湖北省部分重点中学2021届高三数学上学期10月联考试题

湖北省部分重点中学2021届高三数学上学期10月联考试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.全集，

，

，则图中阴影部分表示的集合是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

2. 从2020年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、

B 、

C 、

D 、

E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，

D 等级14%，

E 等级1%．

现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80 C ．90 D ．110

3．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“?x ∈A ，x 2

－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B．a ≤4 C．a ≥5 D．a ≤5

4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的

1

4

还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

5. 已知定义在R 上的函数||

()2

1x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()3

2a f -=，

()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c a b <<

D ．c b a <<

6. 函数π

()sin()(0)4

f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为

π

3

的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）

A ．向右平移

4π个单位B ．向左平移π

12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34

π个单位

7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝3

2×10000，2小时

后，细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000，问当细胞总数超过1010

个时，

所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301) A ．38小时 B ．39小时 C ．40小时 D ．41小时

8. 若1a >，设函数()4x

f x a x =+- 的零点为(),lo

g 4a m g x x x =+-的零点为n ，则

11

m n

+的取值范围是( ) A ．7,2??+∞

???

B ．9,2??

+∞

???

C ．()4,+∞

D ． [

)1,+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. 如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论： A ．三棱锥1A D PC -的体积不变 B ．1A P 与平面1ACD 所成的角大小不变 C. 1DP BC ⊥ D ．1DB ⊥1P A

其中正确的结论有( )

10.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右两个顶点分别是A 1，A 2，左右两个焦点分别是F 1，

F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）

A ．122PF PF a -=

B ．直线12,PA

PA 的斜率之积等于定值2

2b a

C ．使12PF F ?为等腰三角形的点P 有且仅有4个

D ．焦点到渐近线的距离等于b

11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =?，4b =，下列判断： A ．若3c =

，则角C 有两解； B ．若9

2

a =

，则角C 有两解； C ．ABC 为等边三角形时周长最大. D ．ABC 为等边三角形时面积最小 其中判断正确的是（ ）

12. 已知函数()ln f x x =，32

()2e ()g x x x kx k R =-+∈，

若函数()()y f x g x =-有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______

A ．2

1e e

k =+

B ．曲线()y g x =在点(e,(e))g 处的切线与直线e 10x y -+=平行

C ．函数2()2e y g x x =+在[0,e]上的最大值为22e 1+

D ．函数2

()e e

x y g x x =-

-在 [0,1]上单调递增。 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. ()()4

2x y x y ++的展开式中3

2

x y 的系数为______________ 14.函数()2ln 1x f x a x ??

=+

?+??

为奇函数，则实数___________a = 15.ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若函数()()

3

2

2

2

1

3

f x x bx a c ac x =+++-1+有

极值点，则角B 的范围是____________________

16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：

()[]1

,(,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ?=?=??=?

当都是正整数是既约真分数)当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则

108lg 35f f ????

-= ? ?????

_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个，使数列{}n a 是等比数列，说明理由；

① 数列(){}

n f a 是首项为2，公比为2的等比数列；

② 数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；

③ 数列(){}n

f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．

（2）在（1）的条件下，当2k =时，设1

2

241

+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. 已知函数π()cos()(0,0,0)2f x A x A ω?ω?=+>><<的图象过点（0，1

2

），最小正周

期为2π3

，且最小值为－1.

（1）求函数()f x 的解析式.

（2）若()f x 在区间π[,]6

m 上的取值范围是3

[1,]--，求m 的取值范围.

19. 如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ?和VAC ?均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ，VB 的中点.

（Ⅰ）求证：AB VC ⊥；

（Ⅱ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.

20. 在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点? ????5

2

，32，离心率为255.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)过点K (2,0)作与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 点作直线l ：x ＝a 2

c

的

垂线，其中c 为椭圆C 的半焦距，垂足分别为A 1，B 1，试问直线AB 1与A 1B 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列（只需列式无需计算）及期望E ξ．

22. 已知函数()

()

2

x

x ax a f x e

+-=

，其中a R ∈.

（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程；

（2）求证：若()f x 有极值，则极大值必大于0.

答案

选择题：

填空题：

13. 14 14. 1- 15. (,)3π

π 16. 1

5

解答题 17. （10分）

【解析】（

1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：

由题意()4(1)222n f a n n =+-?=+， ………1分 即log 22k n a n =+，得22

n n a k

+=，且4

10a k =≠，2(1)2

2122n n n n a k k a k

++++∴==. ………3分 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，

∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列． ………4分

（2）由（1）知2n 2n k a +=，所以当k =1

2n n a +=.

………5分

因为1

2

241

+=-n n n a b n ， 所以2141

n b n =

-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ??

=

=- ?-+-+??

， ………7分

12111111...1...23352121n n T b b b n n ??=+++=-+-++- ?

