二次函数的应用(实际问题)试题集锦

二次函数的应用（实际问题）试题集锦

一、选择题

1.（山东济南3分）竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数

表达式为h ＝a t 2

＋b t ，其图象如图所示．若小球在发射后第2s 与第6s 时

的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第

A ．3s

B ．3.5s

C ．4.2s

D ．6.5s 【答案】C 。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】∵小球在发射后第2s 与第6s 时的高度相等，∴小球在发射后第4s 时的高度最高。∴看所给时刻中小球的高度最高的只要看那个时刻离4s 最近，而4.2s 离4s 最近，故4.2s 是所给时刻中小球的高度最高的。故选C 。

2．（河北省3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t ﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是

A 、1米

B 、5米

C 、6米

D 、7米 【答案】C 。

【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。

【分析】∵高度h 和飞行时间t 满足函数关系式：h=﹣5（t ﹣1）2

+6，∴当t=1时，小球距离地面高度最大，h=6米。故选C 。

3.（广西梧州3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼 杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛

物线y=－14

x 2+bx+c 的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ， 球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是

（A ）y=－14x 2+34x+1 （B ）y=－14x 2+34x －1 （C ）y=－14x 2－34x+1 （D ）y=－14

x 2－34

x －1 【答案】A 。

【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。

【分析】由已知知，点A 和B 的坐标分别为（4，0），（0，1）。根据点在抛物线上，点的坐标满足方程

的关系将它们分别代入抛物线y=－14x 2+bx+c 可求出b ＝34

，c ＝1。 因此这条抛物线的解析式是y=－14x 2+34

x+1。故选A 。 4.（湖南株洲3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地

面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是

抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是

A ．4米

B ．3米

C ．2米

D ．1米

【答案】A 。

【考点】二次函数的应用。

【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：∵()2

2424y x x x =-+=--+，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米。故选A 。

5.（山东聊城3分）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛

物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一

根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防

护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为

A ．50m

B ．100m

C ．160m

D ．200m

【答案】C 。

【考点】二次函数的应用。

【分析】建立如图所示的直角坐标系，由于抛物线的顶点为（0，0.5），所以可设抛物线函数表达式为2=0.5y ax +。则由于点（1，0）在抛物线上，代入后得=0.5a -，从而抛物线函数表达式为2=0.50.5y x -+。当=0.2x 时，=0.48y ；当=0.6x 时，=0.32y 。则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为：100×2×（0.48＋0.32）＝160（m ）。故选C 。

6.（青海西宁3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3

米，此时距喷水管的水平距离为12

米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式 是

A ．y ＝－(x －12

)2＋3 B ．y ＝－3(x ＋12)2＋3 C ．y ＝－12(x －12

)2＋3 D ．y ＝－12(x ＋12

)2＋3 【答案】C 。

【考点】二次函数的应用。 【分析】∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平

距离为12

米， ∴顶点坐标为（12

，3）。 ∴设抛物线的解析式为y=a （x － 12

）2＋3，而抛物线还经过（0，0）， ∴0=a（－12）2＋3，∴a=－12。∴抛物线的解析式为y ＝－12(x －12

)2＋3。故选C 。 二、填空题

1.（湖南怀化3分）出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8)x 个，则当x = ▲ 元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．

【答案】4。

【考点】二次函数的最值

【分析】依题意得y 与x 的函数关系式y =（8－x ）x =－x 2

＋8x ，化为顶点式为y =－（x －4）2＋16，

∴当x =4时，y 取得最大值。

三、解答题

1. （天津8分）

注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．

某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少?

设每件商品降价x 元．每天的销售额为y 元．

(I) 分析：根据问题中的数量关系．用含x 的式子填表：

(Ⅱ) (由以上分析，用含x 的式子表示y ，并求出问题的解)

【答案】解：（Ⅰ）

（Ⅱ）根据题意，每天的销售额(35)(502)(035)y x x x =-+<<，

整理配方，得22(5)1800y x =--+。

∴当x =5时，y 取得最大值1800。

答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元。

【考点】列函数关系式，二次函数的应用。

【分析】（Ⅰ）根据题意，可分析出结果。

（Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：

每天的销售额=每件售价×每天销量

(35)(502)y x x =-?+

求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式()2

y a x m n =-+的形式即可求出。

（Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系：

每天的销售额=每件售价×每天销量 (35)(502)y x x =-?+

求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式()2

y a x m n =-+的形式即可求出。

2.（黑龙江哈尔滨3分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)

的变化而变化．

(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；

(2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大?最大面积是多少?

