复变函数与积分变换课程教案讲义
《复变与积分变换教案》 第一次课 1 教学目标： 使学生重温复数概念，熟练掌握复数及共轭下的运算法，了解复平面，学会运用复数的三角表示出理问题。 2 讲课段落： 复数产生的背景，特点； 平面向量和复数的关系； 共轭复数的作用； 三角表示； 复方根求法； 复数定义与平面向量变换的内在联系。 3 知识要点： 22y x z += ||||,z z z z == 2121z z z z +≤+ z z z =2 2Re ,z z z +=z i z z Im 2=- θθθsin cos i e i += ()θθθθθi re i r ir r z =+=+=sin cos sin cos Arg arg 2π,z z k θ==+ z z y x y z Im )sin(arg 2 2=+= 2 12121z z r r z z ==
121212Arg()Arg Arg arg arg 2π,z z z z z z k k =+=++ ∈ θ ? ρi n in n re z w e === n r 1=ρ， ()2π, k k n θ?+= ∈ ()n k i n e r w πθ21 +=，1,,2,1,0-=n k 4. 例： 例1-1 设 i i i i z -+-=11，求z z z ,Im ,Re 。 例1-2 设 i z i z 21,4321-=+=，求 2 1 z z ，??? ? ??21 z z 例1-3 设1z 及2z 为两个复数，试证： 2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 并用此等式证明三角不等式 推导，当0Im =z , Re 0arg Re 0; z z z π >?=? z , Im arcsin Re 0arg Im arcsin Re 0; z z z z z z z π? ≥?? =? ?-
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲 大纲执笔人： 大纲审核人： 一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。 教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。 本课程的具体教学目标如下： 1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续 课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的 建立、分析和控制做好理论、学识上准备。 3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非 线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。为以后解决实际复杂 工程问题做好知识上的储备。 教学目标与毕业要求的对应关系： 毕业要求指标点课程目标对应关系说明毕业要求1：工程知识1-1握 专业所需的数理知识，能用于专业问题的理解、建模、分析与求解教学目 标1能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法，大致了解理想典型电子 线性器件的时域和频域的数学模型。 毕业要求2：问题分析2-1运用数理和工程知识进行专业领域复杂工 程问题中的内涵识别与理解分析教学目标2了解理想典型电子线性器件的 时域和频域的数学模型，为复杂的线性系统的数学模型分析提供理论基础。 教学目标3基本理解时滞环节的频域表达形式，并且对与线性系统有 机结合、构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型有所认识。 二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内 容和要求，指明重点内容和难点内容。重点内容：«； 难点内容：∆1、复数和复变函数（4学时）（支撑教学目标1）1.1 复数知识点：复数的概念，共轭复数及复数的四则运算1.2复平面及复数 的三角表达式知识点：复平面，复数的模与幅角及三角表达式，复数模的 三角不等式，利用复数的三角表达式作乘除法，复数的乘方和开方。
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结 复变函数公式及常用方法总结 扩展阅读：复变函数总结完整版 第一章复数 1i2=-1i1欧拉公式z=x+iy 实部Rez虚部Imz 2运算①z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2 ②z1z2Rez1z2Imz1z2Rez1Rez2Imz1Imz2 z1z2③ x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1 ④z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2⑤zxi y共轭复数 zzxiyxiyx2y2共轭技巧 运算律P1页 3代数，几何表示 zxiyz与平面点x,y一一对应，与向量一一对应 辐角当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作 θ=Argz=02kk=±1±2±3… 把位于-π＜0≤π的0叫做Argz辐角主值记作0=argz0 4如何寻找argz 例：z=1-iz=i 42z=1+i 4z=-1π
