高中数学复习提升椭圆专题复习讲义
椭圆专题复习
1. 椭圆定义:
(1)第一定义:平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.
当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;
当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段
(2)椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点A 的小球(小球的半径不计),从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是 A .4a B .2(a -c) C .2(a+c) D .以上答案均有可能 【新题导练】 1.短轴长为5,离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1,F 2,过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为 ( ) A.3 B.6 C.12 D.24 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点,,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点,则PM PN +的最小值为( ) A . 5 B . 7 C .13 D . 15 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为24-4,求此椭圆方程. 【新题导练】 3. 如果方程x 2+ky 2 =2表示焦点在y 轴的椭圆,那么实数k 的取值范围是____________. 4. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上 的点的最短距离是3,求这个椭圆方程. 考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率(或范围) [例3 ] 在ABC △中,3,2||,300===∠?ABC S AB A .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 【新题导练】 5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 6.已知m,n,m+n 成等差数列,m ,n ,mn 成等比数列,则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 题型2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等) [例4 ] 已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【新题导练】 7.已知点B A ,是椭圆22 221x y m n +=(0m >,0n >)上两点,且BO AO λ=,则λ= 8.如图,把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半 部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________ 考点3 椭圆的最值问题 [例5 ]椭圆 19 162 2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________. 【新题导练】 9.椭圆 19 162 2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 10. P 是椭圆122 22=+b y a x 上一点,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,求||||21PF PF ?的最大值 与最小值 11.已知点P 是椭圆14 22 =+y x 上的在第一象限内的点,又)0,2(A 、)1,0(B , O 是原点,则四边形OAPB 的面积的最大值是_________. 考点4 椭圆的综合应用 题型:椭圆与向量、解三角形的交汇问题 [例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l 与y 轴交于点P (0,m ),与椭圆C 交于相异两点A 、B ,且3=. (1)求椭圆方程;(2)求m 的取值范围. 例7 ]、从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F ,A 为椭圆的右顶点,B 是椭圆的上顶点,且(0)AB OP λλ=>. ⑴、求该椭圆的离心率.⑵、若该椭圆的准线方程是x =±. 12.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若2=,且1=?AB OQ ,则P 点的轨迹方程是 ( ) A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132 3 22>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,012 3322 >>=+y x y x 13. 如图,在Rt △ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC= 2 2 。一曲线E 过点C ,动点P 在曲线E 上运动,且保持|PA |+|PB |的值不变,直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线E 的方程; (2)设直线l 的斜率为k ,若∠MBN 为钝角,求k 的取值范围。 基础巩固训练 1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) A 21 3- B 21 5- C 2 1 5- D 23 2. 设F 1、F 2为椭圆4 2x +y 2 =1的两焦点,P 在椭圆上,当△F 1PF 2 面积为1时,21PF PF ?的值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.椭圆221369 x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 A .20x y -= B .2100x y +-= C .220x y --= D .280x y +-= 4.在ABC △中,90A ∠=,3 tan 4 B = .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 5. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为 _________. 6.在平面直角坐标系中,椭圆22 22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径 的圆,过点2,0a c ?? ??? 作圆的两切线互相垂直,则离心率e = . 综合提高训练 7、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 与过点A (2,0),B (0,1)的直线l 有且只有一个公共点 T ,且椭圆的离心率2 3 =e .求椭圆方程 8已知A 、B 分别是椭圆122 22=+b y a x 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点P 22,1(-)在椭 圆上,线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC ,求sin sin sin A B C +的值。 9. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标 系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在, 图8 椭圆专题复习 1. 椭圆定义: (1)第一定义:平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 (2)椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化). 