质量阶梯模型(高级宏观)

质量阶梯模型A quality ladder model (Aghion and Howitt (1992))

References: Aghion and Howitt (1992). Chapter 7 in Barro and Sala-i-Martin (2003). 1. 基本设定

最终品只有一种,中间资本品有N 种

每一种中间品质量的进步是阶梯型的;当质量改进的研发成功时,质量才会改进; 均衡时,只有最高质量的中间品才能生产.

每次质量改进的研发者都获得了生产对应质量水平中间品的垄断权。 2 最终品部门企业 i 11

N

i i

i

j j Y A L

X αα-==∑

,ij X 是第j 种中间品产品的质量调整量（Quality ladder 每种中间品从质量1开始进步,随后的质量依次为 q; q 2; q 3; ::: q > 1:

如果j 部门进行了κj 次质量改进，那么该中间品部门获得的级别是q; q 2; q 3; ::: j q κ

，

1

j q

κ+（这些改进只能按顺序出现，每次一个梯级）

j ij ij X q X κ

=

最终产品价格为1，P j 为中间品的价格 . 利润最大化：

1,1

1

max ()j

i ij

N

N

i

ij i j ij L X j j AL

q

X wL P X κα

α

-==--∑∑

F.O.C

11111j

j

i ij j ij i j AL q

X P X AL q

P ακακα

ααα

αα-----=?=

11j

j ij i j

Aq

X X L P ακα

α-??

==?

?????

∑

总产出:11111()j j N

i i i ij i i j j j

Aq Y Y AL L AL q X P α

ακα

καα

αα---=??????===?

???????

??

?

?

∑∑∑∑

3.3 中间品部门

max(1)j

j j P P X -

因此，111

max(1)max(1)j

j j

j j j j P P j Aq P X P L P P ακα

αα

-??

-?-?=

?

?????

生产任何一单位中间品需要一单位最终产品，中间品的边际成本为1对于不同质量（最

新的创新者对本部门之前的创新者具有比较优势，而对未来的创新者具表现出劣势）

因此制造的中间品数量为:21/11()j

j X A q L ακα

αα--=

企业的利润为：

21/1111

21111()(1)()

1j

j

j j X A q L q A L

ακακα

αα

α

αα

πκαπαααπαα

------=-==-=

π可以看作为基本利润，相当于质量水平为0j κ=（如果人口不变。利润就恒定了）

利润随质量提高而上升。

尽管垄断权对于一项发明是永久的，但当竞争者带来了新的质量改进时，该垄断的价值为0。令j t κ为第j κ次质量改进的开始时间，而且1j t κ+为竞争者下次改进的时间。第j κ次创新保持其质量先进的时间区间为1()j j j T t t κκκ+=-

因此，从时间点j t κ看，第j κ次质量改进者获得的全部利润的净现值为：

1

()()()v

t j j j

r w dw

t j j t V e

dv κκκκπκ+-

?=?

如果利率不变的话，那么：

()

()(){1}/j rT j j V e

r κκπκ-=- 1

4 消费者

11()1c u c θθ

--=-

人口不增加，消费者的问题为：

().:t u c e dt

s t a w ra c ρ∞

-=+-?

&

c

r c ρθ

-=

& 5 质量指数

总产出：

21211112111

()

()

j

j

j

N

j N

j Y AL q

A q L A L q ακαακαα

α

αακαα

α

αα---=--===∑∑

质量指数：11

j N

j Q q

ακα

-==

∑

1

1()

Y A LQ αα

α-=

中间品总量为：11()X A LQ αα

α-=（对21/11()j

j X A q L ακααα--=加总）

6 研发部门

当质量为j κ时，部门j 中单位时间成功创新的概率为()j p κ。（Let ()j p κbe the probability of success per unit time of a successful innovation in j when state of art is j κ）（也就是

()j p κ是其他研究者将部门j 质量水平从j κ提高到1j κ+的单位时间概率，该概率取决于

研究工作，我们稍后讨论。在此，我们将其看为一个给定的数据，所以现在垄断失去垄

断者地位的概率符合泊松过程Poisson 过程）1

垄断者失去垄断地位的概率()j p t

e κ-是时间的函数，因此保留垄断者保留垄断地位的

概率1-()j p t

e

κ-）

为了获得将垄断者关于研发成功的价值，我们需要关于垄断地位的持续时间()j T κ的概率密度函数。将()G τ定义为在时期()j T κ内累积的概率，即()j T κτ≤的概率。()G τ表明垄断保持到τ时刻的概率（到τ时刻发生创新的概率，创新在τ时刻发生的概率为1-()G τ。在创新没有发生条件下，单位时间出现创新的概率为()j p κ。因此

()1

e x p (()j G p τκτ=--?