5极坐标：xrcos，yrsinzxiyrcosisin i利用欧拉公式ecosisin可得到zre iz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei12 6高次幂及n次方 znzzzzrneinrncosnisinn 凡是满足方程z的ω值称为z的n次方根，记作 nnz zrei2kn即rn 2knr2kn 1n第二章解析函数 1极限2函数极限 ①复变函数 对于任一ZD都有W与其对应fz注：与实际情况相比，定义域，值域变化例fzz ②limfzzz0称fz当zz0时以A为极限 zz0☆当fz0时，连续例1 证明fzz在每一点都连续 证：fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一点都连续 3导数 fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0"例2fzC时有C证：对z有limz0fzzfzCClim0所以C"0z0zz例3证明fzz不可导解：令zz0 fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy当0时，不存在，所以不可导。 定理：fzux,yivx,y在zxiy处可导u，v在x,y处可微，且满足C-R
复变函数论第五版电子教案
复变函数论第五版电子教案 标题：复变函数论第五版电子教案 教案概述： 本教案旨在针对复变函数论第五版的教学内容，为教师提供一份电 子教案，以便在课堂上提供专业的指导和支持。该教案将根据教育阶 段的要求，确保全面而系统地覆盖复变函数论的核心概念和技能，以 最大化学生的学习效果。 教案结构： I. 引言 A. 目标：明确学生在该课程中的学习目标和培养目标。 B. 教材：介绍使用的教材、参考资料和资源。 C. 上下文：为学生提供与复变函数论相关的前置知识和背景信息。 II. 教学活动 A. 概念讲解：通过清晰且易于理解的语言解释和讲解重要的概念 和理论。 1. 基本定义：例如，复数、复变函数、解析函数等。 2. 复变函数的性质：例如，连续性、可微性、洛朗级数展开等。 3. 主要定理和公式：例如，柯西-黎曼方程、留数定理等。
B. 样例分析：通过实例演示和解答，培养学生的分析和解决问题的能力。 1. 求解函数的导函数和积分函数。 2. 计算留数和应用留数定理。 3. 解析函数的展开和极限计算。 C. 练习和讨论：提供大量的练习题，以帮助学生巩固所学知识。 1. 按难易程度分类的练习题。 2. 引导学生进行小组讨论和互动，以培养他们的合作和批判性思维能力。 3. 检查和纠正学生的错误，以确保他们对概念的理解和应用。 III. 评估和反馈 A. 课堂作业：布置相关的作业，旨在巩固学生对课堂内容的理解和应用。 B. 测验和考试：安排形式多样的评估任务，以测评学生的学习成果。 C. 反馈和指导：提供个性化的反馈和指导，帮助学生改进和进一步提升。 IV. 教学资源
A. 平台和工具：介绍可以辅助教学的电子平台、教学软件和辅助工具。 B. 参考资料：列出支持教学的书籍、文章、在线课程等资源。 C. 扩展阅读：推荐学生进一步深化他们对复变函数论的理解的阅读材料。 通过以上的教案结构，我们将能够提供针对复变函数论第五版的教学指导和支持，使学生们更好地掌握这门课程的核心概念和技能。教师可以根据教案中提供的教学资源和方法，依据教育要求进行教学策划和实施，以提高学生的学习效果和满意度。
复变函数与积分变换 国防教育
复变函数与积分变换国防教育 复变函数和积分变换在科学和工程中都具有重要地位。复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，它包括实数函数作为特殊情况。而积分变换则是指对一类特定的函数进行一种变换，将它们变为另一类函数。它们的应用范围非常广泛，例如在信号处理、控制系统、图像处理、电路分析等领域都有重要的应用。 本文将简要介绍复变函数与积分变换的相关内容，并探讨其在国防教育中的应用。 一、复变函数 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数。它可以看作由一对实函数构成，即 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中x和y是实数，u(x,y)和v(x,y)是实函数，i是虚数单位，满足i²=-1。u(x,y)和v(x,y)分别称为f(z)的实部和虚部，而f(z)的模长|f(z)|和幅角 θ(x,y)分别定义为： |f(z)|=√[u²(x,y)+v²(x,y)] 复变函数的导数和积分也可以像实函数一样定义。如果f(z)在某个区域内可导，则该区域内f(z)的导数f'(z)也是一个复变函数。类似地，复变函数的积分可以通过路径积分来定义。路径积分是指沿着给定路径对复变函数进行积分，其中路径可以是任意曲线。路径积分可以用来计算复变函数在某个区域内的某些特定性质，例如环绕数、留数等。环绕数是指沿着一条曲线对复平面进行逆时针旋转的次数，它与曲线所包围区域内的零点个数有关；留数则是复变函数在某个极点处的特定积分值，它在复变函数的一些应用中也非常有用。 二、积分变换 积分变换是一类将一种函数变换为另一种函数的数学工具。它通常是对一类特定的函数进行变换，将其变为另一类函数。积分变换的表达式通常采用积分的形式来表示，例如拉普拉斯变换、傅里叶变换等。 拉普拉斯变换是一种广泛应用于线性控制系统的积分变换，它将实函数f(t)变换为复变函数F(s)，并且具有线性性、时间平移性、频率平移性等性质。拉普拉斯变换可以用来分析线性系统的稳定性、响应特性、滤波特性等。 傅里叶变换是另一种重要的积分变换，它可以将实函数变换为复变函数，傅里叶变换的表达式通常采用积分形式表示。傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信系统、电路分析等领域都具有重要的应用。 三、国防教育中的应用
