华南农业大学概率论11-习题3解答
华农概率论与数理统计考试卷
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 已知： 0.0250.0250.050.05(1)0.85,(0.5)0.70,(25) 2.060,(26) 2.056,(25) 1.708,(26) 1.706 t t t t Φ=Φ===== 一．选择题（每小题3分，共15分） 1． A 、B 中只有一个发生的概率为 （ ） A ．P (A )+P (B ) B ．P (A )-P (B ) C ．P (A )+P (B )-P (AB ) D ．P (A )+P (B )-2P (AB ) 2． 设随机变量的概率密度21 ()0 1x x f x x T -?>=?≤?，则T =（ ） A ．1/2 B ．1 C ．-1 D ．3/2 3．对随机变量X ，关于EX ，EX 2合适的值为 （ ） A ．3，8 B ．3， 10 C ．3，-8 D ．3，-10 4． 设有二个随机事件A ，B ，则事件A 发生，B 不发生的对立事件为 （ ） A ．A B B ．AB C ．A B D ．A B 5．给10只大白鼠注射类毒素后，测得每只大鼠的红细胞数(x )与血红蛋白含量(Y )数据，并计算获得如下中间结果： ∑X =6550，∑Y =136，∑X 2 =4343500，∑Y 2 =1886，∑XY =90340 这里x 是一般变量，Y 是随机变量，则变量Y 关于x 的回归方程的截距0β和斜率1β分别为 （ ） A ． -1.89859和0.02366 B ． 2.81408和0.90503 C ． -3.85575和0.02665 D ． 0.02366和9.81408 二．填空题（每小题3分，共15分） 1．设随机变量X 服从泊松分布()P λ，且{1}{2}P X P X ===，则{3}P X == . 2．设(0,1),21X N Y X =+，则{12}P Y -<= . 3．设正态总体2 (,)N μσ，2 σ未知，则μ的置信度1α-的置信区间的长度L 为 . 4．设总体2(0,)X N σ，1X ，2X ，3X ，4X 为该总体的一个样本，则统计量 2 122 34()() X X Y X X +=-服从 分布. 5
《概率论与数理统计》习题三答案详解
《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ?? 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 24 7C 3 C 35= 2 4 7C 2C 35= 22 4 7C C 6C 35=1122 4 7C C 12C 35=12 4 7C 2C 35 = 27C /C = 2122 4 7C C 6C 35 =224 7C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36 ,40ππ πy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636 1).4 =--+= 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=???>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 1 2 (34)3800 {01,02} 12e d d (1e )(1e )0.9499. x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈? ? 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=?? ?<<<<--., 0, 42,20),6(其他y x y x k （1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
华农-2016-17-1华南农业大学概率论试卷
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016-2017学年第 1 学期 考试科目： 概率论 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业________________ 一、 选择题（每题3分，共计18分） 1. 设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是( )。 A. ()()P A B P B = B. ()()P AB P B = C. ()()|P B A P B = D.()()()P B A P B P A -=- 2. 设连续型随机变量X 的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正 确的是（ ） A. 0()1F x ≤≤ B. 0()1f x ≤≤ C. {}()P X x F x == D.{}()P X x f x == 3. 设12,X X 独立，i 1{0}2P X == ， i 1 {1},(i 1,2)2 P X ===，下列结论正确的是 ( ) A. 1X =2X B. 1{P X =2}1X = C. 1 {P X =21}2 X = D ．以上都不对 4. 设~()X P λ（泊松分布）且{2}2{1}P X P X ===,则()E X =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 设随机变量,X Y ，下列（ ）选项是正确的 A. ()()()D XY D X D Y = B. ()()()E XY E X E Y = C. ()()()E X Y E X E Y +=+ D.()()()D X Y D X D Y -=- 6. 设随机变量,X Y ，下列（ ）选项是正确的 A. 联合分布一定可以决定边缘分布 B. 联合分布不一定决定边缘分布 C. 边缘分布一定可以决定联合分布 D. 边缘分布一定不可以决定联合分布 二、 填空题（每题3分，共计18分） 1. 设随机变量()2X B p 服从，，且 {}9 5 1= ≥X P ，则p =________________。 2. 设X 服从(0,4)N ，则()2E X X -=????_________________. 3. 已知连续型随机变量X ，其密度函数, 01,()2,12,0,x x f x x x else ≤≤?? =-<≤??? 则 ( 1.5)P X ≤=________________ 4. 假设~(5,0.5)X B (二项分布), ~(1/6)Y E （指数分布）,且,X Y 相互独立，则 ()D X Y +=________________ 5. 假设~(1,4)X N (正态分布), ~(2,9)Y N （正态分布），且,X Y 相互独立，则 321X Y -+服从________________（具体分布及其参数） 6. 设随机变量X 服从[0,]π的均匀分布，则(sin )E X =________________ 三、 计算题(本大题四小题，共计44分) 1. （本题8分）某单位号召职工每户集资3.5万元建住宅楼，当天报名的占60%，在其 余的40%中，第二天上午报名的占75%，而另外25%在第二天下午报了名，情况表明，当天报名的人能交款的概率为0.8，而在第二天上、下午报名的人能交款的概率分别为0.6与0.4，试求报了名后能交款的人数的概率。
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率论习题第三章答案
第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有