2.椭圆的方程与几何性质: 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点A 的小球(小球的半径不计),从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是 A .4a B .2(a -c) C .2(a+c) D .以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a -c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5,离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1,F 2,过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为 ( ) A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3,△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆2212516 x y +=上的一点,,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点,则PM PN +的最小值为( ) A . 5 B . 7 C .13 D . 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点,10||||=+∴PD PC ,PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为24-4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x , 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b , 解之得:24=a ,b =c =4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征,正确转化出参数c b a ,,的数量关系. [警示]易漏焦点在y 轴上的情况. 【新题导练】 3. 如果方程x 2+ky 2 =2表示焦点在y 轴的椭圆,那么实数k 的取值范围是____________. [解析](0,1). 椭圆方程化为22x +k y 22=1. 焦点在y 轴上,则k 2 >2,即k <1. 又k >0,∴0 4.已知方程),0(,1sin cos 2 2 πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当)4 ,0(π θ∈时,θθcos sin <,方程表示焦点在y 轴上的椭圆, 当4 πθ= 时,θθcos sin =,方程表示圆心在原点的圆, 当)2 ,4( π πθ∈时,θθcos sin >,方程表示焦点在x 轴上的椭圆 5. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上 的点的最短距离是3,求这个椭圆方程. [解析] ????==-c a c a 23???? ?==3 32c a ,3=∴b ,所求方程为122x +92y =1或92x +122 y =1. 考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率(或范围) [例3 ] 在ABC △中,3,2||,300===∠?ABC S AB A .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e = . 【解题思路】由条件知三角形可解,然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||2 1 =?= ?A AC AB S ABC , 32||=∴AC ,2cos ||||2||||||22=?-+=A AC AB AC AB BC 2 1 32322||||||-= +=+= BC AC AB e 【名师指引】(1)离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量,决定了椭圆的形状;反之,形状确定,离心率也随之确定 (2)只要列出c b a 、、的齐次关系式,就能求出离心率(或范围) (3)“焦点三角形”应给予足够关注 【新题导练】 6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A .45 B .23 C .22 D .2 1 [解析]选B 7.已知m,n,m+n 成等差数列,m ,n ,mn 成等比数列,则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 [解析]由??? ???≠=+=0 222 2mn n m n n m n ?? ?==42n m ,椭圆122=+n y m x 的离心率为22 题型2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等) [例4 ] 已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+2 2 看作x 的函数 [解析] 由12422=+y x 得222 1 2x y -=, 2202 122 ≤≤-∴≥- ∴x x ]2,2[,2 3 )1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x 当1=x 时,x y x -+22取得最小值2 3,当2-=x 时,x y x -+2 2取得最大值6 【新题导练】 9.已知点B A ,是椭圆22 221x y m n +=(0m >,0n >)上两点,且λ=,则λ= [解析] 由BO AO λ=知点B O A ,,共线,因椭圆关于原点对称,1-=∴λ 10.如图,把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成8等份, 过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点,F 是椭圆的一个焦点 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=________________ [解析]由椭圆的对称性知: 352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P . 考点3 椭圆的最值问题 [例5 ]椭圆 19 162 2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________. 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为: |9)sin(5|2 2 11| 12sin 3cos 4|2 2-+= +-+?θθθ.22≥ 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ,用x 表示y 后,把动点到直线的距离表示为x 的函数,关键是要具有“函数思想” 【新题导练】 11.椭圆 19 162 2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ, 矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS 12. P 是椭圆122 22=+b y a x 上一点,1F 、2F 是椭圆的两个焦点,求||||21PF PF ?的最大值 与最小值 [解析] ],[||,)|(||)|2(||||||12 2 11121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=? 当a PF =||1时,||||21PF PF ?取得最大值2 a , 当c a PF ±=||1时,||||21PF PF ?取得最小值2b 13.