1

Poisson 过程（Poisson process ，大陆译泊松过程、普阿松过程等，台译卜瓦松過程、布瓦松過程、布

阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法国数学家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松过程是

随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个随机过程 N (t ) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件： ? 在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。

? 在区间内发生的事件的数目的概率分布为：

其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate ）或强度（intensity ）。所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变量呈现泊松分布，其参数为。泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得 ? 在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事

件数，这两个随机变量是独立的。

?

在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。）

概率密度函数()'()()exp ()j j g G p p ττκκτ??==?-??? 垄断者研发成功的价值为：

()0

()(1)()()

j j p j

j

r j j E V e

p e

d r

r p κκτ

κκτ

ππκτκ∞

-?-=

-=+?

经济学含义：()()

()

j

j j j p E V r E V κκκπκ-=

市场收益率等于研发收益率。()j E V κ是发明的市场价值，相当于资本的价值。等式右边的研发收益包括当前受到收益减去当前的资本的预期损失()()j j p E V κκ，该损失来源于下

一次存在的创新的概率。（注：如果没有创新，则发明的收益率为

()

j j

E V κκπ=

资本的收益

资本的市场价格

，必然等于利率）。另外，失去垄断单位的概率和利率r 相

结合可得到一个实际的贴现率。

根据前面的j κπ表达式，/1()/(())j j j E V q

r p κκαα

πκ-=?+

研发技术：

我们假设研发成功的概率为()()()j j j p Z κκφκ=?。()j φκ为研发的投入成本。 自由进入的假设：研发部门的利润为0，则：

(1)

1()(1)()

()()(1)10()(1)10(1)()j j j j j j j j j j j p EV Z p EV EV r p q

ακα

κκκκφκκφκκκφκπ--?+=????+-=?+-=?????++=

假设： (1)11

()j j q

ακα

φκξ

+-

-=

()j φκ最简单的形式为是，研发成功的概率恰好和下一梯级位置1j κ+上的产出负相关，

因此，1

(1)j r p κπξ

++=

上式表明，对各部门而言，单位时间研发成功的概率是相同的，与质量阶梯的位置无关，而且该概率由下式决定： 1

p r πξ

=

-

如果利率不变的话，则p 也不变。 研发的总投入

j 部门的研发投入为

(1)

1(1)11

()()1

j j j r

p

Z r q

q

ακα

ακα

πξ

κπξφ

ξ

+-+-

--=

=

=-

成功概率对于所有部门都相同。 总的研发支出为：

/11()()N

j j Z Z q Q r αακπξ-===??-∑

/11

j N

j Q q

καα

-=≡∑是总质量指标。

经济体的总约束 Y C X Z =++ Y.X.Z(121()Y A LQ αα

α

-=;中间品总量为121()

X A LQ αα

α-=);/1()Z q Q r ααπξ-=??-)

都是关于Q 的线性函数。进而，C 也是Q 的线性函数。因此，所有这些变量在增长率都等于Q 的增长率，

Q

Y C X Z Q Y C X Z γ=====&&&&& 1C

p C πγρθξ

??==?--

???

& 因为研发成功的概率是内生的，所以该式并没有给出模型的最终解。为得到关于增长的最终解，我们必须解释质量指标Q 的行为 总质量指标的行为和内生增长 在部门j 中，/1j q

καα

-项在没有创新出现时没有变化，但在研发成功时则会提高到

(1)/1j q

καα

+-，成功的单位时间概率为p.因为p 对所有部门都一样，所以单位时间内Q 的

预期变化为：

{

}

{

}(1)/1/11

/1/1/11

()11j j j N

j N

j E Q p q

q

p q q

p q

Q

καα

καα

καα

αα

αα

+--=---=?=?-????=-?=-?????∑∑

Q 在单位时间内的预期变化比例为

/1(

)1Q E p q Q

αα

-???=-??

如果部门总数足够大，那么大数法则表明2，在有限的时间段内，Q 的平均增长率将趋近于上式的右边。特别地，我们假定N 足够大，以确保我们可以将Q 看作是可微的，

并且假定Q 的变化并非随机的，Q

Q

&就等于上式的右边。

/1/11111()p q r q p r αα

ααγππξξ--??=-??

????=--=-??????Q 这表明增长率是利率的负函数。

由于C r C ργθ-==&因此，

/111r r q ααρ

πθ

ξ-??-??=--??????

， 得：

/1/1111q r q αα

αα

πρθ

ξθ--??+-?

?=??+-??

， 增长率为：

/1/1111q q αααα

πρξγθ--????--??????=??+-??

成功的概率

/111p q

αα

π

ρξ

θ--=

??+-??

同样不存在转移动态。

2

大数定律又称大数法则、大数率，是个数学与统计学的概念，意指数量越多，则其平均就越趋近期望值。人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。 切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理和伯努利大数定理都概括了这一现象，都称为大数定律。