14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．
17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:1n n a a d +-=。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法： ① ),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数
18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若
2
a c
b +=
，则称b 为a 与c 的等差中项． 19、若等差数列
{}n a 的首项是1
a ，公差是d ，则()11n
a
a n d =+-．
20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1
1
n a a d n -=
-；
④1
1n a a n d
-=
+；⑤n m a a d n m -=-．
21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等
差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n
p q a a a =+．
22、等差数列的前n 项和的公式：①
()
12
n n n a a S +=
；②()
112
n n n S na d -=+
．③12n n s a a a =+++
23、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()
*
2n n ∈N ，则()21n
n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，
1
n
n S a S a +=奇偶．
②若项数为()
*
21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，
1
S n
S n =
-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）
． 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：
1
n n
a q a +=（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112
-+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )
③n n cq a =(q c ,为非零常数).
④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.
25、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2
G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．（注：由2
G ab =不能得出a ，G ，b 成等比，由a ，G ，b ?2G ab =） 26、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．
27、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()
11n n a a q
--=；③1
1n n
a q
a -=
；④n m n m
a q a -=． 28、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*
q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比
数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2
n
p q a a a =?．
29、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：①()
()()11111111n n n na q S a q a a q q q
q =??
=-?-=≠?
--?．②12n
n s a a a =+++
30、对任意的数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：???≥-===-)
2()1(111n s s n a s a n n n
[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）. ②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ??? ?
?
-
+??
? ??=+=22122 →2
d
可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.
③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前n 项和为n S ，在0 d 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法： 一是求使0,01 +≥n n a a ，成立的n 值；二是由n d
a n d S n )2
(212-+=利用二次函数的性质求n 的值. 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
（
时为一次函数）
（指数型函数）
（
时为二次函数）
（指数型函数）
我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n 项和看成是关于n 的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 例题：1、等差数列中，，则 .
分析：因为
是等差数列，所以是关于n 的一次函数，
一次函数图像是一条直线，则（n,m ）,(m,n),(m+n,
)三点共线，
所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数
列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。 例题：2、等差数列
中，
，前n 项和为
，若
，n 为何值时
最大？
分析：等差数列前n 项和可以看成关于n 的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为欲求最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，
最大。
例题：3递增数列，对任意正整数n ，
恒成立，求
分析：构造一次函数，由数列递增得到：
对于一切
恒成立，即
恒成立，所以对一切
恒成立，设
，则只需求出的最大值即
可，显然
有最大值
，所以的取值范围是：
。
构造二次函数，看成函数
，它的定义域是
，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)
为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在
的左侧
也可以（如图），因为此时B 点比A 点高。于是，，得
⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)
1
)12,...(413,211n n -?
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证
)(
1
1---n n
n n a a a a 为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(22
1都成立。
3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+001
m m a a 的项数m 使得m s 取最
大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,
注意转化思想的应用。 附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于?
??
???
+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘
的数列等。
例题：已知数列{a n }的通项为a n =
1
(1)
n n +,求这个数列的前n 项和S n .
解：观察后发现：a n =
111
n n -+ ∴
1211111(1)()()2231111
n n
s a a a n n n =++???+=-+-+???+-+=-
+
3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。 例题：已知数列{a n }的通项公式为2n n a n =?，求这个数列的前n 项之和n s 。 解：由题设得：
123n n s a a a a =+++???+
=1
2
3
1222322n
n ?+?+?+???+? 即
n s =1231222322n n ?+?+?+???+? ①
把①式两边同乘2后得
2n s =23411222322n n +?+?+?+???+? ②
用①-②，即：
n s =1231222322n n ?+?+?+???+? ① 2n s =23411222322n n +?+?+?+???+? ②
得
231
1
1111222222(12)212
222(1)22
n n n n n n n n s n n n n +++++-=?+++???+-?-=-?-=--?=--
∴1(1)22n n s n +=-+
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n = 2)1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2
n 3）2
333)1(2121??