-+??11122121

n

n n ??=-= ?++??. ………10分

18. （12分）

【解析】（1）由函数的最小值为－1，可得A=1， ………2分

因为最小正周期为

23

π

，所以ω=3. ………4分 可得()cos(3)f x x ?=+，

又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2?=，而02π?<<，所以3

π?=， 故()cos(3)3

f x x π

=+. ………6分

（2）由[

,]6

x m π

∈，可知

533633

x m πππ≤+≤+，

因为53()cos 662f π

π==-，且cos π=－1，73

cos 62

π=-

， 由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918

m ππ

≤≤，

即25[

,]918

m ππ

∈. ………12分

19. （12分） 【解析】

（Ⅰ）在等腰直角三角形VAC ?中，AC CV =，所以VC AC ⊥. (2)

分

因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC 平面ABC AC =， VC ?平面VAC ，

所以VC ⊥平面ABC . ………4分

又因为AB

平面ABC ，所以AB VC ⊥； ………5分

（Ⅱ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ， 由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ，

因为CH ?平面ABC ，所以VC CH ⊥. ………6分 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.

则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ?? ???

.

()1,1,2VB =-，()1,0,1CM =，11,,122CN ??

= ???

. ………7分

设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，

则00n CM n CN ??=??=?，即011

02

2x z x y z +=??

?++=??. 令1x =则1y =，1z =-，所以1,1,1n

. ………10分

直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22

sin cos ,3

n VB n VB n VB

θ?==

=?. 所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为22

. ………12分

20. （12分）

【解析】 (1)由题意得???

??

a 2＝

b 2＋

c 2，

54a 2

＋34b 2

＝1，

c a ＝255

????

a ＝5，

b ＝1，

c ＝2，

所以椭圆C 的标准方程为x 2

5＋y 2

＝1. ………4分

(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝5

2

，

AB 1与A 1B 的交点是? ??

??94

，0. ………5分

②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)， 由???

?

?

y ＝k （x －2），x 2

＋5y 2

＝5

?(1＋5k 2

)x 2

－20k 2

x ＋20k 2

－5＝0，

所以x 1＋x 2＝20k 2

1＋5k 2，x 1x 2＝20k 2

－5

1＋5k

2， ………6分

A 1? ??

??5

2，y 1，B 1? ??

??52

，y 2，

所以lAB 1：y ＝

y 2－y 152

－x 1? ?

?

??x －52＋y 2， lA 1B ：y ＝y 2－y 1x 2－

52

? ????x －52＋y 1， ………7分

联立解得x ＝x 1x 2－254x 1＋x 2－5＝20k 2

－51＋5k 2－

25

420k 21＋5k 2－5＝－45（1＋k 2）－20（1＋k 2)＝9

4

， ………9分

代入上式可得

y ＝k （x 2－x 1）－10＋4x 1＋y 2＝－9k （x 1＋x 2）＋4kx 1x 2＋20k 4x 1－10

＝－9k ·20k 2

1＋5k 2＋4k ·20k 2

－5

1＋5k 2＋20k 4x 1－10

＝0. ………11分

综上，直线AB 1与A 1B 过定点? ??

??94，0. ………12分 21. （12分）

【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立， ………2分

3221322132115

()()()43324332433212

P ABCD P ABCD P ABCD ++=

???+???+???=. ……5分 (2)0337(0)()12P C ξ==， 12357(1)()()1212P C ξ==，

22357(2)()()1212P C ξ==, 33

35(3)()12

P C ξ==

因此，ξ的分布列如下：

………9分

因为ξ～53,12B ??

??? ………10分 所以55

3.124

E ξ=?

= ………12分

22. （12分）

【解析】（1）()()()()2222'x x

x a x a x a x f x e e ---+-+-==

， ………2分 当0a =时，()1'1f e =

，()1

1f e

=， ………3分 则()f x 在()()1,1f 的切线方程为1

y x e

=； ………4分

（2）证明：令()'0f x =，解得2x =或x a =-， ………5分 ①当2a =-时，()'0f x ≤恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递减，

∴函数()f x 无极值； ………6分 ②当2a >-时，令()'0f x >，解得2a x -<<，令()'0f x <，解得x a <-或2x >， ∴函数()f x 在(),2a -上单调递增，在(),a -∞-，()2,+∞上单调递减， ∴()()24

20a f x f e

+==

>极大值； ………9分 ③当2a <-时，令()'0f x >，解得2x a <<-，令()'0f x <，解得2x <或x a >-， ∴函数()f x 在()2,a -上单调递增，在(),2-∞，(),a -+∞上单调递减， ∴()()0a a

f x f a e

-=-=

>极大值， 综上，函数()f x 的极大值恒大于0. ………12分