复变函数练习题习题3.2
习题3.2
3.试讨论函数()1/f z z =沿正向圆周0||z z r -=的积分值，其中0,r >且00||,||0z r z ≠≠. 解：函数()1/f z z =的奇点为0z =.
（1）当0||r z <时，()f z 的奇点在圆周0||z z r -=的外部，所以()f z 在闭区域0||z z r -≤上解析，于是由Cauchy 积分定理得
0||() 0;z z r f z dz -==?
（2）当0||r z >时，0z =在圆周0||z z r -=的内部，则由解析函数积分的闭路变形原理可得（另见3.2节例3-6的结论）
00|||||0|11() 2,
00z z r z z r z f z dz dz dz i z z επ-=-=-====--???（其中0ε>为任意实数）.
5．计算下列积分值，其中积分路径都取正向.
（2）||3212(1)(2)z z i dz z z i =++++?
解：令212(1)(2)12z i A B z z i z z i ++=+++++，则有
212(1)212(2), 2211
z i B z z i A z i A B z i z i z z ++++++=+=+++++上面第一式令1z =-得2(1)12112i A i
-++==-+； 上面第二式令2z i =-得2(2)12121
i i B i -++==-+. 所以21211(1)(2)12z i z z i z z i ++=+++++，于是
||3||3||3||321211()(1)(2)1211 12 22 4.
z z z z z i dz dz
z z i z z i dz dz z z i i i i πππ====++=
+++++=+++=+=????
8.用Cauchy 积分定理计算积分||12z dz I z ==+?的
值，且证明等式
2012cos 0.54cos d πθθθ+=+?
（1）解：被积函数1
2z +的奇点2z =-在积分路径||1z =的外部，所以被积函数在闭区域||1z ≤上解析，于是由Cauchy 积分定理得
||10.2z dz I z ===+? （2）证明：圆周||1z =的参数方程为
(02)i z e θ
θπ=≤≤，在它上有(),i z ie θθ'=于是 2||102022202022
(cos sin ) cos sin 2(sin cos )(cos 2sin ) (cos 2)sin 2sin (12cos ) 54cos i i z dz ie I d z e i i d i i i d i d θ
π
θπππθθθθθθθθθθθθθθθθθ===+++=++-++-=++-++=+?????
22002sin 12cos 54cos 54cos d i d ππθθθθθθ
-+=+++?? 由（1）0I =得
22002sin 12cos 054cos 54cos d i d ππθθθθθθ-++=++??
所以比较等式两边的虚部得
2012cos 0.54cos d πθθθ+=+?
注：此题常见错误： 因为12cos 54cos θ
θ++在02θπ≤≤处处解析，所以2012cos 0.54cos d πθθθ+=+?
非常数实函数在整个复平面上处处不解析！
复变函数试题及答案
1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3.若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()?+--+i dz z 22 22= 6、积分 ?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11--的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得 z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数
4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 2 23i - C 223i +- D i 2321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ? =-12 3z z dz B ? =-1 2 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1
复变函数论第三版课后习题答案 2
第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1, 3 Arcz k k ππ=-+=±。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 4 12 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明2 2 21212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆 1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于1 321 ===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z
复变函数综合练习
综合练习一 1、 设| |1,|| 1.a z <<证明： （i ）| |1; 1z a az -<- （ii ） 22 2 2 (1||)(1||) 1||;1|1| z a a z az az ----= -- （iii ）|||| ||||| || |1 1|||| 1|||| 1z a z a z a a z a z az --+≤≤ <-+- 2、 设12 12,,,,,,n n z z z ωωω 是任意2n 个复数，证明复数形式 的Lagrange 恒等式： 2 2 2 2 1 1 1 1||(||)(||)|| n n n j j j j j k k j j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ , 并由此推出Cauchy 不等式： 2 2 2 1 1 1 ||(||)(||). n n n j j j j j j j z z ωω===≤∑∑∑ 不等式中等号成立的条件是什么？ 3、设12,,,n z z z 是任意n 个复数，证明必有{1,2,,}n 的子集E 使得 1 1 ||||. 