已知点P 是椭圆14 22 =+y x 上的在第一象限内的点,又)0,2(A 、)1,0(B , O 是原点,则四边形OAPB 的面积的最大值是_________. [解析] 设)2 ,0(),sin ,cos 2(π θθθ∈P ,则 θθcos 22 1 sin 21?+?=+=??OB OA S S S OPB OPA OAPB 2cos sin ≤+=θθ 考点4 椭圆的综合应用 题型:椭圆与向量、解三角形的交汇问题 [例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,直线l 与y 轴交于点P (0,m ),与椭圆C 交于相异两点A 、B ,且3=. (1)求椭圆方程; (2)求m 的取值范围. 【解题思路】通过3=,沟通A 、B 两点的坐标关系,再利用判别式和根与系数关系 得到一个关于m 的不等式 [解析](1)由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆,可设22 22:1(0)y x C a b a b +=>> 由条件知1a =且b c =,又有222 a b c =+,解得 1,a b c === 故椭圆C 的离心率为2 c e a ==,其标准方程为:12 122 =+x y (2)设l 与椭圆C 交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2) ? ???? y =kx +m 2x 2+y 2=1 得(k 2+2)x 2+2kmx +(m 2-1)=0 Δ=(2km )2-4(k 2+2)(m 2-1)=4(k 2-2m 2+2)>0 (*) x 1+x 2=-2km k 2+2, x 1x 2=m 2-1k 2+2 ∵AP =3PB ∴-x 1=3x 2 ∴????? x 1+x 2=-2x 2 x 1x 2=-3x 22 消去x 2,得 3(x 1+x 2)2+4x 1x 2=0,∴3(-2km k 2+2)2+4m 2-1k 2+2 =0 整理得4k 2m 2+2m 2-k 2-2=0 m 2=14时,上式不成立;m 2≠14时,k 2 =2-2m 24m 2-1 , 因 λ=3 ∴k ≠0 ∴k 2= 2-2m 24m 2-1 >0,∴-1 2 容易验证k 2>2m 2-2成立,所以(*)成立 即所求m 的取值范围为(-1,-12)∪(1 2,1) 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一,应充分重视向量的功能 例7.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F ,A 为 椭圆的右顶点,B 是椭圆的上顶点,且(0)AB OP λλ=>. ⑴、求该椭圆的离心率. ⑵、若该椭圆的准线方程是25x =±,求椭圆方程. [解析] ⑴、 AB OP λ=,AB ∴∥OP ,∴△1PF O ∽△BOA , 111PF FO c bc PF BO OA a a ∴ ==?= , 又22 11222(,)1PF c b P c y PF a b a -?+=?=,b c ∴=, 而222 a b c =+2 2 2a c e ∴=?= . ⑵、 25x =±为准线方程,2 22525a a c c ∴=?=, 由22 2 222 2510 5a c a b c b a b c ?=?=??=???=???=+? . ∴所求椭圆方程为221105x y +=. 【新题导练】 14.设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点,若PA BP 2=,且1=?AB OQ ,则P 点的轨迹方程是 ( ) A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132 3 22>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,012 3322 >>=+y x y x [解析] ),(),3,23(y x OQ y x AB -=- =132 3 22=+∴y x ,选A. 15. 如图,在Rt △ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC= 2 2 。一曲线E 过点C ,动点P 在曲线E 上运动,且保持|PA |+|PB |的值不变,直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线E 的方程; (2)设直线l 的斜率为k ,若∠MBN 为钝角,求k 的取值范围。 解:(1)以AB 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立直角坐标系,则A (-1,0),B (1,0) 由题设可得 222 2322)22(222||||||||22=+=++= +=+CB CA PB PA ∴动点P 的轨迹方程为)0(122 22>>=+b a b y a x , 则1.1,222=-=== c a b c a ∴曲线E 方程为12 22 =+y x (2)直线MN 的方程为),(),,,(),,(),1(221111y x N y x M y x M x k y 设设+= 由0)1(24)21(0 22)1(2 2222 2 =-+++???=-++=k x k x k y x x k y 得 0882>+=?k ∴方程有两个不等的实数根 2 221222121) 1(2,224x k k x x k k x +-=?+-=+∴ ),1(),,1(2211y x BN y x BM -=-=∴ )1)(1()1)(1()1)(1(112212121+++--=+--=?x x k x x y y x x BN BM 22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++= 2 22 222222 21171)214)(1(21)1(2)1(k k k k k k k k k +-=+++--++-+= ∵∠MBN 是钝角 0∴BN BM 即021172 2<+-k k 解得:7 777<<- k 又M 、B 、N 三点不共线 0≠∴k 综上所述,k 的取值范围是)7 7,0()0,77(?- 基础巩固训练 1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为( ) A 21 3- B 2 1 5- C 2 1 5- D 23 [解析] B . =?=-?-=-?e ac c a c b a b 2 21)(215- 2. 设F 1、F 2为椭圆4 2x +y 2 =1的两焦点,P 在椭圆上,当△F 1PF 2面积为1时,21PF PF ?的 值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 [解析] A . 1||321==?P PF F y S , ∴P 的纵坐标为3 3 ± ,从而P 的坐标为 )3 3 ,362(±± ,=?21PF PF 0, 3.椭圆22 1369 x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 A .20x y -= B .2100x y +-= C .220x y --= D .280x y +-= [解析] D. 1936212 1=+y x ,19362 22 2=+y x ,两式相减得:0)(42 12 12121=--+++x x y y y y x x ,4,82121=+=+y y x x ,2 1 2121 -=--∴x x y y 4.在ABC △中,90A ∠=,3 tan 4 B =.若以A B ,为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的 离心率e = . [解析]=+====BC AC AB e k BC k AC k AB ,5,3,412 5. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为 _________. [解析] 13- [三角形三边的比是2:3:1] 6.在平面直角坐标系中,椭圆22 22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径 的圆,过点2,0a c ?? ??? 作圆的两切线互相垂直,则离心率e = . [解析]=?