十字相乘法
因式分解补充方法：十字相乘法
一、 知识归纳和例子讲解：
十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！
（1） 对于某些首项系数是1的二次三项式2x Px q ++【2()x a b x ab +++】的因式分解：
一般地，∵2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，∴2()()()x a b x ab x a x b +++=++．
这就是说，对于二次三项式2x Px q ++，若能找到两个数a 、b ，使,
,a b p a b q +=???=?
则就有22()()()x Px q x a b x ab x a x b ++=+++=++．
（掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一．．．．．．．．．．．．．．．．．．
次项系数，．．．．．
通常要借助画十字交叉线的办法来确定，故称十字相乘法。） 如对于二次三项式232x x ++，其中3p =，2q =，能找到两个数1、2，使12,
12,
p q +=???=? 故有
232(1)(2)x x x x ++=++． 例1：因式分解
(1) x 2 + 10x + 9 ； 解：1 1 （x + 1） 1 9 （x + 9） 1×9=9；1×9+1×1=10
∴x 2 + 10x + 9=（x + 1）（x + 9）
说明：用十字相乖法分解二次三项式2x Px q ++，式中的p 、q 通常是整数，要找的a 、b 两数也通常是在整数中去找．由于把p 拆成两个整数之和可以有无数种情形，而把q 分解成两个整数之积只有有限几种可能，故应先把q 分解成两个整数之积，然后检验哪两个整数之和得p ． 练习题（因式分解）：
(2) x 2 – 3x –10；
解：1 –5 （x – 5） 1 2 （x + 2） –5 *2 = 9；1*（–5）+1*2= –3
∴x 2 – 3x –10 = （x – 5）（x + 2） (2) x 2 －3x －10；
解：1 －5 （x － 5）
1 2 （x + 2） －5 ×2 = 9；1×（－5）+1×2= －3 ∴x 2 －3x －10 = （x － 5）（x + 2）
（1）=+-652x x ___ __ __ ____. （2）=++652
x x ___ __ __ _____
（3）=--652x x ___ __ __ ____ （4）=-+652x x ___ __ __ ____
提问：请观察以上练习中的各题，你能发现把q 分解成两个整数a 、b 之积时的符号规律吗？ ⑴若q ＞0，则a 、b 同号．当p ＞0时a 、b 同为正，当p ＜0时a 、b 同为负．
⑵若q ＜0，则a 、b 异号．当p ＞0时a 、b 中的正数绝对值较大，当p ＜0时a 、b 中的负数绝对值较大．
（2） 对于二次三项a x b x c 2
++【()a a xa c a c x c c 122122112
+++】（a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）的因式分解：
一般地，∵()()a x c a x c 1122++=()a a xa c a c x c c 122
122112
+++， ∴()a a xa c a c x c c 122
122112
+++=()()a x c a x c 1122++． 这就是说，对于二次三项式a x b x c 2
++，若能找到四个整数a c a c 1122
，，，，使12121221a a a c c c a c a c b
==??+=?， 则就有a x b x c 2
++=()a a xa c a c x c c 122
122112
+++=()()a x c a x c 1122++，通常要借助画多个十字交叉线的办法来确定。
例2 分解因式：（1）2273x x -+； （2）2675x x --
（1）解：
∴2273x x -+= (3)(21)x x -- （2
）解：所有可能的十字形式：
∴2675(21)(35)x x x x --=+-
说明：⑴二次项系数为正时，只考虑分解成两个正因数之积；
⑵在二次项系数为正时，常数项的分解，符号规律同上节a 、b 的符号规律；
⑶分解二项项系数、常数项有多种可能，即使对于同一种分解，十字图也有不同的写法，为了避免重或漏，故二次项系数的因数一经排定就不变，而用常数项的因数作调整；
⑷用十字相乘法分解因式时，一般要经过多次尝试才能确定能否分解或怎样分解． 练习题（因式分解）：
（1）2x 2
＋7x ＋3=___ __ __ ____ （2）3x 2
－5x ＋2=___ __ __ ____
（3）2x 2
＋5x －7=___ __ __ ____ （4）5x 2
－3x －2=___ __ __ ____
二、练一练、做一做： 1、把下列各式分解因式：
（1）8722--ab b a （2）2
243n mn m --
（3）4
2
627x x -- （4）(a ＋b)2
＋5(a ＋b)－36
2、将下列各式因式分解
（1）x x x 2142
3-- （2）y xy y x 25102++
（3）11102
4-+x x （4）42243613y y x x +-
3、将下列各式因式分解
（1）20322
--x x ； （2）2x 2
＋5x ＋2；
（3）)3x 2 ＋7x －6 ； （4）2x 2－5xy ＋2y 2
4、用因式分解法列下列方程:
（1）x 2 + 2x －3 = 0 （2）2x 2－7x + 6 = 0
（3）x(x －2) = 3 （4） (2x －3)2 + 3(2x －3) + 2 = 0.