6 n j j j E j z z ∈=≥ ∑∑ 4、设无穷三角阵 11212231 32 33 a a a a a a 满足 （i ）对任意固定的k ，lim nk k n a a →∞ =存在； （ii ） 1 lim n nk n k a →∞ =∑存在； （iii ） 1 ||,. n nk k a M n =≤<∞?∈∑ 证明：若复数列{}n z 收敛，则1lim n nk k n k a z →∞=∑存在。 5、证明：若E ? 即是开集又是闭集，则E =?或.E = 6、设E 是非空点集，0ε>。若对于E 中的任意两个点,a b ， 存在E 中的有限个点 01,,,,n a z z z b == 使得 1||k k z z ε--<成立(1)k n ≤≤，则称E 为ε-连通的。证明：紧集连通的充要条件是，对任意0ε>它都是ε-连通的。举例说 明将紧集改为闭集后结论不再成立。 7、设D 是 中的域，()f H D ∈，f 在D 中不取零值。证明：对任意0,p >有 22 222 22|()||()||()|.p p f z p f z f z x y -????'+= ????? 8、设D 是 中的域，1 ()f u iv C D =+∈。证明： 2 2 ||| |. u u x y f f v v z z x y ??????=-?????? 特别地，当()f H D ∈时，有 2 ||. u u x y f v v x y ????'=???? 9、设f 在(0,1){1}B 上全纯，并且 ((0,1))(0,1),(1)1,f B B f ?= 证明(1)0.f '≥ 10、设((0,1)),f H B ∈如果存在0(0,1)\{0}z B ∈，使得 0000|||| ()0,()0,|()|max |()|, z z f z f z f z f z ≤'≠≠=且那么000() 0. () z f z f z '> 11、证明(0,1)B 是 2 ()1z f z z = -的单叶性域，并求出 ((0,1))f B 。 12、求一单叶全纯映射，把 11(,)22B - 和11 (,)22B 的外部除去线 段[2,0]i -所成的域映为上半平面。 13、设0,(0,)r R f B r <<在中全纯。证明： （i ） 20 1(0)(); 2i f f re d πθ θπ=? （ii ）2 ||1 (0)(). z r f f z dxdy r π<= ? 14、设 u 是 (0,)B R 中的调和函数， 0.r R <<证明： 20 1(0)(). 2i u u r e d π θ θπ = ? 15 、 （ Schwarz 积 分 公 式 ） 设 ((0,) ) (( 0, f H B R C B R f ∈=+ 证明： 20 1Re ()(Re )(0). 2Re i i i z f z u d iv z θ πθ θ θπ += +-? 16、设 f 是域 D 上的连续函数，如果对于任意边界和内部都位 于D 中的弓形域G ，总有()0 G f z dz ?=? ，那么f 是D 上 的全纯函数。如果把弓形域换成圆盘，结论是否仍然成立？ 17、证明：幂级数 00 () n n n a z z ∞ =-∑在域D 上一致收敛，当且仅
复变函数与积分变换复习题+答案
复变函数与积分变换复习题汇总 一、填空题 1、31i +的三角函数表示为_____________________； i i +-12的指数函数表示为______________________； 2、=-)1ln(___________________； 3、i 有两个根，他们分别是_________________和_______________； 4、)3(3)(2323xy x i y x y z f -+-=，则=)(z f ___________________； 5、31z e z -的孤立奇点为Z=______________，其类型为_________________； 6、=-]01[Re 42，z e s z ________________； 7、)(2]1[ωπδ=g ，则=]2[cos t g __________________； 8、￡ =][0t s e ____________________; 9、n n n n z ∑∞ +313的收敛半径是_______________； 10、=+-?c z z dz 422_____________，其中C ：|z|=1 正向； 11、bi a Z +=，a 与b 是实数，且00>复变函数经典习题及答案
练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13
复变函数习题及解答
第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x
【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：
【填空题】《复变函数与积分变换》期末练习题
2020届《复变函数与积分变换》练习题 填空题 1.若 ()f z u iv =+可导，则()f z ￠ = . 2.设()t d 是单位脉冲函数，则()t d 轾=臌 . 3.复变函数3()z f z e =的周期为 . 4.曲线积分3 4sin ()z z dz z p == -ò? . 5.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 6.复变函数()z f z e =的周期为 . 7. 若()f z u iv =+可导，则()f z ￠= . 8.计算乘幂 = . 9.曲线积分24cos ()z z dz z π== -?? . 10. 已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =+ +-++，若z x iy =+，则复变函数()z f 关于变 量z 的表达式为 . 11. ()=+51i ________. 12. 当=a ________，函数)72(2)(y x i y ax z f +-++=为复平面上的一个解析函数. 13. 复数6cos 6sin π πi z +-=的指数形式为=z ________________. 14. 函数t t f 7sin )(=的Fourier 变换为________________. 18. =?+∞ -tdt e t 2cos 04________________. 19. =i 1________.
