

＞ ? + 1．

分析：（1）根据 a n ＝S n ﹣S n ﹣1，整理得 a n ﹣a n ﹣1＝1（n ≥2）进而可判断出数列{a n }是公差为 1 的等差数列，根 据等差数列的通项公式求得答案．

（2）由（1）知?? = 1 1 1 ?2，因为 ?(? + 1) = ?2＞ 1 ? ―

1 1 ，所以??

＞ ? ―

? + 1

1

，从而得证． ? + 1 解答：（1）由已知：对于 n ∈N *，总有 2S n ＝a n +a n 2①成立

∴2??―1 = ??―1 + ??―12（n ≥2）②

①﹣②得 2a n ＝a n +a n 2﹣a n ﹣1﹣a n ﹣12，∴a n +a n ﹣1＝（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1）

∵a n ，a n ﹣1 均为正数，∴a n ﹣a n ﹣1＝1（n ≥2）∴数列{a n }是公差为 1 的等差数列

又 n ＝1 时，2S 1＝a 1+a 12，解得 a 1＝1，∴a n ＝n ．（n ∈N *）

（2）解：由（1）可知?? = 1 1 1 ?2∵ ?(? + 1) = ?

2＞?2∵ ?(? + 1) =

1 ? ― 1 ? + 1 ∴??＞(1 ― 1 1 2) + (

2 ― 1 1 3) + +(? ―

1 ? + 1) = ? ? + 1 【解题方法点拨】

（1）放缩的方向要一致．

（2）放与缩要适度．

（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．

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（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．

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