人教版 九年级数学讲义 垂径定理(含解析)

第11讲垂径定理

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础一般

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理

讲解用时：15分钟

垂径定理及其推论

（1）垂径定理

如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

（2）相关推论

①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这

条弦，并且平分这条弦所对的弧；

①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；

①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平

分这条弦所对的弧；

课堂精讲精练

【例题1】

下列判断中，正确的是（）。

A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦

B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分

C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径

D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等

【答案】C

【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理

同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；

任意两条直径互相平分，故B错误；

同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。

讲解用时：3分钟

解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。教学建议：基本概念题，逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018

【练习1】

下列说法正确的个数是（）。

①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，

①垂直于弦的直径平分弦；故错误；

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；

①圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；

①圆的对称轴有无数条；故正确；

①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．

讲解用时：7分钟

解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。

教学建议：基本概念题，逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：香坊区校级月考年份：2016秋

【例题2】

如图，AB是①O的一条弦，直径CD①AB于点E，若AB=24，CD=26，则DE 的长度是（）。

A．5B．6 C．7 D．8

【答案】D

【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，

设DE为x，连接OA，

①CD是①O的直径，弦AB①CD于点E，AB=24，

①①AEO=90°，AE=EB=12，

由勾股定理得：OA2=AE2+OE2，

132=122+（13﹣x）2，解得：x=8，

则DE的长度是8，故选：D．

讲解用时：3分钟

解题思路：连接OA，根据垂径定理求出AE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可。

教学建议：求出AE=EB是解此题的关键。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：涪城区模拟年份：2018 【练习2】

如图，①O 过点B 、C ，圆心O 在等腰Rt①ABC 的内部，①BAC=90°，

OA=2，BC=8．则①O 的半径为（ ）

A ．5

B ．5

C ．52

D ．6

【答案】C

【解析】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，

延长AO 交BC 于点D ，连接OB ，由对称性及等腰Rt①ABC ，得到AD①BC ， ①D 为BC 的中点，即BD=CD=21BC=4，AD=2

1BC=4， ①OA=2，①OD=AD ﹣OA=4﹣2=2，

在Rt①BOD 中，根据勾股定理得：OB=52， 则圆的半径为52，故选：C ．

讲解用时：5分钟

解题思路：延长AO 于BC 交于点D ，连接OB ，由对称性及三角形ABC 为等腰直角三角形，得到AD 与BC 垂直，根据三线合一得到D 为BC 的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到AD 为BC 的一半，求出AD 的长，由AD ﹣OA 求出OD 的长，再利用垂径定理得到D 为BC 的中点，求出BD 的长，在直角三角形BOD 中，利用勾股定理求出OB 的长，即为圆的半径

教学建议：根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。 难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：相山区四模 年份：2018

【例题3】

如图，①O 的直径为10，弦AB=8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是 。

【答案】3≤OP≤5

【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理的综合应用，

如图：连接OA ，作OM①AB 与M ，

①①O 的直径为10，①半径为5，

①OP的最大值为5，

①OM①AB与M，①AM=BM，

①AB=8，①AM=4，

在Rt①AOM中，OM=3，

OM的长即为OP的最小值，

①3≤OP≤5．

讲解用时：5分钟

解题思路：因为①O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=3，即OP的最小值为3，所以3≤OP≤5。

教学建议：解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：襄城区模拟年份：2018 【练习3】

弦AB，CD是①O的两条平行弦，①O的半径为5，AB=8，CD=6，则AB，CD 之间的距离为（）。

A．7B．1C．4或3D．7或1

【答案】D

【解析】本题考查了勾股定理和垂径定理，

①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，

过点O作OF①CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，

①AB①CD，①OE①AB，

①AB=8cm，CD=6cm，①AE=4cm，CF=3cm，

①OA=OC=5cm，①EO=3cm，OF=4cm，

①EF=OF﹣OE=1cm；

①当弦AB和CD在圆心异侧时，如图①，

过点O作OE①AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，

①AB①CD，①OF①CD，

①AB=8cm，CD=6cm，①AE=4cm，CF=3cm，

①OA=OC=5cm，①EO=3cm，OF=4cm，

①EF=OF+OE=7cm，故选：D．

讲解用时：8分钟

解题思路：分两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；①弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可。

教学建议：注意进行分类讨论。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：枣阳市期末年份：2017秋