=e a c a 2 2 2 综合提高训练 7、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 与过点A (2,0),B (0,1)的直线l 有且只有一个公共点 T ,且椭圆的离心率2 3 = e .求椭圆方程 [解析]直线l 的方程为:12 1 +- =x y 由已知 222242 3 b a a b a =?=- ① 由??? ????+-==+1 21122 22x y b y a x 得:0)41(2222222=-+-+b a a x a x a b ∴0))(4(222224=-+-=?b a a a b a ,即2244b a -= ② 由①②得:2 1 222= =b a , 故椭圆E 方程为12 12 22 =+y x 8.已知A 、B 分别是椭圆122 22=+b y a x 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点P 22,1(-)在椭 圆上,线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC ,求sin sin sin A B C +的值。 [解析](1)∵点M 是线段PB 的中点 ∴OM 是△PAB 的中位线 又AB OM ⊥∴AB PA ⊥ ∴2222222211112,1,12c a b c a b a b c =??? +====???=+? 解得 ∴椭圆的标准方程为22 2 y x +=1 (2)∵点C 在椭圆上,A 、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC +BC =2a =AB =2c =2 在△ABC 中,由正弦定理, sin sin sin BC AC AB A B C == ∴sin sin sin A B C + = 2BC AC AB +== 9. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标 系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在, 图 8 [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为( )( )( ) 1,2, 0,2, 0,2- . 设椭圆的标准方程是()0122 22>>=+b a b y a x . ()( )() ( ) ()2240122012 222 2 2 2 >=-+-+ -+--= +=BC AC a 则 2=∴a 224222=-=-=∴c a b . ∴椭圆的标准方程是.12 42 2=+y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:???=++=4 22 2 2y x kx y 消去y 整理得,( )048212 2 =+++kx x k 有2 21221214 ,218k x x k k x x +=+-=+ 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则OM ⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即( )()0421212 12 =++++x x k x x k 所以,() 0421******* 2 22=++-++k k k k 即,021482 2 =+-k k 得.2,22 ±==k k 所以直线l 的方程为22+= x y ,或22+-=x y . 所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点. 高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数:①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域; 2、对数:①负数和零没有对数 ②1的对数等于0:01log =a ③底的对数等于1:1log =a a , ④积的对数:N M MN a a a log log )(log +=, 商的对数:N M N M a a a log log log -=, 幂的对数:M n M a n a log log =;b m n b a n a m log log = , 第三章 数列 1、数列的前n 项和:n n a a a a S ++++= 321; 数列前n 项和与通项的关系:???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 : ①定义:等差数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数; ②通项公式:d n a a n )1(1-+= (其中首项是1a ,公差是d ;) ③前n 项和:2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项: A 是a 与b 的等差中项:2 b a A +=或b a A +=2, 三个数成等差常设:a-d ,a ,a+d 3、等比数列: ①定义:等比数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,(0≠q )。 ②通项公式:11-=n n q a a (其中:首项是1a ,公比是q ) ③前n 项和:??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项: G 是a 与b 的等比中项:G b a G = ,即ab G =2(或ab G ±=,等比中项有两个) 第四章 三角函数 1、弧度制:①π= 180弧度,1弧度'1857)180 ( ≈=π ; ②弧长公式:r l ||α= (α是角的弧度数) 2、三角函数定义: y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式: 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离 2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< 高中数学-选修2-1-椭圆题型大全-(1) 椭圆题 1、命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 2、已知1 F 、2 F 是两个定点,且4 2 1=F F ,若动点P 满足4 2 1 =+PF PF 则动点P 的轨迹是( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、线段 3、已知1 F 、 2 F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长1 F P 到Q ,使得2 PF PQ =,那么动点Q 的轨迹是 ( ) A 、椭圆 B 、圆 C 、直线 D 、点 4、已知1 F 、2 F 是平面α内的定点,并且) 0(22 1>=c c F F ,M 是α 内的动点,且a MF MF 221 =+,判断动点M 的轨迹. 5、椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1 F 的距离为2,N 为1 MF 的中 点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 。 6、若方程13 52 2=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的范围. 7、 轴上的椭圆”的 表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 8、已知方程 11 252 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数 m 的范围是 . 9、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 10、方程2 31y x -= 所表示的曲线是 . 11、如果方程2 22 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数k 的取值范围。 