把2x^2-7x+3分解因式
把5x^2+6xy-8y^2分解因式例1把m2+4m-12分解因式例2把5x2+6x-8分解因式
例3解方程x2-8x+15=0
例5把14x2-67xy+18y2分解因式
例4、解方程6x2-5x-25=0
6x^2-7x-5 2x^2-7x+3
把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
(完整版)十字相乘法练习题
十字相乘法习题 1.232++x x 2.562++x x 3.11122++x x 4.17182++x x 5.342++x x 6.342+-x x 7.322-+x x 8.322--x x 9.672+-x x 10.652--x x 11.62-+x x 12.62--x x 13.22625a a +- 14.2024--x x 15.8624++x x 16. 42718x x +- 17.2223y xy x +- 18. 22149b ab a +- 19.8722--ax x a 20.10322-+mn n m 21. 223613b yb y +- 22. 9102+--a a 23. a a a 12423+-- 24. 222265x y x y x -- 25. 3)(4)(2++-+x b a b a 26. 10)2(3)2(2-+++y x y x 27. 12)4(7)4(222++++x x x x 28.2224)3(x x -- 29.6)25)(35(22--+++x x x x 30.24)4)(3)(2)(1(++-+-x x x x
31. 223x x -- 32. 2257x x +- 33. 2321a a -- 34. 23145b b +- 35.22157x x ++ 36. 2384a a -+ 37. 2576x x +- 38. 261110y y -- 39.313122+-x x 40.272442++x x 41.8652-+x x 42.1322++x x 43.61362+-y y 44.6732--a a 45.15442-+n n 46.3562-+x x 47.13852--x x 48. 2152-+x x 49.220920y y -- 50.2252310a b ab +- 51. 222231710a b abxy x y -+ 52. 53251520x x y xy -- 53. 22122+-）（x x 54. 108)2(39)2(324+---y x y x 55.8306251022++-+-y x y xy x 54. 222210173b a abxy y x +- 55. 2222)332()123(++-++x x x x
八年级数学：《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知识点归纳 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 ★★知识体系梳理 ◆分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 1、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★典型例题、解法导航 ◆考点一：十字相乘法 1、型三项式的分解 【例1】计算： （1）（2）（3）（4） 运用上面的结果分解因式：
初中数学十字相乘法练习(20200710023442)
第十一讲 十字相乘法探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ；（x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x 进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳： ab x b a x )(2（）（）将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式-x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2 -6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522x x = ； (2) 1032x x 。（3） x 2-2x-3= 。2．若6 52m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或。3. 分解因式(1)24142x x (2)36152a a (3)5 42x x (4)22x x (5)1522y y (6) 24 102x x x x 12 x 7x 1
例2．已知，如图，现有a a 、b b 的正方形纸片和a b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22 252a ab b ，并标出此矩形的长和宽。反馈练习 1．若652m m (m ＋a )(m ＋b )，则a 和b 的值分别是或． 2．3522x x (x －3) (__________)．3.如图，正方形卡片 A 类、 B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形， 则需要C 类卡片张．4．分解因式： （1）22157x x ； (2) 2384a a ；（3）15 22x x (4) 2576x x (5) 261110y y （6）10 32x x 5．先阅读学习，再求解问题： A a a B b b C b a 第3题图
十字相乘法概念
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1 ╳
