数据包络理论案例分析

数据包络理论案例分析

题目管理中不确定型决策方法及案例分析

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数据包络理论案例分析

摘要：DEA 是一个线性规划模型，表示为产出对投入的比率。通过对一个特定单位的效率和一组提供相同服务的类似单位的绩效的比较，它试图使服务单位的效率最大化。在这个过程中，获得100%效率的一些单位被称为相对有效率单位，而另外的效率评分低于100%的单位被称为无效率单位。这样，企业管理者就能运用DEA 来比较一组服务单位，识别相对无效率单位，衡量无效率的严重性，并通过对无效率和有效率单位的比较，发现降低无效率的方法。本文旨在介绍DEA 理论,并用一个管理学的实际案例来模拟上述理论。

关键词：数据包络、 DEA 、线性规划

一．引言

数据包络分析 (Data Envelopment Ana lysis ，简称D EA ）方法是运用数学工具评价经济系统生产前沿面有效性的非参数方法，它适应用于多投入多产出的多目标决策单元的绩效评价。这种方法以相对效率为基础，根据多指标投入与多指标产出对相同类型的决策单元进行相对有效性评价。数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域。它不需要以参数形式规定生产前沿函数，并且允许生产前沿函数可以因为单位的不同而不同，不需要弄清楚各个评价决策单元的输入与输出之间的关联方式，只需要最终用极值的方法，以相对效益这个变量作为总体上的衡量标准。

二．数据包络法的预备知识

1.基础知识

（1）决策单元(DMU)：我们把具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。

（2）投入指标：指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。

（3）产出指标：指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。

（4）指标数据：指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。

2.R C 2模型预备知识

设有n 个部门(企业)，称为n 个决策单元，每个决策单元都有p 种投入和q 种产出，分别用不同的经济指标表示。这样，由n 个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统，可以做如下表示：

设：n 个决策单元( j n ,...3,2,1)，每个决策单元有相同的p 项投入(输入)(

p i ,...,2,1=)，每个决策单元有相同的 q 项产出(输出)(r = 1，2，…，q )

ij x ——第j 决策单元的第i 项投入 rj

y ——第j 决策单元的第r 项产出

n k x

v y u

x v x v y u y u h p i ik

i

q

j jk

j

pk

p k qk q k k ,,2,1,1

11111 =??=

?++??++?=

∑∑== (1)

即：效率指标

k h 等于产出加权之和除以投入加权之和，表示第k 个决策单元多指标

投入和多指标产出所取得的经济效率。可以适当地选择权系数u 、v ，使得k h 1≤,建立评

价第

0k 个决策单元相对有效性的R C 2模型。

设第

0k 个决策单元的投入向量和产出向量分别为：

T qk k k T pk k k y y y Y x x x X ),,,(,),,,(000000210210 ==

效率指标

00k h h =,在效率评价指标1≤k h (k=1,2,…，n)的约束条件下，选择一组

最优权系数 U 和V ，使得

0h 达到最大值，构造优化模型(分式规划) 0

000000

221122111

10pk p k k qk q k k p

i ik i

q

j jk j

x v x v x v y u y u y u x v

y u

h Max ?++?+??++?+?=??=

∑∑== (2)

?????????==≥=≤?++?+??++?+?=??∑∑==p

i q j v u n k x v x v x v y u y u y u x v y u t s i j pk

p k k qk q k k p

i ik

i q

j jk j ,,2,1;,,2,1,0,),,2,1(,1..2211221111 上述模型中

ik x ,rk y 为已知数(可由历史资料或预测数据得到)，i v ,i u 为变量。模型的含义是以权系数

j v ,

j

u 为变量，以

0h 所有决策单元的效率指标为约束，以第0k 个决策单

元的效率指数为目标。即评价第0k 个决策单元的生产效率是否有效，是相对于其他所有决

策单元而言的。

)(,),,,(,),,,(2121P y y y Y x x x X T qk k k k T pk k k k 则有矩阵形式记 ==

0X V Y U h M a x T

T ??= (3) ??

?

