高中物理-电磁感应中的“双杆模型”

高中物理-电磁感应中的“双杆模型”

“双杆”模型分为两类：一类是“一动一静”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意

问题包含着一个条件：甲杆静止、受力平衡．另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感

线产生的感应电动势是相加还是相减．

一、平行导轨：不受其他外力作用

(2015·高考四川卷)如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN

与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光

滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ.均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab

棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ(μ较小)，由导轨上

的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场(图中未画出)．两金属棒与导轨保持良好接触，不计所

有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重

力加速度为g.

(1)若磁感应强度大小为B，给ab棒一个垂直于NQ、水平向右的速度v1，在水平导轨上沿运动方向滑行一段

距离后停止，ef棒始终静止，求此过程ef棒上产生的热量；

(2)在(1)问过程中，ab棒滑行距离为d，求通过ab棒某横截面的电量；

(3)若ab棒以垂直于NQ的速度v2在水平导轨上向右匀速运动，并在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动

过程中ef棒始终静止．求此状态下最强磁场的磁感应强度及此磁场下ab棒运动的最大距离．

[解析](1)设ab棒的初动能为E k，ef棒和电阻R在此过程产生的热量分别为W和W1，有

W＋W1＝E k①

且W＝W1②

由题意有E k ＝1

2m v 21③

得W ＝14

m v 2

1.④

(2)设在题设过程中，ab 棒滑行时间为Δt ，扫过的导轨间的面积为ΔS ，通过ΔS 的磁通量为ΔΦ，ab 棒产生的电动势平均值为E ，ab 棒中的电流为I ，通过ab 棒某横截面的电荷量为q ，则

甲

E ＝ΔΦΔt ⑤

且ΔΦ＝B ΔS ⑥ I ＝q Δt ⑦ 又有I ＝2E

R ⑧

由图甲所示

ΔS ＝d (L －d cot θ)⑨

联立⑤～⑨，解得 q ＝2Bd (L －d cot θ)

R

.⑩

(3)ab 棒滑行距离为x 时，ab 棒在导轨间的棒长L x 为 L x ＝L －2x cot θ?

此时，ab 棒产生的电动势E x 为E x ＝B v 2L x ? 流过ef 棒的电流I x 为I x ＝E x

R ?

ef 棒所受安培力F x 为F x ＝BI x L ?

联立?～?，解得F x ＝B 2v 2L

R

(L －2x cot θ)?

由?式可得，F x 在x ＝0和B 为最大值B m 时有最大值F 1.

由题知，ab 棒所受安培力方向必水平向左，ef 棒所受安培力方向必水平向右，使F 1为最大值的受力分析如

图乙所示，图中f m 为最大静摩擦力，有

F 1cos α＝mg sin α＋μ(mg cos α＋F 1sin α)?

联立??，得 B m ＝1L

mg (sin α＋μcos α)R

(cos α－μsin α)v 2

?

?式就是题目所求最强磁场的磁感应强度大小，该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下．

乙 丙

由?式可知，B 为B m 时，F x 随x 增大而减小，x 为最大x m 时，F x 为最小值F 2，如图丙可知 F 2cos α＋μ(mg cos α＋F 2sin α)＝mg sin α? 联立???，得 x m ＝

μL tan θ

(1＋μ2)sin αcos α＋μ

.

[答案] 见解析

二、平行导轨：一杆受恒定水平外力作用

如图所示，两条平行的金属导轨相距L＝1 m，水平部分处在竖直向下的匀强磁场B1中，倾斜部分与水平方向的夹角为37°，处于垂直于斜面的匀强磁场B1中，B1＝B2＝0.5 T．金属棒MN和PQ的质量均为m＝0.2 kg，电阻R MN＝0.5 Ω、R PQ＝1.5 Ω.MN置于水平导轨上，PQ置于倾斜导轨上，刚好不下滑．两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t＝0时刻起，MN棒在水平外力F的作用下由静止开始向右运动，MN棒的速度v与位移x满足关系v＝0.4x.不计导轨的电阻，MN始终在水平导轨上运动，MN 与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5.

