第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图
§2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式
一、杆件的内力与内力分量
内力是工程力学中一个非常重要的概念。内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。
需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。
受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力
N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。
轴力
N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。 剪力
y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。 扭矩x
M 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。 弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。
二、杆件变形的基本形式
实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。
杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。
1、轴向拉伸和压缩变形
轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
图2-1 图2-2 土木工程结构中的桁架，由大量的拉压杆组成，如图2-2所示。内燃机中的连杆、压缩机
中的活塞杆等均属此类。它们都可以简化成图2-1所示的计算简图。
2、剪切变形
工程中的拉压杆件有时是由几部分联接而成的。在联接部位，一般要有起联接作用的部
件，这种部件称为联接件。例如图2-3a 所示两块钢板用铆钉(也可用螺栓或销钉)联接成
一根拉杆，其中的铆钉(螺栓或销钉)就是联接件。
图2-3
铆钉、螺栓等联接件的主要受力和变形特点如图2-3b 所示。作用在联接件两侧面上的一
对外力的合力大小相等，均为F，而方向相反，作用线相距很近；并使各自作用的部分沿着与
合力作用线平行的截面m-m(称为剪切面)发生相对错动。这种变形称为剪切变形。
3、扭转变形
杆件若受到作用面垂直于轴线的力偶的作用时，将会产生扭转变形。工程中常把产生的变
形以扭转变形为主的杆件称为轴。大多数受扭的杆件其横截面为圆形，称为圆轴。圆轴扭转时
的变形特点是：各相邻截面产生绕杆件轴线的相对转动，杆件表面的纵向线将变成螺旋线。机
械工程中的传动轴通常是圆形截面，建筑工程中常遇到的则是矩形截面。房屋中的雨篷梁（图
2-4）和边梁（图2-5）均为受扭的杆件。
图2-4 图2-5
4、弯曲变形
弯曲是工程实际中最常见的一种基本变形。如图2-6所示的楼板梁、公路桥梁、单位长度的混凝土重力坝和机车轮轴等的变形都是弯曲变形。当杆件受到垂直于杆件轴线的荷载或作用面与杆件轴线共面的外力偶作用时，杆件的轴线将由直线变形为一条曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲变形为主要变形的杆件称为受弯构件或梁式杆，水平或倾斜放置的梁式杆简称为梁。这类杆件的受力特点是：在通过杆轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用。其变形特点是：杆件的轴线被弯成一条曲线。
图2-6
三、求解杆件内力的方法
根据已知外力求解杆件横截面上内力的基本方法是截面法。
为求图2-7a所示两端受轴向拉力F的杆件任一横截面1-1上的内力，可假想地用与杆件轴线垂直的平面，在1-1截面处将杆件截开；
取左段为研究对象，设右段截面对左段截面的作用力用合力F N来代替（图2-7b），并沿杆轴线方向建立平衡方程：
=
-F
F
N
∴
F F
N
=
这种假想地将杆件截开成两部分，从而显示并解出内力的方法称为截面法。
用截面法计算内力的步骤为：
（1）截假想地沿待求内力所在截面将杆件截开成两部分。
（2）取：取截开后的任一部分作为研究对象。
（3）代：画出保留部分的受力图，其中要把弃去部分对保留部分的作用以截面上的内力代替。
（4）平衡：列出研究对象的平衡方程，计算内力的大小和方向。
在用截面法求解杆件任一横截面上的内力分量时，若内力分量的方向不易判断，则一般采用设正法——按正向假设，若最后求得的内力分量为正号，则表示实际内力分量的方向与假设方向一致，若最后求得的内力分量为负号，则表示实际内力分量的方向与假设方向相反。
§2-2 轴向拉压杆和扭转杆的内力与内力图
一、轴向拉压杆的内力与内力图——轴力与轴力图
轴向拉压杆的横截面上只有一个内力分量——轴力N
F。
用截面法可求出轴向拉压杆任一横截面上的轴力。
轴力的正负由杆件的变形确定。为保证无论取左段还是右段作研究对象所求得的同一截面上轴力的正负相同，对轴力的正负号规定如下：轴力的方向与所在截面的外法线一致时，轴力为正；反之为负。由此知，当杆件受拉时轴力为正，杆件受压时轴力为负。
工程实际中，轴向拉压杆所受外力可能很复杂，这时轴向拉压杆各横截面上的轴力将随截
面位置的变化而变化，N F 将是横截面位置坐标x 的函数。即
()x F F N N = 这种函数关系称为轴向拉压杆的轴力方程。
为了清楚地表达杆件各截面的轴力，采取作轴力图的方法：以平行于杆件轴线的x 坐标表
示各横截面的位置，以垂直于杆轴线的F N 坐标表示对应横截面上的轴力，把轴力方程表示的函
数关系用图形表示出来，这样画出的函数图形称为轴力图。
例2-1 求图6-6a 中杆件1-1、2-2截面上的内力。已知1F =6KN ，2F =10KN ，
3F =4KN 。
解 （1）求1-1截面上的内力。从1-1截面处截开，取左段为研究对象，受力如图2-6c
所示。
∑x F = 0 1F + 1N F = 0 1N F ＝－1F ＝－6KN(压)
（2）求2-2截面上的内力。从2-2截面处截开，取右段为研究对象，受力如图2-6d 所示。
∑x F = 0 －2N F ＋ 3F = 0 2N F =3F =4KN
（3）绘制该杆的轴力图，如图2-6b 所示。
例2-2 图2-7a 所示杆件，已知1F =70KN 、2F =20KN 、3F =10KN ，试绘出轴力图。
图2-7 图2-6
解：（1）求1-1、2-2、3-3截面的轴力。
对图2-7c ∑x F = 0 －1N F －3F = 0 ， 1N F = －3F = -10KN （压）
对图2-7d ∑Fx = 0， －2N F －2F －
3F = 0 ， 2N F = －2F －3F = －30KN （压）
对图2-7e ∑x F = 0 ， －3N F +1F －2F －
3F = 0 ， 3N F =1F －2F －3F =
40KN （拉） （2）绘出轴力图 如图4-7b 所示。
例2-3 图2-8a 所示截面面积为A ，高为2L 的等截面钢杆，顶端固定，B 截面受力F 1=5KN ，
C 截面受力F 2=10KN 作用， 绘出钢杆的轴力图。
解： （1）计算距顶端为A 处横截面的轴力.从A 处截面截开,取AC 为段为研究对象,受力
如图2-8b 所示。该段所受外力有F1和F2。由平衡条件 得
∑F X =0 F N （A ）+F 1 – F 2 = 0 F N （A ）
= 10–5 = 5KN
同理，F N （B 〞）= 5KN ，沿B ＇截面截开，取B ＇C 为研究对象，如图2-8d 所示。由平衡
方程 得
∑Fx = 0 F N （B ˊ）=10KN
轴力图如图2-8e 所示。
二、扭转杆的内力与内力图——扭矩与扭矩图
受扭杆的横截面上只有一个内力分量——扭矩M x 。
用截面法可求出受扭杆任一横截面上的扭矩。
图2-8
