立体几何 排列组合题

排列、组合应用题大致可以分为三类，即不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列、组合综合题。

【例1】某年级开设语文、政治、体育、外语、历史、物理、化学七门课。

（1）一天开设七科不同课程，每科一节，其中体育不排在第一节，也不排在第七节，问有多少种排法？

【例2】从6名男生、4名女生中选派 5名值日生，各有多少种选派方法？

（1）只有一名女生；

（2）至少有一名女生；

（3）至多有2名女生；

（4）女生A和B必选入；

（5）女A或男甲只一个选入

【例3】把12个人分成 3个小组，各有多少不同的分法？

（1）各组人数分别为2，4，6人；

（2）平均分成3个小组；

（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间；

（4）平均分成3个小组，进入3个不同车间，每人担任不同的工作。

（3）解法一分两步：第一步平均分三组，第二步让三个小组分

【例4】有9个工人，其中4人只能当钳工，3人只能当车工，另外2人既能当车工又能当钳工，现从这9人中，选派2名钳工和2名车工完成某项任务，共有多少种选派方法？

解法一设既能当车工又能当钳工的二人为甲、乙。以甲、乙为研究对象，分三类：

排列、组合、二项式定理

一、选择题:(本大题共6小题,每小题8分共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.由数字1,3,5,7,9可以组成允许有重复数字的三位数和无重复数字的三位数的个数分别是 [ ]

A.15,10

B.125,12

C.125,60

D.243,60

[ ]

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知集合A=｛0,2,3,5,9｝,从A中任取两个不同元素,它们的和作为元素构成集合B,则集合B的所有子集的个数为

[ ]

A.511

B.512

C.1024

D.1023

[ ]

5.把 1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个格子,每格填一个数字,每个格的标号与该格所填数字都不同,则不同的填法有

[ ]

A.6种

B.9种

C.11种

D.23种

系数比的2倍,则a的值为

[ ]

二、填空题:(本大题共4小题,每小题10分共40分)

1.十进制中,含3个奇数数字,含两个偶数数字的不含重复数字的五位数有

个.

2.圆周24等分,以这些等分点为顶点的直角三角形的数目是 .

项是 .

4.9192除以100的余数是 .

三、本题12分

参考答案

一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A

二、1.11040

2.264

4.81

三、证明:

立体几何综合训练

一、选择题

1．正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线 [ ] A．2对 B．3对

C．6对 D．12对

2．已知直线a、b、c及平面α，具备以下哪一条件时，a∥b [ ] A．a∥α，b∥α

B．a⊥c且b⊥c

C．a、b与α所成角相等

D．a⊥α、b⊥α

3．各侧面都是等边三角形的正三棱锥，侧棱与底面所成的角为 [ ]

[ ]

A．①与② B．③与④

C．②与④ D．①与③

5．梯形ABCD的底边AD在平面α内，另一底边BC到平面α的距离为5，且DA∶CB=7∶3，则梯形对角线的交点O到平面α的距离

为 [ ]

6．一个圆台的轴截面是半个正六边形，则圆台侧面展开后的中心角为 [ ] A．120° B．180°

C．240° D．270°

7．一个球过正方体A的各个顶点，正方体B的各条棱和这个球相切，正方体C的各个面和这个球相切，则正方体A、B、C的全面积之比

为 [ ]

A．2∶3∶6 B．1∶2∶3

8．三棱锥三侧面与底面所成二面角相等，那么顶点在底面的射影是底面三角形的[ ]

A．重心 B．垂心

C．内心 D．外心

9．用任意平面截球，截得截面积不大于球面积的 [ ]

10．三角形三边边长为a、b、c，分别以三边为轴旋转一周，所得旋转体体积之比

为 [ ]

二、填空题

1．异面直线a、b成60°角，点A、B∈a，点C、D∈b，且AB=4，CD=2，E、F、G分别为AC、CB和BD中点，则E和G间距离为____．

2．如果一条弧的长度与它所在圆的直径相等．那么这条弧所对的圆心角的弧度数是____．

3．纬度为α的纬度圈上有A、B两点，这两点的纬度圈上的弧长为πRcosα(R为球的半径)，则这两点间的球面距离为____．

积是____．

三、解答题

1．在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．(1)求四棱锥P-ABCD的体积．(2)求证：AD⊥PB．