(1)问当MN棒运动的位移为多少时PQ刚要滑动？

(2)求从t＝0到PQ刚要滑动的过程中通过PQ棒的电荷量；

(3)定性画出MN受的安培力随位移变化的图象，并求出MN从开始到位移x1＝5 m的过程中外力F做的功．

[解析](1)开始PQ刚好不下滑时，PQ受沿倾斜导轨向上的最大静摩擦力F fm，则F fm＝mg sin 37°

设PQ刚好要向上滑动时，MN棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律E＝B1L v

设电路中的感应电流为I，由闭合电路的欧姆定律得

I＝

E

R MN＋R PQ

设PQ所受安培力为F A，有F A＝B2IL

此时PQ 受沿倾斜导轨向下的最大静摩擦力，由力的平衡条件有：F A ＝F fm ＋mg sin 37° 又由v ＝0.4x ，联立解得x ＝48 m.

(2)在从t ＝0到PQ 刚要滑动的过程中，穿过回路MNQP 的磁通量的变化量 ΔΦ＝B 1Lx ＝0.5×1×48 Wb ＝24 Wb 通过PQ 棒的电荷量q ＝I ·t ＝E

R MN ＋R PQ ·t

＝

ΔΦR MN ＋R PQ ＝24

0.5＋1.5

C ＝12 C.

(3)回路中的电流I ＝B 1L v

R MN ＋R PQ

，

MN 受到的安培力F A ＝B 1IL ，又v ＝0.4x ，

故推出F A ＝0.4xB 21L

2

R MN ＋R PQ

因此MN 受的安培力与位移x 成正比，故画出如图所示的安培力—位移图象.

考虑到MN 受的安培力与位移方向相反，故安培力与位移图象包围的面积等于克服安培力做的功，故安培力对MN 做功

W A ＝－12·0.4x 1B 21L

2

R MN ＋R PQ x 1

＝－0.625 J

当x 1＝5 m 时，速度v 1＝0.4x 1＝0.4×5 m/s ＝2 m/s 对MN 棒由动能定理：W F －μmgx 1＋W A ＝1

2m v 21－0

故W F ＝1

2m v 21

＋μmgx 1－W A

＝????1

2×0.2×22＋0.5×0.2×10×5＋0.625J ＝6.025 J.

[答案] (1)48 m (2)12 C (3)6.025 J 三、倾斜导轨：两杆不受外力作用

注意双杆之间的制约关系，即“主动杆”与“被动杆”之间的关系，因为两杆都有可能产生感应电动势，相当于两个电源，并且最终两杆的收尾状态的确定是分析问题的关键．

(2014·高

考天津卷)如图所

示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m ．导轨所在空间被

分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T ．在区域Ⅰ中，将质量m 1＝0.1 kg ，电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg ，电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g ＝10 m/s 2.问：

(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；

(3)从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少．

[审题点睛] (1)ab 刚好不下滑，隐含F fm ＝mg sin θ，方向沿斜面向上，ab 刚要向上滑动时，隐含F 安＝F fm ＋mg sin θ，摩擦力方向沿斜面向下．

(2)由于ab 中的电流变化，产生的热量要用功能关系(能量守恒)结合电路知识求解．

[解析] (1)由右手定则可判断出cd 中的电流方向为由d 到c ，则ab 中电流方向为由a 流向b . (2)开始放置ab 刚好不下滑时，ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为F max ，有F max ＝m 1g sin θ① 设ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为E ，由法拉第电磁感应定律有E ＝BL v ② 设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有 I ＝

E

R 1＋R 2

③ 设ab 所受安培力为F 安，有F 安＝BIL ④

此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F 安＝m 1g sin θ＋F max ⑤ 综合①②③④⑤式，代入数据解得v ＝5 m/s.

(3)设cd 棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q 总，由能量守恒定律有m 2gx sin θ＝Q 总＋1

2m 2v 2

又Q ＝R 1

R 1＋R 2

Q 总

解得Q ＝1.3 J.