如图2-9a 所示为某转动轴简图，为求任一截面上的扭矩，假想地沿图示截面截开，用M x 代替两段间相互作用的扭矩，取左段研究其平衡（图4-9b ），可得
∑M = 0 x M – M e = 0 x M = M e
若取右段研究其平衡（图4-9c ），也能求得截面上的扭矩，但与取左段时的扭矩转向相反。为使得分别取左、右两段时求得的同一截面上的扭矩不仅数值而且符号也相同，用右手法则确定扭矩的正负符号。即以右手四指表示扭矩的转向，拇指指向与截面外法线一致时为正扭矩，反之为负扭矩（如图4-9d 、图4-9e ）。计算时，通常都假定扭矩为正，若求得的结果为负值，则表示扭矩的实际转向与假设相反。
对于受力复杂的受扭杆，各横截面上的扭矩x M 将是横截面位置坐标x 的函数。即
()x M M x x = 这种函数关系称为受扭杆的扭矩方程。
对于受多个外力偶作用的圆轴，为了分析各截面上扭矩的大小，常用图示的方法来表示：以横坐标表示各截面的位置，以纵坐标表示各截面扭矩的大小，并标上正负号，这种表达受扭杆各不同位置截面扭矩分布情况的图形，称为扭矩图。
实际工程中，受扭杆所受到的外力偶矩（或称转矩）M 通常不是直接给出的，已知的是轴的转速ｎ和转递功率P ，可以根据功率、转速、力偶矩之间的如下关系计算外力偶矩：
图2-9
M = 9549n P
式中M 为外力偶矩，单位是牛·米（N ·m ）；Ｐ为转递功率，单位是千瓦（kW ）；ｎ为轴的转速，单位是转数／分（r/min ）。
例2-4 图2-10所示传动轴，轴的转速ｎ＝300 r/min ，输入功率P A ＝220 kW ，输出功率P B ＝110 Kw,P C ＝110 Kw,试作该轴的扭矩图。
解： （1）计算外力偶矩
A M ＝9549n P
=9549⨯300220N ·m ＝7KN ·m B M ＝9549n P
=9549⨯300110N ·m ＝
3.5KN ·m C M ＝9549n P =9549⨯300110
N ·m ＝3.5KN ·m
AB 段，取左端为研究对象如图2-10(c ）。BC 段取右端为研究对象如图2-10（d ）
1x M ＝A M ＝7KN 2x M ＝C M ＝3.5KN
作转动轴AC 的扭矩图,图2-10(b)所示。
例2-5 轴的计算简图如图2-11a 所示。试作出该轴的扭矩图。
（d ） （c ）
图2-10
解: 该轴仍分为三段即AB 、BD 、DE 进行计算。为避免计算支座反力，各段在计算扭矩时，可均取右段为研究对象。
计算1-1截面的扭矩 如图2-11C 所示。
∑=0M 1x M -2=0 1x M =2KN ·m
计算2-2截面的扭矩 如图2-11d 所示。
∑=0M
2x M +8-2=0 2x M ＝－6KN ·m 计算3-3截面的扭矩 如图2-11e 所示。 ∑=0M 3x M －9＋8－2=0
3x M ＝3 KN ·m 作扭矩图,如图2-11b 所示。
§2-3 弯曲杆（梁）的内力与内力图
如前所述，以弯曲变形为主要变形的杆件称为受弯构件或梁式杆，水平或倾斜放置的梁式杆简称为梁。
本节主要讨论几种单跨静定梁的内力和内力图。
工程上常见的单跨静定梁一般可分为如下三类：
简支梁 梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座，如图2-12a 所示。
悬臂梁 梁的一端为固定端，另一端自由，如图2-12b 所示。
外伸梁 梁的一端或两端伸出支座之外的简支梁，如图2-12c 所示。
(a) (b) (c)
梁横截面上的内力分量一般有两项：剪力F Q 和弯矩M 。
梁横截面上的内力计算，仍然采用截面法。现以图2-13所示的简支梁为例,说明求梁任一截面m-m 上的内力的方法。
图2-12
图2-11
根据梁的平衡条件，先求出梁在荷载作用下的支座反力F A 和F B ，然后用截面法计算其内力。沿m-m 截面将梁截开，取左段为研究对象，由图2-13b 可见，为使梁左段平衡，在横截面m-m 上必然存在一个平行于截面方向的内力F Q 。则平衡方程为
∑=0Fx A F - F Q = 0 F Q = A F
F Q 是横截面上切向分布内力分量的合力，称为剪力。因剪力F Q 与支座反力F A 组成一力偶，故在横截面m-m 上必然存在一个内力偶与之平衡（图2-13b ）。设此内力矩为M ，则平衡方程为
∑=0Mo M –x F A ⋅= 0 M = x F A
这里的矩心O 是横截面m-m 的形心。M 是横截面上的法向分布内力分量的合力偶矩，称为弯矩。
当然，截面上的内力也可以通过取右段梁为研究对象求得，其结果与取左段为研究对象求得的结果大小相等、方向相反。
为了使得无论取左段还是取右段梁，得到的同一截面上的剪力和弯矩不仅大小相等，而且符号一致，通常根据梁的变形来规定它们的正负号。 图2-13
图2-14
①剪力：当截面上的剪力对所取的研究对象内部任一点产生顺时针转向的矩时，为正剪力，反之为负剪力（图2-14a）。
②弯矩：当截面上的弯矩使所取梁段下边受拉、上边受压时，为正弯矩，反之为负弯矩（图2-14b）。
上述结论可归纳为一个简单的口诀“左上右下，剪力为正；下部受拉，弯矩为正”。
计算梁指定截面上的剪力和弯矩最基本的方法是截面法，其步骤如下：
①计算支座反力；
②用截面法将梁从需求内力的截面出截为两段；
③任取一段为研究对象，画出受力图（一般将剪力和弯矩均假设为正）；
④建立平衡方程，求解出剪力和弯矩。
例2-6 简支梁如图2-15a所示。试求横截面1-1，2-2，3-3上的剪力和弯矩。
图2-15
解：（1）求支座反力
由梁的整体平衡条件，求得支座反力为
F A = F B = 10KN
（2）求横截面1-1上的剪力和弯矩
沿1-1截面将梁截为两段，取左段为研究对象，并设截面上的剪力F Q 1和弯矩M1均为正（图2-15b）。列平衡方程
∑=0
Fy
FA- F Q 1 = 0 F Q 1 = FA = 10KN
∑=0
Mo
M1-FA×1m = 0 M1 = FA×1M = 10KN·m
（3）求横截面2-2上的剪力和弯矩
沿横截面2-2将梁截为两段，取左段为研究对象，设截面上的剪力F Q 2和弯矩M2均为正（图2-15c）。列平衡方程
∑=0
Mo
Fy∑=0
可得F Q 2 = 0 M2 = 20 KN·m
（4）求横截面3-3上的剪力和弯矩
沿横截面3-3将梁截为两段，取右段为研究对象，设截面上的剪力F Q 3和弯矩M3均为正（图5-6d）。列平衡方程
∑=0
Fy∑=0
Mo
可得F Q 3 = -10KN M3 = 10 KN·m 一般情况下，梁上各截面的剪力和弯矩值是随位置不同而变化的。如果沿梁的轴线方向建立x轴，梁横截面的位置用x坐标来表示，则剪力和弯矩应该是x的函数，
F Q = F Q（X）M = M(x)
上面的函数表达式，称为梁的内力方程，其中第一个方程称为剪力方程，第二个方程称为弯矩方程。
剪力方程和弯矩方程分别表达了梁截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的规律。
表示剪力和弯矩随梁截面位置的不同而变化的情况的图形，分别称为剪力图和弯矩图。剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图大体相似。剪力图中一般把正剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方；需要特别注意的是，土木工程中习惯把弯矩画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在x轴的上方。
下面，通过例题来说明根据内力方程绘制梁的剪力图和弯矩图的方法。
例 2-7 图2-16a所示的悬臂梁AB，自由端受力F的作用，试作剪力图和弯矩图。
图2-16
解：（1）列剪力方程和弯矩方程
设梁左端为坐标原点，在距梁的原点x处取一截面，写出该截面的剪力值和弯矩值，即为剪力方程和弯矩方程
F Q（x）= - F （0＜x＜l）
M（x） = - Fx （0≤x＜l）
(2)作剪力图和弯矩图。
F Q（x）为一常数，所以函数图形为水平直线，见图5-7b示。
