狭义相对论的推论

狭义相对论的推论

4、1 洛仑兹变换

考虑两个任意的惯性系S （x ，y ，z ，t ）和S ′（x ′，y ′，z ′，t ′），第二个惯性系相对于第一个惯性系以速度υ沿x 方向运动。在t= t ′= 0时，两个惯性系重合。在那一瞬间，重合的原点处发射出球面光波。t 秒之后，波扩展为球面：2

22

2

2

t c z y x =++，狭义相对性原

理和光速不变原理的一致性要求，这个波会等价地扩展为：2

2222t c z y x '='+'+'；根据

空间和时间的均匀性假定，这两个方程蕴含着两组坐标系之间的关系是线性的。于是，由简单的算术运算得到两组坐标之间的关系为：

?????

???

?--='='='--='2222

2/1//1c c x t t z z y y c t x x υυυυ或????

?

???

?-'-'=

'='

=--'=2

222

2/1//1c c x t t z z y y c t x x υυυυ

这两组公式就称为洛仑兹变换。需要说明的是在洛仑兹那里，

洛仑兹变换仅仅是由猜测得到的具有纯粹形式意义的假象，他

根本无法理解运动参考系中的坐标（x ′，y ′，z ′，t ＇）的真正含义而将其称为“虚时空”，而在爱因斯坦的相对论中，洛仑兹变换则是两条基本原理的必然的逻辑推论，因此有充分理由将其视为时空内在属性的变化。

4、2 长度的收缩

测量一个物体的长度即空间间隔的办法是同时即当21t t =时测量它两端的坐标，若所测坐标为1x 和2x ，则物体的长度为120x x l -=。如果一个物体相对于S ′系静止而相对于S 系以速度υ运动时，在S 系中测量该物体的长度是多少呢？根据洛仑兹变换公式有 2

2

111/1c

t x x υυ--=

'

，2

2

222

/1c

t x x υυ--='

易见物体静止长度为12

0x x l '-'=；其运动长度为 12x x l -=，故有 2

2

122

2

121212

0/1/1)

()(c

x x c

t t x x x x l υυυ--=

----='-'=，即

220/1c l l υ-=

由此可以看出，在K 系中测量运动的物体的长度l ，比其静止时的长度0l 缩短了，即一个物体相对于观察者为静止时，该物体的长度测量值最大；当它相对于观察者运动时，在它

图9-5洛仑兹变换

的运动方向上，该物体的长度测量值要缩短，速度越快，缩短越甚。相对论的这种效应，我们称之为空间间隔的“尺缩效应”。

4、3 运动时钟的延缓

假如在S 系中的某点x 处发生了一个事件，由S 系来测量时，这个事件开始于t ＝t 1时刻，终止于t=t 2时刻，它所经历的时间间隔为上△t=t 2－t 1。而从相对于 S 系运动的S ′系进行测量时，事件所经历的时间间隔为△t=t 2′－t 1′。由洛仑兹变换并注意到x 2′=x 1′，可得

t c

t c t t c c x t c c x t t t t '?>-'?=-'-'=-'+'--'+'=-=?2

222122221

1

2222

2

12/1/1/1/1υυυυυυ 由此可知，在K 系中静止的观察者看来，相对S 系运动的惯性系S ′系中的时钟变慢了，也

就是说，运动系统中的时钟延缓了，或者更准确地说，一切发生在运动物体上的过程，在静止的观察者看来都变慢了。这种现象又常常被称为时间间隔的“钟慢效应”。

4、4 速度变换公式

在经典力学中，速度叠加原理为υ+'=u u ，由此光速对不同的参考系的传播速度不相等。但在相对论中，根据洛仑兹变换，很容易推导出新的速度合成公式：

2

222

22

2

21/1/1c

u u t

x c t t t

x x c t t x c x

c t c t

x t x u υυυυυυυυ

υυ--=--=--=--

--='

'=

' 或者 2

1c u u u υ

υ'+

+'=

易见，若u ′＝c 时，c c c c u =++=2

1υ

υ，这恰好反映了光速不变性的原理。而当u 《c 和υ《c

时，它就成为经典力学中的速度叠加公式了。

4、5 质速关系和质能关系

狭义相对论预言，物体的惯性质量将随它的运动速度的增加而加大，速度趋于光速时，惯性质量将趋于无限大。这个关系可表述如下：

2

2

01c

m m υ-=

简称质速关系。其中m 0是物体的静止质量，m 称为总质量或相对论质量，两者之差可以定义为动质量m k ＝m －m 0，υ是物体的运动速度。

狭义相对论最重要的一个预言是质量同能量之间有如下关系（E 代表能量，m 代表质量）

2mc E =或 2mc E ?=?

简称质能关系。这样,相应于静止质量m 0、动质量m k 和总质量m 可以分别定义固有能量E 0＝m 0с2、动能2

c m E k mk =和总能量E ＝m с2。质能关系是原子能应用的重要理论依据之一。例如，在原子弹和氢弹爆炸中，一定量的静止质量能转化成了同样大小的动质量，与此相应，一定量的固有能量转化成了同样数量的动能，这就是原子弹和氢弹所能释放出的能量。

4、6 “曳引效应”的相对论解释

菲涅耳关于高速流动液体对光的曳引效应。类似的效应在空气与声波的曳引关系中是完全的。但是，在光与流动介质的关系中，菲索以水为介质证实，光速被水曳引效应是“不完整的”。迈克尔逊以“以太”为介质证实，这种曳引效应等于零。对这种效应，不需要增加任何额外的假设，用狭义相对论的速度加法就可以很简单地给出解释。分析洛仑兹变换的运动学特点中，我们将得出一个速度合成公式为： 2

2

12

11c V υυυυ+

+=

， 菲涅耳曳引效应中存在一个系数：21

1n

-

=η，式中的n 是液体的折射系数，在量上它等于光速与光在静止介质中的速度之比。由此，我们可以直接由c/n 定义光在静止介质中的速度。把这个速度与菲索实验的水流速度V 按相对论速度合成公式做速度加法：

cn n

c c

n c n c c V υ

υ

υυυυυυ++=?++=++=11122

212

1 把分子分母同乘以??

