复变函数习题及答案
第一章习题
一、选择题
1．设z=3+4i,，则Re z2=( )
A．-7 B．9
C．16 D．25
2.arg(2-2i)=（）
A. B.
C. D.
3．设0 A．z=(1+i)t B．z=e it+2i C．z=t+D．z=2cost+i3sint 4.复数方程z=3t+it表示的曲线是（） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 5．复方程所表示的曲线为________. . 直线；.抛物线；.双曲线；.圆 二、填空题 1. 设点,则其辐角主值arg z (-π 2.设点, 则其辐角主值arg z (-π 3.若，则=___________. 4．arg(1+i)= . 5．复数的模为_____, 幅角主值为_______. 6．复数的模为_________，辐角为____________. 7．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为. 一．选择 1．下列集合为无界多连通区域的是（） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D. 二、填空 1．设，则Imz＝______________________。 三、计算题 1.解方程z4=. 2. 考察函数在处的极限。 复变函数第一章单元测试题 一、判断题（正确打√，错误打） 1.复数. ( ) 2.若为纯虚数，则. ( ) 3.。（） 4.在点连续的充分必要条件是在 点连续。（） 5.参数方程（为实参数）所表示的曲线是抛物线. ( ) 二、填空题 1.若等式成立，则______, _______. 2.方程表示的曲线是__________________________. 3.方程的根为_________________________________. 4.复变函数的实部_________,虚部_________. 5.设,，则= _ _____. 6.复数的三角表示式为_________________，指数表示式为 _________________. 三、计算、证明题 1．求出复数的模和辐角。 2．设满足求与的关系式。 3．将直线方程化为复数形式。 第二章习题 一、选择题 1.下列复数中，使等式=-z成立的是( ) A．z=e2i B．z=e i C．z=D．z= 2. 若f(z)=u+iv是复平面上的解析函数，则(z)=( ) A．B． C．D． 3. 设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b为( ) A．a=-1,b=1 B．a=1, b=1 C．a=-1,b=-1 D．a=1,b=-1 4．设z为复数，则e-iz=( ) A．cosz+isinz B．sinz+icosz C．cosz-isinz D．sinz-icosz 5.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z D.e2x 6.设f(z)=e x(xcosy+aysiny)+ie x(ycosy+xsiny)在Z平面上解析，则a=（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 7.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，u(x,y)=x2-y2+x，则v(x,y)=（） A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y D.x+y 二、填空题 1. = 2.方程的解为__________________________. 3.设f(z)=ze z, 则. 4．函数仅在____________处可导. 三、计算题 1．求 2．设为解析函数，试确定的值3．讨论函数在Z平面的解析性。 4. 讨论函数的解析性。 5.证明：函数在z平面上无界. 第三章习题 一、选择题 1.设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C上连续，则下列式子错误的是( ) A． B．其中C－为C的反向曲线 C． D． 2．设C为从-I到I的左半单位圆周，则( ) A．i B．2i C．-i D．-2i 3．设C为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为0的是( ) A．B．C．D． 4．设D是单连通区域，C是D内的正向简单闭曲线，则对D内的任意解析函数f(z)恒有( ) A．f(z)=, z在C的外部 B．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2 C．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2 D．f(n)(z)=，z在C的内部，n≥2 5.（） A.0 B.1 C.2π D.2πi 6.（） A.0 B.1 C.2π D.2πi 7.（） A.i B.2i C.3i D.4i 二、填空题 1.设___________. 2． 3.设函数f(z)在单连通区域D内解析，且F(z)=, 其中z,0, 则 = . 4．设为右半圆周上从原点到的圆弧，则积分=_______. 5.= 6. = 三、计算题 1．设为从到的直线段, 求 2．设C为从0到1+2i的直线段，计算积分I=. 3. 计算积分，其中C为正向圆周 4. 计算积分 5.求积分的值，其中C:|z|=4为正向. 6.设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=. 7.求积分的值，其中C:|z|=1为正向. 8.问实数取何值时，为调和函数，并求出解析函数关于的表达式。 9．已知，求合于条件的解析函数 。 10．已知，求满足的解析函数 。 第四章习题 一、选择题 1．复数列的极限是( ) A．1+i B．C．1 D．0 2.泰勒展开式的收敛半径是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3.在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（） A. B. C. D. 4.幂级数的收敛区域为（） A．B．C．D． 二、填空题 1．幂级数的收敛半径是___________. 2. 幂级数的收敛半径R= 3. 幂级数的收敛半径为. 4．判断级数的收敛性(填发散、条件收敛或者绝对收敛). 三、计算题 1．将分别在下列圆环域内展成罗朗级数(1) ；(2) . 2．将函数f(z)=在圆环域（1）0<|z|<1; （2）1<|z|<2; (3) 0<|z-1|<1； 3、将分别在下列圆环域内展成罗朗级数(1) ；(2) . 4. 求函数关于z的幂级数展开式。 5. 将函数在点处的罗朗级数. 第五章习题 一、选择 1．z=i是f(z)=的( ) A．一阶极点B．二阶极点 C．本性奇点D．解析点 2.设f(z)=，则Res[f(z),1]=（） A.0 B.1 C.π D.2π 3.z=2i为函数的（） A.可去奇点 B.本性奇点 C.极点 D.解析点 4、是函数f(z)=的（） A. 一阶极点B．可去奇点C．一阶零点D．本性奇点5．z=0是函数的（） A、1阶极点B．2阶极点C．3阶极点D．4阶极点 6．z=0是函数的（） A、1阶极点B．2阶极点C．3阶极点D．4阶极点 二、填空题 1．为函数的___________________ 2．函数在点z=0处的留数为__________________。 3．z=0是的___________________ 4．函数f(z)=在点z=0处的留数为__________________。 5．Res= . 三、计算题 1.计算积分c为正向圆周：|z|=2 2．设f(z)=. (1)计算Res[f(z),0] (2)利用以上结果，计算积分I=, 其中C为正向圆周|z|=1. 3.利用留数定理计算积分 4.利用留数定理计算积分：(10分). 5. （1）求在上半平面的所有孤立奇点；（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分 积分变换 一．填空题 1.=____________， 2．已知则它们的卷积____________. 