M（x）为一次函数，图形为直线，取两点：
当x = 0 时M A = 0
当x = l 时M B = -F l
连接AB两点的弯矩值得M图，见图2-16c所示。
例2-8简支梁受均布荷载作用，如图2-17a所示，试作梁的剪力图和弯矩图。
解： （1）求支座反力 由梁的对称性可得
ql F F B A 21=
=
(2) 列剪力方程和弯矩方程
取梁左端A 距离为x 处的截面，写出该截面的剪力值和弯矩值。
F Q （x ）=21
q l －q x （０＜x ＜l ） M （x ）＝21q l ·x －q x ·21
x
＝21q l ·x －21
2ql
（０≤x ≤l ）
（３）作剪力图和弯矩图
剪力方程为一次函数，取两点作图可得剪力图，如图2－17b 所示。
当x = 0 时 F Q Ａ＝21
q l
当x = l 时 F Q Ｂ＝－21
q l
弯矩方程为二次抛物线，至少选三点，即Ａ、Ｂ和跨中Ｃ点。 当x = 0 时 M A = 0
图2-17
当x = l 时 M B ＝21q l ·l －21
q l ２
＝０ 当x =Ｃ时 M Ｃ= 81
q l
２
将三点用一条光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，如图2-17b 所示。
例 2-9 简支梁AB 在C 处受一集中力F 作用，如图2-18a 所示，试作剪力图和弯矩图。
图2-18
解： （1） 求支座反力
∑=0
B
M
-F A ·l ＋Ｆ·b = 0
F A = l Fb
∑=0A M -Ｆ·a ＋F B ·l
＝０
F B = l Fa
（2）列剪力方程和弯矩方程
由于集中力F 的作用，整个AB 梁段的内力不能用一个方程表达，应分为AC 段和CB 段分段列内力方程。
AC 段 取距离原点A 处为x 1 的任意截面。
F Q （x 1）= F A =l Fb （ 0 ＜ x 1＜ a ） M （x 1）= F A ·x 1 ＝l Fb
x 1 （ 0 ≤ x 1≤ a ）
ＡＣ段剪力为一水平线，弯矩为一条斜直线。
当x 1 = 0 时 M A = 0
当x 1= a 时 M C =l Fb ·a ＝l Fab
CB 段 取距原点A 处为x 2的任意截面。
F Q （x 2）＝－l Fa
（ a ＜ x 1＜l ）
M （x 2）＝l Fa
·(l －x 2) （ a ≤ x 1≤l ）
CB 段剪力仍为一水平直线，弯矩图为一斜直线。对弯矩图
当x 2= a 时 M C =l Fa (l －a ) ＝l Fab
当x 2= l 时 M B =l Fa
(l －l )＝０
最后所得梁的剪力图和弯矩图如图2-18b 、c 所示。
§2－4 弯矩、剪力和分布荷载间的微分关系
弯矩、剪力和分布荷载集度之间存在微分关系。利用这些关系可以简捷地作出梁的剪力图和弯矩图。图2-19a 所示梁上作用有任意分布载荷q(x)，q(x)以向下为正。任取一微段dx 来研究，如图5-10b 所示。微段左侧的剪力为 F Q (x)，弯矩为M （x ）；微段右侧剪力和弯矩较左侧之均有一个微小的增量：剪力为F Q (x)+d F Q (x)；弯矩为M （x ）+d M （x ）；由于dx 很小，微段上的q(x)可认为是均布的。
图2-19
由平衡条件
∑=0Fy
F Q (x)－q(x)·dx －〔F Q (x)＋d F Q (x)〕= 0 得
)
()(x q dx
X dF Q -= （a ）
=∑C
M
－M （x ）+M （x ）+d M （x ）－F Q (x )·dx ＋q(x)·dx ·2dx
＝０
略去高阶微量2)(2dx 项，得 )()
(x F dx x dM Q = (b)
将（a ）式中的F Q (x)用(b)式代换，得
)()
(2
2x q dx x M d -= （c ）
式（a ）、（b ）、（c ）表达了弯矩、剪力和荷载集度之间的微分关系，即：剪力对x 的一阶导数等于荷载集度的负值；弯矩对x 的一阶导数等于剪力；弯矩对x 的二阶导数等于荷载集度的负值。
根据这一微分关系，可得出梁的剪力图和弯矩图规律如下： ①
在无载荷作用的一段梁上，该梁段内各横截面上的剪力F Q (x)为常数，则剪力图为
一条水平直线；弯矩图为一斜直线，且斜直线的斜率等于该梁段上的剪力。
②
在均布载荷作用的一段梁上，q(x)为常数，且q(x)≠0。剪力图必然是一斜直线弯
矩图是二次抛物线。若某截面上的剪力F Q (x)=0，则该截面上的弯矩为极值。
③在集中力作用处的左、右两则截面上剪力图有突变，突变值等于集中力的值；两则截面上的弯矩值相等，但由于两则的剪力值不同，所以弯矩图在集中力作用处两则的斜率不相同，弯矩图曲线发生转折，出现尖角，尖角的指向与集中力的指向相同。
④集中力偶作用的左、右两则截面上，剪力相等；弯矩发生突变，突变值等于集中力偶的数值。
利用上述规律绘制梁的内力图的主要步骤如下： ①正确求解支座反力。
②根据荷载及约束力的作用位置，确定控制截面。 ③应用截面法确定控制截面上的剪力和弯矩数值。
④应用平衡微分方程确定各段控制截面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
例2-10 利用微分关系，作图2-20a 所示梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）求梁的支座反力得
Ay
F ＝３KN
By
F ＝15KN
（2）作剪力图。该梁可分AC 、CB 、和BD 段。各段均无荷载，可求出各段代表截面的剪力
==Ay L QC F F 3KN
-
=Ay R QC F F 12KN ＝－9KN
6
=R QB F KN
绘出各段的剪力图，如图2-20b 所示。
从上面的计算得到的剪力图可以看出。在集中力作用处（B 、C 两截面处）剪力要发生突变，突变值等于该集中力的值。
（3）绘制弯矩图
AC 段为斜直线，=A M 0 31=⨯=m F M Ay L
C KN
CB 段为斜直线，
=
⨯=m F M Ay R
C 13KN 616-=⨯-=m KN M L
B KN ·m
BD 段为斜直线，
-=R B M 6 KN ·m 0=D M 绘出各段的弯矩图，如图2-20c 所示。
从上例计算可以看出：集中力作用处左右两侧截面的弯矩相等，但弯矩图要发生转折。 例2-11 简支梁受力如图2－21a 所示。试画出其剪力图和弯矩图，并确定二者绝对 值的最大值
F Q max
和M max 。
图2-20
图2-21
解：（1）确定支座处的约束力 由整体平衡方程
可求得 （2）选择
控制截面，并确定其上之剪力和弯矩值
在集中力和集中力偶作用处的两侧截面，以及支座约束力内侧截面均为控制面，即图2－21a 中所示A 、B 、C 、D 、E 、F 各截面均为控制截面。应用截面法和平衡方程，求得这些控制截面上的剪力和弯矩值分别为：
A 截面： F Q = — 0.89 kN ， M = 0
B 截面： F Q = －0.89 kN ， M = —1.335 kN ·m
C 截面： F Q = － 0.89 kN ， M = — 0.335 kN ·m
D 截面： F Q = － 0.89 kN ， M = 一1.665 kN · m
E 截面：
F Q =1.11 kN ， M = —1.665 kN ·m F 截面： F Q =1.11 kN ， M =0 （3）作剪力图和弯矩图
因为梁上没有分布载荷作用，所以AB 、CD 、EF 各段F Q （x ）图形均为水平直线；M （x ）图形均为斜直线。由各控制截面的内力可得到梁的剪力图与弯矩图如图7－5b 、c 所示。
从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最大值分别为
KN
F Q
111max
．=
kNm
M
665.1max
=
从图中不难看出AB 段与CD 段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜率。 此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩也是不相等的(但剪力相等)，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，可以证明，这是维