复变函数在通信工程中的应用
复变函数在通信工程中的应用 复变函数是数学中一个重要的分支，它研究的是以复数为自变量和因变量的函数。复变函数在通信工程中有着广泛的应用，本文将介绍复变函数在通信工程中的应用，并对其进行阐述。 1.复数与复变函数简介 复数是指形如a + ib的数，其中a和b都是实数，i是虚数单位，i^2 = -1。与实数相比，复数的优点在于，它们可以用较简单的形式表示旋转和扭曲。在通信工程中，复数被广泛应用于信号的表示和处理中。 复变函数是一个自变量和因变量都是复数的函数，它与实变函数有着许多不同之处，例如复变函数的极限、连续性和微分不是像实变函数那样一般地定义。复变函数具有许多重要的性质，例如解析性、调和性等，这些性质被广泛应用于通信工程中。 滤波器是一种能够通过对信号进行处理来实现信号去除或者信号提取的装置。在通信工程中，滤波器是非常重要的，因为它能够去除信号中的杂波和干扰，从而提取出有用的信息。 复变函数在滤波器设计中的应用主要体现在两个方面：一是通过极点和零点来设计滤波器，二是通过拉普拉斯变换来设计滤波器。 对于第一个方面，极点和零点是复变函数中非常重要的概念。极点是指函数在这个点处取无穷大或者无穷小值的点，而零点是指函数在这个点处为零的点。通过选择不同的极点和零点，就可以得到不同的滤波器，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。 对于第二个方面，拉普拉斯变换是一种常用的数学工具，它可以将时域中的函数转化为频域中的函数。利用拉普拉斯变换，可以快速地设计出各种不同的滤波器，例如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。 数字信号处理是通信工程中一个重要的领域，它定义了一系列用于数字信号处理的方法和技术。在数字信号处理中，复数和复变函数也扮演着非常重要的角色。 复数在数字信号处理中最常见的应用就是傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换可以将一个连续时间的信号变换为频域上的功率谱，而离散傅里叶变换可以将一个离散时间的信号变换为频域上的频率谱。傅里叶变换和离散傅里叶变换都是复变函数的应用，它们可以帮助对信号进行非常精确的频率分析和滤波处理。 复变函数在数字滤波器设计中也有广泛的应用。数字滤波器是一种将数字信号进行滤波的装置，它可以帮助去除数字信号中的杂音和干扰，从而提取出有用的信息。复变函数可以通过拉普拉斯变换来实现数字滤波器的设计，从而实现各种不同类型的数字滤波器。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲(本科)
《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程编号：07013111 课程名称：复变函数与积分变换 英文名称：Functions of Complex Variables & Integral Transformation 课程类型：学科基础 课程要求：必修 学时/学分：32学时，2学分 适用专业：通信、测控、电子科学、信息工程、电气工程及其自动化、自动化、生物医学工程、建环 一、课程性质与任务 复变函数与积分变换是高等工科院校许多专业重要的一门基础课，通过本门课程的教学，使学生较系统的、完整的了解复变函数与积分变换理论的基本内容，学会运用高数的方法处理复变量函数的一些基本问题，包括解析函数概念、复变函数的积分、解析函数的级数表示、洛朗级数、留数理论、共形映射、拉普拉斯变换等。 二、课程与其他课程的联系 本课程的先修课程：高等数学。复变函数与积分变换课程是高等理工科学校各专业学生一门重要的必修的公共基础课。通过该课程学习，能为学生学习其他的相关课程奠定所需要的数学基础。 三、课程教学目标 1．通过本门课程的学习，使学生掌握区域、解析、调和函数、复积分、级数、留数和积分变换的概念以及应用柯西-黎曼方程、柯西-古萨基本定理、柯西积分公式、高阶导数公式和留数定理等知识计算复变函数的积分；能运用泰勒展开，洛朗展开，奇点分类，积分变换等知识解决相关问题。为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 2．在传授数学知识的同时，还要通过上课、课后辅导、作业等各个教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、一定程度的抽象思维能力、一定程度的逻辑推理能力、空间想象能力和一定程度的自学能力、独立获取知识的能力。 3．在传授数学知识的同时，还要培养学生灵活运用复变函数与积分变换分析问题和解决问题的方法和意识，使之具备较强的数学应用能力。为学生适应今后的学习和工作打好基础。 四、教学内容、基本要求与学时分配
《复变函数》课程思政案例