a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解(x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2
八年级因式分解：十字相乘法
x x p q px ＋qx=(p ＋ q)x x 2 pq a 1x a 2x c 1 c 2 a 1c 2+a 2c 1=b c 1c 2=c a 1a 2=a 八年级因式分解完全导学案：十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 有()()()b x a x ab x b a x ++=+++2 注意：这里常数项是2，只有1×2。当常数项不是质数时，要通过多次拆分的尝 试，直到符合要求为止。通常是拆分常数项，验证一次项 x 2＋(p ＋q)x ＋pq=(x+p)(x+q) 对于一般的二次三项式ax 2+bx+c (a ≠0)此法依然好用。ax 2＋bx ＋c=(a 1x+c 1)(a 2x+c 2) 例1把m 2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4 ×3，-6×2，- 12×1当-12分成-2×6时，才
符合本题 解：因为1 -2 1 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。 当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为1 2 5 -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为2 -9y 7 所以14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 练习：将下列二次三项式分解因式： 1、7x2-13x+6 2、–y2-4y+12 3、15x2+7xy-4y2 4、10(x+2)2-29(x+2)+10
2公式法,十字相乘法
一元二次解法：（1）公式法 【知识要点】 1．计算方法 一，先将方程变为标准形式)0(02 ≠=++a c bx ax ，确认a ，b ，c 。 如何变： ① 通过移项或通分（如例一，例二，例三）注意：尽量使a 为正整数，方便计算 ② 通过公式计算展开（如例四，例五） 注意：符号 ③ 通过待定系数法结合①②（如例六） 注意：除了X ，其他均看做已知数 二，再计算△，当△=042≥-ac b ，有实数根。如△＜0，则方程无解 三，根据求根公式，将a,b,c , △代入公式，即得：-=2b x a ±。 【典型例题】 领练：例一 例①4722=-x x 例② 02 122412=+-x x 例③05422=-+-x x 例④x x x x 6)1()12()12(2 2++=--+ 例⑤2(3)2(1)7x x x --+=- 例⑥())1(03212 ≠=+++-m m mx x m
测试：例二 1，x x 4212=- 2，11)2(5)31)(13(+-=-+x x x 3，(2)(3) 56x x --= 4，02222=-+-n m mx x 二，熟练掌握△，不解方程，能够判断方程根的情况。 方程有两个实数根→△≥0 方程有两个相等的实数根→△＝0 方程有两个不相等的实数根→△＞0 方程没有实数根→△＜0 例三，变式训练 ①不解方程，请判别下列方程根的情况； （1）22340t t +-= ; （2） 2 16924x x += ; （3）25(1)70y y +-= ; ②方程242()0x a b x ab ---=的根的情况是 ; ③如果关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范 围是 . ④已知0,0,p q <<则一元二次方程20x px q ++=的根的情况是 ;
国家公务员考试行测：十字相乘法简介
十字相乘法简介 公务员考试数量关系主要测查报考者理解、把握事物间量化关系和解决数量关系问题的能力，主要涉及数据关系的分析、推理、判断、运算等。觉的题型有：数字推理、数学运算等。了解历年公务员入围分数线，可以让你做到心中有数，高效备考。 公务员行测题库帮助您刷题刷出高分来！ >>>我想看看国考课程。 十字相乘法简介 公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们
初中数学中十字相乘法分解因式
初中数学中十字相乘法分解因式 总结知识归纳： 掌握这种方法的关键是确定适合条件的 三项式 1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 1. 例1. x 的取值范围。 例2. m 的 分析：-2 a 、 b 为整数，去括号，得： c 、 d 为整数，去括号，得： 2. 在几何学中的应用
x、y，周长为16cm，且满足 4. 在代数证明题中的应用 例. 7的倍数，其中x，y49的倍数。 的倍数。 例1. （2000·湖北） 把2 2 2 2 49 5 4y y x y x- -分解因式的结果是________________。 解：2 2 2 2 49 5 4y y x y x- -
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2. 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 m 的值为（ ） 故选择C 。 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。 例3. a ，并将原式因式分解。
a，再利用原式有一个因式是实战模拟：
【试题答案】 1. （1）解： （2）解： （3）解： 说明：先正确分解，再判断。 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4.