2．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B，并使D点在平面ABC内的射影落在AB上，求二面角D-AC-B的余弦值．

3．正四棱柱ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中，底面边长为15cm、高为20cm，求底边AB和对角线A

1

C

间的距离．

4．一个圆锥的外接球体积为972π，且内切球面积为圆锥的侧面积和底面积的等差中项．求这个圆锥的体积．

立体几何综合训练参考答案

一、选择题

1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．B

二、填空题

三、解答题

1．(1)∵CD=a，∴AB=2a，PD=a．

在△ABD中，BD2=5a2-2·2a2cos60°=3a2，

AD2+BD2=a2+3a2=4a2=AB2，

∴∠ADB=90°，而AD⊥DB．

∵PD⊥面ABCD，

∴BD是PB在面ABCD内射影，由三垂线定理知PB⊥AD．

2．过D作DO⊥AB于点O，过D作DE⊥AC于点E，连结OE，则DO⊥面ABC，OE⊥AC．

于是二面角D-AC-B的大小为

3．连结A

1D、B

1

C，∵AB∥CD，

∴AB ∥面A 1DCB 1．

∴ AB 与A 1C 的距离转化为AB 与面A 1C 的距离． ∵AB ⊥BC ，AB ⊥B 1B ， ∴AB ⊥面BB 1C ． 过B 作BH ⊥B 1C ，交于点H ， ∵ CD ∥AB ∴面A 1DCB 1⊥面BCB 1

于是底边AB 和对角线A 1C 的距离为12cm ．

4．如图2，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线为l ，内切球心O ，半径为x ，外接球心O 1，半径为y ，则

8h 2r=(l+r)3

∵h 2=l 2-r 2，∴8(l 2-r 2)·r=(l+r)3．

∵ l+r≠0，∴8(l-r)·r=(l+r)2．

立体几何单元测试

一、选择题(本题满分60分，每小题4分)

(1)空间四边形各边中点为顶点的四边形是菱形，则空间四边形的两条对角线 [ ]

A．互相垂直且可能长相等

B．长相等但不垂直

C．长相等且可能互相垂直

D．必垂直但长不相等

(2)A为直二面角α-l-β的棱l上的一点，两条长度都为a的线段AB，AC分别在α，β内，且都与l成45°角，则BC的长

为

[ ]

A．a

(3)四面体ABCD的棱长均为1，M，N分别在一组相对的棱AB和CD上，则线段MN的最小值是 [ ]

(4)若P为正方体ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

中棱A

1

B

1

的中点，则截面PC

1

D与面AA

1

B

1

B所成二面角的

正切值为 [ ]

(5)平面α内有一个半径为a的圆O，OP⊥α且OP=a，PA是α的一条斜线，PA=2a(A∈α)，B为圆O上的任一点，则PA在α内的射影与AB所成的角中最大角的正弦值

为 [ ]

(6)已知三棱台A

1B

1

C

1

—ABC中，V

B—A1B1C1

=4，V

C1—ABC

=16，则V

A1B1C1—ABC

等于 [ ]

A．28

B．29

C．30

D．无法确定

(7)半球内有一内接正方体，则这个半球面的面积与正方体表面积的比为 [ ]

D．以上答案均不对

(8)△ABC中BC长一定，A点在平行于BC的直线l上移动，若△ABC以直线l为轴旋转一周得一旋转体，则无论A点在直线l上的位置如何，正确结论

是 [ ]

A．体积和表面积都为定值

B．体积为定值，表面积不为定值

C．体积不为定值，表面积为定值

D．表面积和体积均不为定值

(9)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角的大小关系

是

[ ]

A．相等

B．互补

C．相等或互补

D．无法确定

(10)四面体一棱长为x，其余各棱长均为常数a，设四面体的体积函数为V(x)，则在定义域内V(x) [ ]

A．是增函数但无最大值

B．是增函数且有最大值

C．不是增函数且无最大值

D．不是增函数但有最大值

(11)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则这个三棱锥的全面积是 [ ]

(12)已知三棱台ABC—A

1B

1

C

1

中，S

△A1B1C1

=m2，S

△ABC

=n2(m＞n＞0)，BC到截面AB

1

C

1

的距离

等于这个棱台的高，那么截面AB

1C

1

的面积

为 [ ]

B．mn

D．2mn

(13)要挖一个半圆柱形鱼池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则鱼池的最大容积为 [ ]