持DE 小段和BC 小段梁的平衡所必需的。
例2－12 外伸梁受力如图2－22a 所示。试画出其剪力图与弯矩图，并确定
Q
F max
和
M
max
值。
图2-22
解：（1）根据梁的整体平衡，确定支座约束力
F Ay ＝49qa F By ＝43qa
（2）确定控制截面及控制截面上的F Q 、M 值
由于AB 段上作用有连续分布载荷，故A 、B 两个截面为控制面，约束力F By 右侧的C 截面，以及集中力左侧的D 截面，也都是控制面。应用截面法和平衡方程求得A 、B 、C 、D 四个控制面上的F Q 、M 数值分别为：
A 截面： F Q ＝49
qa ， M ＝0 B 截面： F Q ＝－47
qa ， M ＝qa 2
C 截面： F Q ＝—qa ， M ＝qa 2
D 截面： F Q ＝—qa ， M ＝0 分别得到相应的a 、b 、c 、d 各点，如图2－22c 、d 所示。
2．根据平衡微分方程连图线
对于剪力图：在AB 段，因有均布载荷作用，剪力图为一斜直线，于是连接a 、b 两点，
二章 静定结构的受力分析
第二章静定结构的受力分析 一判断题 1. 图示梁上的荷载P将使CD杆产生内力。（×） 题1图 2. 按拱的合理拱轴线制成的三铰拱在任意荷载作用下能使拱各截面弯矩为零。（×） 3. 若有一竖向荷载作用下的等截面三铰拱，所选的截面尺寸正好满足其抗弯强度的要求。 则改用相应简支梁结构形式（材料、截面尺寸、外因、跨度均相同）也一定满足其设计要求（×） 4. 静定结构在支座移动、变温及荷载作用下，均产生位移和内力。（×） 5. 两个弯矩图的叠加不是指图形的简单拼合，而是指两图对应的弯矩纵矩叠加。（√） 6. 计算位移时，对称静定结构是：杆件几何尺寸、约束、刚度均对称的结构。（√） 7. 静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。（√） 8. 在静定结构中，当荷载作用在基本部分时，附属部分将引起内力（×） 9. 多跨静定梁仅当基本部分承受荷载时，其它部分的内力和反力均为零（√） 10. 几何不变体系一定是静定结构。（×） 11. 静定结构在荷载作用下产生的内力与杆件弹性系数、截面尺寸无关（√） 12. 直杆结构，当杆上弯矩图为零时，其剪力图也为零。（√） 13. 温度改变，支座移动和制造误差等因素在静定结构中引起内力。（×） 14．图示结构的反力R=) cos。（√） (2 / ql 题14图题15图 15. 图示结构中的反力 H=2kN.( √) 16. 图示结构的M图一定是对称的。（√）
题16图题17图题18图 17. 图示结构的反力R=0。（√） 18. 图示刚桁架由于制造误差AB杆短了3cm，装配后AB杆将被拉长。（×） 19. 图示体系是拱结构。（×） 题19图题24图 20. 静定结构的“解答的唯一性＂是指无论反力、内力、变形都只用静力平衡条件即可确（×） 21. 当外荷载作用在基本部分时，附属部分不受力；当外荷载作用在某一附属部分时，整个 结构必定都受力。（×） 22. 抛物线型静定桁架在任意荷载作用下，其腹杆内力均为零。（×） 23. 两杆相交的刚结点，其杆端弯矩一定等值同侧（即两杆端弯矩代数和为零）。（×） 24. 图示结构中的反力H=m/l。（×） 25. 图示桁架杆件AB、AF、AG内力都不为零（×） 题25图题26图 26. 图示桁架AB、AC杆的内力不为零。（×） 27. 图示结构中的反力日R=15/8kN。（×） 题27图题29图 28. 静定结构受外界因素影响均产生内力。大小与杆件截面尺寸无关。（×） 29. 如图所示多跨静梁不管p、q为何值，其上任一截面的剪力均不为零（×） N10。（√） 30. 图示桁架结构杆1的轴力
第5章杆件的内力分析与内力图
第5章杆件的内力分析与内力图 5.1轴力及轴力图 一、轴向拉伸或压缩的概念 轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。 受力特点：受一对沿杆轴线的平衡力作用。 变形特点：杆件产生轴向伸长或缩短。 二、工程实例 工程桁架
三脚架 吊索 螺栓 共同特点：作用于杆件上的合力的作用线与杆件轴线重合，杆件的变形是沿轴向伸长或缩短。 三、 轴力 轴力图 1、轴力 轴向拉伸或压缩杆件横截面上的内力可用截面法求得。 左段：由平衡条件知，横截面上只有与横截面垂直，且其合力与杆件轴线重合的内力，称为轴力，用N F 表示。 0, x N F F P ==∑
右段：同样有 0, x N F F P ==∑ 轴力符号规定：轴力的方向，使杆件拉伸为正，压缩为负。 注意：此处正负号只表明轴力是拉力还是压力，并无数学上大小的含义。 【例】 0x F =∑ 2 2 1 0N F F F +-= 2 1 2 242N F F F kN =-=-=- 0x F =∑ 430N F F -= 34 1N F F kN == 243132N F F F kN =-=-=- 任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向荷载的代数和，轴向荷载矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。 2、轴力图 轴力图：轴力与横截面位置关系绘制成的图。 正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴， 并称为基线，垂直于 x 轴的为N F 轴，横坐标表示各横截面的位置，N F 坐 标表示横截面上的轴力值。正N F 值绘在基线的上方，负N F 值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。
材料力学 中国建筑工业出版社第二章 轴向拉压习题答案
2-1a 求图示各杆指截面的轴力，并作轴力图。 (c ') (e ') (d ') N (kN) 20 5 45 5 (f ') 解：方法一：截面法 （1）用假想截面将整根杆切开，取截面的右边为研究对象，受力如图(b)、(c)、(d)、(e)所示。列平衡方程求轴力： (b) 图：)(20020011 拉kN N N X =→=-→=∑ (c) 图：)(5252002520022 压kN N N X -=-=→=--→=∑ (d) 图：)(455025200502520033 拉kN N N X =+-=→=-+-→=∑ (e) 图： )(540502520040502520044 拉kN N N X =-+-=→=--+-→=∑ （2）杆的轴力图如图（f ）所示。 方法二：简便方法。（为方便理解起见，才画出可以不用画的 (b ‘)、(c ‘)、(d ‘)、(e ‘) 图，作题的时候可用手蒙住丢弃的部份，并把手处视为固定端） （1）因为轴力等于截面一侧所有外力的代数和：∑= 一侧 F N 。故： )(201拉kN N = )(525202压kN N -=-=
)(455025203拉kN N =+-= )(5405025204拉kN N =-+-= （2）杆的轴力图如图（f ‘）所示。 2-2b 作图示杆的轴力图。 (c)图： (b)图： （3）杆的轴力图如图（d ）所示。 2-5 图示两根截面为100mm ⅹ100mm 的木柱，分别受到由横梁传来的外力作用。试计算两柱上、中、下三段的应力。 (b) (c) (d) (f) 题2-5 - N图（kN） 6 108.5 N图（kN） 3 2 6.5- 解：（1）梁与柱之间通过中间铰，可视中间铰为理想的光滑约束。将各梁视为简支梁或外伸梁，柱可视为悬臂梁，受力如图所示。列各梁、柱的平衡方程，可求中间铰对各梁、柱的约束反力，计算结果见上图。 （2）作柱的轴力图，如(e)、(f)所示。 （3）求柱各段的应力。 解：（1）用1-1截面将整个杆切开，取左边部分为研究对象；再用x -x 截面整个杆切开，取右边部分为研究对象，两脱离体受力如图(b)、(c)，建立图示坐标。 （2）列平衡方程求杆的轴力 P N 图 (d) 题2-2b () 2/0)(0011l x P N P N X <<=→=-→=∑拉()2/32/))(2/(0)2/(0l x l l x q N N l x q X x x <<-=→=--→=∑拉