[答案] (1)由a 流向b (2)5 m/s (3)1.3 J 四、倾斜导轨：一杆受到外力作用

(2016·浙江金华高三质检)如图所

示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为l ＝0.5 m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面

成30°角．完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m ＝0.02 kg ，电阻均为R ＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B ＝0.2 T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止，取g ＝10 m/s 2，问：

(1)通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？

(2)棒ab 受到的力F 多大？

(3)棒cd 每产生Q ＝0.1 J 的热量，力F 做的功W 是多少？ [解析] (1)棒cd 受到的安培力F cd ＝IlB

棒cd 在共点力作用下受力平衡，则F cd ＝mg sin 30° 代入数据解得I ＝1 A

根据楞次定律可知，棒cd 中的电流方向由d 至c . (2)棒ab 与棒cd 受到的安培力大小相等，F ab ＝F cd 对棒ab ，由受力平衡知F ＝mg sin 30°＋IlB 代入数据解得F ＝0.2 N.

(3)设在时间t 内棒cd 产生Q ＝0.1 J 的热量，由焦耳定律知Q ＝I 2Rt

设棒ab 匀速运动的速度大小为v ，其产生的感应电动势E ＝Bl v ，由闭合电路欧姆定律知，I ＝E

2

R

由运动学公式知在时间t 内，棒ab 沿导轨的位移 x ＝v t

力F 做的功W ＝Fx

综合上述各式，代入数据解得W ＝0.4 J.

[答案] (1)1 A 方向由d 至c (2)0.2 N (3)0.4 J 五、竖直导轨

如图是一种电磁驱动电梯的原理图，竖直平

面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B 1和B 2，B 1＝B 2＝1 T ，且B 1和B 2的方向相反，两磁场始终竖直向上做匀速运动．电梯桥厢(未在图中画出)固定在一个用超导材料制成的金属框abdc 内，并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为5×103 kg ，所受阻力f ＝500 N ，金属框垂直轨道的边长L cd ＝2 m ，两磁场

沿轨道的宽度均与金属框的竖直边长L ac 相同，金属框整个回路的电阻R ＝9.5×10－

4Ω，若设计要求电梯以v 1＝10 m/s 的速度向上匀速运动，取g ＝10 m/s 2，那么

(1)磁场向上运动速度v 0应该为多大？

(2)在电梯向上做匀速运动时，为维持它的运动，外界对系统提供的总功率为多少？(保留三位有效数字) [解析] (1)当电梯向上做匀速运动时，安培力等于重力和阻力之和，所以 F A ＝mg ＋f ＝50 500 N 金属框中感应电流大小为 I ＝

2B 1L cd (v 0－v 1)

R

金属框所受安培力F A ＝2B 1IL cd 解得v 0＝13 m/s.

(2)当电梯向上做匀速运动时，由第(1)问中的I ＝2B 1L cd (v 0－v 1)

R ，求出金属框中感应电流I ＝1.263×104 A

金属框中的焦耳热功率P 1＝I 2R ＝1.51×105 W 有用功率为克服电梯重力的功率 P 2＝mg v 1＝5×105 W

阻力的功率为P 3＝f v 1＝5×103W

电梯向上运动时，外界提供的能量，一部分转变为金属框内的焦耳热，另一部分克服电梯的重力和阻力做功．因而外界对系统提供的总功率

P 总＝P 1＋P 2＋P 3＝6.56×105W. [答案] (1)13 m/s (2)6.56×105 W

1．(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab 、cd 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab 、cd 的质量之比为2∶1.用一沿导轨方向的恒力F 水平向右拉金属棒cd ，经过足够长时间

以后( )

A ．金属棒ab 、cd 都做匀速运动

B ．金属棒ab 上的电流方向是由b 向a

C ．金属棒cd 所受安培力的大小等于2F /3

D ．两金属棒间距离保持不变

解析：选BC.对两金属棒ab 、cd 进行受力分析和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab 速度小于金属棒cd 速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab 上的电流方向由b 到a ，A 、D 错误，B 正确；以两金属棒整体为研究对象有：F ＝3ma ，隔离金属棒cd 分析其受力，则有：F －F 安＝ma ，可求得金属棒cd 所受安培力的大小F 安＝2

