数学二次函数的专项培优易错试卷练习题

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4

3

与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线

y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3

2

． （1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；

（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】

（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3

2

列出关于a 、c 的方程组求解即可；

（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；

（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到

22x x x x Q P F E ++=，22

y y y y

Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】

（1）当y=0时，14

0 33

x

-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=

3

2

，得

16120

33

22

a c

a

-+=

?

?

-

?

-=

??

，

解得

1

4

a

c

=

?

?

=-

?

，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；

（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，

∴直线m的解析式为y=1

3

x．

∵点P是直线1上任意一点，

∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．

又∵PE=3PF，

∴PC PB

PF PE

=．

∴∠FPC=∠EPB．

∵∠CPE+∠EPB=90°，

∴∠FPC+∠CPE=90°，

∴FP⊥PE．

（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．

∵CF=3BE=18﹣3a，

∴OF=20﹣3a．

∴F（0，20﹣3a）．

∵PEQF为矩形，

∴

22

x x x x

Q P F E

++

=，

22

y y y y

Q P F E

++

=，

∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，

∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．

将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．

∴Q（﹣2，6）．

如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．

∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，

∴

22x x x x Q P F E ++=，22y y y y

Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．

将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．

综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．

2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =

12

x 2

+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. （1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式； （2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；

（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D 、C′B ，求 C ′B+

2

3

C′D 的最小值．

【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=1

2

x2-x-

3

2

；（2）E(1，6)；（3）C′B＋

2 3C′D

4

10

3

【解析】

试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得

AE AP =

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

，从而求出E的坐标；

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．

如图，取点M（0，4

3

），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到

△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝2

3

C′D，由C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．

试题解析：解：（1）∵抛物线y=1

2

x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-1

2

2

b

=1，∴b=-1．

∵抛物线过点A（-1，0），∴1

2

-b+c=0，解得：c=-

3

2

，

即：抛物线的表达式为：y=1

2

x2-x-

3

2

．

令y=0，则1

2

x2-x-

3

2

=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；

（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．

∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AE

AP =

AG

AF

=

EG

PF

=

1

5

．

又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．

当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．

（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．

如图，取点M（0，4

3

），连接MC′、BM．则OM＝

4

3

，BM＝22

4

3()

3

+＝

97

3

．

∵

4

2

3

'23

OM

OC

==，

'2

3

OC

OD

=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴

'2

'3

MC

C D

=，

∴MC′＝2

3C′D，∴C′B＋

2

3

C′D＝C′B＋MC′≥BM＝

4

10

3

，∴C′B＋

2

3

C′D的最小值为

4

10

3

．

点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=1

4

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=1

4

x2﹣x+1．（2）点P

的坐标为（

28

13

，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-

1

2

-

1

2

y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．

详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a，解得：a=1

4

，

∴抛物线的解析式为y=1

4

（x-2）2=

1

4

x2-x+1．

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

2

1

4

1

1

4

y x

y x x

?

??

?

?-+

??

＝

＝

，解得：

1

1

1

1

4

x

y

?

?

?

??

＝

＝

，2

2

4

1

x

y

?

?

?

＝

＝

，

∴点A的坐标为（1，1

4

），点B的坐标为（4，1）．

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，

1

4

）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ?+??

?+-?＝＝，解得：1312

43

k b ?

-??????＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43

， 当y=-1时，有-1312x+4

3

=-1， 解得：x=

28

13

， ∴点P 的坐标为（

28

13

，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点， ∴n=

14

m 2

-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（1

4

m 2-m+1）+1， 整理得：（1-

12-1

2

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，

∴00022000

11

10222220230

y x y x y y ?--??

-+??+--??

＝＝＝， ∴00

21x y ???＝＝，

∴定点F 的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；

（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．

4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，

），点M 是抛物线C 2：

2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （

，0）、B （3，0）．

（2）存在．S △PBC 最大值为2716

（3）2

m 2

=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】

（1）在2

y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】

解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，

∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （

，0）、B （3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），

把C （0，3

2-

）代入可得，12

a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213

y x x 22

=--． 设P （p ，

213

p p 22

--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =2

3

327p 4

2

16

--+（）． ∵3a 4=-

<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716

． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m 2=-

,22

m 2

=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2

m =-

或1m =-时，△BDM 为直角三角形．

5．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.

【答案】(1)y=-22

4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）

(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】

（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．

所以抛物线的表达式为：2

4y x x =-+．

y=-224(2)4y x x x =-+=--+，

所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，

四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，

所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．

6．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y （单位：万元/吨）与销售数量x （2≤x ≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．

（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？

（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w ）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）

（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y （单位：万元）与加工数量x （单位：吨）之间的函数关系是y ＝12

x +3（2≤x ≤10）．

①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？ ②该公司买入杨梅吨数在 范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？

【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x ＝8时，此时W 最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x ≤8． 【解析】 【分析】

（1）设其解析式为y ＝kx +b ，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；

（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣1

2

x 2+9x ，根据二次函数的性质即可得到结论；

（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论． 【详解】

（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数． ∴设其解析式为y ＝kx +b ，

∵图象经过点（2，12），（8，9）两点， ∴212

89k b k b +=??