【例题4】

把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）。

A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm

【答案】B

【解析】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，

EF的中点M，作MN①AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，

①四边形ABCD是矩形，①①C=①D=90°，

①四边形CDMN是矩形，①MN=CD=4，

设OF=x，则ON=OF，

①OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

即：（4﹣x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选：B．

讲解用时：8分钟

解题思路：取EF的中点M，作MN①AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4﹣x，MF=2，然后在Rt①MOF中利用勾股定理求得OF的长即可。

教学建议：正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：建邺区一模年份：2018

【练习4】

如图，在半径为10cm 的圆形铁片上切下一块高为4cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（ ）。

A ．8cm

B ．12cm

C ．16cm

D ．20cm

【答案】C

【解析】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，

如图，过O 作OD①AB 于C ，交①O 于D ，

①CD=4，OD=10，①OC=6，

又①OB=10，

①Rt①BCO 中，BC=822=-OC OB ，

①AB=2BC=16，故选：C ．

讲解用时：4分钟

解题思路：首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC 的长，进而根据垂径定理得出答案。

教学建议：得出AC 的长是解题关键。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：中江县模拟 年份：2018

【例题5】

如图所示，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是的中点，点P 是直径 MN 上一动点，若①O 的直径为2，则AP+BP 的最小值是 。 【答案】2

【解析】本题考查了轴对称中最短路线问题、三角形的三边关系以及勾股定理， 作点B 关于MN 的对称点B′，连接AB′交MN 于点P ，连接BP ，

此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示，

①点B 和点B′关于MN 对称，①PB=PB′，

①点A 是半圆上一个三等分点，点B 是的中点，

①①AON=180°÷3=60°，①B′ON=①AON÷2=30°，

①①AOB′=①AON+①B′ON=90°，

①OA=OB′=1，①AB′=2．

讲解用时：8分钟

解题思路：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出①AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解。

教学建议：根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点P的位置是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：南通一模年份：2017 【练习5】

如图，①O的半径是8，AB是①O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM的最小值为。

【答案】16

【解析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理，

如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，

此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，

由垂径定理，=，①=，

①==，AB为直径，

①C′D为直径，①CM+DM的最小值是16．

讲解用时：5分钟

解题思路：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解。

教学建议：熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：丹江口市模拟 年份：2017

【例题6】

一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB ）为12米，拱高（CN ）为2米，求：

（1）桥拱半径；

（2）若大雨过后，桥下河面宽度（DE ）为10米，求水面涨高了多少？

【答案】（1）10（m ）；（2）53﹣8（m ）

【解析】本题考查的是垂径定理的应用，

（1）①拱桥的跨度AB=12m ，拱高CN=2m ，①AN=6m ，

利用勾股定理可得：AO 2﹣（OC ﹣CN ）2=6×6，

解得OA=10（m ）．

（2）设河水上涨到DE 位置，

这时DE=10m ，DE①AB ，有OC①DE （垂足为M ），①EM=2

1EF=5m ， 连接OE ，则有OE=10m ， OM=22EM OE =53（m ），

MC=OC ﹣OM=10﹣53（m ），

NC ﹣CM=2﹣（10﹣53）=53﹣8（m ）．

讲解用时：8分钟

解题思路：（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答；（2）已知到桥下水面宽AB 为12m ，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离水面2m ，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题。

教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：靖江市校级期中 年份：2016秋

【练习6】

2013年10月，台风“菲特”来袭，宁波余姚被雨水“围攻”，如

图，当地有一拱桥为圆弧形，跨度AB=60米，拱高PM=18

米，当洪水泛滥，水面跨度缩小到30米时要采取紧急措施，

当时测量人员测得水面A1B1到拱顶距离只有4米，问是否要采取紧急措施？请说明理由。

【答案】不用采取紧急措施

【解析】本题考查了垂径定理在实际问题中的运用，

连接OA、OA1，如下图所示：

由题可得：AB=60m，PM=18m，PN=4m，OA=OA1=OP=R，

OP①AB，OP①A1B1，

由垂径定理可得：AM=MB=30m，

在Rt①AMO中，由勾股定理可得：AO2=AM2+MO2

即R2=302+（R﹣18）2，解得R=34m，

①PN=4m，OP=R=34m，①ON=30m，

在Rt①ONA1中，由勾股定理可得：

A1N2=A1O2﹣ON2，可得A1N=16m，

故A1B1=32m＞30m，故不用采取紧急措施．

讲解用时：10分钟

解题思路：连接OA、OA1，由垂径定理可得：AM=MB=30m，再分别解Rt①AMO、Rt①ONA1即可得出A1B1的长度，将A1B1的长度与30m作比较，若它大于30m，则不需要采取紧急措施；若它小于30m，则需要采取紧急措施。