《复变函数》课程思政案例 一、教学设计 复变函数是一门工程数学基础课程，结合我校新工科建设的特点和需求，主讲教师精心挑选本课程所蕴含的思政元素，力求将思政元素与授课知识实现无痕对接，将之“润物细无声”般地传达给学生。思政元素主要包括以下三方面： 1. 复变函数课程中的知识点涉及到许多国际知名的数学家，结合课程内容介绍相关数学家励志的生平事迹和经典语录，引导学生树立正确的三观和培养严谨认真、吃苦耐劳、勤奋努力的学习态度，激发学生的创新精神，将正确的价值追求和理想信念有效传达给学生。 2. 结合我校新工科建设，根据学生学科特点，有针对性地增加实际应用的典型案例，来加强学生“学以致用”能力的培养，并借此延伸出所在学科国内的发展现状、优势与短板，加强学生个人使命感，引导学生思考学习的意义和目标，将个人学习追求与国家民族发展有机结合起来，增强学生的学习动力，激励学生勇于为国争光做贡献，培养具有“家国情怀，天大担当”的新一代年轻人。 3. 培养学生爱国主义情怀，增强学生的民族自豪感和自信心。复变函数课程涉及了国内很多老一辈数学家为祖国做出了杰出的贡献，介绍这些数学大师的成长经历、杰出贡献以及经典语录，借此激发学生的爱国情怀。 总体教学设计流程图如下：
（一）案例名称：由洛朗展开引出—理论结合实际，知行合一 （二）案例教学目标 理解并掌握洛朗展开定理的内容包括条件和结论，以及掌握将一些具体的复变函数在给定的圆环域中展开成洛朗级数。进一步了解其在工程中的典型应用—Z变换。由此引出法国工程科学家洛朗的生平事迹，以及其很值得大家学习的理论结合实际的能力，鼓励学生学习中要理论结合实际，知行合一，方可高效解决所遇问题。 （三）案例教学实施过程
《复变函数与积分变换》课程思政教学案例(一等奖)
《复变函数与积分变换》课程思政教学案例（一等奖）一、课程和案例的基本情况 课程名称：复变函数与积分变换 授课对象：工科二年级本科生 课程性质：公共基础课 课程简介： 作为工科数学系列的公共基础课程，复变函数与积分变换内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复变函数级数、留数计算及应用、共形映射、傅立叶变换、拉普拉斯变换等。该课程特点是为工科有关专业后续课程学习打好数学基础，也是有关工科专业课程和数学应用的一座桥梁。课程不仅要为学生提供数学知识体系，而且是专业学习和数学应用能力提升的不可或缺环节。课程的主要任务是通过课堂教学活动，培养学生的创新意识和能力和科学知识的实际应用能力。 二、案例简介： 傅立叶变换是本课程的两大核心内容之一，本案例是作为学习完傅立叶变换以后的应用案例。作为本校相关专业学习傅立叶变换，目的是为了更好地为后续课程提供数学理论，所以其应用案例尤为重要。本案例内容:回顾傅氏变换概念，傅氏变换性质，相关卷积公式，其逆变换计算法；利用傅立叶变换求解有关的微分方程、积分方程、微分-积分方程以及相关的数学物理方程定解问题，进一步考虑海森堡不确定性原理描述和证明。 三、本讲的学习目标：
挖掘知识传授深度：① 巩固傅氏变换概念、傅氏变换性质、卷积公式、逆变换计算法知识。② 应用傅氏变换以及相关性质在求解微分方程、积分方程、微分-积分方程; 拓展傅氏变换在数学物理方程有关定解问题的作用。③用傅氏变换描述和证明量子力学中海森堡不确定性原理。 拓展能力培养广度：傅里叶分析对数学和理论物理学发展仍产生深远的影响。由于其优良的性质, 在物理学、信号和图像处理、概率统计、密码学等领域都有着广泛的应用，所以构建傅氏变换应用于解决线性系统（具有叠加性质的系统）的桥梁。本课程基于傅里叶分析用于求解微分方程和数学物理方程问题知识点，提升学生科学精神的培养、科学思维方法的训练和科学伦理的教育，激发学生勇攀科学高峰的责任感和使命感。 构筑价值塑造内涵：学习科学家不懈的探索精神，培养创新意识。将数学理论知识应用于专业学科，启迪学生数学理论与实践相结合的思维惯性，灌输科学技术能够改造客观世界科研情怀。 四、案例蕴含的思政元素分析 基于本课程特点，深挖课程蕴含的思政元素，确定课程育人目标。事实上，“复变函数与积分变换”课程的思政教育资源和要素是十分丰富的有特色鲜明、创新点丰富的特点。下面我们结合课程案例内容，阐明案例蕴含的思政元素及课程思政教学改革的创新点。 1. 本课程的思辨逻辑性决定了与唯物辩证法同宗同源 本课程中蕴含了很多的唯物辩证法、对立统一的观点、否定之否定、量变到质变的辩证规律等原理。例如：阐述 Cauchy 积分公式的解析函数
复变函数积分 教案
复变函数积分教案 教案标题：复变函数积分 教案目标： 1. 了解复变函数积分的基本概念和性质。 2. 掌握计算复变函数积分的方法和技巧。 3. 能够应用复变函数积分解决实际问题。 教案内容： 1. 复变函数积分的基本概念 a. 复变函数积分的定义和性质 b. 复变函数积分的几何意义和物理意义 2. 复变函数积分的计算方法 a. 积分路径的选择和参数化 b. 积分路径上的积分计算 c. 积分路径的变换和积分的不变性 3. 复变函数积分的应用 a. 物理问题中的应用：电场、磁场等 b. 工程问题中的应用：流体力学、电路等 c. 经济问题中的应用：复利计算等 教案步骤： 1. 导入：通过引入一个实际问题或例子，激发学生对复变函数积分的兴趣和好奇心。 2. 概念讲解：介绍复变函数积分的基本概念和性质，帮助学生建立起对积分的
理解。 3. 计算方法演示：通过示例演示不同类型的复变函数积分的计算方法，让学生掌握具体的计算技巧。 4. 练习与讨论：提供一些练习题，让学生在课堂上进行计算练习，并与同学一起讨论解题思路和方法。 5. 应用拓展：引导学生思考复变函数积分在实际问题中的应用，鼓励他们尝试将所学知识应用到其他领域。 6. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，澄清学生可能存在的疑惑。 7. 作业布置：布置一些练习题作为课后作业，巩固学生对复变函数积分的理解和运用能力。 教案评估： 1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极性和参与度，包括回答问题、提出疑问等。 2. 计算能力：通过课堂练习和作业的评分，评估学生对复变函数积分的计算能力。 3. 应用能力：观察学生在应用题中的解题思路和方法，评估他们对复变函数积分在实际问题中的应用能力。 教案扩展： 1. 深入研究：引导有兴趣的学生深入研究复变函数积分的更高级理论和应用。 2. 实验设计：鼓励学生设计和进行与复变函数积分相关的实验，加深对理论的理解和实际应用的认识。