20. 当=a ________，函数)9()(y x i ay x z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 21. 复数32cos 32sin ππi z +=的指数形式为=z ________________. 22. 函数t t f 5sin )(=的Fourier 变换为________________. 23. =?+∞-tdt e t 2cos 03________________. 24.公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 25.函数()f z Lnz =的奇点之集为_____________________. 26. ()+t dt δ∞∞=?— ___________. 27.复变函数3()z f z e =的周期为 . 28.若21(1)1n n n z i n n +=++-，则lim n n z =___________. 29.设34z i =+，则2z e = . 30.函数()cos 6f t t =的傅立叶变换[cos 6]F t = . 31.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f . 32.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+，若z x iy =+，则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 33.=+i i )1(____________________. 34. 当=a _____，=b _____，函数)9()(2y x i ay bx z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 35. =-)33(i Ln _______________.
复变函数测试题及答案
第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3
７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续
复变函数试题及标准答案样本
二．判断题（每题3分，共30分） 1．n z z (在0=z解析。【】 f= z )
2．)(z f 在0z 点可微，则)(z f 在0z 解析。【 】 3．z e z f =)(是周期函数。【 】 4． 每一种幂函数在它收敛圆周上处处收敛。【 】 5． 设级数∑∞=0n n c 收敛，而||0∑∞=n n c 发散，则∑∞ =0n n n z c 收敛半径为1。【 】 6． 1tan()z 能在圆环域)0(||0+∞<<< 复变函数与积分变换(A)参照答案与评分原则 (.7.5) 一.填空(各3分) 1.3ln 2i k e +-π； 2. 三级极点 ； 3. 23z ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. e 1 ；7. 322)1(26+-s s ；8. 0； 9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[ 21++-+++-ωπδωπδωωj j 。 二.判断1.错；2.错；3.对的； 4. 错 ；5.对的 ；6.错； 7.错 ； 8. 错 ；9. 对的 ；10. 错 。 三(8分) 解：1)在2||1< 复变函数的积分习题二答案 ----------------------- Page 1----------------------- 习题二解答1．利用导数定义推出： 1 1 n n?1 ?? 1)( )' ,( ) 2 ' z nz n是正整数；）??? 2 。 z z ?? n (z +?z)n ?zn n?1 2 n?2 n?1 n?1 证 1 ）(z )' lim lim(nz +C z ?z +?z ) nz n z z ?→0 ?z ?→0 1 1 ? 1 1 1 ??z +?z z 2 ）??' lim ?lim =? 2 z ?→z 0 ?z ?→z 0 z(z +?z) z ?? 2．下列函数何处可导？何处解析？ 2 3 3 （1）f (z ) x ?i y （2 ）f (z) 2x =+3y i () 2 2 （3）f z xy +ix y （4 ）f (z) sin xchy +i cosxshy ?u ?u ?v ?v 解（1）由于2x, 0, 0, ?1 ?x ?y ?x ?y 1 ( ) 在z 平面上处处连续，且当且仅当x ? 时，u,v 才满足C-R 条件，故f z u +i v x ?i y 仅在 2 1 直线x ? 上可导，在z 平面上处处不解析。 2 ?u 2 ?u ?v ?v 2 （2 ）由于6x ，0 ，0 ， 9y ?x ?y ?x ?y 在z 平面上处处连续，且当且仅当2 2 2x 3y ,即2x ± 3y 0 时，u,v 才满足C-R 条件，故 3 3 f z u =+iv 2x =+3y i 仅在直线2x ±3y 0 上可导，在z 平面上处处不解析。 ( ) ?u 2 ?u ?v ?v 2 （3）由于y ，2xy ，2xy ，x ?x ?y ?x ?y 在z 平面上处处连续，且当且仅当z=0 时，u,v 才满足C-R 条件，故() 2 2 f z xy +i x y 仅在点z 0 处可导，在z 平面处处不解析。 ?u ?u ?v ?v （4 ）由于cosxchy ，sin xshy ， =?sin xshy ，cosxchy ?x ?y ?x 第一章 复数与复变函数 一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π -=，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 1 23+- 3．一个向量顺时针旋转3 π ，对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 4．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 5．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 6．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续 （D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 学号：____________ 姓名:______________ 班级:_____________ 二、填空题 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．复数2 2 )3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连接点 和 的线 段的垂直平分线 5．=+++→)21(lim 421z z i z 三、将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）13i -+ 四、求下列各式的值： （1）5( 3)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3）1i + 五、解方程：5 ()1z i += 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 1. 