12、已知椭圆0 6322 =-+m y mx 的一个焦点为)2,0(,求m 的值。 13、已知方程2 22 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 14、根据下列条件求椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26; (2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,-6); (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点) 2,3(),1,6( 21 --P P ,求椭圆方程. 15、以)0,2(1 -F 和)0,2(2 F 为焦点的椭圆经过点)2,0(A 点,则该椭 圆的方程为 。 16、如果椭圆:k y x =+22 4上两点间的最大距离为8,则k 的 值为 。 17、已知中心在原点的椭圆C 的两个焦点和椭圆 36 94:222=+y x C 的两个焦点一个正方形的四个顶点,且椭圆C 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 高中数学椭圆大题之向量综合 题型一:单一共线型 例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点,并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=,当?? ? ???∈31,51λ时,求直线AB 斜率的取值范围. 例2、已知定点)0,2(M ,若过M 的直线l (斜率不为零)与椭圆13 22 =+y x 交于不同的两点F E 、(E 在点F M 、之间),记OMF OME S S ??= λ,求λ的取值范围. 练1、椭圆12322 22=+c y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ,过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点, 且B F A F 21//,B F A F 212=,求直线AB 的斜率. 练2、设)0,(1c F -,)0,(2c F 分别为椭圆13 22 =+y x 的左右焦点,B A 、在椭圆上,若F F 215=,求点A 的坐标. 题型二、点在曲线上 例1、已知椭圆2 2 2 33b y x =+,斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,M 为椭圆上任一点,且 OB OA OM μλ+=,证明22μλ+为定值. 练1、椭圆C:12 32 2=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点,C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有 +=成立?若存在,求 出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在,说明理由. 练2、设动点P 满足OM 2+=,其中M,N 是椭圆C:12 42 2=+y x 上的点,直线OM 与ON 的斜率之积为2 1 - ,求P 的轨迹. 一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分) 1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的取值范围是( ) A .a <-2或 a > 3 2 B .- 3 2 >长轴两个端点分别为A 、B ,椭圆上点P 和A 、B 的连 线的斜率之积为1 2 - ,则椭圆C 的离心率为 (A ) 1 2 (B )22 (C )32 (D )33 10.已知椭圆C :+=1,M ,N 是坐标平面内的两点,且M 与C 的焦点不重 合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=( ) A .4 B .8 C .12 D .16 学生姓名性别男年级高二学科数学 授课教师 上课时 间2014年12月13 日 第()次课 共()次课 课时:课时 教学课题椭圆 教学目标 教学重点 与难点 选修2-1椭圆 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(),这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若,则动点的轨迹为线段; 若,则动点的轨迹无图形. 讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是 2.若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ?的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y +=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 注意: 1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有 和 ; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为, ; 当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为 ,。 圆的标准方程; 知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 (1)对称性 对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换 成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。 椭圆练习题(文科) 1.椭圆22 11625 x y +=的焦点坐标为_______________________ 2.已知a =4, b =1,焦点在x 轴上的椭圆方程是_______________________ 3.已知焦点坐标为(0, -4), (0, 4),且a =6的椭圆方程是_______________________ 4.若椭圆22 110036 x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6,则点P 到另一个焦点F 2的距离是_____ 5.已知F 1, F 2是定点,| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8,则点M 的轨迹是 (A )椭圆 (B )直线 (C )圆 (D )线段 6.过点(3, -2)且与椭圆4x 2+9y 2 =36有相同焦点的椭圆的方程是 (A )2211510x y += (B )221510x y += (C )22 11015 x y += (D )2212510x y += 7.点P 为椭圆22 154 x y +=上一点,以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1,则点P 的坐标是(A )(± , 1) (B ), ±1) (C )(D )(, ±1) 8=10为不含根式的形式是 (A )2212516x y += (B )221259x y += (C )2211625x y += (D )22 1925 x y += 9.椭圆22 125 x y m m +=-+的焦点坐标是 (A )(±7, 0) (B )(0, ±7) (C )(±7,0) (D )(0, ±7) 10.过椭圆4x 2+2y 2 =1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是 . 11.已知椭圆方程为22 1499 x y +=中,F 1, F 2分别为它的两个焦点,则下列说法正确的有_____ ①焦点在x 轴上,其坐标为(±7, 0);② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10,则P 到F 2的距离为4;③焦点在y 轴上,其坐标为(0, ±210);④ a =49, b =9, c =40, 12.