数学建模 电梯调度问题15

电梯调度问题

摘要

商务写字楼早晚上下班高峰时段电梯十分拥堵，因此合理的安排电梯调度的方案成了缩短乘客等候电梯时间，乘客平均乘梯时间和减少电梯能耗的有效途径。

对于问题一，本文选用乘客的平均候梯时间、平均乘梯时间和电梯系统的能耗作为评价一个电梯系统合理与否的指标。并将这三个指标简化为电梯在单位时间内运送人数尽量大这一单一指标。由于电梯的运行周期成为增加单位时间内运送人数的关键因素，所以最终以电梯的运行周期为指标来评价电梯系统的优劣性。

对于问题二，本文根据题目首先分别建立随机运行、分层运行、分段运行的三大类电梯调度模型。并在分层运行模型中考虑并求出了六台电梯分成三组运行时所用周期最短，最终得出采用三组的分段运行最为合理。然后对三组分段运行的模型进行优化改进，确定每组电梯所工作的楼层。最终解出当两台电梯在2~10层停靠，两台在11~16层停靠，两台在17~22层停靠时所设计出的电梯调度方案最为合理。

对于问题三，在问题二的基础上，考虑了一些实际因素，主要有（1）通常低楼层的办公人员在电梯工作繁忙时会选择走楼梯而不去坐电梯。（2）由于此写字楼有两层地下停车场，而地下停车场人员可在停车场先乘坐电梯前往一层，随后在一楼乘坐电梯前往办公楼层。（3）电梯在开始运行的过程中会有一个加速过程，同样停的时候会有一个减速问题，电梯连续性停靠时电梯在每次运行过程中始终不能达到最大速度，而间断性停靠可能使电梯在某段时间内以最大的速度运行。（4）通常建筑物第一层比较其他各层的高度要高，这点在实际的运行时间计算中不可忽视。通过添加这些实际因素建立了新的电梯调度模型，最终求出当两台电梯在2~12层停靠，两台在13~17层停靠，两台在18~22层停靠时所设计出的电梯调度方案最为合理。

关键词：平均候梯时间、运行周期、分段运行

1、问题重述

现代商务写字楼里一般都配套了多台电梯来保证楼里人员能够正常的出行，工作日里每天早晚高峰时期等候电梯的人员增多，而且等待电梯的时间明显增加。因此如何安排好各台电梯的运行方式，既能保证大楼内各公司员工的正常工作和出行，又能降低能耗，节约成本，是大楼物业管理中的重要内容之一。

现某商业中心的一个写字楼有二十二层地上建筑楼层和两层地下停车场，楼里共有6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人体重的总和。针对早晚上下班高峰期设计一个合理有效的电梯调度运行方案。

问题一：给出若干个合理的模型评价指标来确定模型的优劣。

问题二：暂不考虑地下停车场（即地下停车场的人员需到一层乘坐电梯），并且每个楼层的平均办公人员经过调查已知（见表1-1）。假设电梯在每个楼层之间的平均运行时间是3秒，电梯停靠的最底层（地上一层）的平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，并且电梯在各层相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。

表1-1 该写字楼各层的办公人数

楼层人数楼层人数楼层人数

1 无9 236 17 200

2 208 10 139 18 200

3 177 11 272 19 200

4 222 12 272 20 200

5 130 13 272 21 207

6 181 14 270 22 207

7 191 15 300

8 236 16 264

针对上述问题的简化情况，建立合适的优化调度模型，利用问题一种的评价指标进行评价。

问题三：第二问中做了诸多假设，将第二问中所建的模型进一步实际化，使其能够尽量适用于实际情况，用来解决现实的电梯调度问题。

2、问题分析

对于配有多台电梯的高层办公楼，如何建立合理的电梯运行方式及作出合理的调整规划至关重要，因为这关系着职员的上班效率及公司成本问题。

问题一本文考虑乘客的平均候梯时间、平均乘梯时间和电梯系统的能耗作为评价一个电梯系统合理与否的指标。

由问题一知，问题二有三个目标，一是减少等候时间，二是电梯能快速将各

层人员送至指定楼层，三是减少系统能耗。由此分析，我们可以将其简化为电梯在单位时间内运送人数尽量大这一单一目标。首先我们根据题目分别建立随机运行、分层运行、分段运行三大类模型，由于电梯运行周期成为增加单位时间内运送人数的关键因素，所以运用其作为指标，对三者进行分析，进而评价这三类电梯调度系统的优劣。除了模型类别对于电梯效率的影响之外，还有类别内部的细化部分也对电梯效率产生影响。所以在得出三者最优类别模型的基础上，将其进行细化，并运用对比得出解决的方案。由于只考虑上班高峰期，我们仅考虑的是只能在一楼乘坐电梯上楼的情况，故相对于实际进行了必要的简化【1】。