????+=+++n n n
4） )12)(1(613212
2
2
2
++=
++++n n n n 5）1
1
1)1(1+-=+n n n n )2
1
1(21)2(1+-=+n n n n
6） )()11(11q p q
p p q pq <--=
31、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -
32、不等式的性质： ①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+；
⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n
a b a b n n >>?>∈N >；
⑧)0,1a b n n >>?∈N >．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）
求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n
解法：①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便)
②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点（为什么？）；
④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.
（自右向左正负相间）
例题：求不等式2
2
3680x x x --+>的解集。 解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->
由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-== 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图
由图可看出不等式2
2
3680x x x --+>的解集为：
{}|21,4x x x -<<>或
例题：求解不等式(1)(2)(5)
0(6)(4)
x x x x x +-+<+-的解集。
解：略
一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx+c>0(a>0)解的讨论.
对于a<0的不等式可以先把a 化为正后用上表来做即可。 2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为
)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)
()
(x g x f ≤0)的形式，
（2）转化为整式不等式（组）
???≠≥?≥>?>0
)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f
例题：求解不等式：1
1x
<- 解：略 例题：求不等式
11
x
x ≥+的解集。 3.含绝对值不等式的解法： 基本形式：
①型如：|x|＜a (a ＞0) 的不等式 的解集为：{}|x a x a -<< ②型如：|x|＞a (a ＞0) 的不等式 的解集为：{}
|,x x a x a <->或 变型：
{}||(0)|ax b c c x c ax b c +<>-<+<型的不等式的解集可以由解得。其中-cax b c
+
+>-? 在解-c)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法可以由{}|,x ax b c ax b c +>+<-或来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解. ④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 例题：求解不等式|2|1x -≥
解：略
例题：求解不等式：|2||3|10x x -++≤ 解：零点分类讨论法： 分别令2030x x -=+=和 解得：32x x =-=和
在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图 ①当3x ≤-时，（去绝对值符号）原不等式化为：
(2)(3)103x x x ---+≤??≤-??1123x x ?
≥-???≤-?
?1132x -≤≤-
②当32x -<≤时，（去绝对值符号）原不等式化为：
32(2)(3)10x x x -<≤??--++≤??32
x x R -<≤??
∈?
?32x -<≤ ③当2x >时，（去绝对值符号）原不等式化为：
2(2)(3)10x x x >??
-++≤??292
x x >??
?≤
???922x <≤ 由①②③得原不等式的解集为：119|2
x x ?
?
-≤≤??（注：是把①②③的解集并在一起） 函数图像法：
令()|2||3|f x x x =-++
则有：21(3)
()5(32)21(2)x x f x x x x ?--≤-??
=-<≤??
+>??
在直角坐标系中作出此分段函数及()10f x =由图像可知原不等式的解集为：119|22x x ??-
≤≤????
4.一元二次方程ax 2
+bx+c=0(a>0)设ax 2
+bx+c=0的两根为αβ、，f(x)=ax 2
+bx+c,那么：
①若两根都大于0，即0,0αβ>>，则有000αβαβ?≥??
+>???>?
②若两根都小于0，即0,0αβ<<，则有002(0)0
b a f ?≥???
-??
③若两根有一根小于0一根大于0，即0αβ<<，则有
④若两根在两实数m,n 之间，即m n αβ<≤<，
则有02()0
()0
b m n a
f m f n ?≥???<-?
>??⑤若两个根在三个实数之间，即m t n αβ<<<<，
则有()0()0()0f m f t f n >??
?
常由根的分布情况来求解出现在a 、b 、c 位置上的参数
例如：若方程222(1)230x m x m m -++--=有两个正实数根，求m 的取值范围。
解：由①型得000αβαβ?≥??+>???>??2224(1)4(23)02(1)0230m m m m m m ?+---≥?