【答案】解：（1）21S 302

x x =-+。 （2）把21S 302x x =-+化为顶点式：()21S 304502

x =--+ ∵12

a =-＜0， ∴当30x =时，S 有最大值，最大值为450。

∴当x 为30cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm 2

。 【考点】二次函数的应用，菱形的性质，二次函数的最值。

【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出S 与x 之间的函数关系式。

（2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的最值原理，即可求出。

3.（黑龙江大庆7分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经过调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少时，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】解：设销售单价定为x 元（10x ≥），每天所获利润为y 元，

则[10010(10)](8)y x x =--?-2102801600x x =-+-210(14)360x =--+

∴将销售定价定为14元时，每天所获利润最大，且最大利润是360元。

【考点】二次函数的应用。

【分析】根据题意列出二次函数，将函数化为顶点式，便可知当x =14时，所获得的利润最大。

4.（江苏徐州8分）某网店以每件60元的价格进一批商品, 若以单价80元销售,每月可售出300件, 调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销量就减少10件。

（1）请写出每月销售该商品的利润y （元）与单价上涨x （元）间的函数关系式；

（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

【答案】解：（1）每月销售该商品的利润y （元）与单价上涨x （元）间的函数关系式为2=101006000y x x -++。

（2）

∵()()2

22=101006000=1010256250=1056250y x x x x x -++--++--+ ∴ 当=5x 时，即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元。

【考点】列二次函数关系式，二次函数的顶点式，求二次函数的最大（小）值。

【分析】（1）关键是找出等量关系：利润=收入—成本，即

()()()2=3001083001060101006000y x x x x x =??-+--?=-++ - 利润销量单价销量 进价

（2）根据二次函数的最大（小）值的概念，二次函数()2

=0y a x b c a <-+ ，对于，x b = 当时，

y c 有最大值。故只要通过配方法把2=101006000y x x -++化为()2=1056250y x --+即可。

5.（江苏常州、镇江7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销量1y （千克）与x 的关系为2140y x x =-+；乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销量2y （千克）与t 的关系为22y at bt =+，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

⑴求a 、b 的值；

⑵若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）

【答案】解：⑴选取表中任两组2,t y 数据，代入22y at bt =+，得

214244a b a b +=??+=?

， 解得，=1=20a b ，。 ⑵设甲级干果与乙级干果m 天销完这批货。

则有22420=114019m m m m m -+++=，解得，

当121939741m ,y ,y ===时

毛利润＝399×8＋741×6－1140×6＝798（元）

⑶第n 天甲级干果的销售量为

()()()221401401241n n n n n n n ??-+---+-=-+??

第天的总销量-第天的总销量=- ， 第n 天乙级干果的销售量为

()()()221201201219n n n n n n n ??-+--+-=+??

第天的总销量-第天的总销量=。 依题意有()()21924167n n n +--+≥?≥。

答：从第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克。

【考点】二次函数的应用，解二元一次方程组和一元一次不等式，待定系数法。

【分析】⑴用待定系数法得二元一次方程组直接求解。

⑵列方程解应用题。关键是找出等量关系：

m 天甲级干果销量＋m 天乙级干果销量＝总销量

()()

22420 1140m m m m -+++=

⑶关键在表示第n 天干果的销售量，然后列不等式求解。

6．（山东泰安10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．

（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？

【答案】解：（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800。

（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元，

由题意，得y =（x －20）[105－5（x －25）]=－5x 2＋330x －4600=－5（x

－33）2＋845。

∵－5＜0，∴当x =33时，y 的最大值为845。

故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元。

【考点】二次函数的应用（销售问题）。

【分析】（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．可计算出一个月可获利多少元。

（2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元，得到y 与x 的二次函数关系式求出函数的最大值即可。

5.（湖北黄冈、鄂州12分随州14分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P=()216041100

x --+（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润Q=()()2992941001001601005x x -