3F ，C 正确．

2.(多选)(2016·唐山模拟)如图所示，水平传送带带动两金属杆a 、b 匀速向右运

动，传送带右侧与两光滑平行金属导轨平滑连接，导轨与水平面间夹角为30°，两虚线EF 、GH 之间有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B ，

磁场宽度为L ，两金属杆的长度和两导轨的间距均为d ，两金属杆质量均为m ，两杆与导轨接触良好．当金属杆a 进入磁场后恰好做匀速直线运动，当金属杆a 离开磁场时，金属杆b 恰好进入磁场，则( )

A ．金属杆b 进入磁场后做加速运动

B ．金属杆b 进入磁场后做匀速运动

C ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL

D ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL

2

解析：选BC.两杆从导轨顶端进入磁场过程中，均只有重力做功，故进入磁场时速度大小相等，金属杆a 进入磁场后匀速运动，b 进入磁场后，a 离开磁场，金属杆b 受力与金属杆a 受力情况相同，故也做匀速运动，A 项错，B 项正确；两杆匀速穿过磁场，减少的重力势能转化为回路的电热，即Q ＝2mgL sin 30°＝mgL ，C 项正确，D 项错．

3．(多选)如图所示，光滑平行的金属导轨宽度为L ，与水平方向成θ角倾斜固定，导轨之间充满了垂直于导轨平面的足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，在导轨上垂直导轨放置着质量均为m 、电阻均为R 的金属棒a 、b ，二者都被垂直

于导轨的挡板挡

住保持静止，金属导轨电阻不计，现对b 棒施加一垂直于棒且平行于导轨平面向上的牵引力F ，并在极短的时间内将牵引力的功率从零调为恒定的功率P .为了使a 棒沿导轨向上运动，P 的取值可能为(重力加速度为g )( )

A.2m 2g 2R

B 2L 2·sin 2θ

B ．3m 2g 2R

B 2L 2·sin 2θ

C.7m 2g 2R

B 2L

2·sin 2θ D ．5m 2g 2R

B 2L

2·sin 2θ

解析：选CD.以b 棒为研究对象，由牛顿第二定律可知F －mg sin θ－BL v

2R

BL ＝ma ，以a 棒为研究对象，由牛

顿第二定律可知BL v 2R BL －mg sin θ＝ma ′，则F >2mg sin θ，v >2Rmg sin θB 2L 2，故P ＝F v >4m 2g 2R B 2L 2sin 2

θ，由此可得选项C 、

D 正确，选项A 、B 错误．

4.如图所示，竖直平面内有平行放置的光滑导轨，导轨间距为l ＝0.2 m ，电阻不计，导轨间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝2 T ，方向如图所示，有两根质量均为m ＝0.1 kg ，长度均为l ＝0.2 m ，电阻均为R ＝0.4 Ω的导体棒ab 和cd 与导轨接触良好，当用竖直向上的力F 使ab 棒向上做匀速运动时，cd 棒刚好能静止不动，则下列说法正确的是(g 取10

m/s 2)( )

A ．ab 棒运动的速度是5 m/s

B ．力F 的大小为1 N

C ．在1 s 内，力F 做的功为5 J

D ．在1 s 内，cd 棒产生的电热为5 J

解析：选A.对导体棒cd 由B Bl v

2R l ＝mg ，得到v ＝5 m/s ，选项A 正确；再由F ＝mg ＋F 安＝2 N 知选项B 错误；

在1 s 内，力F 做的功W ＝F v t ＝10 J ，选项C 错误；在1 s 内，cd 棒产生的电热Q ＝????Bl v

2R 2

Rt ＝2.5 J ，选项D 错

误．

5．(2016·合肥一中高三检测)如图所示，间距l ＝0.3 m 的平行金属导轨a 1b 1c 1和a 2b 2c 2分别固定在两个竖直面内．在水平面a 1b 1b 2a 2区域内和倾角θ＝37°的斜面c 1b 1b 2c 2区域内分别有磁感应强度B 1＝0.4 T 、方向竖直向上和B 2＝1 T 、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R ＝0.3 Ω、质量m 1＝0.1 kg 、长为l 的相同导体杆K 、S 、Q 分别放置在导轨上，S 杆的两端固定在b 1、b 2点，K 、Q 杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K 杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m 2＝0.05 kg 的小环．已知小环以a ＝6 m/s 2的加速度沿绳下滑．K 杆保持静止，Q 杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F 作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：

