完整版电磁感应双杆模型

应用动量定理与动量守恒定律解决双导体棒切割磁感线问题

1. ( 12丰台期末12分)如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定于同一水平面内，导轨间的距离为L,导轨上平行放置两根导体棒ab和cd,构成矩形回路。已知两根导体棒的质量均为m电阻均为R,其它电阻忽略不计，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B，导体棒均可沿导轨无摩擦的滑行。开始时，导体棒cd静止、ab有水平向右的初速度v o，两导体棒在运动中始终不接触。求：

(1) 开始时，导体棒ab中电流的大小和方向；

(2) 从开始到导体棒cd达到最大速度的过程中，矩形回路产生的焦耳热;

(3) 当ab棒速度变为3

V。时，cd棒加速度的大小。4

2. 如图，相距L 的光滑金属导轨，半径为R的1/4圆弧部分竖直放置、直的部分固定于水平地面，MNQ范围内有方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场.金属棒ab和cd垂直导轨且接触良好，cd静止在磁场中，ab 从圆弧导轨的顶端由静止释放，进入磁场后与cd没有接触?已知ab的质量为m电阻为r, cd的质量为3m

电阻为r .金属导轨电阻不计，重力加速度为g .忽略摩擦

(1) 求：ab到达圆弧底端时对轨道的压力大小

(2) 在图中标出ab刚进入磁场时cd棒中的电流方向

(3) 若cd离开磁场时的速度是此刻a b速

度的一半，

求：cd离开磁场瞬间，ab受到的安培力大小

3. (20分)如图所示，电阻均为R的金属棒a. b, a棒的质量为m b棒的质量为M放在如图所示光滑的轨道

的水平部分，水平部分有如图所示竖直向下的匀强磁场，圆弧部分无磁场，且轨道足够长；开始给a棒一水平向左的的初速度v o,金属棒a. b与轨道始终接触良好.且a棒与b棒始终不相碰。请问：

(1 )当a. b在水平部分稳定后，速度分别为多少？损失的机械能多少？

(2)设b棒在水平部分稳定后，冲上圆弧轨道，返回到水平轨道前，a棒已静止在水平轨道上，且b棒与a棒不相碰，然后达到新的稳定状态，最后a, b的末速度为多少？

(3 )整个过程中产生的内能是多少？

I

b a

4. (18分)如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L,放在水平绝缘桌面上，半径为R的1/4圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B,方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒

ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒ab质量为2 m,电阻为r,棒cd的质量为m电阻为r。重力加速

度为g。开始棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有

接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为3: 1。求：

(1 )棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；

(2)棒cd在水平导轨上的最大加速度；

(3)两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。

5. （20分）如图所示，宽度为L的平行光滑的金属轨道，左端为半径为r i的四分之一圆弧轨道，右端为半径为“的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道。水平轨道所在的区域有磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场。一根质量为m的金属杆a置于水平轨道上，另一根质量为M的金属杆b由静止开始自左端轨道最高点滑下，当b 滑入水平轨道某位置时，a就滑上了右端半圆轨道最高点（b始终运动且a、b未相撞），并且a在最高点对轨道的压力大小为mg此过程中通过a的电荷量为q, a、b棒的电阻分别为R、R2，其余部分电阻不计。在b由静止释

放到a运动到右端半圆轨道最高点过程中，求：

（1）在水平轨道上运动时b的最大加速度是多大？

（2）自b释放到a到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的

焦耳热是多少？

（3）a刚到达右端半圆轨道最低点时b的速度是多大?

6 ?两足够长且不计其电阻的光滑金属轨道，如图所示放置，间距为d=100cm,在左端斜轨道部分高h=1.25m处

放置一金属杆a,斜轨道与平直轨道以光滑圆弧连接，在平直轨道右端放置另一金属杆b,杆A. b电阻F a=2Q,

R D=5Q，在平直轨道区域有竖直向上的匀强磁场，磁感强度B=2T。现杆b以初速度v o=5m/s开始向左滑动，同时

由静止释放杆a,杆a滑到水平轨道过程中，通过杆b的平均电流为0.3A ；a下滑到水平轨道后，以a下滑到水

平轨道时开始计时，A. b运动图象如图所示（a运动方向为正），其中m=2kg, m>=1kg, g=10m/s 2

，求

7. （12分）如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为

d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强

度大小均为B。有两根质量均为m电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中点C D处，导轨除C、D 两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放。当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正

比，即V x。求：

（1 ）若a棒释放的高度大于h。，则a棒进入磁场I时会使b棒运动，判断b棒的运动方向并求出h。为多少？

（2）若将a棒从高度小于h o的某处释放，使其以速度v o进入磁场I，结果a棒以V的速度从磁场

2

在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b棒上的电功率P b 为多少？I中穿出，求

b

(1)

(2)

(3)

P

M

8. ( 2014届海淀期末10分)如图21所示，两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L,电阻不计。水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场I左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B,方向竖直向上；磁场H的磁感应强度大小为2B,方向竖直向下。质量均