3．设为函数f(t)的拉氏变换，则有 . 4. 设为函数f(t)的Fourier变换，则= . 二、选择题 1．如果函数的Fourier变换为，那么的Fourier变换是（） A、B、C、D、 2、δ函数的傅氏变换F 为（） A. —2 B. —1 C. 1 D. 2 三、计算题 1．(1)求e-t的拉氏变换F[e-t]；(2)设F(p)=F[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F[y′(t)]、F[y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=1，求F[y′(t)]、F[y″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题： 2.利用拉氏变换求微分方程满足初始条件 的解 3、利用Laplace变换求方程满足初始条件的解. 一．填空题 1.=____________， 2．已知则它们的卷积____________. 3．设为函数f(t)的拉氏变换，则有 . 4. 设为函数f(t)的Fourier变换，则= . 二、选择题 1．如果函数的Fourier变换为，那么的Fourier变换是（） A、B、C、D、 2、δ函数的傅氏变换F 为（） A. —2 B. —1 C. 1 D. 2 三、计算题 1．(1)求e-t的拉氏变换F[e-t]；(2)设F(s)=F[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F[y′(t)]、F[y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=1，求F[y′(t)]、F[y″(t)]；（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题： 2.利用拉氏变换求微分方程满足初始条件 的解 3、利用Laplace变换求方程满足初始条件的解（10分） 复变函数答案 第一章 一、选择题 A B B A D 二、填空题 1. 3 π- 2. 43π - 3. 41313i ）（++- 4．4π 5．4, 3 π . 6． 22；3 11 3arctan -+ 7．1)1(22=+-y x 一、选择 1.C 二、填空 2.-8 三、计算 1. 解：设41 )31(i z +-=则)3 2sin 32(cos 2ππi z += )4232sin 4232(cos 24π π ππk i k z +++=k=0,1,2 ,3 2. 解：设θi re z =，则θi re z -=，故 θθθθ θθ θ2cos 2)(22=+=+ = ---i i i i i i e e re re re re z f ， 而2)(lim ) 0(0||==→z f z θ，0)(lim ) (0||==→z f z πθ，故)(z f 在z=0处无极限。 一、判断题（正确打√，错误打） 1. 2. √3. √4. √5. 二、填空题 1.（1，6）或（-6，-1）; 2. y=2; 3. 4.., 5. 6.，. 三、计算、证明题 1． 2．则 3． 第二章 一、选择题 1.C． 2. B． 3. D 4．C 5．D. 6. B.7.C 二、填空题 1. ； 2. ；3．ze z +e z 4．(0,-1) 三、计算题(每小题5分，共40分) 1. 2． ，，， , ,, 3．解：，则 因而 ，，， 故函数在 处不满足C —R 条件，故处处不可导，不解析。 4. 解： 设 ，则 ， ， 而，，，，由C.—R.条件，只有x=0，y=0 处满足，因此函数在 处可导，在Z 平面上处处不可导，不解析。 5.证明：取z =i y (y >0),则 cos(i y )= 第三章 一、选择题 1.A ．2． B ．3． A ．4．D ．5. A. 6. D. 7. D. 二、填空题 1. i π2sinz 2． i π2 3． )(z f - 4． 2 4cos 1- 5. i π6 6. 12i π 三、计算题 1．设C 为从01=z 到i z +=22的直线段, 求⎰C dz z )Im( 解：t i t z )2()(+=， 2 1)2()Im(1 i dt i t dz z C + =+=⎰⎰ 2．设C 为从0到1+2i 的直线段，计算积分I=⎰C zdz Re . 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. 解： i 4 π ππe cos isin 442222-??????=-+-=+=- ? ? ? ??????? ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613 i 7i 11+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 311;;;.22n z i ??-+-- ???? ①解： ∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴()222 22 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵()() ()()()()()()3 2 3 22222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴()3 3 2Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ ( ( )( ){ } 3 3 232 11 131318 8 -+????== --?-?+?-????? ??? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-????=?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()() Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当21n k =+时，()Re i 0n =，()() Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解： ()( )2i 32i 2i 32i ++=++ ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 222 ++==()1i 11i 222i ++-??== ??? z z =时，z 才是实数． 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2）()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±± 1.9将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 1.10 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 精心整理 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （ 1） 1 （2） i 2i 1)(i 2) 3 (i （3） 1 3i （4） i 8 4i 21 i i 1 i 解：（ 1） z 1 3 2i ， 3 2i 13 因此： Re z 3 , Im z 2 ， 13 13 （ 2） z i i 3 i ， (i 1)(i 2) 1 3i 10 因此， Re z 3 , Im z 1 ， 10 10 （ 3） z 1 3i i i 3 3i 3 5i ， i 1 2 2 因此， Re z 3 , Im z 5 ， 3 2 （ 4） z i 8 4i 21 i 1 4i i 1 3i 因此， Re z 1, Im z 3， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （ ） （ ） 1 3i （ ） r (sin i cos ) 1 i 2 3 （ 4） r (cos i sin ) （5）1 cos i sin (0 2 ) 解：（ 1） i cos i sin i e 2 2 2 2 2 2 （2） 1 3i i 2(cos i sin ) 2e 3 3 3 （ 3） r (sin i cos ) r[cos( ) i sin( )] ( ) i 2 re 2 2 （ 4） r (cos i sin ) r[cos( ) i sin( )] re i （5）1 cos i sin 2sin 2 2 2i sin cos 2 2 页脚内容 .. 