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为 (A )53 (B )312 (C )43 (D )910 13.设椭圆的标准方程为22 135x y k k +=--,若其焦点在x 轴上,则k 的取值范围是_____ 14.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为 2020高中数学必备知识点教你数学如何拿高分 考题解析 高考各类题型基本固定 张天德教授说,对于数学高考来说,同学们首先应该熟悉考题基本类型,在抓重点的同时全面地兼顾掌握各类知识点。与此同时还要注重掌握基础知识,熟练课后习题及其变形。 “高考试卷中各类题型基本上是固定的。”张天德教授说,数学高考试卷中,选择题、填空题往往是考查各个基础知识点,难度不会太大。按历年经验,主要是在函数的性质方面会出题比较多。另外,还会在复数的运算、立体几何、三角函数、圆锥曲线等知识点分散出题。程序设计和流程图的填写、概率和排列组合也会考查。 选择题、填空题中一般必有圆锥曲线、立体几何、三角函数和不等式各一题。解答题基本上是三角函数、概率、立体几何数列、圆锥曲线和导数等知识点。张天德教授向考生强调,这些必考和常考类型及知识点一定要掌握好,相对应的题一定要做熟练,牢固掌握这些基础知识点。 张天德教授说,今年高考考题中有可能会出现一两道与实际相联系的题。不过这样的题归根结底还是考平时学的知识和方法,只不过是将实际问题转化为数学模型,即转化为平时做过、见过的题型,考生不必紧张,只要平时牢固掌握知识点,活学活用即可。 答题技巧 学会取舍,合理分配答题时间 “整体而言,高考数学要想考好,必须要有扎实的基础知识和一定量的习题练习,在此基础上辅以一些做题方法和考试技巧。”张教授说,往年考试中总有许多同学抱怨考试时间不够用,导致自己会做的题最后没时间做,觉得很“亏”。他表示,高考考的是个人能力,要求考生不但会做题还要准确快速地解答出来,只有这样才能在规定的时间内做完并能取得较高的分数。因此,对于大部分高考生来说,养成快速而准确的解题习惯并熟练掌握解题技巧是非常有必要的。 张教授表示,现在距高考只有不到五个月的时间了,在这一段时间的复习中,同学们应该重新回归基本题型,总结过去的经验,争取在填空题、选择题等基础考查中不丢分。在各个大题中,应该全力以赴把握住前几道低难度的试题,详细解题步骤、规范答题细节,保证不该丢的分一定不能丢。同时还要善于分析出题人的出发点以及得分要点,尽量争取拿到更多的分数。 “要舍得扔自己不会做的大题。”张天德介绍说,首先把握住低中档题,难题能得一分是一分,但不要一味陷入其中而浪费大量时间。如果只想得135分左右,最后两道大题只需做前一两问即可。在高考的前一个月应该把高考模拟试卷好好做一下,多研究一下,并多注重其变形考查,掌握技巧是非常关键的。另外,考生在平时的练习中,不要以题量来衡量,而是要以答题效果为依据,自己要真正掌握。做题重在精,做一道是一道,贵在能举一反三。 立体几何 熟记结论,巧解选择填空题 “对于立体几何,应该把一些常规的东西做透,熟练掌握知识点。”报告中张天德教授详细讲解了立体几何的做题方法,他表示,在立体几何题中,题目所给出的许多条件往往会有些固定或常见的用法,可以借助这些很快找出正确的解题思路。 立体几何的常考题型之一就是求二面角。第一步就是如何做出或是找出这个二面角。若所求二面角是已知图形中的,那就比较简单;如果是要做出来,那就需要用三垂线定理或其逆定理,还常用等腰三角形对边中线和高线重合这一性质巧妙做出二面角。张天德教授说, 教学课题 椭圆 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点 、 的距离之和等于常数( ),这个动 点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若,则动点的轨迹为线段; 若 ,则动点 的轨迹无图形. 讲练结合一.椭圆的定义 1.若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ?的周长为18,则顶点C 的轨迹方程是 知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程: ,其中 ; 2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 注意: 1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有 和 ; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为, ;当焦点在 轴上时,椭圆的焦点坐标为 , 。 讲练结合二.利用标准方程确定参数 1.椭圆22 14x y m + =的焦距为2,则m = 。 2.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(,那么=k 。 知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 (1)对称性 对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y, 方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。 (3)顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(―a,0), A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。 ③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。 (4)离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。 ②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而 越小,因 此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2。 高考前重点知识回顾 第一章-集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n -1个. n 个元素的非空真子集有2n -2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算:交、并、补.{|,} {|}{,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?I U U 交:且并:或补:且C (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:①偶函数:)()(x f x f =-,②奇函数:)()(x f x f -=- ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点对称;c.求)(x f -;d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 (4)函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2( 2 12F F a >)的点的轨迹叫椭圆,这两 个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作a 2)大于这两个定点之间的距离 2 1F F (记作c 2),否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下: (ⅰ)当c a 22>时,点的轨迹是椭圆; (ⅱ)当c a 22=时,点的轨迹是线段21F F ; (ⅲ)当c a 22<时,点的轨迹不存在。 注2:若用M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+(c a 22>, c F F 221=),即 2 121F F MF MF >+. 