华南农业大学2016-2017学年第1学期期末概率论与数理统计考试试卷(A卷)+答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2016-2017学年第1学期考试科目：概率论与数理统计 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟 学号姓名年级专业 题号一二三总分 得分 评阅人 得分 一选择题（每小题3分，共计15分） 1、设A，B是两个互斥的随机事件，则必有_________ （） （A）P(A∪B)=P(A)+P(B) (B)P(A-B)=P(A)-P(B) (C)P(AB)=P(A)P(B) (D)P(A)=1-P(B) 2、在1到100的自然数里任取一个数，则它能被2和5整除的概率为（） （A）错误!未找到引用源。 (B)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (C)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (D)错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 3、设F（x）与G(x)分别为随机变量Χ与Y的分布函数，为使H（x）=aF(x)+bG(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数据中应取（）（A） a=0.3，b=0.2 （B）a=0.3，b=0.7 （C）a=0.4，b=0.5 （D）a=0.5，b=0.6 4、设X1,X2,...,Xn为取自总体N(0 ,σ^2)的一个样本，则可以作为σ^2的无偏估计量的是（） （A）(B) (C)(D)
5.设x1，x2，···，x n为正态总体N（μ，4）的一个样本，错误!未找到引用源。表示样本均值，则μ的置信度为1-α的置信区间为（） (A)（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）. (B)（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）. (C)（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）. (D)（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。） 参考答案：答案：1、A 2、B 3、B 4、 5. D解答： 因为正态分布总体方差已知，得错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。N（μ，错误!未找到引用源。），错误!未找到引用源。N（0,1） 从而P（错误!未找到引用源。 < 错误!未找到引用源。 < 错误!未找到引用源。）=1-α 故μ的置信度为1-α的置信区间为（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。） 二填空题（每题3，共计15分） 1.某人连续射击3次，记A i为“第i次射击命中目标”，i=1,2,3，又设此人命中率为0.8，各次射 击互不影响，则他最少命中1次的概率为_______。 【答案：0.992】 解答： 根据题意，P（A）=0.8，P（错误!未找到引用源。）=1-0.8=0.2 最少命中1次：P（A1∪A2∪A3）=1-P（错误!未找到引用源。）=1-0.23=0.992 2.设随机变量X服从泊松分布，若E（X2）=6，则P（X≥1）= _______。 【答案：1-3e-2】 解答： 根据题意，泊松分布E（X）=D（X）=λ 又E（X2）= E2（X）+D（X）=λ2+λ=6，解得λ=2 P（X≥1）=1-P（X<1）=1-（1+λ）e-λ=1-3e-2 3.设事件A，B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5,则A,B至少一个不发生概率为_______。 【答案：0.9】 解答：
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
《概率论与数理统计》习题三答案
《概率论与数理统计》习题三答案
《概率论与数理统计》习题及答案 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正 面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 1 0 13 1113 C 2228 ??=g 23111C 3/8222 ??=g 0 3 18 0 0 11112228 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 0 1 2 3 0 0 0 22 324 7C C 3 C 35 =g 3132 4 7C C 2C 35 =g 1 0 112 322 4 7C C C 6C 35 =g g 211 322 4 7C C C 12C 35=g g 3132 4 7C C 2C 35 =g 2 P (0黑,2红,2白)= 121322 4 7C C C 6C 35 =g g 22324 7C C 3 C 35 =g X Y X Y
224 2271 C C /C 35 = g 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）= ?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域 ?? ?? ?? ≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤<≤公式 ππππππ (,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346362(31).4 =--+=-g g g g 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）= ?? ?>>+-., 0,0,0,)43(其他y x A y x e
考研概率论与数理统计题库-题目
概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P
《概率论与数理统计》第三版-课后习题答案
习题一： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ωπ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207ππx x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??；
华农概率论习题二解答
习 题 二 解 答 1． 五张卡片上分别写有号码1，2，3，4，5。随即抽取其中三张，设随机变量X 表示取出三张卡片上的最大号码。 （1） 写出X 的所有可能取值；（2）求X 的分布率。 解：（1）显然是：3，4，5。 （2） X 的分布律 2． 下面表中列出的是否时。某个随机变量的分布律 （1） （2） 答：（1）是 （2）不是 3．一批产品共有N 件，其中M 件次品。从中任意抽取n(n<=M)件 产品，求这n 件产品中次品数X 的分布律。（此分布律为超几何分布） 解：抽取n 件产品的抽法有n N C 种，抽取到次品的抽法有