6.1.4. 《工程数学(复变函数)》课程教学大纲(03281525更新)——工程认证
《工程数学(复变函数)》课程教学大纲 课程名称：工程数学(复变函数) 课程代码：TELE3021 英文名称：Complex Variables 课程性质：专业必修课程学分/学时：2/36 开课学期：第3学期 适用专业：通信工程、信息工程、电子信息工程、电子科学与技术等专业 先修课程：高等数学 后续课程：积分变换、电磁场与电磁波、数字信号处理、数字通信原理等 开课单位：苏州大学电子信息学院课程负责人： 大纲执笔人：高明义大纲审核人：杨新艳 一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学 生需掌握知识与能力及其应达到的水平） 课程性质：工程数学（复变函数）是通信工程，电子信息工程，信息工程，电子科学与技术专业一门重要的专业教学基础课程，是通信工程必修的一门主干数学课。它的理论与方法在自然科学和工程技术等领域有着广泛的应用.本课程通过教师讲授与学生练习讨论相结合，旨在让学生掌握复变函数微积分知识,为后期的专业课程学习奠定扎实的数学基础。 教学目标：工程数学（复变函数）是讲授复数域函数的相关计算,如微积分,级数等的课程,通过教师讲授,学生讨论,课堂练习等方式,让学生掌握如何处理复数域函数的相关问题,培养学生严谨的数学思维能力及对复杂通信工程问题进行数学建模能力. 本课程的具体教学目标如下： 1、培养学生的理解力与数学思维能力, 使学生掌握复变函数在自然科学和工程技术中的 广泛应用奠定良好的数学基础。【1.1】 2、将所学的复变函数知识应用到通信领域具体工程问题中，识别和判断其关键环节和参 数，为解决复杂问题提供可靠的数学分析。【2.1】 二、课程目标与毕业要求的对应关系（明确本课程知识与能力重点符 合标准哪几条毕业要求指标点） 三、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容 和要求，指明重点内容和难点内容）（重点内容： ；难点内容： ）
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
复变函数与积分变换课程教学大纲 （Complex Function and Integral Transform） 一、课程概况 课程代码：0801010 学分：3 学时：48（其中：讲授学时48 ，实验学时0 ，上机学时0 ） 先修课程：高等数学 适用专业：工科各专业 建议教材：《复变函数》，西安交通大学，高等教育出版社，2014.7 课程归口：理学院 课程的性质与任务：本课程是工科专业的通识必修课。通过本课程的学习，使学生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法；提高学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力；并能运用数学知识、理论、方法解决相关的实际应用问题；提高学生的数学素养，为学生学习后续相关课程及终身学习奠定必要的数学基础。 二、课程目标 目标1.能够获得课程基本概念与性质。 目标2. 能够掌握本课程要求的计算方法。 目标3. 能够具有一定的抽象概括、逻辑推理等能力。 目标4. 能够具有一定的运算能力。 目标5. 能够具有一定的数学思维与分析能力。 本课程支撑专业人才培养方案中毕业要求1-1，对应关系如表所示。
三、课程内容及要求 （一）复数与复变函数 1.教学内容 （1）能够理解复数的各种表示方法及其运算 （2）能够了解区域、简单曲线的概念 （3）能够掌握用复数式表达常见区域、简单曲线的方法 （4）能够了解复球面与无穷远点 （5）能够理解复变函数及映射的概念 （6）能够理解复变函数的极限和连续的概念 （7）能够了解闭区域上连续函数的性质 2.基本要求 （1）重点与难点：复变函数及映射、复变函数的极限和连续。 （2）教学方法：启发式互动讲授结合多媒体辅助；适当课堂练习；及时了解学生的作业状况并对共同的问题作及时解答；安排好课后答疑。 3.思政内容 注重理论联系实际，尊重客观规律，树立社会主义核心价值观，增强专业素养，强调理论对实践的指导意义。 （二）解析函数 1.教学内容 （1）能够理解复变函数的导数及复变函数解析的概念 （2）能够掌握复变函数解析的充要条件 （3）能够了解调和函数的概念及其与解析函数的关系 （4）能够掌握利用解析函数的实（虚）部求其（实）部 （5）能够理解指数、三角、双曲、对数函数及幂函数的定义、性质与计算 2.基本要求 （1）重点与难点：复变函数的导数及复变函数解析，从解析函数的实（虚）部求其（实）部。 （2）教学方法：启发式互动讲授结合多媒体辅助；适当课堂练习；及时了解学生的作业状况并对共同的问题作及时解答；安排好课后答疑。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲
《复变函数与积分变换》课程教学大纲 一、课程名称（中英文） 中文名称：复变函数与积分变换 英文名称：Functions of Complex Variable and Integral Transforms 二、课程代码及性质 课程代码：0700071 课程性质：必修 三、学时与学分 总学时：40（理论学时：40学时；实践学时：无限制）学分：2.5 四、先修课程 先修课程：微积分 五、授课对象 本课程面向理工科各专业本科学生开设 六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）
