2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(二)(全国)(有答案解析)

2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷（二）（全国）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.如果复数（a∈R，i为虚数单位）的实部与虚部相等，则a的值为（）

A. 1

B. -1

C. 3

D. -3

2.若A={0，1，2}，B={x|x=2a，a∈A}，则A∪B=（）

A. {0，1，2}

B. {0，1，2，3}

C. {0，1，2，4}

D. {1，2，4}

3.向量，，若的夹角为钝角，则t的范围是（）

A. t＜

B. t＞

C. t＜且t≠﹣6

D. t＜﹣6

4.直线kx-2y+1=0与圆的位置关系是（）

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 不确定

5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，

则不同的选法共有（）

A. 60种

B. 70种

C. 75种

D. 150种

6.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是

（）

A. B.

C. D.

7.下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x=对称的是（）

A. y=2sin（2x+）

B. y=2sin（2x-）

C. y=2sin（+）

D. y=2sin（2x-）

8.我国古代名著《庄子?天下篇》中有一句名言“一尺

之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木

棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此

规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取

20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可

分别填入的是（）

A.

B.

C.

D.

9.已知α是第二象限角，且的值为（）

A. B. C. D.

10.已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）

A. B. C. D.

11.已知抛物线x2=4y焦点为F，经过F的直线交抛物线与A（x1，y1），B（x2，y2），

点A、B在抛物线准线上的投影分别为A1，B1，以下四个结论：①x1x2=-4，

②|AB|=y1+y2+1，③，④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，

其中正确的个数为（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

12.已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，

则实数a的取值范围为（）

A. （-∞，e]

B. （-∞，e）

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为__________(用数字填写答案)．

14.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2c sin A，c=，且

△ABC的面积为，则a+b=______．

15.如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按

下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

（1）每次只能移动一个金属片；

（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放

在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n）；

①f（3）=______；

②f（n）=______．

16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是，

，C（0，1，0），，则该四面体的外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.设数列满足，.

（1）求证是等比数列，并求；

（2）求数列的前项和.

18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽

取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图

（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）

（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布N（u，σ2）（u=u0，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%．

（i）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）

（ii）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y，求Y的分布列及数学期望E（Y）．

（说明：P表示X＞x1的概率．参考数据φ（0.7257）=0.6，φ

（0.6554）=0.4）

19.如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证：MN平面PCD;

（2）若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为,求二面角N-MD-C的正弦值.

20.动点M（x，y）满足．

（1）求M的轨迹并给出标准方程；

（2）已知，直线y=kx-k交M的轨迹于A，B两点，设且1＜λ＜2，求k的取值范围．

21.已知函数，，（a∈R）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数g（x）有两个极值点，试判断函数g（x）的零点个数．

22.以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线C1的方程为（x-1）2+y2=1，

C2的方程为x+y=3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线．

（1）求C1与C2的极坐标方程；

（2）若C1与C3的一个公共点为A（异于点O），C2与C3的一个公共点为B，求|OA|-的取值范围．

23.已知a，b，c均为正实数，且，证明；

已知a，b，c均为正实数，且，证明．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：复数==，复数的实部与虚部相等，所以1-a=-2a+1，

解得a=-3，

故选：D．

求出复数的代数形式，根据复数的实部与虚部相等列出方程，解方程即可得到a的

值．

本题考查了复数的代数形式的乘除运算，考查计算能力，属于基础题．

2.答案：C

解析：【分析】

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用．

根据A求出B，由此利用并集的定义能求出A∪B．

【解答】

解：∵A={0，1，2}，

B={x|x=2a，a∈A}=，

则A∪B={0，1，2，4}，

故选：C．

3.答案：C

解析：解：；

∵与的夹角为钝角；

∴，且不平行；

∴；

∴，且t≠-6．

故选：C．

可先求出，根据，的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出t的范围即可．

考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，向量坐标的数量积运算，以及平行向量的坐标关系．

4.答案：A

解析：【分析】

根据直线过圆内的定点（0，）可得．

本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．

【解答】

解：因为直线kx-2y+1=0过定点（0，），且0+（）2＜1，

所以点（0，）在圆内，故直线与圆恒相交．

故选：A．

5.答案：C

解析：【分析】

本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．

根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，

再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，

则不同的选法共有15×5=75种.