对于问题三，需要考虑电梯加速度、底楼层办公人员通常选择不坐电梯、地下停车场、楼层高度不同这几个实际因素，在问题二的基础上求出最优的电梯调度方案。

3、模型假设

1、仅考虑早上高峰期时乘客乘坐电梯的情况（晚上高峰期为早上的逆过程）

2、搭乘电梯人员的体重均为正常成人体重

3、在早上上班时段内，电梯每次上行均在启动层满载,下行不乘坐人员

4、电梯是匀速运行的，启动、停止时的加速度忽略不记

5、所有人都不走楼梯

6、电梯在负责的楼层每层都停

7、人群的到来是随机的，且服从泊松分布

8、乘客乘坐电梯服从FCFS原则

9、乘客以相同的可能性去往办公楼的每一层

10、在该时段内，电梯仅运输人，而不运输其它物资

4、符号说明

n：电梯单循环最大运行的层数，等于最大所到楼层数减1

n：电梯运行所到达的最高楼层数

i

T：i号电梯一个运行周期的时间

i

错误！未找到引用源。：电梯运输完所有工作人员的总耗时

t i: 分层分段运输时第i组完成全部运输任务需要的时间

U i：分层或分段运输时每组的运输总量

C i：分层或分段运输时每组的电梯数

S: 电梯运送距离

v：电梯运行速度

5、模型的建立与求解

5.1 问题一的求解

评价一个电梯调度系统的优劣可以从很多方面考虑，其评价指标也不尽相同，总的来说，平均候梯时间、系统能耗和平均乘梯时间是评价一个电梯调度系统合理与否的重要指标。

(1) 平均候梯时间

乘客的候梯时间是指从乘客按下层站呼梯按钮到应召电梯到达该层为止经过的时间。平均候梯时间是某段时间内所有乘客的候梯时间的平均值，是一个时间统计平均量。

（2）平均乘梯时间

乘客的乘梯时间是指乘客进入电梯轿箱到乘客到达目的层，离开电梯为止经过的时问。乘客乘梯时间的增长往往会使乘客感到不舒服，统计表明乘客乘梯的烦躁程度与乘梯时间的平方成正比。若去顶层的的乘客的乘梯时间大于90秒，就会对乘梯变得极其不耐烦，所以乘客的乘梯时间应保持在一定的时间限度内。

（3）系统能耗

单台电梯的能耗与所选的电梯的驱动方式、机械性能有关。影响电梯能耗的因素主要有：电梯停靠的次数、加减速的距离以及电梯运行的总距离。对电梯而言，电梯全速运行时的能耗也远低于加减速时的能耗，轿箱自重一般大于轿箱内额定容量乘客的重量。因而电梯群起停次数越多，加减速距离越长，运行距离越长，特别是空载或少载距离越长，电梯群总体能耗也就越大。对电梯群控系统而言，电梯型号已经确定，单台电梯起停的能耗就已经确定，所以电梯群控系统节能，主要依靠群控系统合理的安排与调度电梯群对呼梯信号的响应，减少电梯群总体起停次数，提高电梯轿箱的总体利用率，以减少电梯空载或少载运行距离，特别是杜绝电梯的无效起停，进而可以达到电梯节能和延长电梯寿命的效果。

5.2 问题二的求解

5.2.1 模型的建立与求解

（1）随机运行

该方案允许电梯可以在任意层停靠,随机运行,六台电梯平均运行周期均为

错误！未找到引用源。,共运送乘客错误！未找到引用源。人,运送所有乘客共4584人,所用时间为T ,则:

错误！未找到引用源。（1）由（1）式可知，T为n的增函数，又因为在随机运行的方案下，错误！未找到引用源。，则可解得：

（2）

（2）分层运行【2】

情况一：奇偶层运行

将六个电梯平均分成两组，进行奇偶层运行，即一组电梯只在奇数号楼层停靠，而另一组电梯只在偶数号楼层停靠。则六台电梯的平均运行周期为

错误！未找到引用源。（3）由上面可知：错误！未找到引用源。

在此种调度方案中可知错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。，取错误！未找到引用源。

则：

情况二：将电梯分成三组运行

将楼层分成三组，同时将电梯分成三组，每组的电梯数分别是C i（i取1,2,3,）,电梯分组停靠（如表5-1）：

表5-1 分组情况

组别所含楼层数

1 2、5、8、11、14、17、20（层）

2 3、6、9、12、15、18、21（层）

3 4、7、10、13、16、19、22（层）

此时错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

U i为每组的运输总量，t i为第i组完成全部运输任务需要的时间（i取1,2,3），t为运送全部人数的总耗时,。已知n分别取19、20、21，由此可得（如表5-2）：