第二章 内力分析
第二章杆件内力分析——材料力学教案
第二章 杆件内力分析 §2-1 内力与内力分量 1. 内力主矢与主矩 无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，总可以将其向该截面某一简化中心简化，得到一主矢和一主矩，二者分别称为内力主矢和内力主矩。 2. 内力分量 图2-1a 中所示以截面形心为简化中心的主矢R F 和主矩M 。 2-1b 中所示的 Qz Qy Nx F F ,和z y x M M M , ,x 、y 、z 轴三个方向上的分量。其中： Nx F 或N F 称为轴力，它与杆产生的轴向变形（伸长或缩短）相对应。 Qy F 、Qz F 称为剪力，二者均与杆件产生的剪切变形相对应。 x M 称为扭矩,它与杆件产生的绕杆轴转动的扭转变形相对应。 y M 、z M 称为弯矩,二者与杆件产生的弯曲变形相对应。 M M B M x F R 图2-1a 分布内力向截面形心简化的主矢与主矩 F R F N Q 图2-1b 内力与内力分量
3. 内力分量的正负好规定 为了保证杆件同一处左、右两侧截面上具有相同的正负号，不仅要考虑内力分量的方向，而且要看它作用在哪一侧截面上。于是，上述内力分量的正负号规则约定如下： 轴力Nx F 或N F ————无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。 剪力Qy F 或Qz F ————使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。 弯矩y M 或z M ————作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。 扭矩X M ————扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。 图2-2为 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定的方向。 ) (+N F N )(- N F N F Q (–Q (–) F Q F Q (+) 图2-2 轴力、剪力、弯矩和扭矩图示符号规定
填空题(120道)工程力学题库
1、A03 B03 力的性质静力学基础2分 三力平衡汇交定理是。 2、A01 B03 平衡方程静力学平衡2分 如图所示系统在力F作用下处于平衡。欲使A支座约束反力的作用线与AB 成30，则斜面的倾角α应为。 3、A03 B03 力偶的性质静力学基础2分 两个力偶的等效条件是。 4、A02 B03 材料力学的基本假设材料力学的基本概念6分 材料力学的基本假设有、和。 5、A02 B03 杆件应力拉（压）杆的应力2分 轴向拉压杆件横截面上的正应力分布规律是沿方向，分布。 6、A01 B03 圆柱扭转时的切应力分析圆轴的扭转应力2分 圆轴扭转时横截面上切应力的方向与垂直，轴表面各点均处于状态。 7、A03 B03 剪力与挤压的概念梁的内力分析4分 对称弯曲梁的横截面上有和两种内力。 8、A01 B03 圆轴扭转时切应力梁的强度4分
发生对称弯曲的矩形截面梁，最大剪力为max s F ，横截面面积为A ，则最大 切应力max τ= ，最大切应力位于 。 9、A03 B03 切应力分析 圆轴的扭转应力 4分 单元体上切应力等于零的平面称为 平面，此平面上的正应力称为 应力。 10、A02 B03 杆的分析 压杆稳定性分析与设计 8分 l i μλ=称为压杆的 ，根据λ的大小，可将压杆分为 、 和 三种类型。 11、A01 B03 力的简化 平面力系简化 4分 在图示力系中，1234F =F =F =F F =，则力系向A 点的简化结果 是 ，向B 点的简化结果 是 。 12、A03 B03 力的三要素 静力学基础 8 分 力对物体的作用效应取决于力的三要素，即力的 、 和 。对于刚体而言，力是 矢量。 13、A03 B03 拉（压）杆件的应力 材料力学的基本概念 4分 杆件横截面上一点处的总应力，可分解为 应力和 应力。 14、A01 B03 杆件的横向变形和应变 拉压杆的应力变形 2分 4B
第二章 杆件的内力与内力图
第二章 杆件的内力与内力图 §2-1 杆件内力的概念与杆件变形的基本形式 一、杆件的内力与内力分量 内力是工程力学中一个非常重要的概念。内力从广义上讲，是指杆件内部各粒子之间的相互作用力。显然，无荷载作用时，这种相互作用力也是存在的。在荷载作用下，杆件内部粒子的排列发生了改变，这时粒子间相互的作用力也发生了改变。这种由于荷载作用而产生的粒子间相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。 需要指出的是：受力杆件某横截面上的内力实际上是分布在截面上的各点的分布力系，而工程力学分析杆件某截面上的内力时，一般将分布内力先表示成分布内力向截面的形心简化所得的主矢分量和主矩分量进行求解，而内力的具体分布规律放在下一步（属于本书第二篇中的内容）考虑。 受力杆件横截面上可能存在的内力分量最多有四类六个：轴力 N F 、剪力y Q F )(和z Q F )(、扭矩x M 、弯矩y M 和z M 。 轴力 N F 是沿杆件轴线方向（与横截面垂直）的内力分量。 剪力 y Q F )(和z Q F )(是垂直于杆件轴线方向（与横截面相切）的内力分量。 扭矩x M 是力矩矢量沿杆件轴线方向的内力矩分量。 弯矩y M 和z M 是力矩矢量与杆件轴线方向垂直的内力矩分量。 二、杆件变形的基本形式 实际的构件受力后将发生形状、尺寸的改变，构件这种形状、尺寸的改变称为变形。 杆件受力变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩、扭转、剪切、弯曲。 1、轴向拉伸和压缩变形 轴向拉伸和压缩简称为轴向拉压。其受力特点是：外力沿杆件的轴线方向。其变形特点是：拉伸——沿轴线方向伸长而横向尺寸缩小，压缩——沿轴线方向缩短而横向尺寸增大，如图4-1所示。轴向受拉的杆件称为拉杆，轴向受压的杆件压杆。
工程力学第4次作业解答杆件的内力计算与内力图
《工程力学》第4次作业解答（杆件的内力计算与内力图） 2008-2009学年第二学期 一、填空题 1．作用于直杆上的外力（合力）作用线与杆件的轴线重合时，杆只产生沿轴线方向的伸长或缩短变形，这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。 2．轴力的大小等于截面截面一侧所有轴向外力的代数和；轴力得正值时，轴力的方向与截面外法线方向相同，杆件受拉伸。 3．杆件受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶作用时，杆件任意两相邻横截面产生绕杆轴相对转动，这种变形称为扭转。 4．若传动轴所传递的功率为P 千瓦，转速为n 转/分，则外力偶矩的计算公式为9549P M n =?。 5．截面上的扭矩等于该截面一侧（左或右）轴上所有外力偶矩的代数和；扭矩的正负，按右手螺旋法则确定。 6．剪力S F 、弯矩M 与载荷集度q 三者之间的微分关系是()()S dM x F x dx =、()()S dF x q x dx =±。 7．梁上没有均布荷载作用的部分，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。 8．梁上有均布荷载作用的部分，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。 9．在集中力作用处，剪力图上有突变，弯矩图上在此处出现转折。 10．梁上集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图上有突变。 二、问答题 1．什么是弹性变形？什么是塑性变形？ 解答： 在外力作用下，构件发生变形，当卸除外力后，构件能够恢复原来的大小和形状，则这种变形称为弹性变形。 如果外力卸除后不能恢复原来的形状和大小，则这种变形称为塑性变形。 2．如图所示，有一直杆，其两端在力F 作用下处于平衡，如果对该杆应用静力学中“力的可传性原理”，可得另外两种受力情况，如图（b ）、（c ）所示。试问： （1）对于图示的三种受力情况，直杆的变形是否相同？ （2）力的可传性原理是否适用于变形体？ 问答题2图 问答题3图