+>??-->?
?1
11,3m m m m ≥-??>-??<->?或?3m >
所以方程有两个正实数根时，3m >。
又如：方程2
2
10x x m -+-=的一根大于1，另一根小于1，求m 的范围。
解：因为有两个不同的根，所以由0(1)0f ?>??
22
(1)4(1)01110m m ?--->??-+-
m m ?-
<
?11m -<< 35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方． 39、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=． （一）由B 确定：
①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．
②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．
（二）由A 的符号来确定：
先把x 的系数A 化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则0x y C A +B +>所表示的区域为直线l: 0x y C A +B +=的右边部分。 ②若是“<”号，则0x y C A +B +<所表示的区域为直线l: 0x y C A +B +=的左边部分。 （三）确定不等式组所表示区域的步骤： ①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线 ②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
例题：画出不等式组250
35250x y y x y x +->??
>-??-->?
所表示的平面区域。
解：略
40、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ． 可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
41、设a 、b 是两个正数，则
2
a b
+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数．
42、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥2
a b
+≥ 43、常用的基本不等式：①()
2
2
2,a b ab a b R +≥∈；②()22
,2
a b ab a b R +≤∈；③
()2
0,02a b ab a b +??≤>> ???；
④()2
22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???
．
44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有：
⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2
4
s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y
=
时，和x y +取得最小值 例题：已知54x <
，求函数1()4245
f x x x =-+-的最大值。
数列难题放缩法的技巧
数列难题放缩法的技巧 一、基本方法 1.“添舍”放缩 通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3 －b 3 ＝a 2 －b 2 ，求证143 ＜＋＜a b 。 例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： a a b b b b c c c ac a a b c 22222232 ++++++++++＞（） [变式训练]已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 2. 分式放缩 一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分 母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。 例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b +++。 3. 裂项放缩 若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知n ∈N*，求n 2n 13 12 11＜…+ ++ + 。 例5. 已知* N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?=Λ，求证：2 )1(2)1(2 +< <+n a n n n 对所有正整数n 都成立。 4. 公式放缩 利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。 例6. 已知函数1212)(+-=x x x f ，证明：对于* N n ∈且3≥n 都有1 )(+>n n n f 。 例7. 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。 5. 换元放缩 对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目
用用放缩法证明与数列和有关的不等式
用放缩法证明与数列和有关的不等 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 a a ，又由条
数列与不等式知识点及练习
数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们 统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为： “”或“求解. 数列求和的常用方法
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结
1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且 )(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2 211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2 n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+【数学】数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．如08年北京文20题(12分)中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08年湖北理21题(12分)为中档偏上，考查数列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题(12分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷Ⅰ理22(12分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2009年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题. 【考试要求】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 4．理解不等式的性质及其证明． 5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│． 【考点透视】 1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇. 2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大. 3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想. 【典例分析】