表5-2 计算结果

U i错误！未找到引用源。

t i（单位：分钟）

（单位：秒）

1516 204 257.72/错误！未找到

引用源。

1573 210 275.2/错误！未找到

引用源。

1495 216 269.1/错误！未找到

引用源。

已知错误！未找到引用源。

约束条件为错误！未找到引用源。，

解得当错误！未找到引用源。时电梯运送时间最短，最短耗时为137.6min

结合情况一和情况二可知电梯分成两组时用时比分成三组时所用时间多，所以应将电梯分成三组。考虑到将电梯分成四组、五组、六组的情况不符合实际情况，本文不做讨论。即采用分层运行时，输送完所有人员的最短耗时为137.6min （3）分段运行

将电梯分成三组，每组所服务楼层：2-8、9-15、16-22

则由上知：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

已知n分别取7、14、21，则结果如表5-3所示：

表5-3 计算结果

U i错误！未找到引用源。

t i（单位：分钟）

（单位：秒）

1345 132 174.95/错误！未找到

引用源。

1761 174 255.345/错误！未找

到引用源。

1478 216 266.04/错误！未找到

引用源。

计算机解得当错误！未找到引用源。时电梯运送时间最短，最短耗时133.02分钟。

综上可知：三种运行方式运送完所有人员的最短耗时：

随机运行>分层运行>分段运行

故应考虑选用分段运行方式。

5.2.2 模型的改进【3】

针对上述分段运行的方案进行改进，将这六部电梯分成三组，每组两台电梯，第一组电梯服务楼层2~（n1-1），第二组电梯服务楼层n1~n2-1,第三组服务楼层n2~22(n3-1)层，1

由此可知,各个组运行的周期为：

各个组运行的总时间为：

错误！未找到引用源。

则可知：

错误！未找到引用源。

又因为运送任务时间不能相差太大，取3/5

则该模型可表示为：

目标函数：

错误！未找到引用源。

约束条件：

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

利用MATLAB编程【4】（见附表），解得n1=11，n2=17，此时用时为117.53min。

综上：将六台电梯平均分成三组分段运行，第一组电梯负责2~10层楼，第二组电梯负责11~16层楼层，第三组电梯负责17~22层楼，此时完成所有的人员输送所用的时间最短，最短时间为117.53min

5．3 问题三的求解

5.3.1 模型实际化

本文在问题二的求解过程中做了诸多简化，在实际生活中，需要考虑以下因素：

（1）通常低楼层的办公人员在电梯工作繁忙时会选择走楼梯而不去坐电梯，本文假设2楼3楼得办公人员在上班高峰期都选择走楼梯。

（2）由于此写字楼有两层地下停车场，而地下停车场人员可在停车场先乘坐电梯前往一层，随后在一楼乘坐电梯前往办公楼层。

（3）电梯在开始运行的过程中会有一个加速过程，同样停的时候会有一个减速问题，电梯连续性停靠时电梯在每次运行过程中始终不能达到最大速度，而间断性停靠可能使电梯在某段时间内以最大的速度运行。

（4）通常建筑物第一层比较其他各层的高度要高，这点在实际的运行时间计算中不可忽视。

5.3.2 模型的建立和求解

本文以南京为例，根据国家统计局2010年发布的数据，每5.3户南京人有一辆私家车。假设每户家庭有两位成员上班，即每10.6个上班人员中有一个人

有私家车，可将其简化为每10个上班人员中有一个人开车上班。由题中所给的数据可知，此栋写字楼420应该有460个人员开车上班，除去2楼、3楼办公人员外（不乘坐电梯），应该有420个办公人员在地上停车场乘坐电梯上楼。

最终，此问题可做如下表述：上班高峰时段，该写字楼分别有210名办公人员从地下停车场一层和二层乘坐电梯前往3层以上的楼层，有3779名办公人员从一层乘坐电梯前往3层以上的楼层。

一般来说，写字楼第一层高度是其余各层高度的1.9倍，假设该写字楼第一层的高度为7．62m，从第二层起相邻楼层之间的高度均为3．91 m，电梯的最大运行速度是304.8m／min，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m ／s2，地上一层等待时间错误！未找到引用源。为20s，其他楼层平均等待时间为错误！未找到引用源。为10s.