复变函数与积分变换是理工科相关专业的一门基础课，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基础理论和方法，掌握傅里叶变换与拉斯变换的性质、方法；学生在学习该课程知识及数学物理及工程技术中常用的数学方法时还可以巩固和复习微积分的基础知识，提高数学素养，为学习有关后续课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。同时，该课程在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面也起着十分重要的作用。 七、教学重点与难点： 课程重点：解析函数、Cauchy-Riemann 条件及其应用；Cauchy 积分公式的应用；各种复积分的计算；将函数展开成幂级数或罗朗级数的方法；孤立奇点的分类；留数的计算；求两个典型区域间的分式线性映射；Fourier 变换和Laplace 变换的有关概念、性质及其应用；单位脉冲函数的性质及其应用。 课程难点：无穷远点及无穷远点邻域、扩充复平面、复数开方和多值函数、函数解析的充要条件、计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分、孤立奇点类别的识别、共形映射、Fourier变换与Laplace变换的区别、联系。
《复变函数与积分变换(B)》教学大纲(32学时,2学分)
《复变函数与积分变换(B)》课程教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换(B) Functions of Complex Variables and Integral Transformations (B) 课程代码：2929 学分数：2学分 学时数：32学时（理论课32学时+实践课0学时） 课程类别：选修 适用专业/开课对象：通信工程、电子信息工程、车辆工程、自动化、测控技术与仪器等专业 开课单位：理学院 一、课程目标 本课程是微积分学在复数域上的推广和发展，系统地讲授了解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示法、留数理论和积分变换，是自动化控制、理论物理、弹性力学、流体力学、空气动力学等自然科学领域的的理论基础，是《工程力学》、《电工学》、《电磁学》、《信号分析与图像处理》、《电子技术》等专业课程必要的基础课。 目标1：能够运用复变函数、级数、留数与积分变换的基本知识，开展复变函数的微积分计算， 用级数表示复变函数，进行傅里业变换和拉普拉斯变换的分析与计算。 目标2：能够充分利用复变函数这一有力工具，对解析函数进行判断、讨论解析函数的性质， 讨论奇点的类型，利用留数计算复积分，进行傅里业变换和拉普拉斯变换的应用，并关注复变函数 在相关工程技术领域的应用，增强不断学习的自觉意识和能力，解决复杂的工程实践问题。 目标3：通过中国数学家的故事及其发明成果，培养学生的民族自豪感与家国情怀，通过中外 数学家的成长历程，培养学生的理想信念，通过严密的逻辑推导，培养学生严谨求实的科学态度， 逐步确立起用马克思主义辩证法去分析和解决实际问题的思想基础。 －1－
表1：课程目标及其对毕业要求的支撑关系 二、课程与其他课程的关系 先修课程：高等数学（理工类）（A） 后续课程：工程力学、电工学、电磁学、信号分析与图像处理、电子技术等 三、教学内容、预期成果、教学方式及建议学时分配 《复变函数与积分变换 (B)》课程主要以讲授为主，以课堂测验、课后作业为辅。课堂教学将充分利用多媒体课件辅助教学，调动学习积极性，提高教学效率。本课程目标、知识单元与学时分配见表2。 －2－
复变函数课程标准
《复变函数》课程标准 课程代码：05028 适用专业：数学教育 开设学期：第五学期 计划学时：60 一、课程性质 复变函数是高等学校数学与应用数学专业的专业必修课，它一方面是数学分析的后继课，另外又在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）有着广泛应用，是学习现代数学不可缺少的基础。 复变函数用分析的方法研究复变量的解析函数的基本性质，极限是其主要的工具，许多概念如连续、导数、积分、级数等虽然与数学分析平行，但由于在复数域上研究，在讨论中要使用复变函数本身独特的理论和方法，其结果具有严密的结构和优良的性质。 二、课程目标 通过教学，本课程的目标为使学生了解复变函数这门学科的性质，它与其它学科的关系，了解复分析与实分析的联系和差别。掌握复变函数的基本性质、级数表示、积分理论、保角映射等方面的基础知识，以及对各有关问题的基本计算能力和一定的逻辑推理能力。了解一些复变函数在力学及物理等方面的应用情况。 三、教学内容和教学要求 这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。这四个层次的一般涵义表述如下： 知道———是指对这门学科和教学现象的认知。 理解———是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。 掌握———是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。 学会———是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。 教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。 本标准中打“※”号的内容可作为自学，教师可根据实际情况确定要求或不布置要求。