第二章 杆件的内力
活塞杆 其 计算简图为 压杆 压杆
号规定为：拉伸时，轴力F N 为正；压缩时，轴力F N 为负。 外力不能沿作用线移动。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性不成立。对变形体而言，力是定位矢量。 2、轴力图用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图。将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。 例2-1 求如图所示杆件的内力，并作轴力图。 解: 1)AB 段：以截面1-1将杆分为两段，取左段（图（b ）），由 平 衡 方 程 ,0=∑x F 0 61N =-F 得 kN 61N =F 2)BC 段：以截面2-2将杆分为两段，取左段（图(c)），由平 衡 方 程 ,0=∑x F 0 1862N =+-F 得 kN 122N -=F 2N F 的方向与图中所示方向相反。 2)CD 段：以截面3-3将杆分为两段，取右段（图(d)）， 由平衡方程,0=∑x F 043N =--F 得 kN 43N -=F 3N F 的方向与图中所示方向相反。
画在x 轴下方。例功率分别为P B ＝P C 解：1=M A =M B =M D 2BC 段：以截面分（图(b)）得 负号说明1T 同理，在CA 段内， 02=++B C M M T m N 7002?-=--=B C M M T 在AD 段内， 03=-D M T m N 4463?==D M T 3）以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在x 轴上侧，负的扭矩画在x 轴下侧。
建筑力学
《建筑力学》 一、教师信息 武可娟 武可娟：92年毕业于中国矿业大学，92年至99年在施工企业及监理公司从事基本技术工作，99年至今在建工系任教，先后教授《建筑力学》、《建筑材料》、《建筑工程施工组织管理》、《钢筋砼结构设计》等课程教学。从事教学活动以来，参加了高职高专教材的编写工作，主审了机械工业出版社出版的《建筑设备》教材、2002年争取学校校内科研项目《高职高专建筑力学整合研究》，目前，正在收尾阶段。 二、教学大纲 1、课程性质及适用对象 《建筑力学》是建筑工程专业的重要基础课，该课程主要介绍建筑杆件的受力机理及由杆件组成的杆系结构的受力及变形，研究杆件的强度和刚度条件。 2、教学目标及教学任务 通过本课程学习，使学生掌握建筑工程中构件类型，结构类型，各类构件的受力机理，构件受力及变形的计算方法，同时为其它后继课程提供力学基本理论。
6、教学考核方法： 本课程是考试课，其成绩由两部分组成，平日成绩根据作业，考勤占20%，期末考试占80%。 7。教材及教参 教材《建筑力学》中国机械教育协会组编机械教育出版社（02年第一版） 教参张流芳主编《材料力学》武汉工大出版 胡兴国主编《结构力学》武汉工大出版 三、教案 （一）教案 前言 本教材是在实际教学过程中，根据实际教学需要而整理编撰而成，是一本讲义型教材，编写过程中，删除了传统教材中重复内容，注重整个力学体系框架的构建。更适合于专科层次学生使用，内容前后联系性较强，适于系统教学。该教材特点
（1）内容联系性强，前后呼应，协调一致。 （2）该教材是在传统教材基础上进行优化重组，编写而成的，内容更具实用性，增加了较多典型例题。 （3）本教材适用于专科层次学生使用。 （4）所选习题更具有适用性、典型性。 目录 第一章绪论：建筑力学基本任务，基本假设，结构计算简图 第二章力学基本知识：力；静力学基本公理；力的分解；平面汇交力系的合成及平衡；平面一般力系； 第三章单根杆件力学基本知识：基本假设，杆件变形形式 第四章轴向拉伸和压缩：横截面内力，内力图，横截面应力，斜截面应力，虎克定律，轴向拉压杆的字形，强度条件。 第五章截面几何性质 第六章扭转横截面内力，内力图，应力，变形及刚度条件 第七章梁的内力：平面弯曲梁横截面内力，内力图，叠加法，横截面应力及强度条件 第八章应力状态分析和强度理论：平面应力状态、分析的解析法，应力图法，强度理论，梁的强度校核，广义虎克定律。 第九章组合变形计算：弯压组合，弯扭组合，双向弯曲应力计算 第十章压杆稳定：稳定概念，欧拉公式，稳定性计算 第十一章平面杆系的几何组成分析：几何体系的组成规则 第十二章静定结构内力分析：连续静定梁，刚架，拱，桁梁组合结构 第十三章静定结构求位移：求位移一般公式，图乘法 第十四章力法：原理，步骤，对称性的利用，超静定结构求位移，内力核 第十五章位移法：原理，步骤，对称性利用，剪力分配法 第十六章力矩分配法 第一章绪论 一、建筑力学任务 二、建筑力学的基本假设 1.交形固体的连续性、均匀性，各向同性假设 2.结构及构件的微小交形假设 三、结构的计算简图 1.构件的计算简图； 2.结点简化； 3.荷截简化 四、常用支座及约束 1.柔绳约束； 2.光滑面约束； 3.铰链约束； 4.固定铰支座； 5.可动铰支座； 6.链杆约束 第二章基本知识 教学目的：掌握力学的基本知识 一、力：
材料力学 第2章
第二章杆件的内力分析 第一节杆件拉伸或压缩的内力 一、轴向拉伸或压缩的概念 轴向拉伸或压缩：由一对大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的外力作用下引起的，沿杆件长度发生的伸长或缩短。 二、工程实例 三、轴力轴力图 1、轴力与杆轴线重合的内力合力。
轴力符号：拉伸为正，压缩为负。 ∑=0X 0122=-+F F N kN F F N 242212-=-=-= ∑=0 X 34 =-N F kN F N 143 == 任一截面上的轴力等于该截面一侧轴向载荷的代数和，轴向载荷矢量离开该截面者取正，指向该截面者取负。 2、轴力图 正对杆的下方，以杆的左端为坐标原点，取平行于杆轴线的直线为x 轴，并称为基线，垂直于x 轴的N 轴为纵坐标。正值绘在基线的上方，负值绘在基线的下方，最后在图上标上各截面轴力的大小。 注意：轴力图与基线形成一闭合曲线。轴力图必须与杆件对齐。 在轴向集中力作用的截面上，轴力图将发生突变，其突变的绝对值等于轴向集中力的大小，而突变方向：集中力箭头向左时向上突变，集中力箭头向右时向下突变（图是从左向右画）。 例2-10
第二节剪切的内力 一、剪切的概念 剪切：由一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力引起的横截面沿外力作用方向发生的相对错动。 剪切面或受剪面 m-m 二、工程实例
三、剪力 第三节杆件扭转的内力 一、扭转的概念 扭转：由一对大小相等、方向相反、作用面都垂直于杆轴的力偶引起的杆的任意两个横截面绕杆轴线的相对转动。 ?：扭转角；γ：剪切角 二、工程实例
三、扭矩 某一截面上的扭矩等于其一侧各外力偶矩的代数和。外力偶矩矢量指向该截面的取负，离开该截面的取正。 四、 扭矩图 在外力偶作用的截面上，扭矩图将发生突变，其突变的的绝对值等于该外力偶矩的大小，而突变方向：外力偶矩矢量方向向左的向上突变，向右则向下突变。 外力偶矩的计算公式：) (9550 m N n P M k ?= 注意：k P 单位为kw ；n 单位为min r ；M 单位为m N ? 第四节 梁弯曲时的内力 一、 弯曲 变形的基本概念 弯曲变形：由一对大小相等、方向相反，位于杆的纵向平面内的力偶引起的，杆件的轴线由直线变为曲线。 梁：以弯曲变形为主的杆件。