?

?

?-

cn υ1，得： 2

22

2222

22

1111c n nc c n c n c c

n nc n c V υυυυυυυ-

?

??? ?

?--+=-??? ??

-??? ??+=

略去υ/c 的二次项，就得到 ??

?

??

-+=-+≈

2211n

n c n n c V υυυ 这正是菲涅耳曳引效应的经验公式。

4、7 光波的多普勒效应

1842年，奥地利物理学家多普勒（Johann Christian Doppler ，1803～1853）首先发现了

波的多普勒效应。这个效应揭示了相对于波源运动的观察者所观察到的波的频率移动。以声波为例，若观察者静止在媒质中，声源离开观察者而运动，则观察者所观察到的声波频率是： u

υ

ν

ν+

='11，

式中ν是声源静止时的波动频率；υ是声音的传播速度；u 是观察者与声源之间的相对运动。 声源静止在媒质中不动，观察者相对于声源运动。则观察者所观察到的频率是： ??

? ??-

='υννu 1， 在日常经验中，若我们不动，火车鸣着笛朝我们疾驰而来时，越靠近我们声音越尖刺；越远离我们声音越柔和。1848年，菲索提出一种检验光的多普勒效应的建议：在宇宙中，某些双星的运动，有时朝着地球而来，有时背离地球而去；如果多普勒效应具有普遍性，则在天文观察中应该可以看到星体光谱线的移动。1901年，俄国天体物理学家贝尔洛波尔斯基（Aristarkh Apollonovich Belopolsky ，1854～1934）首次通过实验模拟天体的运动证实了光波的多普勒效应。

狭义相对论认为，光波的传播不需要介质。在没有介质的情况下，光源与观察者之间应当服从相对性原理。这意思是说，“光源离开观察者”和“观察者离开光源”在物理上是等效的。令光源以速度“均匀地通过惯性参考系S ，再令它相对于原点观察者O 存在一个径向瞬时速度分量u r ，那么，若跟随这个光波一起运动的观察者所测得的“波峰”间的时间隔是△t ，则在这个惯性系中它按r u u t )(0γ?增加了它的距离。结果，原点的观察者和跟随光波一起运动的观察者所看到的两个波峰之间的时间间隔分别是：c u u t u t r /)()(00γγ?+?和

0t ?。它们之间的比就是多普勒移动：

)(0211/1/12222220c u c u c u c

u c u D r r +++=-+==λλ， 0λ是跟随光波一起运动的观察者所观察到的本征波长，λ是原点观察者观察到的波长。

爱因斯坦根据洛仑兹变换导出的光的多普勒移动的标准表达式：

220/1cos 1c

c D υα

υ

λλ-+

==，

1907年，爱因斯坦指出，横向振动波源的多普勒效应是可以检测到的。1938年，爱佛斯（Ives ）

和斯蒂威尔（Stilwell ）用实验测定运动氢原子的光谱线；1960年海尔（Hay ）、希费尔（Schiffer ）利用穆斯堡尔共振器进行“转子”实验都测出了与爱因斯坦的预言相吻合的多普勒效应。这样就从另一个方面证实了自然界中时间膨胀的真实性。

虽然狭义相对论在理论的逻辑结构和形式上是很完美的，在实验上已有了非常牢固的基础，但人们仍对它不断深入进行研究：理论方面，探讨它在新领域中的应用；实验方面，使用新的观测方法和提高了测量精度的方法，更精密地检验它的正确性。此外还有不少实验

试图观察超光速现象，但至今并没有得到令人信服的结果。

5、狭义相对论被接受过程

爱因斯坦《论动体的电动力学》一文的发表，虽然得到维恩、普朗克等著名物理学家的支持，但整个物理学界最初的反映乃是冷淡、甚至是反对的。爱因斯坦的亲密同事英费尔德（L．Infeld）在《爱因斯坦、他的工作及对我们世界的影响》—文中，曾这样描述相对论发表后的情况：“这些新概念的影响是什么？起初几乎一点也没有……只有过了大约四年的光景才开始有反映。就科学认识而言，这是一段很长的时间。

1906年，考夫曼（W．Kanfman）发表了电子运动的实验结果，动摇了彭加勒对相对性原理普遍有效的信念，致使彭加勒从1905年起，再不对爱因斯坦的相对论发表评论，尽管在其他方面，彭加勒对爱因斯坦倍加推崇。对相对论诞生起了重要作用的洛仑兹，对相对论一直抱着怀疑的态度，洛仑兹舍不得放弃绝对静止“以太”。站出来激烈反对相对论的，有被爱因斯坦称之为“相对论先驱”的马赫。1923年马赫在《物理光学原理》一文中，断然否定自己是相对论的先驱者，申明“不承认今天的相对论”。

由此可见，爱因斯坦于1905年发表《论动体的电动力学》以后，并没有立即使相对论得到普遍承认，各种理论还在竞争着，大多数物理学家在怀疑、观望与等待之中。随着实验的丰富和理论分析的更加深入，理论的优越性才会日益暴露出来。狭义相对论后来之所以被确认，那是由于它与有关的所有实验结果相符。