《复变函数与积分变换》教学大纲(40学时,2.5学分)
《复变函数与积分变换》课程教学大纲 课程名称：复变函数与积分变换 Functions of Complex Variables and Integral Transformations 课程代码：0601 学分数：2.5学分 学时数：40学时（理论课40学时+实践课0学时） 课程类别：必修 适用专业/开课对象：自动化、测控技术与仪器、飞行器质量与可靠性等专业 开课单位：理学院 一、课程性质与目标 课程性质：《复变函数与积分变换》是高等院校工科各专业的一门重要的必修课，是继《高等数学》课程之后的课程。本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学生后续学习专业课提供必要的工具。 课程目标：本课程是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展式与洛朗展式、留数理论、傅里叶变换、拉普拉斯变换等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。 具体教学目标可分解为以下三点： （1）使学生掌握复数及复变函数的相关概念，在此基础上利用复变函数的性质和有关定理，开展复变函数的微积分计算，并将复变函数进行级数表示，并能够在复变函数的基础上开展傅里叶变换和拉普拉斯变换。 （2）培养学生在掌握复变函数与积分变换基础概念、基本定理和基本公式与方法的基础上，利用复变函数与积分变换这一种有力工具，在流体力学、自动控制等工程技术领域进行相关的分析计算，来解决工程实践问题。 （3）通过教学与练习，在使学生理论知识得到巩固和升华的同时，培养学生严谨求实的科学态度，发现和解决问题的能力，培养学生团队协作精神以及沟通交流、自我学习的能力。在学习的过 －1－
复变函数--幅角原理
§3 辐角原理及其应用 一、教学目标或要求： 掌握幅角原理的准确叙述及其应用 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：对数留数 幅角原理 例题 重点：幅角原理 例题 难点: 幅角原理 例题 三、教学手段与方法： 讲授、练习 思考题、讨论题、作业与练习： 11－14 §3 辐角原理及其应用 1．对数留数 留数定理的另一个应用的考虑形如 的复变函数在极点处的留数,以之 导出辐角原理,提供确定解析函数零点个数的一个有效工具。积分dz z f z f i C ⎰) () ('21π称为)(z f 的对数留数。 引理 6.4（1）设为的级零点，则必为的一级极 点，且 ； （2）设为的级极点，则必为的一级极点，且 。 证 （1）若设 为 的 级零点，则在 的邻域内，
，其中在的邻域内解析,且,于是 , 从而。由于在是邻域内解析,故可在的邻域内展开成Taylor级数,必定不含的 负幂项，因此必为的一级极点，且。 （2）设为的级极点，则必为的级零点，由（1）的结论,必 为的一级极点，且。 定理6.9设为一条围线，满足条件： （1）在的内部除可能有极点外是解析的； （2）在上解析且不为零， 则，其中与分别表示在 内部的零点与极点的个数(一个级零点算作个零点，一个级极点算作个极点)。 证由第五章(二)习题14知,在内部至多只有有限个零点和极点。设 为在内部的不同零点，其级相应地为,为 在内部的不同极点,其级相应为。根据引理 6.4，、 都是的一级极点，于是，在内部及上除去 、，外均解析，故由留数定理
2. 辐角原理 辐角原理 在定理6.9的条件下，函数)(z f 在C 内部的零点个数与极点个数之差，等于当z 沿C 之正向绕行一周后的改变量)(arg z f C ∆除以π2，即 π 2) (arg ),(),(z f C f P C f N C ∆= - (6.27) 特别地，如果在围线C 上及C 之内部均解析，且在C 上不为零，则 π 2) (arg ),(z f C f N C ∆= (6.28) 证（大意）根据定理6.9， 注 定理6.9（2）可减弱为“连续到边界 ,且沿 , ”，围线 也 可以是复围线。 例 ,试验证辐角原理。 证
复数单元教学设计与实践
复数单元教学设计与实践 一、单元教学要素设计 （一）单元内容 1．内容 本单元在新的人教A版普通高中教科书《数学》（必修第二册）第七单元．复数是一类重要的运算对象，现已经被广泛应用于数学学科中．通过本单元知识的深入学习，可以提升学生运用各种方程求解的能力，深入理解复数存在的必要性与重要性，把握数系的扩充原因以及复数表示、运算及几何意义，体会数系扩充过程中理性思维的作用．本单元特别注重复数表示和运算的几何意义，强调形与数的融合．学生通过本单元的学习，可以提升数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养．本单元内容包括：7.1复数的概念、7.2复数的四则运算、7.3复数的三角表示．其中“7.3复数的三角表示”是新增加内容，定位为选学内容，但课时与必学内容课时相同． 本单元的知识结构如下： 2．内容解析 本单元通过解方程引入了复数，进而研究了复数的表示和运算，以及它们的几何意义，将实数系扩充成复数系．复数本质上就是一对有序实数．因此，复数与复平面内的点是相互对应且唯一的，同时其与复平面内原点作为起点的向量，也是一一对应的，由复数的向量表