k n M N k C --M C 种，所以所求概率为： P ()k X ==n N k n M N k M C C C --,k=0,1,2,3……..n ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 4.设随机变量X 的分布律为P ＝{X=k}=15 k ,k=1,2,3,4,5. 求：（1）P{X=1或X=2}； （2）P{2 52 1< 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 习 题 三 解 答 1：设二维随变量（X ，Y ）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X ，Y ）的分布列。 解：此二维随机变量（X ，Y ）的分布列是： Y X 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 0 1/6 0 0 2 5/12 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X ，Y 分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X ，Y ）的概率分布。 解：由题意得：（X ，Y ）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。 则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6 P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12 P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6 P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12 P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6 而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。 则（X ，Y ）的联合分布列为： ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X ，Y 如下 Y X 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级 人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y) 0 <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 装订线 华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第1 学期考试科目：概率论 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 题号一二三总分 得分 评阅人 5 小题，每小题 3 分，共15 分） 1、设A与B互斥(互不相容)，则下列结论肯定正确的是( D )。 (A) A与B不相容(B) A与B必相容 (C) ()()() P AB P A P B =(D) ()() P A B P A -= 2、设随机变量X与Y相互独立，其概率分布如下，则有( C )成立。 01 0.20.8 X P 01 0.20.8 Y P (A) ()0 P X Y ==(B) ()0.4 P X Y == (C) ()0.68 P X Y ==(D) ()1 P X Y == 3、设随机变量ξ的概率密度为()x ?，η=12ξ，则η的分布密度为( A )。 (A) 11 22 y ? - ?? ? ?? ；(B) 1 1 2 y ? - ?? - ? ?? ；(C) 1 2 y ? - ?? - ? ?? ；(D)2(12)y ?- 4、设随机变量ξ服从2 λ=的泊松分布,则随机变量2 ηξ =的方差为( A )。 (A) 8；(B) 4；(C) 2；(D) 16. 5、设2 ~(0,1),~(,) N N a ξησ,则η与ξ之间的关系是( B )。 得分 (A) a ξησ-= ; (B) a ησξ=+; (C)2 a ξησ -= ; (D)2 a ησξ=+. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1、设样本空间Ω={1，2，10}，事件A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6， 7}，则事件()A B C =__{1,2,5,6,7,8,9,10} ________。 2、抛一枚硬币三次，ξ和η分别表示出现正面的次数和出现反面的次数，则 {}P ξη>=__12 _______。 3、3、设随机变量X 的分布函数0, 0.2, ()0.9,1, F x ??? =???? 111122x x x x <--≤<≤<≥，则{03}P X ≤≤=_0.8_。 4、函数2 (),x x Ae x ?-=-∞<<∞是某随机变量的概率密度，则A 的值是 __ 1 π ____。 5、设~(0,1),~(10,4)N N ξη，ξ的分布函数为(){}x P x ξΦ=≤，则用()x Φ表示概率{812}P η<≤=___2(1)1Φ-_________。 6、设(ξ、η)的联合分布律为 ξ 1 0 1 η= 1 1/8 1/8 1/8 η=0 1/8 0 1/8 η=1 1/8 1/8 1/8 则P{ξη=0}=_____0.5________。 7、设ξ服从参数为λ的泊松分布，且已知{2}{3}P P ξξ===，则 {4}P ξ==_____________3278 e -或33.375e -________。 8、设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[2,4]-上服从均匀分布，Y 服从参数为1 3 的指 得分 练习八 班级_____________ 姓名_____________ 1. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到白球的只数，求X ，Y 的联合分布律. 解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2 22 2=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 2 21213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2 213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 7 1 2 122 3=C C C C P {X=2, Y=2 }=35347 2 22 3=C C C P {X=3, Y=0 }= 3524 7 1 23 3=C C C P {X=3, Y=1 }=35247 123 3=C C C P {X=3, Y=2 }=0 2. 设随机变量（X ，Y ）概率密度为 ?? ?? ?<<<<--=其它,04 2,20),6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k ； （2）求P {X <1, Y <3}； （3）求P (X <1.5}； （4）求P (X+Y ≤4}. 解：（1）∵??? ? +∞ ∞ -+∞∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1 = k （2）8 3)6(81)3,1(32 10 ? ? =--= <概率论答案第三章测试题
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