根据物理学中的运动知识，我们可以求得电梯运行时间和运送距离的关系：由题意得，电梯能够达到的最大速度：

错误！未找到引用源。

电梯从0 匀加速加到最大速度再匀减速到0 需要的时间：

错误！未找到引用源。

电梯从0 加到最大速度再匀减速到0 至少需要的距离：

计算电梯从一楼直达n（错误！未找到引用源。）楼的运行时间t n（如表6-1）：

表6-1 运行时间

楼层时间楼层时间楼层时间

4 7.114 11 12.598 18 17.988

5 7.32 12 13.368 19 18.758

6 8.748 13 14.138 20 19.528

7 9.518 14 14.908 21 20.298

8 10.288 15 15.678 22 21.068

9 11.058 16 16.448

10 11.828 17 17.218

电梯从第n 层（错误！未找到引用源。）到第n+1层的运行时间，楼层距离为S1=3.91m ，电梯先从0 做匀加速运动，后匀减速到0，电梯运行需要的时间为：

电梯分段服务，服务楼层为n1—n2层，电梯的运行周期为：

错误！未找到引用源。

此处仍把电梯分成三组讨论，第一组电梯服务楼层4~（N1-1），第二组电梯服务楼层n1~n2-1,第三组服务楼层n2~22(n3-1)层，5

在问题二的基础上使用MATLAB编程解得，n1=13，n2=18，总耗时为96.94min。

综上：将六台电梯平均分成三组分段运行，第一组电梯负责2~12层楼，第二组电梯负责13~17层楼层，第三组电梯负责18~22层楼，此时完成所有的人员输送所用的时间最短，最短时间为96.94min

6、模型的评价

6.1 模型的优点

（1）对于问题二和问题三，我们建立了随机、分层、分段三类模型，通过三者比较，求取合理的方案，随后对分段的模型进行改进，使得模型更加合理。此举为解决问题的思路拓宽了空间，使问题更具实际化与可行性。

（2）运用大量数据进行对比分析，具有可靠性，真实性。

（3）运用线性规划求解最有方案，方便、简洁。

6.2 模型的缺点

（1）在描述分层次方案中，我们假定电梯在一次运行中部一定每层都会停，因此在结果会造成一定的误差。

（2）电梯在每次运行中不一定是满载，计算数据可能对实际情况偏小

（3）在求解问题时，本文做了太多的约束，使得问题趋于简单。但实际生活中，不可能在电梯的一趟运行过程中，所有人员都是同一目标层；在某电梯将特定组的人员运送完毕以后，其可以继续协同运送其他层的员工。

（4）模型中，对于员工到来情况均没有考虑。

（5）运用列举的方法对模型的优化进行考虑，则不可避免了其缺漏了更优的情况。

6.3 模型的改进

由于时间有限，本文未能对模型进行进一步优化。但是通过以上论述，本文还可对模型做出以下的改进：

（1）将下楼情况考虑入内，求取在有人员在中途搭乘电梯情况下的模型；

（2）对上班期间的人数到来分布进行必要的分析，从而得出在人流高峰期内的电梯使用情况，做出必要调整，从而提高电梯效率，减少资源浪费的情况；

（3）在实际情况下，电梯不一定在每个停靠点都有乘客下电梯。所以我们需要统计数据，找出规律，得出每趟电梯所停靠的次数，这样算运行周期可能会比较准确和接近实际。

（4）在分段运行的模型中还能进一步细化，讨论分段分层模型结合起来的运行方案是否会更加合理。

参考文献

[1]陆惠广，谢超，杨博等,高层办公楼电梯问题［M],兰州铁道学院学报，1997，16(1)：92—9。

[2]Frederick S.Hillier Gerald J.Lieberman，运筹学导论，清华大学出版社，2007.8

[3]孙凤欣，蔡军伟, 乘客等待条件下的电梯优化调度模型, 宁波工程学院学报,2006.6

[4]曹岩，李勇等，Matlab数学和控制教程，化学工业出版社，2009.9

附表问题二中MATLAB程序：

function f=myfun(n)

f(1)=89.6*n(1)-67.2;

f(2)=116.8*x(2)-73*n(1)+58.4;

f(3)=2331.2-62*n(2);

n0=[10;18]

AA=[-1 0

1 -1

0 1

-677 350.4

633.8 584

365 770

-219 660.4]

bb=[1;0;22;-511.2;493.6;-6701.6;11480.8] [x,fval]=fminmax(myfun,n0,AA,bb)