3． 求下列各式的值： （1）( 3 i)5 （ 2） (1 i )100 (1 i)100 （3） (1 3i )(cos i sin ) （4） (cos5 i sin 5 )2 (1 i )(cos i sin ) (cos3 i sin 3 )3 （5） 3 i （ ） 1 i 6 解：（ 1） ( 3 i )5 [2(cos( ) i sin( ))] 5 6 6 （2） (1 i )100 (1 i)100 (2i ) 50 ( 2i ) 50 2(2) 50 251 （3） (1 3i )(cos i sin ) (1 i )(cos i sin ) (cos5 i sin 5 ) 2 （4） i sin 3 )3 (cos3 （5） 3 i 3 cos i sin 2 2 （6） 1 i 2(cos i sin ) 4 4 4． 设 z 1 1 i , z 2 3 i, 试用三角形式表示 z z 与 z 1 2 1 2 z 2 解： z cos i sin , z 2 2[cos( ) i sin( )] ，所以 1 4 4 6 6 z 1z 2 2[cos( ) i sin( 4 6 )] 2(cos 12 i sin ) ， 4 6 12 5． 解下列方程： （1） (z i )5 1（ 2） z 4 a 4 0 ( a 0) 解：（ 1） z i 5 1,由此 z 5 1 i 2 k i i ， (k 0,1,2,3,4) e 5 （2） z 4 a 4 4 a 4 (cos i sin ) .. 复变函数习题总汇与参考答案 第1章 复数与复变函数 一、单项选择题 1、若Z 1=（a, b ）,Z 2=(c, d),则Z 1·Z 2=（C ） A （ac+bd, a ） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd ） D (ac+bd, bc-ad) 2、若R>0，则N （∞，R ）={ z ：（D ）} A |z| 分必要条件是 x n =x 0，且 y n =y 0。 三、计算题 1、求复数-1-i 的实部、虚部、模与主辐角。 解：Re(-1-i)=-1 Im(-1-i)=-1 |-1-i|= 2、写出复数-i 的三角式。 解： 3、写出复数 的代数式。 解： 4、求根式 的值。 解： ππ4 5 |11| arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限 π π23 sin 23cos i i +=-i i i i i i i i i i i i i i i 2 12312 1 21)1()1)(1()1(11--=--+-=⋅-+ +-+= -+ -i i i i -+-113 27 -) 3 sin 3(cos 3327)27arg(3 273 03 π ππ π i e W z i +==-=∴=-=⋅ 的三次根的值为 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）821 4i i i -+- 解：（1）1323213i z i -== +， 因此：32 Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310 i i i z i i i -+===---， 因此，31 Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122 i i i z i i i --=-=-+= -， 因此，35 Re , Im 32z z ==-， （4）821 41413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+（3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2）13i -+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1）5( 3)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3）(13)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i i θθθθ-+--（4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5）3i （6）1i + 解：（1）5(3)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3）(13)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- （4）2 3 (cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5） 3 i 3 cos sin 2 2 i π π =+ （6） 1i +2(cos sin )44 i π π = + 4． 设121, 3,2 i z z i += =-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：1 2cos sin , 2[cos()sin()]4 466 z i z i π π ππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ =-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5 () 1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1）5 1,z i +=由此 精心整理 页脚内容 习题一答案 1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1）132i +（2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i --（4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310 i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32 z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=， 2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ （3）(sin cos )r i θθ+ （4）(cos sin )r i θ θ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤ 解：（1）2cos sin 22i i i e ππ π =+= （2）13i -+23222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θ θ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= .. .. （5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθ θθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1）5(3)i -（2）100100(1)(1)i i ++- （3）(13)(cos sin )(1)(cos sin ) i i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5）3i （6） 1i + 解：（1）5( 3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3）(13)(cos sin )(1)(cos sin ) i i i i θθθθ-+-- （4）2 3(cos5sin 5)(cos3sin 3) i i ????