教学建议：灵活应用垂径定理和勾股定理解题。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：永安市期中年份：2017秋【例题7】

如图，CD为①O的直径，CD①AB，垂足为点F，AO①BC，垂足为点E，CE=2。（1）求AB的长；

（2）求①O的半径。

【答案】（1）AB=4；（2）

33

4

【解析】本题考查全等三角形的性质、垂径定理等知识，（1）①CD①AB，AO①BC，①①AFO=①CEO=90°，

在①AOF 和①COE 中，

， ①①AOF①①COE ，①CE=AF ，

①CE=2，①AF=2，

①CD 是①O 的直径，CD①AB ， ①AB BF AF 2

1==，①AB=4． （2）①AO 是①O 的半径，AO①BC ，①CE=BE=2， ①AB=4，①AB BE 21=

， ①①AEB=90°，①①A=30°，

又①①AFO=90°，①AO=

334，即①O 的半径是3

34． 讲解用时：10分钟

解题思路：（1）只要证明①AOF①①COE ，推出CE=AF=2，再根据垂径定理可得B=2AF ；（2）只要证明①A=30°即可解决问题。

教学建议：解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，证明①A=30°是解决问题2的关键。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：崇明县一模 年份：2018 【练习7】

如图，AB 是①O 的直径，CD 是①O 的一条弦，且CD①AB 于点E 。

（1）求证：①BCO=①D ；

（2）若CD=24，AE=2，求①O 的半径。

【答案】（1）证明：①OC=OB ，①①BCO=①B ，

①①B=①D ，①①BCO=①D ；

（2）3

【解析】此题考查了垂径定理、勾股定理以及圆周角定理，

（1）证明：①OC=OB ，①①BCO=①B ，

①①B=①D ，①①BCO=①D ；

（2）①AB 是①O 的直径，且CD①AB 于点E ， ①CE=21CD=2

1×42=22， 在Rt①OCE 中，OC 2=CE 2+OE 2，

设①O 的半径为r ，则OC=r ，OE=OA ﹣AE=r ﹣2，

①r 2=（22）2+（r ﹣2）2，解得：r=3，①①O 的半径为3．

讲解用时：10分钟

解题思路：（1）由OB=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换即可得证；

（2）由弦CD 与直径AB 垂直，利用垂径定理得到E 为CD 的中点，求出CE 的长，在直角三角形OCE 中，设圆的半径OC=r ，OE=OA ﹣AE ，表示出OE ，利用勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到圆的半径r 的值。 教学建议：熟练掌握定理是解本题的关键。

难度：4 适应场景：当堂练习 例题来源：颍上县期末 年份：2017秋

课后作业

【作业1】

如图，AB 是①O 的直径，弦CD①AB 于点E ，若AB=6，BE=1，则弦CD 的长是（ ）。

A ．4

B ．5

C ．5

D ．52

【答案】D

【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，

连接OC ，由题意，得

OE=OA ﹣AE=3﹣1=2， CE=ED=522=-OE OC ， CD=2CE=52，故选：D ．

讲解用时：4分钟

难度：3 适应场景：练习题 例题来源：钦州期末 年份：2017秋

【作业2】

据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC 为13m ，河面宽AB 为24m ，则桥高CD 为（ ）。

A ．15m

B ．17m

C ．18m

D ．20m

【答案】C

【解析】本题考查了径定理的应用，

连结OA ，如图，

①CD①AB ， ①AD=BD=21AB=2

1×24=12， 在Rt①OAD 中，OA=5，由勾股定理的OD=5，

①CD=OC+CD=13+5=18（m ），故选：C ．

讲解用时：5分钟

难度：4 适应场景：练习题 例题来源：绵阳一模 年份：2018

【作业3】

如图，AB 是①O 的直径，弦CD①AB 于点E ，如果①A=15°，弦

CD=4，求AB 的长。

【答案】8

【解析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，

①①A=15°，①①COB=30°，

①AB 是①O 的直径，弦CD①AB 于点E ，弦CD=4，

①CE=2，①OEC=90°

①①COE=30°，

①OC=2CE=4，①AB=2OC=8。

讲解用时：4分钟

难度：4 适应场景：练习题 例题来源：丰台区一模 年份：2018