+=?

，

解得k ＝﹣

1

2

，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣1

2

x +13， 当x ＝6时，y ＝10，

答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元； （2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣1

2

x 2+9x ， 当x ＝﹣

2b

a

＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12

x 2

+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣

12x 2+9x ＝9x ﹣（1

2

x +3） 解得x ＝﹣2（舍去），x ＝3， 答该公司买入杨梅3吨；

②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x ≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．

故答案为：3＜x ≤8． 【点睛】

本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．

7．已知函数()()22,1,2

22x nx n x n y n n

x x x n ?-++≥?

=?-++

①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值； ②求此函数的最大值．

（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段

AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．

【答案】（1）①92b =

②458；（2）

1845n <≤，8

23

n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或31

42

n ≤<． 【解析】 【分析】

（1）①将()4,P b 代入2155

222

y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =

时有最大值为458；故函数的最大值为45

8

； （2）将点()4,2代入2

y x nx n =-++中，得到185n =

，所以

18

45

n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2

y x nx n =-++和21222n n y x x =-++中，得到

8

2,3

n n ==

， 所以8

23

n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x

n =时，42

n >，得到8n >；当2

n x =时，148

2

n +≤，得到312

n ≥，当x n

=时，2

2

y n n n n =-++=，4n <． 【详解】

解：（1）当5n =时，

()()22555155

52

22x x x y x x x ?-++≥?

=?-++

?， ①将()4,P b 代入2155

222

y x x =-++， ∴9

2

b =

； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为

458

；

（2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中， ∴185

n =， ∴

18

45

n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点()2,2代入2

y x nx n =-++中， ∴2n =， 将点()2,2代入21222

n n

y x x =-++中， ∴8

3

n =

， ∴8

23

n ≤<

时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：1845n <≤，8

23

n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点； （3）当x

n =时，22112

2

2

2

n n y n n =-++=，

42

n

>，∴8n >； 当2n x =

时，182

n y =+， 1482n +≤，∴312

n ≥， 当x

n =时，22y n n n n =-++=，

4n <；

∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或31

42

n ≤<． 【点睛】

考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.

8．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)． (1)求抛物线对应的二次函数表达式；

(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若

点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(

12

2

x x +，12

2

y y +)．

【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；

(3)点N(

43，﹣73

)． 【解析】 【分析】

(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解； (2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；

(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标． 【详解】

(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，

将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4， 解得：a ＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣3；

(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，

S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ， ∴S △OME ＝S △OBM ， ∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；

(3)设点P(m ，n)，n ＝﹣m 2+2m+3，而m+n ＝﹣1， 解得：m ＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；

如图2，故点D 作QD ∥AC 交PC 的延长线于点Q ，

由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx+b，

将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：

45

k b

k b

-+=

?

?

+=-

?

，

解得：

1

1 k

b

=-

?

?

=-

?

，

所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，

同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，

直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，

同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，

联立①②并解得：x＝﹣4

3

，即点Q(﹣

4

3

，

1

3

)，

∵点N是PQ的中点，

由中点公式得：点N(4

3

，﹣

7

3

)．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．

9．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；

（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理

由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或

【解析】

试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析：（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴线段AC的中点为（，），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，

∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

∴最大值的立方根为=；

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴PG=AG，

∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），

②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，

∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），

综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．

考点：二次函数综合题

10．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A的直线交直线BC于点M．

①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；

②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或

41

2

或

5-41

②点M的坐标为（13

6

，﹣

17

6

）或（

23

6

，﹣

7

6

）．

【解析】

分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到

∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），

AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（1

2

，-

5

2

），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的

解析式为y=-1

5

x+b，把E（

1

2

，-

5

2

）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-

1

5

x-

12

5

，则

解方程组

5

112

55

y x

y x

-

?

?

?

--

??

＝

＝

得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，

如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式

得到3=13

+

6

2

x

，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．

详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5）， 当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0）， 把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得

253005a c c ++=??

=-?，解得1

5a b =-??=-?

， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；

（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0）， ∵B （5，0），C （0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM ⊥BC ，

∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴AM=

2AB=2×4=22， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ， ∴PQ=AM=22，PQ ⊥BC ，

作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，

∴222=4，

设P （m ，﹣m 2+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5）， 当P 点在直线BC 上方时，

PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4， 当P 点在直线BC 下方时，

PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 15+41，m 25-41

， 综上所述，P 点的横坐标为4或

5+412或5-41

2

； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，