示可以进一步得到复数的三角形式．因此，复数的代数形式，三角形式都具有至关重要的几何意义．从复数运算的角度来看，复数代数加减运算具有的几何意义即相对应的平面向量之间的加减运算；复数乘除运算具有的几何意义，即所谓的平面向量的旋转、伸缩等各种变化．本单元中主要是对数与形之间的融合作以重点论述分析，所以数形结合的思想方法是我们在学习时应注意把握的．同时，学习本单元还应注意复数与实数、有理数的联系，复数及其代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、乘法运算的联系，注意复数及其代数形式的加减运算与平面向量及其各种加、减运算之间的联系，同时还应该对复数的三角表示以及复数的乘除运算与平面向量、三角函数之间形成的关系予以重点关注与把握．下图为其的具体联系示意图： （二）单元目标 1．目标 （1）复数的概念 ①通过方程的解来认识复数； ②理解复数的代数表示及其几何意义； ③理解两个复数相等的含义． （2）复数的运算 ①掌握复数代数表示式的四则运算；
复变函数目标检测练习册_2011年
WORD 格式整理版 专业学习 参考资料 练习一 复数及其代数运算、复数的几何表示 一、填空题 1．( i i +-11)4＝ 2．i +1＝ Arg )(i +1= arg )(i +1 3.已知z=())())(( i i i i +--+131131，则z = argz= 4.将z=－cos 5π + isin 5 π表示成三角形式为 表示成指数形式为 Argz= argz= 5.3－i 的三角表示形式为 ，指数表示形式为 二．分别就0＜α≤π与-π＜α＜-2 π 两种情形将复数z=1 - cos α + isin α化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。 三．利用复数表示圆的方程)(0≠a a (x 2 +y 2 )+ bx + cy + d = 0，其中a , b , c , d 是实常数。 四．求下列方程所表示的曲线 ①)(i +1z + )(i —1z = 1 ②z z －)(i +2z －)(i -2z = 4
五．证明 ⑴若z1 + z2 + z3 = 0且z1=z2=z3=1，则点z1 , z2 , z3为一内接单位圆的等边三角形的顶点。 ⑵若z1 + z2 + z3 + z4 = 0且z1=z2=z3=z4，则点z1 , z2 , z3 , z4或者为一矩形的顶点，或者两两重合。练习二复数的乘幂与方根、区域 一、填空题 1．（1＋i）3＋（1－i）3＝ 2．31 -＝ 3．{z1华中科技大学 复变函数与积分变换练习册答案
练 习 一 1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。 （1） i i i i 524321----； 解：i i i i 524321-- -- =i 2582516+ z k k Argz z z z ∈+== = = π 22 1 arctan 25 5825 8Im 25 16 Re （2）3) 231(i + 解： 3) 231(i + z k k Argz z z z e i i ∈+===-=-==+=π ππ ππ 210Im 1Re 1][)3 sin 3(cos 333 2．将下列复数写成三角表示式。 1）i 31- 解：i 31- )35sin 35(cos 2ππi += （2）i i +12 解：i i +12 )4sin 4(cos 21π π i i +=+= 3．利用复数的三角表示计算下列各式。 （1）i i 2332++- 解：i i 2332++- 2sin 2 cos π π i i +== （2）4 22i +- 解：4 22i +-41 )]43sin 43(cos 22[π πi += 3,2,1,0] 1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 283 8 3=+++=+++=k k i k k i k ππππππ
4．.设 321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆 z =1的一个正三角形的项点。 证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周 32z z ++=0 则,321 z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量2 11z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是3 2π ，同理1 z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π ，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。 5．解方程013 =+z i i z i z i i z k k i k z z 2 32135sin 35cos 1sin cos 2 3 213sin 3cos 2 ,1,03 2sin 32cos 1:3213-=+=-=+=+=+==+++=⇒-=ππππππππππ解 6．试证：当1 ,1<=βα时，则1 1=--βαβ α。 证： 1 1 1==--=-⋅-=--α βααβαβαααβαβαβα 7．设θθ,0(cos 21≠=+-z z z 是Z 的辐角），求证.cos 2θn z z n n =+- 证：01cos 2cos 22 1=+⋅-⇒=+-z z z z θθ 则 θθsin cos i z ±= 当θθsin cos i z +=时 θθsin cos 1i z -=- θθθθθn n i n i n z z n n cos 2)]sin()[cos()sin (cos =-+-++=+-