??≥=≤??0,),,2,1(,1..V U n k X V Y U t s k T k

T 作Charnes-Cooper 变换，转化为一个等价的线性规划模型。

μω=?=??=

U t V t X V t T

,,1

?=??=??=??T

T T T

T Y U t Y U t X V Y U μ000

0)(k

T

k

T k T

k T k T k T k T k T X Y X V t Y U t X V t Y U t X V Y U ??=????=????=??ωμ)()( 0≥?-?k T k T Y X μω即

1)(0

000=??=??=??=?X V X V X V t X V t X T T T

T

T

ω

三．数据包络法的步骤

1.确定评价目的

例如我们的目的是为了评价学校的办学效益，则“教师人数”可当作系统输入，若为了评价学校的发展情况，则“教师人数”应作为系统输出。这里所说的“评价”是广义的，它也可能是其他系统分析内容对系统进行的预测、预警以及对系统进行的控制。

2.选择DMU(参考集)

(1) 用DMU 的物理背景来判别。即DMU 具有相同的环境、相同的输入和相同的任务(相同的残品和服务内容)等。

(2) 用DMU 活动的时间间隔来构造。

(3) 通常认为参考元素的个数不少于输入、输出指标总数的二倍为好，例如有6个输入、7个输出时，参考集中的DMU 个数宜不少于26。

(4) 如果将较多的DMU 放在一起组成一个参考集时，“同类型”反映得不够充分。但若将它们按一定特性分成几个子集，则我们可以分别对每个子集进行DMU 分析，再将分析结果或者独立地或者综合地进行再分析。

3.建立输入输出指标体系

(1) 要考虑到能够实现评价目的，也就是说输入向量与输出向量的选择要服务、服务于我们确定的评价目的。

(2) 要能全面反映评价目的。一般来说，一个评价目的需要多个输入和多个输出才能

较为全面的描述。缺少某个或某些指标常会使评价目的不能完整地得以实现。

(3) 要考虑到输入向量、输出向量之间的联系。

(4) 要考虑输入输出指标体系的多样性。一个常用的方法就是我们可以在实现评价目的的大前提下，设计多个输入输出指标体系，在对各体系进行DEA 分析后，将分析结果放在一起进行比较分析。

4．DEA 模型的选择

(1) 是选用基于输入的DEA 模型，还是选用基于输出的DEA 模型，这主要看对输入(出)指标的可控性和可处理性。

(2) 由于具有非阿基米德无穷小的DEA 模型在判定DMU 是否为(弱)DEA 有效以及将原来无效的DMU “投影”到相对有效面上均有方面之处。

(3) 就有效性本身而言, R C 2

模型是同时针对规模有效性和技术有效性而言的“总体”有效性，而2

2GS C 模型只能评价技术有效性。此外，

R C 2模型的生产可能集为闭凸锥，并且是建立在规模收益不变的假设下，而2

2GS C 模型则反映了规模收益可变的情况下，对

应的生产可能集仅为凸集。

(4) 如果生产可能集为凸锥、输入、输出指标数目较多，特别是由于决策者对输入、输出指标之间的相对重要性有所规定(契约、限制、偏好)，并要在评价中对此规定有所体现，

选用具有锥结构的WH C 2

模型就比较适合了。

(5) 为了得到不同侧面的评价信息，在可能情况下，尽量选用不同类型的DEA 模型同时进行分析，再把分析结果相互比较，使结果更全面、更深刻、更准确。

5．评价工作的设计与表述

(1) 确定各DMU 的DEA 有效性；

(2) 了解各DMU 的相对规模收益情况； (3) 确定相对有效生产前沿面；

(4) 确定各DMU 在有效生产前沿面上的“投影”;

(5) 分析各DMU 的相对有效性与各输入(输出)指标间的关系； (6) 各DMU 之间相对有效性的关系；

(7) 不同指标体系对各DMU 相对有效性的影响； (8) 其他。

四． 数据包络模型（又称为DEA 模型）描述

数据包络分析(DEA)由美国著名运筹学家A. Charnes 等人在1978年以相对效率概念为基础发展起来的一种新的绩效评价方法。这种方法是以决策单元(Decision Making Unit ，简称DMU)的投入、产出指标的权重系数为变量，借助于数学规划模型将决策单元投影到DEA 生产前沿面上，通过比较决策单元偏离DEA 生产前沿面的程度来对被评价决策单元的相对有效性进行综合绩效评价。其基本思路是: 通过对投入产出数据的综合分析，得出每个DMU 综合相对效率的数量指标，确定各DMU 是否为DEA 有效。下面我们先描述DEA 模型。

假设有n 个待评价的对象 (又称之为n 个决策单元DMU )，每个决策单元都有m 种类型的投入及s 种类型的产出，它们所对应的权重向量分别记为:

，

。这n个决策单元中第j个的投入和产出量用向量分别记作：

其中：为第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量，为第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量，且，；为第i种输入指标的权重系数，