故选C．

6.答案：B

解析：解：几何体为四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，

底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且

PA=AB=BC=2，AD=4．

∴S△PAD==4，S△PAB==2，

S梯形ABCD==6，

由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC，PA⊥CD，

又BC⊥AB，PA∩AB=A，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB，

∵PA=AB=2，故PB=2，

∴S△PBC==2，

连接AC，则AC=2，∠CAD=∠BAC=45°，

∴CD==2，∴AC2+CD2=AD2，

∴CD⊥AC，又CD⊥PA，PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，于是CD⊥PC，

又PC==2，∴S△PCD==2．

故四棱锥的表面积为S=4+2+6+2+2=12+2+2．

故选：B．

作出直观图，根据三视图中的尺寸计算各个面的面积．

本题考查了棱锥的三视图与表面积计算，属于中档题．

7.答案：B

解析：解：C的周期T==4π，不满足条件．

当x=时，A，y=2sin（2×+=2sinπ=0≠±2，

B．y=2sin（2×-）=2sin=2，

D．y=2sin（2×-=2sin≠±2，

故满足条件的是B，

故选：B．

根据函数的周期性和对称性分别进行判断即可．

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用对称性和周期性的定义和公式是解决本题的关键．

8.答案：D

解析：解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第20次剩下，

可得①为i≤20？

②s=，

③i=i+1，

故选：D．

由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第20次剩下，结合程序框图即可

得出答案．

本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键，属于基础题．

9.答案：C

解析：解：由sin（π+α）=-sinα=-，得到sinα=，又α是第二象限角，

所以cosα=-=-，tanα=-，

则tan2α===-．

故选：C．

根据诱导公式由已知的等式求出sinα的值，然后由α是第二象限角得到cosα小于0，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值，进而求出tanα的值，把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tanα的值代入即可求出值．

此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，是一道基础题．

10.答案：B

解析：解：设

则g′（x）=

∴g（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数

∴g（x）＜g（0）=0

∴f（x）=＜0

得：x＞0或-1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，

又f（x）=中，，能排除D．

故选：B．

考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明

本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题

11.答案：C

解析：解：抛物线x2=4y焦点为F（0，1），准线

方程为y=-1，

可设过F的直线方程为y=kx+1，

代入抛物线方程可得x2-4kx-4=0，

即有x1+x2=4k，x1x2=-4，

|AB|=y1+y2+2；

AB的中点纵坐标为（y1+y2）=[k（x1+x2）+2]=1+2k2，

AB的中点到抛物线的准线的距离为2k2+2，k=0时，取得最小值2；

由F（0，1），A1（x1，-1），B1（x2，-1），

可得k?k=?==-1，

即有，

综上可得①③④正确，②错误．

故选：C．

求得人品微信的焦点和准线方程，设过F的直线方程为y=kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及弦长公式，以及中点坐标公式，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，二次函数的最值求法，即可判断．

本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．

12.答案：D

解析：【分析】

本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．

根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x-ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可.

【解答】

解：∵x∈（0，+∞），

∴x1f（x1）＜x2f（x2）．

即函数g（x）=xf（x）=e x-ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数．

则g′（x）=e x-2ax≥0在x∈（0，+∞）恒成立．

∴2a≤，

令，

则，

x∈（0，1）时m'（x）＜0，m（x）单调递减，

x∈（1，+∞）时m'（x）＞0，m（x）单调递增，

∴2a≤m（x）min=m（1）=e，

∴．

故选：D．

13.答案：40

解析：【分析】

本题考查了二项式定理及分类讨论思想，属中档题.

由二项式定理及分类讨论思想得：（2x-y）5的展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-y）r，则（x+y）（2x-y）5的展开式中x3y3的系数为-22+=40，得解.

【解答】

解：由（2x-y）5的展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-y）r，

则（x+y）（2x-y）5的展开式中x3y3的系数为-22+=40，

故答案为40.

14.答案：5

解析：解：∵a=2c sin A，∴sin A=2sin C sin A，∴sin C=．

∵S△ABC==ab=，∴ab=6．

∵△ABC是锐角三角形，∴cos C=，

由余弦定理得：cos C====，

解得a+b=5．

故答案为：5．

利用正弦定理将边化角求出sin C，根据面积公式求出ab，代入余弦定理得出（a+b）的值．

本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．

15.答案：7 2n-1

解析：解：设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数

n=1时，h（1）=1；

n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=22-1；

n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，

h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1，

h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1，

…

以此类推，h（n）=h（n-1）×h（n-1）+1=2n-1，

故答案为：7；2n-1．

根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．

本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．

16.答案：

解析：解：由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD==3，

可得四面体的外接球的半径R=，

可得四面体的外接球的体积为V=π?（）3=．

故答案为：．

由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积

本题考查四面体的外接球的体积，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于基础题．

17.答案：解：（1）数列{a n}满足a n+1=，

所以：，

故：（常数），

故：数列{a n}是以a1-3=4-3=1为首项，为公比的等比数列．

则：，

故：（首项符合通项）．

（2）由于：，

故：，

=，

=．

解析：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．

（2）利用（1）的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

18.答案：解：（1）

u0=65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.0 3≈103．

（2）（i）设本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩为x1，

则P（x＞x1）=1-φ（）=0.4，

∴φ（）=0.6，∴=0.7257，解得x1≈117．

∴本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是117分．

（ii）由题意可知Y～B（4，），∴P（Y=k）=?（）k（1-）4-k，k=0，1，2，3，4．

Y 0 1 2 3 4

P

∴E（Y）=4×=．

解析：（1）根据加权平均数公式计算；

（2）（i）令=0.7257计算x1的值；

（ii）根据二项分布的概率公式得出Y的分布列和数学期望．

本题考查了频率分布直方图，二项分布列与数学期望，属于中档题．

19.答案：解：（1）证明：如图，取PD中点E，连接EN，AE．

∵M，N，E为中点，

∴EN∥CD∥AM，EN==AM，

∴AMNE是平行四边形，

∴MN∥AE，

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD，

又∵CD⊥AD，PA AD=A,PA平面PAD,AD平面PAD，

∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，

∴CD⊥AE，

∵PA=AD，E为中点，

∴AE⊥PD，PD CD=D,PD平面PCD,CD平面PCD,

∴AE⊥平面PCD，

∴MN⊥平面PCD；

（2）建立如图所示坐标系，

设PA=AD=2，AB=2t，

则A（0，0，0），B（2t，0，0），C（2t，2，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），