(14)圆锥全面积为π，则它的体积的最大值

为 [ ]

(15)如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面，圆锥侧面展开图的圆心角为α，则α的取值范围

是

[ ]

A．(0，2π)

B．(0，π)

二、填空题(本题满分20分，每小题4分)

(16)已知P为Rt△ABC所在平面α外的一点，PA=PB=PC=13，两直角边AC，BC的长分别为8和6，则P到BC的距离为______．

(17)已知E，F为△ABC中AB和AC的中点，△AEF和梯形EBCF各绕直线BC旋转一周

所得旋转体的体积分别记作V

1和V

2

，则V

1

∶V

2

=______．

(18)AD是边长为2a的正三角形的边BC的中线，若沿AD把△ABC折成直二面角，则B 到AC的距离为______．

(19)圆台两底面半径分别为4和1，轴截面的两条对角线互相垂直，则圆台体积为

______．

Q的平面中，与球心的最大距离是______．

三、解答题

(21)(12分)如图25—1所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a，AD=BC=2a，AC∩BD=E，∠A=60°，将其沿对角线BD折成直二面角．

(Ⅰ)证明AB⊥平面BCD；

(Ⅱ)证明平面ACD⊥平面ABD；

(Ⅲ)求二面角A—CE—B的大小．

(22)(12分)如图25—2所示，正三棱柱ABC—A'B'C'的底面边长和高都等于a，截面C'AB与截面CA'B'交于DE，求四面体BB'DE的体积．

(23)(14分)如图25—3，正三棱柱ABC—A

1B

1

C

1

中，D为A

1

A的中点，E为B

1

C

1

的中点．

(Ⅰ)求证B

1C

1

∥面DBC；

(Ⅱ)若A

1

A=AB=2a，求二面角B—DC—A的大小(文科求该角的正切值)；(Ⅲ)求E到面DBC的距离．

(24)(16分)如图25—4，在四棱台ABCD—A

1B

1

C

1

D

1

中，底面ABCD是边长为2a的正方形，

A 1A⊥底面ABCD，且A

1

A=A

1

D

1

=a．

(Ⅰ)求证C

1

C⊥面AB

1

D

1

；

(Ⅱ)求面AB

1D

1

和面ABCD所构成的二面角的大小(文科求出其正切函数值)；

(Ⅲ)求多面体ABCD—B

1C

1

D

1

的体积．

(25)(16分)如图25—5，已知圆锥S—AB的轴截面是Rt△，D为母线SA的中点，C为底面圆内一点，若OC⊥AC，OH⊥SC于H．

求证(Ⅰ)OH⊥SA；

(Ⅱ)SA⊥面ODH；

(Ⅲ)若母线长为2a，求三棱锥S—ODH体积的最大值．

答案与提示

一、(1)C(2)C(3)B(4)D (5)C(6)A (7)A(8)B(9)D(10)D(11)A(12)B(13)A(14)B(15)C

提示：(3)M，N为AB和CD中点时，MN取得最小值．

(5)PA在α内的射影与AB所成的角中，当AO⊥OB时，其角最大．此

(9)只有当两个二面角的棱互相平行时，它们才可能相等或互补，否则可任意作一个平面α与二面的一个面垂直．又可任意作一个平面β与二面角另一个面垂直，则α，β相交所成的二面角的大小是任意的．

(10)设四面体ABCD中，AD=x，则当面ABC与面DBC垂直时，其

减．

三、(21)(Ⅰ)在△ABD中，AB=a，AD=2a，∠A=60°，∴∠ABD=90°．同理∠CDB=90°∵面ABD⊥面BCD，且AB⊥BD，∴AB⊥面BCD

ACD，∴平面ACD⊥平面ABD

设所求二面角为α，则

(22)如图答25—1所示，取A′C′中点G，连EG，则EG∥面B′BCC′．将四面体BB′DE视为以△B′BD为底，E为顶点的三棱锥，则E到面B′BCC′的距离即为锥高，作GH⊥B′C′于H，

(Ⅱ)取AC中点F，则BF⊥面ADC

过B作BH⊥DC于H，则FH⊥DC

∴∠BHF为B—DC—A的平面角

EMD⊥面DBC

(Ⅲ)取BC中点M，易证面A

1

过E作EN⊥DM于N，则EN⊥面DBC

∴EN即为E到面BDC的距离，