数列与不等式的综合-高中数学知识点讲解
数列与不等式的综合1．数列与不等式的综合 【知识点的知识】 证明与数列求和有关的不等式基本方法： （1）直接将数列求和后放缩； （2）先将通项放缩后求和； （3）先将通项放缩后求和再放缩； （4）尝试用数学归纳法证明． 常用的放缩方法有： 2?1 1 2?―12?2?+1 2?＜， 2?+12? 2?―1＞， 2?+1＜2?， 11 ?3＜ ?(?2―1)=11 2[?(?― 1)― 1 ?(?+1)] 1?― 1 ?+1= 111 ?(?―1) = ?(?+1)＜?2＜ 1 ?― 1― 1 （n≥2）， ? 11 ?2＜ ?2―1=11 （?― 1― 2 1 ）（n≥2）， ?+1 1?2= 441 4?2＜4?2―1= 2(2?―1― 4?2―1=2(2?― 1― 1 2?+1)， 2（?+1―?）= 2 ?+1― ?＜ 1 ?= 2 2?＜ 2 ?+?―1= 2（?―?― 1）． 1 ?+1+ 1 ?+2+?+ 1 2?≥ 1 2?+ 1 2?+?+ 1 2?= ? 2?= 1 2 ?+(?+1) ?(?+1)＜ ． 2 【解题方法点拨】 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求
解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 1/ 4
（1）添加或舍去一些项，如： ?2 + 1＞|a |； ?(? + 1)＞n ； （2）将分子或分母放大（或缩小）； ? + (? + 1) （3）利用基本不等式； ?(? + 1)＜ ； 2 （4）二项式放缩； （5）利用常用结论； （6）利用函数单调性． （7）常见模型： ①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型． 【典型例题分析】 题型一：等比模型 ?1 ― 1 典例 1：对于任意的 n ∈N *，数列{a n }满足 21 + 1 + ?2 ― 2 22 + 1 +? + ?? ― ? 2? + 1 = n +1． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； 2 （Ⅱ）求证：对于 n ≥2， ?2 + 2 ? 3 +? + 2 ??+1＜1 ― 1 2?． ?1 ― 1 解答：（Ⅰ）由 21 + 1 + ?2 ― 2 22 + 1 +? + ?? ― ? 2? + 1 = ? + 1①， ?1 ― 1 当 n ≥2 时，得 21 + 1 + ?2 ― 2 22 + 1 +? + ??―1 ― (? ― 1) 2?―1 + 1 = ?②， ?? ― ? ①﹣②得2? + 1 = 1(? ≥ 2)． ∴?? = 2? +1 + ?(? ≥ 2)． ?1 ― 1 又 1＝7 不适合上式． 21 + 1 = 2，得 a 综上得?? = { 7 ，? = 1 2? + 1 + ?，? ≥ 2； 2 （Ⅱ）证明：当 n ≥2 时，?? = 2 2 2? + 1 + ?＜ 2? = 1 2?―1．
2019数学二轮基本内容十大攻略第03讲函数与不等式问题的解题技巧
第三讲函数与不等式问题的解题技巧 【命题趋向】 全国高考数学科《考试大纲》为走向高考的莘莘学子指明了复习备考的方向．考纲是考试法典，是命题的依据，是备考的总纲．科学备考的首要任务，就是要认真学习、研究考纲．对照2007 年的考纲和高考函数试题有这样几个特点： 1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型． 6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导． 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35 分． 而2007 年的不等式试题则有这样几个特点： 1 ．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题. 2 ．在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题. 3 ．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法. 分值在27---32 分之间，一般为 2 个选择题，1个填空题， 1 个解答题． 可以预测在2008 年的高考试题中，会有一些简单求函数的反函数，与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式 问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。 【考点透视】 1．了解映射的概念，理解函数的概念． 2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程． 3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数． 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质．5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质． 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．7．在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力． 8．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式（组），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式． 9．通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数学归纳法 等）， 使学生较灵活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题．
数列和基本不等式的方法总结
一、最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 ◆1、直接法又称观察法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式： 21212,1,,,,3253 ……… ◆2、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) ◆3、累加或累乘法 对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。 例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 解析：由n a a n n +=+1得n a a n n =-+1，所以 11-=--n a a n n ，221-=---n a a n n ，…，112=-a a ， 将以上各式相加得：1)2()1(1+???+-+-=-n n a a n ，又31=a 所以 n a = 32 )1(+-n n ◆4、待定系数法： 一般地，形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数 a 1+n +k=p （ a n +k ） 二、数列前n 项和的求法 ◆1、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