M（t，0，0），N（t，1，1）．

∴，

∵直线PB与平面PCD所成角的正弦值为，

且由（1）知MN⊥面PCD，

∴，解得t=2．

∴M（2，0，0），N（2，1，1），

，，

设平面NMD，

由

得，

取，

∵AP⊥面CMD，，

设二面角N-MD-C为θ，θ为锐角，

则=，

∴．

∴二面角N-MD-C的正弦值为．

解析：（1）取PD的中点E，则AMNE为平行四边形，然后去证AE⊥平面PCD，进而得MN⊥平面PCD；

（2）以A为原点建立空间坐标系，利用直线PB与平面PCD所成角，可确定各点的坐标，进而通过公式求得二面角的余弦值，正弦值．

此题考查了线面垂直，二面角的向量求法，难度适中．

20.答案：解：（1）由动点M（x，y）满足，

可得动点M到点（2，0），（-2，0）的距离之和为常数，且4＜6，

故点M的轨迹为椭圆，且2c=4，2a=6，

则a=3，c=2，

则b2=a2-c2=9-8=1，

故椭圆的方程为+y2=1．

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程组，消y可得（9k2+1）x2-36k2x+9（8k2-1）=0，

则△=（-36k2）2-36（8k2-1）（9k2+1）=36（k2+1）＞0，

∴x1=，x2=

∵，

∴（2-x1，-y1）=λ（x2-2，y2），

∴2-x1=λ（x2-2），

∴2-=λ（-2），

即3+2=λ（3-2）

令3=t，

∴t+2=λ（t-2），

∴t==2（1+），

∵t=2（1+）在λ∈（1，2）上为减函数，

∴t∈（6，+∞），

∴3＞6，

∴k2＞7，

∴k＞或k＜-，

故k的范围为（-∞，-）∪（，+∞）．

解析：（1）根据题意可得故点M的轨迹为椭圆，且2c=4，2a=6，即可求出标准方程，

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），求出x1，x2，根据可得3+2=λ（3-2），令3=t，可得t=2（1+），根据函数的单调性即可求出

t的范围，则可求出k的范围．

本题考查圆锥曲线的性质和综合应用，考查向量知识的运用，函数的单调性，属于中档题．

21.答案：解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），，

当x∈（0，1）时：f'（x）＞0，所以f（x）单调递增；

当x∈（1，+∞）时：f'（x）＜0，所以f（x）单调递减；

（2）由题意得：g'（x）=ln x+1-ax=0有两个不同的零点，即有两个不同的根设

为x1＜x2；

由（1）得，当x∈（0，1）时f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时f（x）单

调递减；

有，f（1）=1当x∈（1，+∞）时f（x）＞0，所以a∈（0，1）时有0＜x1＜1＜x2使，且函数g（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递减，在（x1，

x2）单调递增，

现只需比较g（x1），g（x2）的正负进而确定零点个数．

有且；且

令则

所以函数h（t）在（0，+∞）上单调增，所以0＜x1＜1时g（x1）=h（x1）＜h（1）=0，x2＞1时g（x2）=h（x2）＞h（1）=0

又x→0时，x→+∞时g（x）→-∞，

所以函数有三个零点．

解析：（1）先确定f（x）的定义域，通过求导数解出其单调区间；

（2）利用函数g（x）有极值，判断a的取值范围，进而确定极值点的大小关系，得到g（x）的单调区间，最后通过极值g（x1），g（x2）的正负判断出零点的个数．

本题主要考查函数的单调性、极值、零点等概念，合理转化是解题的关键，属于较难题目．

22.答案：解：（1）曲线曲线C1的方程为（x-1）2+y2=1，

转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．

C2的方程为x+y=3，转换为极坐标方程为：

．

（2）C3是一条过原点且斜率为正值的直线，

C3的极坐标方程为θ=α，

联立C1与C3的极坐标方程，

得ρ=2cosα，

即|OA|=2cosα．

联立C1与C2的极坐标方程，

得，

即

所以：=

又，

所以．

解析：（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．

本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

23.答案：证明：（1）因为a，b，c均为正实数,

++=++

=++1+++1+++1

=++++++3≥9，当a=b=c时等号成立；

（2）因为a，b，c均为正实数,

++=（+++++）≥×（2+2+2），

又因为abc=1，所以=c，=b，=a，

∴．

当a=b=c时等号成立，即原不等式成立．

解析：（1）根据a+b+c=1，利用基本不等式即可证明；

（2）根据++=（+++++），利用基本不等式即可证明．

本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．