为m电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上，金属棒b置于磁场n的右边界CD处。现将金属棒a从

弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动。设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。

1

(1)若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平段导轨间的最大摩擦力均为mg将金属棒a从距水平面高度h处由

5

静止释放。求：

金属棒a刚进入磁场I时，通过金属棒b的电流大小；

若金属棒a在磁场I内运动过程中，金属棒b能在导轨上保持静止，通过计算分析金属棒a释放时的高度h应满足的条件；

(2 )若水平段导轨是光滑的，将金属棒a仍从高度h处由静止释放，使其进入磁场I。设两磁场区域足够大，

求金属棒a在磁场I内运动过程中，金属棒b中可能产生焦耳热的最大值。

应用动量定理与动量守恒定律解决双导体棒切割磁感线问题答案

1. 【解析】：（12丰台期末12分）

（1）ab 棒产生的感应电动势 E ab =BLv 0，（ 1分）

ab 棒中电流| =电=三巴，（1分）

2R 2R

方向由a f b （1分）

（2） 当ab 棒与cd 棒速度相同时，cd 棒的速度最大，设最大速度为

由动量守恒定律

mv 0 = 2mv （1分）

1

二 V -V g

（1 分）

2

1

2

1 2

由能量守恒关系 Q = — mv 0 —

（2m ） v （1分）

2

2

1 2

Q = — mv 0 （1 分）

4

3

（3） 设ab 棒的速度为—v 0时，cd 棒的速度为v '

4

3

由动量守恒定律： mv 0 = m-v 0 + mv ' （1分）

4

4v 0

。

3

E ab = BL ：V ° ；

4 1 E cd = BL ；V ° ；

4

3 1

E E BL （-v 0 -v 0

）

_

E ab

E

cd = ____________

4

______________ 4

2R

2R

???I _

（2 分）

4R

cd 棒受力为 F IBL

2. 【解析】：

（1 ）设ab 到达圆弧底端时受到的支持力大小为

N, ab 下滑机械能守恒,

1 2

有：mgR mv …①

2

2

由牛顿第二定律： N mg mv …②；

R

联立①②得：N 3mg …③

由牛顿第三定律知：对轨道压力大小为

N 3mg …④

（2）如图（2分）（如用文字表达，正确的照样给分。如：

d 到c ,或d f c ）

1

2[ 2

B L v 0 4R

（1 分）；

此时cd 棒加速度为

a

2. 2

B Lv

°

4 Rm

（1 分）

（3）设cd离开磁场时ab在磁场中的速度V ab,则cd此时的速度为—v ab,

2 ab、cd组成的系统动量守恒，有：mv m v ab3m v ab…⑤

ab、cd构成的闭合回路：由法拉第电磁感应定律： E BLv ab…⑥闭合电路欧姆定律：I手…⑦

3. 【解析】

(1 )对a . b 棒水平轨道分析，动量守恒;

Vl

是稳定时a . b 棒共同速度

1

1

Mmv ；

1 2 I

2

mv 0 (m M )w 2

0 2 1

2(M m)

(2) 由于b 棒在冲上又返回过程中，机械能守恒，返回时速度大小不变 V2 Vl

④--2分

b 棒与a 棒向右运动过程中，直到稳定，动量守恒：

Mv2 (M m)V3

⑤-3分

Mmv 0

V 3 ------------------------------r

达到新的稳定状态a , b 的末速度： (M

m)

⑥-2分

(3) 整个过程中产生的内能等于系统机械能的减少量

1 2 1 2

Q mv 0 (M m)v 3

2 2

⑦---3分

小 1

2“

M 2

m 、

Q mv °(1

3

)

解得： 2 (M m)

⑧--2分

4. 【解析】：

1 2

(1 )设ab 棒进入水平导轨的速度为 v 1 , ab 棒从圆弧导轨滑下机械能守恒： 2mgR

2mv 2 ◎( 2 分) 2

离开导轨时，设 ab 棒的速度为v ；, cd 棒的速度为v 2 , ab 棒与cd 棒在水平导轨上运动，动量守恒，

2mv 1 2mv 1/ mv 2

②(2 分)

依题意v (>v 2，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移 x vt 可知

v 1： v 2=x 1：x 2

=3：1 2 分)，联立①②③解得 v ； 7、'2gR , v 2 — v 2gR ( 2 分)

(2) ab 棒刚进入水平导轨时，cd 棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为

BLv ④ (1分),I —⑤(1分)

2r

cd 棒受到的安培力为： F cd BIL ⑥ (1分)

根据牛顿第二定律，cd 棒的最大加速度为：

a 尸型⑦(1分)

安培力公式:

F ab BIL …⑧联立①④⑤⑥⑦得

F

ab

B 2L 2 2gR

5r

…⑨

mv 。 (m M)v

1

①--3 分,

v 1

解得 mv 。

(m M )

②-1

分

，

损失的机械能为 ③-4分