一个项目的输入输出端口是定义在 A 。 A. 实体中 B. 结构体中 C. 任何位置 D. 进程体 2. 描述项目具有逻辑功能的是 B 。 A. 实体 B. 结构体 C. 配置 D. 进程 3. 关键字ARCHITECTURE定义的是 A 。 A. 结构体 B. 进程 C. 实体 D. 配置 4. MAXPLUSII中编译VHDL源程序时要求 C 。 A.文件名和实体可以不同 B. 文件名和实体名无关 C. 文件名和实体名要相同 D . 不确定 5. 1987标准的VHDL语言对大小写是 D 。 A. 敏感的 B. 只能用小写 C. 只能用大写 D. 不敏感 6. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 A 。 A必须以英文字母开头B可以使用汉字开头C可以使用数字开D任何字符都可以 7. 关于1987标准的VHDL语言中，标识符描述正确的是 B 。 A下划线可以连用B下划线不能连用 C不能使用下划线 D可以使用任何字符 8. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. A_2 B. A+2 C. 2A D. 22 9. 符合1987VHDL标准的标识符是 A 。 A. a_2_3 B. a_____2 C. 2_2_a D. 2a 10. 不符合1987VHDL标准的标识符是 C 。 A. a_1_in B. a_in_2 C. 2_a D. asd_1 11. 不符合1987VHDL标准的标识符是 D 。 A. a2b2 B. a1b1 C. ad12 D. %50 12. VHDL语言中变量定义的位置是 D 。 A. 实体中中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 13. VHDL语言中信号定义的位置是 D 。 A. 实体中任何位置 B. 实体中特定位置 C. 结构体中任何位置 D. 结构体中特定位置 14. 变量是局部量可以写在 B 。 A. 实体中 B. 进程中 C. 线粒体 D. 种子体中 15. 变量和信号的描述正确的是 A 。 A. 变量赋值号是:= B. 信号赋值号是:= C. 变量赋值号是<= D. 二者没有区别 16. 变量和信号的描述正确的是 B A. 变量可以带出进程 B. 信号可以带出进程 C. 信号不能带出进程 D. 二者没有区别 17. 关于VHDL数据类型，正确的是 C 。 A. 数据类型不同不能进行运算 B. 数据类型相同才能进行运算 C. 数据类型相同或相符就可以运算 D. 运算与数据类型无关 18. 下面数据中属于实数的是 A 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 19. 下面数据中属于位矢量的是 D 。 A. 4.2 B. 3 C. ‘1’ D. “11011” 20. 关于VHDL数据类型，正确的是 B 。 A. 用户不能定义子类型 B. 用户可以定义子类型 C. 用户可以定义任何类型的数据 D. 前面三个答案都 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） 复变函数与积分变换 第一章 练习题 1． 计算 (1)(2) i i i --； 解：（1） 10 3) 31)(31()31(312 3) 2)(1(2 i i i i i i i i i i i i i +-= +-+= -= +-= --； （2）10 310 ) 2)(1() 2)(2(1)1)(1()2)(1() 2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-= ---= ----------= --。 2． 解方程组1212 2(1)43z z i i z iz i -=??++=-?； 解：消元法，)2()1(+?i 得：i z i 33)31(1-=+， 解得：5 63) 31)(31()31)(33(31331i i i i i i i z --= -+--= +-= ， 代入)1(得：5 1765 6322i i i z --= ---? =。 3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值； 解：]arg arctan arctan ,arctan arg ππππ，（，，三 ，二一，四 -∈??? ? ? ???? -+=z x y x y x y z ， ?? ? ???-+-= --)43s i n ()43c o s (21ππi i ； [])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-= +-ππi i 。 4 ．用复数的三角表示计算3 12?? - ? ??? 、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(2313 3 -=-+-=??? ?? -+-=??? ? ??-ππππi i i ； 3,2,1,0,424 3s i n 4243c o s 2)43s i n 43(c o s 2283 4 1 =???? ? ? ? ? +++=?? ??? ? +k k i k i ππππππ， 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1--； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3 k k +=±±； 主辐角为 4π3 ；原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为 4π i 3 2e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθθθθθθθ+==+==+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2）()1 3π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3)i n e ππ+ 1.4 已知x 为实数，求复数的实部和虚部． 【解】 令i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得 到 22 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且 ()()k k z z =，故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端 取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明：2222 12 1212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-复变函数的积分习题二答案
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