第二章 杆件的内力分析
第二章杆件的内力分析 要想对杆件进行强度、刚度和稳定性方面的分析计算，首先必须知道杆件横截面上的内力，因此，本章主要对此作分析讨论。首先引入了内力的基本概念和求内力的基本方法——截面法，然后讨论了各种变形情况下截面上的内力及求解和内力图的绘制，这是材料力学最基本的知识。 第一节内力与截面法 杆件因受到外力的作用而变形，其内部各部分之间的相互作用力也发生改变。这种由于外力作用而引起的杆件内部各部分之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称内力。内力的大小随外力的改变而变化，它的大小及其在杆件内部的分布方式与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。 为了研究杆件在外力作用下任一截面m-m上的内力，可用一平面假想地把杆件分成两部分，如图2-1a。取其中任一部分为研究对象，弃去另一部分。由于杆件原来处于平衡状态，截开后各部分仍应保持平衡，弃去部分必然有力作用于研究对象的m-m截面上。由连续性假设，在m-m截面上各处都有内力，所以内力实际上是分布于截面上的一个分布力系（图2-1b）。把该 分布内力系向截面上某一点简化后得到内力的主矢和主矩，以后就称之为该截面上的内力。但在工程实际中更有意义的是主矢和主矩在确定的坐标方向上的分量，如图2-1c，这六个内力分量分别对应着四种基本变形形式，依其所对应的基本变形，把这六个内力分量分别称为轴力、剪力、扭矩和弯矩。 （1）轴力。沿杆件轴线方向（x轴方向）的内力分量FN，它垂直于杆件的横截面，使杆件 产生轴向变形（伸长或缩短）。 （2）剪力。与截面相切（沿y轴和z轴方向）的内力分量FQy、FQz ，使杆件产生剪切变 形。 （3）扭矩。绕x轴的主矩分量Mx，它是一个力偶，使杆件产生绕轴线转动的扭转变形。
结构力学大作业五类静定结构在同跨同荷载作用下的内力图
结构力学大作业（1）一、五类静定结构在同跨同荷载作用下的内力图 以下五种静定结构所受的均布力都为q=1kN/m,跨度均为1米。 （1）梁的受力特性 图1-1-1 简支梁受力图 图1-1-2 简支梁的弯矩图 图1-1-1 简支梁的剪力图 （2）钢架的受力特性 图1-2-1 钢架受力图 图1-2-2 弯矩图 图1-2-3 剪力图 图1-2-4 轴力图 （3）桁架的受力特性 图1-3-1 受力图 图1-3-2 弯矩图 图1-3-3 剪力图 图1-3-4 轴力图 （4）组合结构的受力特性 图1-4-1 组合结构受力图 图1-4-2 弯矩图 图1-4-3 剪力图 图1-4-1轴力图 （5）拱的受力特性 图1-5-1 拱的受力图 图1-5-2 弯矩图 图1-5-3 剪力图 图1-5-4 轴力图 二.各种结构受力特性分析
2-1简支梁的受力特征： （1）、在均布荷载作用下，简支梁两端弯矩为0，中间弯矩最大，弯矩为抛物线形，下部受拉。 （2）、两端剪力最大，并从两端向中间均匀减小，中间剪力为0，呈直线分布。 （3）、简支梁在均布荷载在作用轴力为零。 2-2 刚架的受力特征： （1）、在均布荷载作用下，弯矩在两端刚结点处达到最大，在铰接点处弯矩为0，钢节点传递弯矩。 （2）、剪力在两端达到最大，大小相等，方向相反，从两端向中间均匀减小，在中间铰处为0，且竖向剪力为横向剪力的一半。 （3）、整个结构所有杆件轴向均受压力，且竖向轴力为横向轴力的两倍。 2-3桁架桁架的受力特征： （1）、只有桁架顶部的杆件受到剪力和弯矩作用，剪力在铰接点出方向发生突变且成线性增减，弯矩在每个杆件中成抛物线分布，弯矩分布与简支梁相同。 （2）、桁架的所有杆件都受到轴力的作用，桁架中间的下面的横杆所受到的轴力最大，为危险杆件，上部两端的两个横杆受到的轴力最小。 2-3 组合结构受力特征： （1）、只有上部主梁受弯矩和剪力作用，与简支梁相似。弯矩和剪力都在支杆作用处发生突变，但两端的剪力不相同。 （2）、与简支梁不同的是，组合结构中主梁受轴力作用且两侧斜杆受拉，轴力最大。 2-4 拱结构受力特征： （1）、拱的求解模型并非曲线，而是由多段梁刚结逼近的得到的。因此只能在一定程度上反映真实受力状况。
《土木工程力学》内力图画法探讨(全文)
《土木工程力学》内力图画法探讨(全文) 【【土木工程力学是土木工程重要的理论和实验基础，它是研究结构和构件安全地承受各种作用（荷载等）的一门课程。该课程研究的结构和构件的强度、刚度和稳定性等问题离不开内力分析，内力分析是土木工程力学最为重要的一个环节，而最能体现杆件各截面分布情况的当属内力图，内力图具有较强的直观表达性，制作方便，因此内力图成为杆件内力表达的重要手段。笔者根据多年教学实践，对土木工程力学中最为常见的几种内力图作一探讨。 教材画内力图是列内力平衡方程，由方程画出内力图，而新方法是倡导利用内力图规律和荷载的“突变”，直接画内力图，快而简便，是正确绘制内力图的关键。 一轴向拉（压）杆的内力图——轴力（fn）图 轴向拉（压）杆的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。轴向拉（压）杆的轴力图——fn（x）的图像直接反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；而且还能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。轴力图的简便画法为：（1）以外力作用处为界，将杆件分段；（2）在分界处：突变值＝集中载荷（其余各处为一水平线）。轴力图的要求为正负号、数值、阴影线与轴线垂直。熟练掌握以上几点，就可以准确无误地画出轴向拉（压）杆的轴力图了。
二扭矩图的画法 扭转变形的受力特点是在垂直于杆轴线的平面内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。扭矩的正负号判别用右手螺旋准则，即右手四指代表扭矩的转向，当大拇指背离截面为正，反之为负。扭矩图以外力作用处为分界处，突变值等于该力偶值。扭矩图画法可以参照轴力图的画法。 三直梁弯曲——剪力图和弯矩图的画法 在建筑工程中，为了迅速判断梁危险截面的位置（一般是剪力或弯矩最大值所处的位置），必须明确剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，我们通常采用绘剪力图和弯矩图的方法来表现它。建立内力方程的方法是原有教材中作内力图的最基本方法；建立了内力方程再结合数学上的函数图像性质作图，但工作量大，通过考察大量内力图，我们发现：在常规荷载作用下内力图的函数图形是直线和二次曲线，只要定出起点和终点的值，再对函数图形的形状进行定位，就不难作出内力图了，所以我们采用确定控制面法。 1．控制面法 控制面不外乎梁的起、止截面，均布载荷的起、止截面，集中力、集中力偶作用截面，以及剪力为零的截面。采用控制面法绘图，就是先在这些截面对应的点处求内力值，然后在内力图上定位，即定性地判断各段的剪力图和弯矩图的形状、图形变化趋势等，再根据荷载性质用直线（或曲线）连接定位点。在熟悉内
《材料力学》教学大纲
《材料力学》教学大纲（64学时） 一. 课程的地位及其任务 材料力学是一门由基础理论课过渡到专业课的技术基础课。其任务是研究杆件在载荷作用下的强度、刚度和稳定性的问题，为工程有关零构件设计提供必要的基础知识和计算方法。 二.课程的基本要求 （1）基本掌握将一般工程零部件或结构简化为力学简图的方法。 （2）牢固树立四种基本变形及组合变形的概念，熟练掌握直杆的受力分析。 （3）熟练掌握杆件在基本变形下的内力、应力、位移及应变的计算，并能应用强度.刚度条件进行计算。 （4）了解平面几何图形的性质，能计算简单图形的静矩、形心、惯性矩、惯性半径和圆截面的极惯性矩。能用平行移轴公式求简单组合截面的惯性矩。会应用型钢表。 （5）熟练掌握求解简单超静定问题的基本原理和方法，正确建立变形条件，掌握用变形比较法解轴向拉压超静定问题及简单超静定梁。 （6）掌握应力状态和强度理论，并能进行拉（压）弯、斜弯曲、弯扭组合变形下杆件的强度计算。 （7）掌握常用金属材料的力学性质及测定方法。 （8）理解剪切的概念，能进行剪切和挤压的实用计算。 （9）正确理解弹性稳定平衡的概念，确定压杆的临界载荷和临界应力，并进行压杆稳定性计算。 三.教学内容及学时分配 1.绪论及基本概念（2学时） 材料力学的任务及研究对象；变形固体的概念及基本假设；内力与截面法。应力与应变的概念。 2.杆件的内力与内力图（10学时） 轴向拉压杆的轴力及轴力图。 功率.转速与外力偶矩的关系。扭转杆的扭矩及扭矩图。 梁的计算简图。平面弯曲梁的剪力和弯矩。弯矩方程和剪力方程。剪力图和弯矩图。弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用；简易法作梁的内力图。 组合变形杆件的内力与内力图。 3.轴向拉压杆件的强度与变形计算（8学时） 轴向拉压杆横截面和斜截面上的应力。 轴向拉压杆的纵向变形和横向变形计算。拉(压)刚度。弹性模量和泊松比。胡克定律。