注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条件: a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e (10< 注1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴,主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走,椭圆的焦点在x 轴;长半轴跟y 走,椭圆的焦点在y 轴。 (1)注2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设 其方程为12222=+b y a x (0>>b a )或122 22=+b x a y (0>>b a );若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx (0>m ,0>n ,且n m ≠). 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x (0>>b a )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-; (2)对称性:关于x 轴、y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称; (3)顶点:左右顶点分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ;上下顶点分别为),0(1b B ,),0(2b B -; (4)长轴长为a 2,短轴长为b 2,焦距为c 2; (5)长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=; (6)准线方程:c a x 2 ± =; (7)焦准距:c b 2 ; (8)离心率: a c e = 且10< 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆0632 2=-+m y mx 的一个焦点为(0,2)求m 的值. 例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点()03, P ,b a 3=,求椭圆的标准方程. 例3 ABC ?的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹. 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3 52,过P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 例5 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ,长轴端点为1A ,2A ,焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求:21PF F ?的面积(用a 、b 、α表示). 例6 已知动圆P 过定点()03,-A ,且在定圆()64322=+-y x B :的内部与其相内 切,求动圆圆心P 的轨迹方程 例7 已知椭圆1222=+y x ,(1)求过点?? ? ??2121,P 且被P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程; (3)过()12, A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点,且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=?OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=. (1)当m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为 5 102,求直线的方程. 例9 以椭圆13 122 2=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l :上一点M 作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程. 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆,求k 的取值范 例10 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 12 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义:把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程: 12222=+b y a x (a >b >0) 122 22=+b x a y (a >b >0) 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形, 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置,求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x =±a 和y =±b 围成的矩形里.|x|≤a ,|y|≤b . 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴. 原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 5.顶点 椭圆有四个顶点:A 1(-a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, -b )、B 2(0, b ). 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b . |B 1F 1|=|B 1F 2|=|B 2F 1|=|B 2F 2|=a . 在Rt △OB 2F 2中,|OF 2|2=|B 2F 2|2-|OB 2|2,即c 2=a 2-b 2. 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2 OM AB b k k a ?=-,即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e 椭圆练习题 一.选择题: 1.已知椭圆 上的一点P ,到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为( D ) A .2 B .3 C .5 D .7 2.中心在原点,焦点在横轴上,长轴长为4,短轴长为2,则椭圆方程是( C ) A. B. C. D. 3.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A 4.椭圆的一个焦点是,那么等于( A ) A. B. C. D. 5.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于( B ) A. B. C. D. 6.椭圆两焦点为 , ,P 在椭圆上,若 △的面积的最大值为12,则椭圆方程为( B ) A. B . C . D . 7.椭圆的两个焦点是F 1(-1, 0), F 2(1, 0),P 为椭圆上一点,且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项,则该椭圆方程是( C )。 A +=1 B +=1 C +=1 D +=1 8.椭圆的两个焦点和中心,将两准线间的距离四等分,则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 9.椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2,N 是MF 1的中点,则|ON |为( A ) A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3 1、过椭圆22 :184 x y C +=上一点00(,)P x y 向圆22:4O x y +=引两条切线,,,PA PB A B 为切点,直线AB 与x 轴、y 轴交于,M N 两点. (1)若0PA PB ?=,求P 点坐标;(2)求直线AB 的方程(用00,y x 表示);(3)求△MON 面积的最小值.