证明数列不等式的常用放缩方法技巧精减版
证明数列不等式的常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能 全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素 材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进 行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： .-T 2 ⑴添加或舍去一些项，如： a ⑵将分子或分母放大(或缩小) 1 1 例2. a n (一)"，前n 项和为S n ，求证：Sn — 3 2 先放缩再求和 1) n ⑶利用基本不等式，如: ig3 ig5 (lg3 lg5)2 ⑷二项式放缩：2n (1 1)n 2n c ° c n c ； c 0 n 2 c n n 2 2 2 c n , 2n 2 n(n C 0 c 1)(n 2) (5)利用常用结论: I . 1的放缩： k 1的放缩⑴ k 2 k 1 k(k 1) k .. 1 k(k 1) (程度大) IV . 右的放缩⑵ 1 k 2 1 (k 1)(k )(程度小) 1的放缩(3): k 2 1 k 7 2G 1 )(程度更小) 2k 1 ,n(n 1)山尸 ig4 ； 2 分式放缩还可利用真(假) 分数的性质 ：b —(b a 0,m 0)和b —(a b 0,m 0) a a m a a m 记忆口诀“小者小，大者大”。 解释：看b ,若b 小，则不等号是小于号，反之亦然. W .构造函数法 构造单调函数实现放缩。例: f(x) — (x 0),从而实现利用函数单调性质的放缩: 1 x f(a b) f(a b)。 先求和再放缩 例 1. a n ,前n 项和为S n ，求证: n (n 1) S n 1
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧汇总
高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧汇总
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1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 例 4 已知222121n a a a +++=L ，222 121n x x x +++=L ，求证： n n x a x a x a +++Λ2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+++ +n n Λ 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 1211 1,(1).2n n n a a a n n +==+ ++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L ） 例8 已知不等式 21111 [log ],,2232 n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,] [log 222≥+数学数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
数学数列与不等式的交汇题型分析及解题策略
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数列与不等式的交汇题型分析及解题策略 【命题趋向】 数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．如08年北京文20题(12分)中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08年湖北理21题(12分)为中档偏上，考查数列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题(12分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷Ⅰ理22(12分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2009年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题. 【考试要求】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题． 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 4．理解不等式的性质及其证明． 5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． 6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． 7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│． 【考点透视】 1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇. 2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大. 3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想. 【典例分析】
高考数学 冲刺60天解题策略 专题三 数列与不等式 第三节 不等式选讲
高考数学 冲刺60天解题策略 专题三 数列与不等式 第三 节 不等式选讲 不等式选讲是一个选考内容,纵观近年关于课程标准的高考试题,含绝对值不等式的试题常以选做题的形式出现,属于中档偏易题.最值与恒成立问题是高考的常考点,不等式的证明常与数列相结合,考查数学归纳法、放缩法等技能方法,属于中高档题,甚至是压轴题,难度一般控制在0.3~0.75之间. 考试要求： ⑴理解绝对值||||||||||a b a b a b -≤±≤+及其几何意义. ①绝对值不等式的变式：||||||a b a c c b -≤-+-. ②利用绝对值的几何意义求解几类不等式：①||ax b c +≤；②||ax b c +≥；③||||x a x b c -+-≥. ⑵了解不等式证明的方法：如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 题型一 含绝对值不等式 例1（2011全国课标卷理科第24题）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1 x x ≤- ，求a 的值。 点拨：⑴解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号. ⑵可考虑采用零点分段法. 解： （Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥, 由此可得 3x ≥或1x ≤-, 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-. ( Ⅱ) 由()0f x ≤的 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥?? -+≤?或30x a a x x ≤??-+≤? 即 4x a a x ≥???≤?? 或2 x a a x ≤???≤-??
