第五章机械能练习

《第五章机械能》练习一

班别：姓名：

1、如图所示，竖直平面内的轨道ABCD由水平轨道AB与光滑的四分之一圆弧轨道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道固定在水平面上。一个质量为m 的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平轨道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平轨道AB的中点。已知水平轨道AB长为L，求：（1）小物块与水平轨道的动摩擦因数μ。

（2）为了保证小物块不从轨道的D端离开轨道，圆弧轨道的半径R至少是多大？（3）若圆弧轨道的半径R取第（2）问计算出的最小值，增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到最大高度是1.5R处，试求物块的初动能并分析物块能否停在水平轨道上。如果能，将停在何处？如果不能，将以多大速度离开水平轨道？

2、如图所示，滑块质量为m ，与水平地面间的动摩擦因数为0.1，它以gR v 30 的

初速度由A 点开始向B 点滑行，AB=5R ，并滑上光滑的半径为R 的4

1圆弧BC ，在C 点正上方有一离C 点高度也为R 的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P 、Q ，旋转时两孔均能达到C 点的正上方。问：

（1）滑块到达C 点时速度的大小是多少？

（2）若滑块滑过C 点后通过P 孔，又恰能从Q 孔落下，则平台转动的角速度ω应满足什么条件？

1、（1）小物块最终停在AB 的中点，在这个过程中，由动能定理得

E L L mg -=+-)5.0(μ

得 mgL

E 32=μ （2）若小物块刚好到达D 处，速度为零，同理，有E mgR mgL -=--μ

解得CD 圆弧半径至少为 mg

E R 3= （3）设物块以初动能E ′冲上轨道，可以达到的最大高度是1.5R ，由动能定理得

E mgR mgL '-=--5.1μ 解得6

7E E =' 物块滑回C 点时的动能为25.1E mgR E C =

=，由于32E mgL E C =<μ，故物块将停在轨道上。

设到A 点的距离为x ，有 C E x L mg -=--)(μ

解得 L x 4

1= 即物块最终停在水平滑道AB 上，距A 点

L 4

1处。 2、答案：（1）设滑块至B 点时速度为v B ，对滑块由A 点到B 点应用动能定理有

20221215mv mv R mg B -=

-μ …… 解得 gR v B 82= ………

滑块从B 点开始运动后机械能守恒，设滑块到达C 处时速度为v C ，则

mgR mv mv C B +=222

121 …… 解得gR v C 6=………

（2）设滑块到达P 处时速度为P v ，则

R mg mv mv P B 22

12122+= …… 解得 gR v P 2= ………

滑块穿过P 孔后再回到平台的时间 g

R g v t P 42== …………

要想实现题述过程，需满足 πω)12(+=n t …………

R

g n 4)12(+=

πω （n=0，1，2……）

《第五章机械能》练习二

班别：姓名：

1、如图所示，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0 kg的小滑块。当圆盘转动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC。已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均为μ=0.5，A点离B点所在水平面的高度h=1.2 m。滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。

(1)若圆盘半径R=0.2 m，当圆盘的角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？

(2)若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能。

(3)从滑块到达B点时起，经0.6 s正好通过C点，求BC之间的距离。

2、过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径1 2.0m R =、2 1.4m R =。一个质量为 1.0m =kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧A 点以012.0m/s v =的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距1 6.0L =m 。小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2μ=，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。试求（重力加速度取210m/s g =，计算结果保留小数点后一位数字）

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B 、C 间距L 应是多少；

（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的

设计中，半径3R 应满足的条件。

1、答案 (1)5 rad/s (2)-4 J (3)0.76 m

解析 (1)滑块在圆盘上做圆周运动时,静摩擦力充当向心力,根据牛顿第二定律,可得: μmg =m ω2R

代入数据解得：ω=R g μ=5 rad/s (2)滑块在A 点时的速度：v A =ωR =1 m/s

从A 到B 的运动过程由动能定理得 mgh -μmg cos 53° ·

53sin h =21mv B 2-2

1mv A 2 在B 点时的机械能：E B =21mv B 2-mgh =-4 J (3)滑块在B 点时的速度：v B =4 m/s

滑块沿BC 段向上运动时的加速度大小：

a 1=g (sin 37°+μcos 37°)=10 m/s

2 返回时的加速度大小

a 2=g (sin 37°-μcos 37°)=2 m/s

2 BC 间的距离：s BC =21

212)(212a t a a B v v --B =0.76 m

2、解析：（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v 1根据动能定理

2021112

1212mv mv mgR mgL --=-μ ① 小球在最高点受到重力mg 和轨道对它的作用力F ，根据牛顿第二定律

1

21R v m mg F =+ ② 由①②得 10.0N F = ③

（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2，由题意 2

22R v m mg = ④ ()202212

1212mv mv mgR L L mg 2-=-+-μ ⑤ 由④⑤得 m 12.5=L ⑥

（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：

I ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足 3

3R v m mg 2= ⑦ ()202312

1212mv mv mgR L 2L mg 3-=

-+-μ ⑧ 由⑥⑦⑧得 m .R 340= II ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理

()2012

12mv 0mgR L 2L mg 3-

=-+-μ 解得 m 1.0=3R

为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足

()()2232232-R R L R R +=+ 解得 R 3=27.9m

综合I 、II ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 m 4.0≤<3R 0

或 m 27.9m 1.03≤≤R