+- （5）3i 3cos sin 22i ππ =+ （6）1i +2(cos sin )44i ππ =+ 4． 设121, 3,2 i z z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i π πππ =+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212 i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=> 解：（1）51,z i +=由此 ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=???? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-0 2121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1 221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-0 1 2121n n n n z （z <1） D ()∑∞ =-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1 第一章习题 一、选择题 1．设z=3+4i,，则Re z2=( ) A．-7 B．9 C．16 D．25 2.arg(2-2i)=（） A. B. C. D. 3．设0 一．选择 1．下列集合为无界多连通区域的是（） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D. 二、填空 1．设，则Imz＝______________________。 三、计算题 1.解方程z4=. 2. 考察函数在处的极限。 复变函数第一章单元测试题 一、判断题（正确打√，错误打） 1.复数. ( ) 2.若为纯虚数，则. ( ) 3.。（） 4.在点连续的充分必要条件是在 点连续。（） 5.参数方程（为实参数）所表示的曲线是抛物线. ( ) 二、填空题 1.若等式成立，则______, _______. 2.方程表示的曲线是__________________________. 3.方程的根为_________________________________. 4.复变函数的实部_________,虚部_________. 5.设,，则= _ _____. 第 1 页 共 10 页 《复变函数》习题及答案 一、 判断题 1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0 z f z z →一定不存在。（ ） 3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。( ) 4、cos z 与sin z 在复平面内有界。（ ） 5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。（ ） 6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。（ ） 7、若)(lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。（ ） 8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有 0)(=? C dz z f 。（ ） 9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。（ ） 10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。（ ） 11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。（ ） 12、有界整函数必为常数。（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。( ) 14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。（ ） 19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ） 20、cos z 与sin z 的周期均为πk 2。（ ） 完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题 第一章复数与复变函数 一、选择题 1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（） A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$ 2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（） A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $- \frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$ 3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$， $0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表 示式是（） A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B) $\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $- \sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $- \sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ 4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与 $2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（） A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq 2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小 5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x- 1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（） A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线 6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1- 3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（） 复变函数考试试题及参考答案 下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案： 1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。 答案：$(1+i)^3=-2+2i$。 2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。 答案：$(-2+i)^4=7-24i$。 3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。 答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。 4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。 答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。 