第三讲函数与不等式问题的解题技巧
第三讲 函数与不等式问题的解题技巧 【命题趋向】 高考函数试题有这样几个特点： 1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型． 6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导． 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分． 不等式试题则有这样几个特点： 1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题. 2．在选择题与填空题中注意不等式的解法建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题. 3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法. 分值在27---32分之间，一般为2个选择题，1个填空题，1个解答题． 可以预测在20XX 年的高考试题中，会有与导数结合的函数单调性－函数极值－函数最值问题；选择题与填空题中会出现一些与函数、方程、三角等知识结合的不等式问题，在解答题中会出现一些不等式的解法以及建立不等式求参数的取值范围，和求最大值和最小值的应用题特别是不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合题，这些题目会突出渗透数学思想和方法，值得注意。 【考点透视】 考点1.函数的定义域及其求法 函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．（20XX 年广东卷理）已知函数() f x = 的定义域为M ，g(x )=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N= （A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）? 例2. ( 20XX 年湖南卷）函数 y ( ) （A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 考点2.复合函数问题 复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求
数列型不等式的放缩方法与技巧
数列型不等式的放缩方法与技巧 雅安市田家炳中学 张有全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩。以下简要谈谈其方法和技巧： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤ ++≤ ≤++ΛΛΛΛ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例 2 已知函数bx a x f 2 11)(?+= ，若54 )1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.21 2 1)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ（02年全国联赛山东预赛题） 简析 )221 1()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x Λ .21 2 1)21211(41)2211()2211(1 12-+=+++-=?-++?-++-n n n n n ΛΛ 例3 求证),1(2 2 1321N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++-Λ. 简析 不等式左边=++++n n n n n C C C C Λ32112222112-++++=-n n Λ n n n 122221-?????>Λ=2 1 2 -?n n ，故原结论成立. 2．利用有用结论 例4 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n Λ=+??n n 212674523Λ)12(212654321+?-??n n n Λ ?12)1 22563412(2+>-??n n n Λ即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n Λ
高考数学数列不等式证明题放缩法十种办法技巧总结
1 . 均 值 不 等 式 法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数 bx a x f 211 )(?+= ，若5 4)1(= f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证： .2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 2 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知22 2121n a a a ++ +=，222 121n x x x ++ +=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 例5 求证例6 例7 例8 11 [log 2 n ++ >表示不超过n 2log 的最大整数。}{n a 满足：11≤ -na a n 再如： 例9 设n n n n 3. 部分放缩 例10 设++=a n a 21111 ,23a a a n ++ ≥,求证：.2例12 设N n n ∈>,1，求证) 2)(1(832(++n a n 对一切正整数n 成立； 5 利用单调性放缩: 构造函数 例14 已知函数2 2 3)(x ax x f - =的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=< m ，有 8 7 11154<+++m a a a . 9. 借助数学归纳法 例22（Ⅰ）设函数 )10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数 n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，求证： 10. 构造辅助函数法