为第r种产出指标的权重系数，且，。则每个决策单元DMU投入与产出比的相对效率评价指数如下:

通过适当选取权重向量V和U的值，使对每个j，均满足。现对某第个决

策单元进行绩效评价，则以第个决策单元的效率指数为目标，以所有的待评的决策单元

的效率指数为约束，第个决策单元简记为，故可以得到一般的DEA优化模型如下:

上面的模型是分式规划规划问题模型，为了方便计算，通过适当的变换，我们可以将

其化为一个等价的线性规划数学模型，并且引进阿基米德穷小量（在实数范围内表示

的是大于0但小于任意正数的量），构成了具有非阿基米德无穷小量的的模型。它的对偶线性规划问题模型如下：

其中：，，均为对偶变量，m维单位向量，s维单位向量，和均松弛变量，

，

。

模型是假定生产技术是固定规模报酬的。后来，Banker，Chames and C ooper又对模型进行推广，他们把固定规模报酬假设改为非递增规模报，则在上述的DEA模型的基础上需增加一个约束条件:。在此假设下非递增规模报酬时的技术效率为。如果我们把固定规模报酬假设改为可变规模报酬(variable Returns to Scale，简记VRS)，则DEA模型中的上述约束条件应改为：。从而得到的如下新的DEA模型：

线性规划模型在可变规模报酬(V RS)条件下求得的相对效率称为纯技术效率

CRS假设条件下得到的相对效率称为技术效率，又称为总体效率，它是规模效率与纯技术效率的乘积。因此，可以根据C2R模型（4-3）和V RS模型（4-4）来确定规模效率。

模型（4-3）表明，当第j0个决策单元产出Y0保持不变的情况下，应尽量保证投入量X0按照同一比例减少。假设上述规划问题模型（4-3）求得最优解为，

则有，若，且，则称被评价决策单元相对于其它决策单元而

言DEA有效，此时该决策单元既满足技术有效又满足规模有效；若，但

不同时等于零向量，则称被评价决策单元为弱DEA有效，这时该被评价的决策单元不是同

时技术有效和规模有效，此时需要应用V RS模型（4-4）进一步进行计算；如果，则称此被评价的决策单元为非DEA有效。

值得注意的是，V RS模型（4-4）是在对C2R模型（4-3）计算的基础上进行的分析，用以确定是否为纯技术有效。由于总体效率表现为规模效率和纯技术效率之积，根据上述的分析并通过模型（4-3）和（4-4）容易求得规模效率值。

另外，对于非DEA有效的决策单元，需要通过进一步的分析讨论并求出被评价的决策单元DMU在DEA相对于有效面上的投影（即新决策单元），则新决策单元相对于原来的决

策单元而言是DEA有效的。设为第j0个决策单元对应于在DEA的相对有效面上的投影，则它们之间的转换关系可以表示为如下公式：

根据上述公式（4-5），可以求得各个非DEA 有效的决策单元相对于某有效决策而言，在保持其产出量不变的情况下，可以计算出对各项指标的投入量进行相应的的调整量。并且可以对相应的财务绩效上存在不足的决策单元相对于DEA 有效的决策单元而言给出针对性的管理建议。

五．数据包络法的案例

例题：已知甲、乙、丙三个同行企业，为评价其相对生产率，取投入要素为固定资产K(亿元)和职工人数L(千人)，产出项目为净产值Y(亿元)，有关数据如表一，试比较它们的有效性。

解：(1)甲企业对应的DEA 模型为：

?=D V min

???????≥≥≥=≥=-++=+++=++++--+

-

-.

0,0,0,3,2,1,05

84547345.135.1..321332123211321s s s j s s s t s j

λλλλθλλλθλλλ 最优解为：

().0,15.0,

93.0,0,25.1,003020100=====+

--s s s T θλ

由于

甲企业不是DEA 有效。

(2)乙企业对应的DEA 模型为：?=D

V min

???????≥≥≥=≥=-++=+++=++++--+

-

-.

0,0,0,3,2,1,04

845373435.1..321332123211321s s s j s s s t s j

λλλλθλλλθ

λλλ 最优解为：

()0,1,0,1,003020100=====+

--s s s T θλ

可知，乙企业是DEA 有效。 (3)丙企业对应的DEA 模型为：

?=D V min

,

10<θ

???????≥≥≥=≥=-++=+++=++++--+

-

-.