-+-+（万元）．

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？

（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

【答案】解：（1）∵每投入x 万元，可获得利润P=()216041100

x --+（万元）， ∴当x =60时，所获利润最大，最大值为41万元。

∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）。

（2）前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，

所以x =50时，P 值最大， 即这两年的获利最大为：2×[()21506041100

--+ ]=80（万元）。 后三年：设每年获利y ，设当地投资额为x ，则外地投资额为100－x ，

∴y =P+Q=[()216041100x -

-+]+[2992941601005x x -++] =﹣x 2+60x +165=﹣（x ﹣30）2+1065。

∴当x =30时，y 最大且为1065。

∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元）。

∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495﹣50×2=3175（万元）。

（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有

很大的实施价值。

【考点】二次函数的应用（销售问题）。

【分析】（1）由可获得利润P=()216041100

x --+（万元），即可知当x =60时，P 最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值；

（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x =50时，P 值最大；然后后三年：设每年获利y ，设每年获利y ，设当地投资额为x ，则外地投资额为100－x ，即可得函数y =P+Q=[()216041100x --+]+[2992941601005

x x -++]，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值。

（3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值。

6.（湖北荆门10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投

资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所 示的函数对应关系

（1）分别求1和2的函数解析式；

（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大

补贴金额的

方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

【答案】解：（1）由题意得：①5k =2，k =

52， ∴ x y 521=。 ②42 2.4,164 3.2,a b a b +=??+=?∴1

5a =-， 8

5b =.

∴x x y 5

85122+-=。 （2）设购Ⅱ型设备投资t 万元，购Ⅰ型设备投资（10－t ）万元，共获补贴Q 万元。 ∴t t y 524)10(521-=-= ，t t y 5

85122+-= ∴529)3(5145651585152422221+--=++-=+--

=+=t t t t t t y y Q 。 ∵5

1-＜0，∴Q 有最大值，即当3t =时，Q 最大＝529。 ∴107t -= (万元) 。

即投资7万元购Ⅰ型设备， 3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元。 【考点】二次函数的应用，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可。

（2）根据12Q y y =+得出关于x 的二次函数，求出二次函数最值即可。

7.（湖北咸宁9分）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶．

（1）假设每桶柴油降价x 元，每天销售这种柴油所获利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式；

（2）每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？

【答案】解：（1）)220)(40(x x y +-=8006022++-=x x 。

（2）∵1250)15(280060222+--=++-=x x x y ．

∴当15=x 时，y 有最大值1250．

因此，每桶柴油降价15元后出售，可获得最大利润。

∵45020401250=?-，

∴与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利450元。

【考点】二次函数的应用。

【分析】（1）根据每桶柴油的利润乘以销售量等于销售利润，可以得到y 与x 的函数关系式。

（2）根据二次函数的性质，用顶点式表示二次函数，可以求出最大利用和降价数。

8.（云南曲靖9分）一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）

之间的关系是3

5321212++-=x x y ，铅球运行路线如图。 （1）求铅球推出的水平距离；

（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m 。

【答案】解：（1）由y ＝0，得2125=01233

x x -++，解之，得 12=10=2x x -，（不合题意，舍去）。

∴铅球推出的水平距离是10m 。

（2）∵()221251==43123312

y x x x -++--+， ∴函数的最大值为3m 。

∴铅球行进高度不能达到4m 。

【考点】二次函数点的坐标和性质。

【分析】（1）根据点A 在x 轴上，y ＝0即可求。

（2）根据二次函数最大值的求法，比较4m 和函数的最大值的关系即可得出结论。

9. （山东滨州12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，

且点A 到水平面的距离AC ＝4米，点B 到水平面距离为2米，OC ＝8米．

（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定

的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）

（3）为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？（请写出求解过程）

【答案】解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，

设抛物线的函数解析式为2y ax =。

由题意知点A 的坐标为（4，8），∵点A 在抛物线上，

∴284a =?。解得12

a =。 ∴所求抛物线的函数解析式为：212y x =

。

（2）找法：延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，则点A 、D 关于OC 对称。连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求。

（3）由题意知点B 的横坐标为2，∵点B 在抛物线上，∴点B 的坐标为（2，2）。 又∵点A 的坐标为（4，8），∴点D 的坐标为（﹣4，8）。

设直线BD 的函数解析式为=y kx b +，则有2548k b k b +=??-+=?，解得14

k b =-??=?。

∴直线BD 的函数解析式为=4y x -+。

把x ＝0代入=4y x -+，得点P 的坐标为（0，4）。

∴两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米。

【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系，三角形两边之和大于第三边，待定系数法。

【分析】（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为2y ax =，又由点A 在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式。

（2）延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求。因为对于OC 上其它任何一点，它与点D ，B 所连线段之和都大于BD 。所以BD ＝DF ＋FB 最短，由于DF ＝AF ，从而得到AF+BF 最短。

（3）首先根据题意求得点B 与D 的坐标，设直线BD 的函数解析式为=y kx b +，利用待定系数法即可求得直线BD 的函数解析式，把x ＝0代入=4y x -+，即可求得点P 的坐标。