数列型不等式的放缩方法与技巧
数列型不等式的放缩方法与技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面 而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问 题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩。 以下简要谈谈其方法和技巧： 一利用重要不等式放缩 注：①应注意把握放缩的“度”上述不等式右边放缩用的是均值不等式vab u ，若放成 2 n 2 x k(k 1) k 1 则得 S (k 1) (n 1)(n 3) (n ° ，就放过“度”了！ n k i 2 2 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 a 1 a n 其中，n 2,3等的各式及其变式公式均可供选用。 1. 均值不等式法 n(n 1) S (n 1) 例1 设 S n .1 2 、2 3 .n(n 1).求证 2 2 解析 此数列的通项为a k 、k(k 1), k 1,2, ， : k k 1 1 n , n 1 k k(k 1) k k 2 k 1 S n k (k 1 2) ， 2 即 n(n 1) S n(n 1) n (n 1) S n — . 2 2 2 2 a 1 a n 2 2 ai a n f(1) 简析 已知函数f (x) f(2) f(n) 1 2bx 1 (02年全国联赛山东预赛题) 2 4 ，若 f (1) ，且 f(x)在［0， 5 1 1］ 上的最小值为2，求证： f(x) 4x 1 4x 1 1 4x 1 2?2x (x 0) f(1) f(n) (1 九) 2) (1 a n
2013高考数学 解题方法攻略 数列不等式 理
- 1 - 数列不等式三个考察点：①通项公式②求和③证不等式 一、通项公式 学校的训练较多这里不详细介绍。 要熟练掌握： 1、 待定系数法、不动点法、特征根法（连续两年中有考差） 2、 熟悉变形。包括：两边同时除以如n 2、平方、变倒数、因式分解、取对数、换元 若不熟悉可以找讲义，或者高妙上有介绍 3、累加累乘法 但是高考一般不会直白地给出关系，或者给出常见的通项公式。 高考题大多这样出题： 1、 与函数、解析几何结合 这个范围太泛了不好归纳，难度一般不会太大，见招拆招即可 2、 给出不常规的通项公式，但有提示 比如：1a =1，81+n a n a -161+n a +2n a +5=0（n ≥0），n b = 2 11- n a ,求｛n b ｝通项公式 现在不可能把n a 通项公式求出再求n b ，那么显然n b 需先求出，故变形为n a = 2 11+n b ，代 入递推关系即可得 03641 1 =+ - ++n n n n b b b b ，再乘以n b 1+n b 即可。 还有一种情况便是先让考生得出1a 、2a 、3a 后猜想用数学归纳证明，有时不会提示考生要猜想，但别的常规方法得不出通项公式时要果断大胆猜想 总之，这种题一定要顺着提示做 通项公式中一定要重视的是累加累乘法 看上去似乎很简单： 1121)()(a a a a a a n n n +-+?+-=- )0(11 21 ≠?? ??= -n n n n a a a a a a a 但是这却是解决不等式证明最原始也是最重要的方法。原因很简单：高考考的是灵活，除了通项公式的变形，不动点法等方法灵活度不大，所以大多所谓的很难想的题目大多归根到底是递推。比如： 1、 奇偶项不同的数列。奇项间或者偶项间的递推（后会介绍） 2、 数归。证明)()(n g n f <的核心便是)()1()()1(n g n g n f n f -+<-+
数列不等式的证明方法
求证：当 时: 数列不等式证明的几种方法 数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能 考查学生对知识的综合理解与运用的能力。 这类交汇题充分体现了 “以能力立意” 的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍 数列不等式证明的几种方法，供复习参考。 、巧妙构造，利用数列的单调性 例1.对任意自然数n ，求证：（3X1垢）?…（"右八乔 2n.十 2 ■+ 2 加4 - 1 十2 所以耳“ f ，即&〕为单调递增数列 --^>1 所以 ' ，即 点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题， 均可 构造数列，通过数列的单调性解决。 二、放缩自然，顺理成章 例2.已知函数f （对=护7”，数列区）為九）的首项衍°】，以后每项按如下方 式取定：曲线厂 f ⑻在点血（仏小处的切线与经过（0，0）和（轧F （xJ ）两点 的直线平行。 证明: “W 』T ）需朋詈? 2□十2 l ）（Zn + 弓） 构造数列
（1）為J+% =了召『+2盘曲； (2) 证明：（1）因为3） = 3宀血，所以曲线沪聴）在（3』（如））处的切线斜率为召J +刼讪。 又因为过点（0, 0）和’…7 ■'两点的斜率为'；'_ ,所以结论成立。 （2）因为函数唸）=，斗耳当Q耐单调递増则有衬斗弧=轧J + %】三 % J斗刼站广（％+1沱+ （和1） ? 鱼g丄 所以召'厶+1，即耳二，因此 靭衍^-1 2 因此,
2 所以 点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证 明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。 三、导数引入，更显神威 1丄亠…丄如①昱 例3.求证：2 3 4 n 2 a 1 h 1 n+1 n ，且当仃12时，沈_i ?S 仏氐■如+丄 证明：令 ，所以 lnn = ln — 11 。要证明原不等式，只须证 1 1 ---- ; 1 X+ 1 K -1 所以 W 占弓而芦詬訂 隘-畧厂诚叶1）- 设 二:-.，