0,0,0,3,2,1,08

8457734335.1..321332123211321s s s j s s s t s j

λλλλθ

λλλθλλλ 最优解为：

()0,57.0,85.0,0,2,003020100=====+

--s s s T θλ

由于 丙企业不是DEA 有效。

上述计算结果表明，乙企业的相对生产率最高，丙企业的相对生产率最低。

六．数据包络法的应用

DEA 的优点吸引了众多的应用者，应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行、基地维修与保养，以及陆军征兵、城市、银行等方面．目前，这一方法应用的领域正在不断地扩大．它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何（例如建立新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)．DEA 模型甚至可以用来进行政策评价。

自从数据包络法提出至今，其应用范围日渐广泛。例如它被广泛应用于学校、医院、铁路、银行等公共服务部门的运行效率的评估实证研究。DEA 作一种新的效率评估方法，与以前的传统方法相比有很多优点。首先，DEA 方法可以用于对具有多投入、多产出的多个决策单元的生产(或经营)绩效性进行评价，而且应用时可以避免像传统方法那样因为各指标量纲的不同而寻求权重因素所带来的诸多困难，其评价结果相对而言比较客观；其次，DEA 模型中投入、产出指标的权重可以建立数学规划模型，然后根据实际的数据而产生，而不是事先给定投入与产出的权重权重系数，因此它不受人为主观因素的影响，可避免在权重的分配时评价者的主观意愿对评价结果的造成人为的影响。

另外，数据包络法是一种典型的非参数估计方法，应用该方法评价时无须设定评价函数的具体形式，投入产出采用隐函数的形式表示，不同决策单元的评价函数其参数可以变动，针对各个决策单元都将通过数学规划模型的手段给出最优的投入产出函数，从而利用计算简化。数据包络法评价的是决策单元的相对有效性，其生产前沿面可以看成是最优决策单元的投入与产出所组成的一个包络面，如果对应被评价的决策单元在该生产前面上，则称之为DEA 有效，否则，称之为非DEA 有效。

七．数据包络法的优缺点

1.数据包络法的优点

数据包络分析的综合评价作用数据包络分析是一种统计分析的新方法，它可以研究具有多个输入的生产系统，特别是具有多个输出的生产系统，运用数学规划模型对其进行综合评价，即从技术经济角度考察企业在一定的投入水平上，是否达到相对最大的产出水平，也就是评价企业的生产管理水平是否达到有效生产前沿面，为企业系统提供一个崭新的有效性评价方法，并且能定量地指出非有效的原因和程度，为企业决策提供多种有用的信息。

以决策单元(DM U )各输入输出的权重向量为变量，从最有利于决策的角度进行评价，从而避免了人为因素确定各指标的权重而使得研究结果的客观性收到影响。这种方法采用数学规划模型，对所有决策单元的输出都“一视同仁”。这些输入输出的价值设定与虚拟系数有关，有利于找出那些决策单元相对效益偏低的原因。该方法以经验数据为基础，逻辑上合理，

,10<θ

故能够衡量个决策单元由一定量大投入产生预期的输出的能力，并且能够计算在非DEA有效的决策单元中，投入没有发挥作用的程度。最为重要的是应用该方法还有可能进一步估计某个决策单元达到相对有效时，其产出应该增加多少，输入可以减少多少等。

2．数据包络法的缺点

DEA方法主要用来研究决策单元的多输入多输出的相对有效的绩效评价的有用方法，因此使用这一方法时也存在一些缺陷。首先，它衡量的生产函数边界是确定的，因而它无法分随机因素和测量误差的影响；其次，该方法的绩效效率评价容易受到极值的影响，而且决策单元的效率值对投入、产出指标的选择比较敏感，这就使得如何准确地选取投入、产出指标成为有效使用DEA方法的关键。

另外，由于被评价的决策单元都是从最有利于自己的角度分别求取权重，这就导致了这些权重随着决策单元的不同而可能不同。从而使得每个决策单元的特性缺乏有效的可比性；最后，根据DEA评价方法的特点就是只能判断各个决策单元是否DEA有效，而将所有决策单元分为有效和非有效两大类，因而使用该方法进行决策单元的绩效评价时，可能出现大量甚至全部的决策单元为有效的情形，因此传统的DEA方法不能对被评价的决策单元进行排序。

八．总结

数学包络法是一个非常实用的分析方法，具有很多突出的优点，因此，它的应用范围越来越广泛，涉及到许多领域，对我们的生活、生产都起到了巨大的作用。