(1)小环所受摩擦力的大小； (2)Q 杆所受拉力的瞬时功率．

解析：(1)设小环受到的摩擦力大小为F f ，由牛顿第二定律，有m 2g －F f ＝m 2a 代入数据，得F f ＝0.2 N.

(2)设通过K 杆的电流为I 1，K 杆受力平衡， 有F f ＝B 1I 1l

设回路总电流为I ，总电阻为R 总，有I ＝2I 1 R 总＝32

R

设Q 杆下滑速度大小为v ，产生的感应电动势为E ，有I ＝E

R 总

E ＝B 2l v

F ＋m 1g sin θ＝B 2Il

拉力的瞬时功率为P ＝F v

联立以上方程，代入数据得P ＝2 W. 答案：(1)0.2 N (2)2 W

6.如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨与水平面成53°角固定放置，导轨间连接一阻值为6 Ω的电阻R ，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线m 、n 间有一方向垂直于导轨所在平面向下、磁感应强度为B 的匀强磁场．导体棒a 的质量为m a ＝0.4 kg ，电阻R a ＝3 Ω；导体棒b 的质量为m b ＝0.1

kg ，电阻R b ＝6 Ω.

导体棒a 、b 分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．a 、b 从开始相距L 0＝0.5 m 处同时由静止释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，当b 刚穿出磁场时，a 正好进入磁场，g 取10 m/s 2，不计a 、b 之间电流的相互作用，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求：

(1)在a 、b 分别穿越磁场的过程中，通过R 的电荷量之比；

(2)在穿越磁场的过程中，a 、b 两导体棒匀速运动的速度大小之比； (3)磁场区域沿导轨方向的宽度d ；

(4)在整个运动过程中，产生的总焦耳热．

解析：(1)由q 总＝I Δt ，I ＝

E R 总

，E ＝

ΔΦΔt ，得q 总＝ΔΦR 总

在b 穿越磁场的过程中，b 是电源，a 与R 是外电路，电路的总电阻R 总1＝8 Ω 通过R 的电荷量为q Rb ＝13q 总1＝13·ΔΦ

R 总1

同理，a 在磁场中匀速运动时，R 总2＝6 Ω，通过R 的电荷量为q Ra ＝12q 总2＝12·ΔΦ

R 总2，可得q Ra ∶q Rb ＝2∶1.

(2)设a 、b 穿越磁场的过程中的速度分别为v a 和v b ，则b 中的电流I b ＝BL v b

R 总1

由平衡条件得B 2L 2v b

R 总1＝m b g sin 53°

同理，a 在磁场中匀速运动时有

B 2L 2v a

R 总2

＝m a g sin 53°， 解得v a ∶v b ＝3∶1.

(3)设b 在磁场中穿越的时间为t ，由题意得： v a ＝v b ＋gt sin 53°，d ＝v b t

因为v 2a －v 2

b ＝2gL 0sin 53°，v a ∶v b ＝3∶1 所以d ＝0.25 m.

(4)a 穿越磁场时所受安培力F 安＝m a g sin 53° 克服安培力所做的功W a ＝m a gd sin 53°＝0.8 J

同理，b 穿越磁场时克服安培力所做的功 W b ＝m b gd sin 53°＝0.2 J

由功能关系得，在整个过程中，电路中产生的总焦耳热Q ＝W a ＋W b ＝1 J. 答案：(1)2∶1 (2)3∶1 (3)0.25 m (4)1 J