(O 为原点)。 2、椭圆12 222=+b y a x (a >b >)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点,且OQ OP ⊥,其中O 为坐标原点. (1)求 2211b a +的值;(2)若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2 2,求椭圆长轴的取值范围 3、椭圆2 214 x y +=的焦点为12,F F ,点M 在椭圆上,120MF MF ?=,则M 到y 轴的距离为: 4、如下图所示,探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和12a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①1122a c a c +=+;②1122a c a c -=-;③1212c a a c =;④ 1212 c c a a <.其中正确式子的序号是( ) A 、①③ B 、②③ C 、①④ D 、②④ 5、已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的一点, 若120PF PF ?=,121tan 2 PF F ∠=,则此椭圆的离心率为________ 6、直线:0l x y -=与椭圆2 212 x y +=相交,A B 两点,点C 是椭圆上的动点, 则△ABC 面积的最大值为 7、椭圆E 经过点(2,3)A ,对称轴为坐标轴,焦点12,F F 在x 轴上,离心率12 e = (1)求椭圆E 的方程;(2)求∠12F AF 的角平分线所在直线的方程. 2014年高考椭圆综合题做题技巧与方法总结 知识点梳理: 1. 椭圆定义: (1)第一定义:平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 (2)椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< 准线 c a x 2 ±= c a y 2 ±= 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a ,焦距为2c ,静放在点A 的小球(小球的半径不计),从点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是 A .4a B .2(a -c) C .2(a+c) D .以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a -c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 总结:考虑小球的运行路径要全面 练习 1.短轴长为5,离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1,F 2,过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点,则△ABF 2的周长为 ( ) A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3,△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点,,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点,则PM PN +的最小值为( ) A . 5 B . 7 C .13 D . 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点,10||||=+∴ PD PC ,PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为24-4,求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x , O x y D P A B C Q 高中数学学业水平测试必背公式定理知识点 1、空集定义:_____________________________________; 空集是任何集合的______________。 N ____________ Z __________ Q ___________ R ___________(常用集合字母表示) 2、含n 个元素的集合其子集个数为_____________________。 3、函数定义:对定义域内任意x ,都有___________y 值与之对应,称y 是x 的函数。 4、求函数定义域三种基本形式: ①分式要求:__________________; ②根式,开偶次方根,则_______________________; ③对数式则要求__________________________。 5、①指数函数定义:__________________________________________; 其定义域为_____________;值域为_________________; 当_______________时函数单调递增;当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ②对数函数定义:__________________________________。 其定义域为_____________;值域为_________________; 当_______________时函数单调递增;当_______________函数单调递减。 其图像恒过定点______________。 ③幂函数定义:_______________________________________。 当0>α时,图像恒过______________和_______________;在第一象限内单调_________; 当0<α时,图像恒过______________;在第一象限内单调_________; 6、如果函数是奇偶函数,其定义域一定关于_______________对称; 如果对定义域内任意x ,当________________时,函数为奇函数; 如果对定义域内任意x ,当________________时,函数为偶函数; 7、函数单调性定义:在区间D 内任取两个值1x 、2x ,设21x x <, 如果______________,则函数在此区间内单调递增; 如果______________,则函数在此区间内单调递减。 8、空间两直线位置关系:_____________、________________、_________________; 空间两平面位置关系:________________、______________; 空间直线与平面位置关系_____________、_____________、___________________; 9、空间两直线所成角的范围:____________________; 直线与平面所成角的范围:____________________; 两异面直线所成角的范围:_____________________; 10、线面平行判定定理:_________________________________________________________; 线面平行性质定理:_________________________________________________________; 线面垂直判定定理:_________________________________________________________; 线面垂直性质定理:_________________________________________________________; 面面平行判定定理:_________________________________________________________; 面面平行性质定理:_________________________________________________________; 面面垂直判定定理:_________________________________________________________;高中数学复习必背知识点
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