说明：用因式分解可简化计算。
初二数学经典习题 十字相乘法及分组分解法(提高)巩固练习
完全平方公式（提高）巩固练习 【巩固练习】 一.选择题 1. 多项式22 3x xy ay -+可分解为()()5x y x by --，则a b 、的值为( ). A.a ＝10，b ＝－2 B.a ＝－10，b ＝－2 C.a ＝10，b ＝2 D.a ＝－10，b ＝2 2. 若()2230x a b x ab x x +++=--，且b a <，则b 的值为( ). A.5 B.－6 C.－5 D.6 3. 将()()2 56x y x y +-+-因式分解的结果是( ). A.()()23x y x y +++- B. ()()23x y x y +-++ C.()()61x y x y +-++ D. ()()61x y x y +++- 4．分解结果等于()()4225x y x y +-+-的多项式是 ( ) A ．
B ． C ． D ． 5. 对224293x x y y +--运用分组分解法分解因式，分组正确的是( )
A. 22(42)(93)x x y y ++-- B. 22(49)(23)x y x y -+- C. 22(43)(29)x y x y -+- D. 22(423)9x x y y +-- 6．如果3233x x x m +-+有一个因式为()3x +，那么m 的值是（ ） A. －9 B.9 C.－1 D.1 二.填空题 7. 分解因式： 3223636a a b a c abc +--； 8. 分解因式：224202536a ab b -+-； 9．5321x x x -+-分解因式的结果是__________. 10. 如果代数式 有一因式，则a 的值为_________． 11．若3223a a b ab b --+有因式()a b -,则另外的因式是_________.
国家公务员行测：十字相乘法简介
公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则 AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程： ， 解得x= 4900. 我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。 方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。
十字相乘法的运算方法
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3
十字相乘法的用法
十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3
(完整版)十字相乘法
十字相乘法分解因式 因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相 乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复 进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试 一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 1．二次三项式 （1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项． 例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． （2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式． （3）在多项式3722 2+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 例1、 因式分解。 分析：因为 7x + (-8x) =-x 解：原式=（x+7）（x-8）
例2、 因式分解。 分析：因为 -2x+（-8x ）=-10x 解：原式=（x-2）（x-8） (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++= 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉 相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 例3、 因式分解。 分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。 因为 9y + 10y=19y 解：原式=（2y+3）（3y+5） 例4、 因式分解。 分析：因为 21x + (-18x)=3x 解：原式=（2x+3）（7x-9） 例5、 因式分解。 分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。 因为 -25（x+2）+[-4(x+2)]= -29（x+2） 解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2] =（2x-1）（5x+8）
公式法和十字相乘法
公式法和十字相乘法 概念回顾： 1.公式法 因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2－2ab+b2=(a－b)2 2．十字相乘法 定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 要将二次三项式x2+ px + q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p, 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉线表示: x +a x +b ax + bx = (a + b)x 由于把x2+ px + q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解. 将二次三项式x2+ 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x2+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p 符号规律：当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同。 例题精讲：
基础训练： 1. 用完全平方公式分解因式： 2.用完全平方公式分解因式：
3.用十字相乘法分解因式 4.用十字相乘法分解因式
十字相乘法(附答案解析)
十字相乘法 (2020年8月) 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2 ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652 ++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2 286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式3722 2+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22 +-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同 样，多项式12)(7)(2 ++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项
负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数 2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2 ))(()(22112112212 21c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”， 这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】 例1 把下列各式分解因式： （1）1522 --x x ；（2）2 2 65y xy x +-． 点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y 看作常数，转化为关于x 的二次三项式，常数项2 6y 可分为(－2y )(－3y )，而(－2y )＋(－3y )＝(－5y )恰为一次项系数． 解：（1）)5)(3(1522 -+=--x x x x ； （2）)3)(2(652 2 y x y x y xy x --=+-．