5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。 答案：$z^*=2+i$。 6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。 答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。 7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。 答案：实部为3，虚部为2 8.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。 答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。 9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。 答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。 10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。 答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。 复变函数14套题目和答案 《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）： 1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析.() 2.有界整函数必在整个复平面为常数.() 3.若收敛，则与都收敛.() 4.若f(z)在 区域D内解析，且，则（常数）.()5.若函数f(z)在z0处解析，则它在 该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.若z0是的m阶零点，则z0是 1/的m阶极点.()7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点.()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则.()9.若f(z)在区域D内解析,则 对D内任一简单闭曲线C.()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分） 1.__________.（为自然数） 2._________. 3.函数的周期为___________. 4.设，则的孤立奇点有__________. 5.幂级数的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若，则 ______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为 ________.10.若是的极点，则.三.计算题（40分）： 1.设，求在内的罗朗展式. 2. 3.设，其中，试求 4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：如果在内为常数，那 么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）1、判断题.（20分）1.若函数在D内连续，则u(某,y)与v(某,y)都在D内 连续.()2.coz与inz在复平面内有界.()3.若函数f(z)在z0解析，则 f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性 奇点，则一定不存在.()6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.()7. 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 }{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰ C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-⎰=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ =∞ →n n z lim ，则= +++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤ 解：（1）2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= （2 ）1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5552(cos()sin()))66 i i ππ =- +-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + 习题一答案 1．求以下复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： 〔1〕 1 32i + 〔2〕 (1)(2) i i i -- 〔3〕13 1 i i i - - 〔4〕821 4 i i i -+- 解：〔1〕 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ 〔2〕 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- 〔3〕 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= 〔4〕821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1, Im3 z z =-=， arg arctan3, 13 z z z i π ==-=-- 2．将以下复数化为三角表达式和指数表达式： 〔1〕i〔2 〕1-+〔3〕(sin cos) r i θθ + 〔4〕(cos sin) r i θθ -〔5〕1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤ 解：〔1〕2 cos sin 2 2 i i i e π π π =+= 〔2 〕1-+2 3 222(cos sin )233 i i e πππ=+= 〔3〕(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22i r i re π θππ θθ-=-+-= 〔4〕(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= 〔5〕2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θ θ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 2 2 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求以下各式的值： 〔1 〕5)i - 〔2〕100100(1)(1)i i ++- 〔3 〕(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 〔4〕 23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- 〔5 〔6 解：〔1 〕5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5552(cos()sin()))66 i i ππ =- +-=-+ 〔2〕100 100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- 〔3 〕 (1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33 )sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+-复变函数试题与答案
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