变分不等式多种问题

变分不等式问题的新发展

收稿日期:1999-12-15 基金项目:陕西省教委自然科学专项基金资助项目(99J K096) 作者简介:邢志栋(1950-),男,副教授.变分不等式问题的新发展 邢志栋1,曾云辉1,刘三阳2 (11西北大学数学系,陕西西安 710069;21西安电子科技大学理学院,陕西西安 710071) 摘要:在简要地介绍变分不等式的基本理论和算法的基础上,归纳出当前求解变分不等式的4类主要 数值方法:投影收缩算法;基于间隙函数的鞍点算法;基于K -K -T 方程组的简单约束优化算法和基于法 方程的解法. 关键词:变分不等式;投影收缩;法方程 中图分类号:O178;O221 文献标识码:A 文章编号:1001-2400(2000)05-0648-05 New advan ces in m ethods for varia tiona l inequa lit y XI NG Zhi-do ng 1,ZENG Yun-hui 1,LI U Sa n-y ang 2 (1.Dept.of Mathm atics,Northwest Univ.,Xi c an 710069,China; 2.School of Science,Xidian Univ.,Xi c an 710071,China) Abs t r a c t : The ba s i c t he o r y a nd a l g o r i t hm s o f v a r i a t i o nal i nequa l i t y a r e i nt r o duc e d, a nd v a r i o us m e t ho ds ha v e be e n de v e l o pe d f o r t he r e s o l ut i o n o f VI P.The y a r e t he pr o j e c t i o n a nd c o nt r a c t i o n m e t ho d,t he s a ddl e po i nt a l g o r i t hm s ba s e d o n t he g a p f unc t i o n ,t he s i m pl e c o ns t r a i ne d opt i m i z a t i o n m e t ho d o n K -K -T e qua t i o ns a nd t he s t a t e g y m a j o r i ng i n t he e qui v a i e nt no r m a l e qua t i o n i ns t e a d o f t he i ni y i a l v ar i a t i o na l i ne qua l i t y. Ke y W o r ds: v a r i a t i o na l i ne qua l i t y ;pr o j e c t i o n and co nt r a c t i o n m e t ho d;no r m a l e qua- t i o n 1 变分不等式问题的基本理论 111 变分不等式的定义及与其他数学规划问题的关系 设X 为n 维欧氏空间R n 中的非空闭凸集,映射F :R n y R m ,则变分不等式问题(VI (X ,F)): 求x I X , 使F (x )T (y -x )\0 , P y I X . (1)变分不等式问题(VI)与其他数学规划有着密切联系: 1)如果X 取为R n 中的开集,文献[1]称VI (X ,F )为广义方程组,即 F (x )=0 ; (2) 2)假设F (x )的梯度¨F (x )为对称阵,此时VI (X ,F)的一个解x *为约束优化问题 min g(x ) s.t.x I X ,(3) 的一个驻点,文献[2]称其为驻点问题. 3)当可行集X 为非负象限时,变分不等式VI (X ,F )等价于非线性互补问题NCP (F ),即 2000年10月 第27卷 第5期 西安电子科技大学学报(自然科学版)JOURNAL OF XID IAN UNIVERSITY Oct.2000 Vol.27 No.5

变分不等式及其应用

变分不等式及其应用 摘要 变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名．作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用． 第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。 第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。 第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。 第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。

关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题 VARIATIONAL INEQUALITY AND ITS APPLICATION ABSTRACT Variational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and development of classical variational problems,

求解变分不等式算例

求解变分不等式： 例2：.]5,5[,0)(,0),(**n w w g v w v F -∈?≤≥-（n 可以是维数，在我们计算的过程中，可以取100,200,……1000维） ???? ? ??++=n v n v e v e v v F 11)(，w Aw w g ,)(=，A 是一个n n ?对称矩阵，可随机生成。 例 1：.]5,5[,0)(,0),(**n w w g v w v F -∈?≤≥- 其中?????? ? ??---+??????? ????????? ??---=34680211220210421224)(4321v v v v x F ,w w w g ,)(-=. 其解为（4/3,7/9,4/9,2/9）。(不变) 用迭代序列编程求解： 高维迭代 clc; k=0; k_inner=1000; time0=cputime; n=4; v0=0*rand(n,1); p0=1; Q=eye(n); b=5*diag(Q);%盒子的上界 a=-5*diag(Q)%盒子的下届 mu=0.03;

%F函数的输入如下 F=zeros(n,1) for i=1:n F(i,1)=v0(i)+exp(v0(i)); end barp0=max(0,p0-mu*sum(v0.^2)); % barv0=zeros(4,1); for i=1:n if v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))<=a(i) barv0(i)=a(i); elseif v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i))>=b(i) barv0(i)=b(i); else barv0(i)=v0(i)-mu*(F(i)+barp0*v0(i)); end end