初中数学 十字相乘法练习
第十一讲 十字相乘法 探究解决： （1）请直接填写下列结果 （x+2）（x+1）= ； （x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。 把上述式子左右对调，你有什么发现？ 二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。 （4）归纳：=+++ab x b a x )(2（ ）（ ） 将x 2+3x+2分解因式，看下图，你有什么启发？ x 2 +3x +2 2x + x = 3x 例 x 2 + 6x – 7= （x+7）(x-1) 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加 ③检验确定，横写因式 -x + 7x = 6x 例1. 用十字相乘法分解因式： （1）x 2-8x+15 （2）x 2+4x+3 （3）-x 2-6x+16 练习 1．把下列各式分解因式： （1）1522--x x = ； (2) =-+1032 x x 。 （3） x 2-2x-3= 。 2．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 。 3. 分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x (4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x x x 1 2?x ??7? x 1-
例2．已知，如图，现有a a ?、b b ?的正方形纸片和a b ?的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至 少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图 的痕迹），使拼出的矩形面积为22252a ab b ++，并标出此矩形的长和宽。 反馈练习 1．若=--652m m (m ＋a )(m ＋b )，则 a 和b 的值分别是 或 ． 2．=--3522x x (x －3) (__________)． 3.如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片 张． 4．分解因式： （1）22157x x ++； (2) 2384a a -+； （3）1522--x x (4) 2576x x +- (5) 261110y y -- （6）1032 -+x x 5．先阅读学习，再求解问题： a b b 第3题图
公务员考试十字相乘法解数学题
十字相乘法解数学题 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。 （一）原理介绍 通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。 方法二：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法三： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C）
上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是 A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 答案：C 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600
人教版初一数学上册十字相乘法教学设计
【教学内容】十字相乘法 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 一、复习导入 1．口答计算结果： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3) 2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢? [在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ] 二、探索新知 1、观察与发现: 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算. 反过来可得x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 2、体会与尝试： ①试一试因式分解: x2 + 4x + 3 ；x2 －2x －3 将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: 3.练习 1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36 5、x4-2x3-48x2
初中数学十字相乘法因式分解
初中数学十字相乘法因式分解 要点： 一、2()x p q x pq +++型的因式分解 特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到： pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++= ))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++= 1的二次三项式分解因式。 二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。 反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++. 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。 【典型例题】[例1] 把下列各式分解因式。（1）232++x x （2）672+-x x 分析：（1）232++x x 的二次项的系数是1，常数项212?=，一次项系数213+=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。 （2）672+-x x 的二次项系数是1，常数项)6()1(6-?-=，一次项系数=-7)1(- )6(-+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子，因此可用公式pq x q p x +++)(2+=x ( ))(q x p +分解以上两式。 解：（1）因为212?=，并且213+=，所以)2)(1(232++=++x x x x （2）因为)6()1(6-?-=，并且)6()1(7-+-=-，所以)6)(1(672--=+-x x x x [例2] 把下列各式因式分解。 （1）22-+x x （2）1522--x x 分析：（1）-+x x 22的二次项系数是1，常数项2)1(2?-=-，一次项系数2)1(1+-=，这是一个pq x q p x +++)(2型式子。 （2）1522--x x 的二次项系数是1，常数项3)5(15?-=-，一次项系数)5(2-=- 3+，这也是一个pq x q p x +++)(2型式子。 以上两题可用))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++式子分解。 解：（1）因为2)1(2?-=-，并且2)1(1+-=，所以)1)(2(22-+=-+x x x x （2）因为3)5(15?-=-，并且3)5(2+-=-，所以)3)(5(1522+-=--x x x x 注意：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。 （2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。 [例3] 把下列各式因式分解。 （1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+