拉压杆的内力与内力图
拉压杆的内力与内力图 内力：由于外载荷的作用，而在构件内部产生的相互作用力。 内力的求解方法：截面法。 如图1所示，外载荷均通过杆的轴线，受力后构件产生拉伸或压缩变形。 例1：求图示构件1、2、3截面的内力(称为轴力，用符号F N 表示) 分析： 分别在1-1、2-2、3-3位置将构件截开，并保留截开后的任意一部分。 因为整个构件是平衡的，所以构件的任意一部分也将是平衡的，所以各段杆截开处的轴力一定是与外力共线（通过轴线）的一个拉力或一个压力。 规定： 在假设轴力方向时，均假设为拉力（正向）。这样，当解出的值力为正数时，轴力为拉力；当解出的力为负数时，轴力则为压力。 具体步骤： ● 在所需截面处将杆截开，并保留其中某一部分。 ● 画出假设的轴力方向（正向，对保留的那段杆而言，是拉力的方向），如图 中红色所示。 ● 通过水平方向合力为零，求出： 4 321p N p N p N F F F F F F =-=-= 结论： ● 1-1、2-2截面的轴力为压力，3-3截面的轴力为拉力。 ● 通过1-1和2-2截面的轴力可看出：轴力的大小与截面形状无关，没有外力作用点的一段杆上(AB 、BC 段)的内力不变化。 轴力图：将各段杆所受的轴力按比例画在x F N -坐标系中，表达方式如左图。 轴力图： C
总结规律，快速做图： 从左侧开始分析并画图： C ●第1个外力使轴受压，轴力图向下画线，线长等于第1个外力F P ●AB段之间无外力，轴力大小不变，画成水平线 ●B点受第2个外力，方向与第1外力相反，轴力图向上画线，线长等于第2 个外力5F P，最后的值是4F P（- F P+5 F P）。 ●BC段无外力，轴力不变，画成水平线 ●C点受第3个外力，方向与第1外力相同，轴力图向下画线，线长等于第3 个外力4F P，最后的值是0（4 F P-4F P）。 从右侧开始分析并画图： ●第1个外力使轴受拉，轴力图向上画线，线长等于第1个外力4F P ●BC段之间无外力，轴力大小不变，画成水平线 ●B点受第2个外力，方向与第1外力相反，轴力图向下画线，线长等于第2个外力5F P，最后的值是-F P（4F P-5 F P）。 ●AB段无外力，轴力不变，画成水平线 ●A点受第3个外力，方向与第1外力相同，轴力图向上画线，线长等于第3个外力F P，最后的值是0（-F P+F P）。 两种方法结论相同。 共同的规律是： ●先判断起点的外力，若该外力是“拉”杆的力，则轴力图向上（坐标轴正向）画线，若起点的外力是“压”杆的力，则轴力图向下（坐标轴负向）画线， 线长均与外力大小相同。 ●之后遇到外力均与起点力比较，外力方向相同，轴力图画线方向就相同，否则相反。 ●没有外力处画水平线。 ●最后回零点（画完最后一个外力后，轴力为零）即正确。
理论力学第1章3-讲义
理论力学第1章3-讲义 BRY §1.3 杆件的内力方程和内力图内力方程为了对杆件进行系统化的内力分析，需要了解杆件的各个内力分量随横截面位置不同而变化的情况。杆件横截面上的内力随横截面位置变化而改变，可以通过内力分量随横截面位置坐标x 变化的函数关系表示出来，即 材料力学B第 1 章杆件在一般外力作用下的内力分析 FN FN ( x) T T ( x) FS FS ( x) M M ( x) (1.1) 通常将上述这些函数表达式称为内力方程。 控制面通常，杆件的内力分量随坐标变化的函数关系需要分段表示，集中外力或集中外力偶的作用处以及分布外力集度函数形式变化处都是相应的内力方程的分段点。分段点所在的 1 横截面称为控制面。 讲义
BRY 在各分段点之间的每一段内利用截面法可求出该段内力方程的具体表达式。 材料力学B第 1 章杆件在一般外力作用下的内力分析 内力图各分段的内力方程的函数图形称为内力图。工程上通常用内力图来更直观地描述内力随横截面位置变化的情况，即描绘出内力随横截面位置坐标x 变化的函数图形。 绘制内力图的方法(1) 绘制各内力分量的内力图时，取x 轴平行于杆件轴线，用x 坐标表示横截面位置；(2) 根据内力方程的分段确定各段内力的区间，求出每段内力图在两端控制面上的内力值，以确定该段内力图两端的控制点；2 讲义 BRY 材料力学B第 1 章杆件在一般外力作用下的内力分析 (3) 再根据每段内力方程的函数形式确定该段内力图的曲线形状，并根据绘图需要在该段曲线上选取若干代表点(如：最大、最小值点及曲线的拐点)计算出内力值； (4) 最后将各点用确定形状曲线连接起来，标明内力的“+,-”号及各控制点、代表点的内力绝对值，并在图内打上垂直于x
计算题60道
计算题 1、A03 B09 力矩的计算 静力学基础 10分 求下图（1)、(2）中力F 对杆端O 点的力矩。 （1）（5分） （2）（5分） 2、A02 B09 平面力系的平衡方程 静力学平衡问题 15分 如图所示,已知梁AB 上作用一力F 和一力偶矩M,求支座A 和B 处的约束力。 3、A02 B09 梁弯曲内力的计算 杆件的内力及内力图 15分 如图所示，集中力F=50KN ，且梁的跨度相等，L=2m ，试计算支座A 、B 处的约束力，画出该梁的弯矩图，并写出弯矩最大值max W M 。 4、A02 B09 拉压杆的轴力及轴力图 杆件的内力及内力图 10分 作用于杆上的载荷如下图所示,画其轴力图，并求1—1、2—2截面上的轴力。 a 2a F A B M
5、A03 B09 轴扭时的内力及内力图 杆件的内力及内力图 10分 计算图示轴AB 段和BC 段的扭矩，并画出该轴的扭矩图。 6、A03 B09 杆拉伸和拉伸时的轴力及轴力图 杆件的内力及内力图 10分 用截面法求图中杆的指定截面的轴力，并画出轴力图。 7、A01 B09 梁弯曲时的内力及内力图 杆件的内力及内力图 20分 图示外伸梁，已知L=6m,P=30KN ，q=6KN/m ，试求出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。(写出详细计算过程) 8、A02 B09 平面力系的平衡方程 静力学平衡问题 10分 一静定多跨梁由梁AB 和梁BC 用中间铰B 连接而成,支承和载荷如图示。已知 o 20kN 5kN /m =45F q α==，，。求支座C 处的约束反力. 3 1 1 3 2 2 40kN 30kN F 2m 1m 1m B C A α
第2章 杆件的内力分析
第2章构件的内力分析 思考题 2-1 判断题 (1) 梁在集中力偶的作用处，剪力F S图连续，弯矩M图有突变。(对) (2) 思2-1(1)图示的两种情况下，左半部的内力相同。 思2-1(1)图 (3) 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。 (4) 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。 (5) 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。 (6) 分布载荷q(x)向上为负，向下为正。 (7) 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。 (8) 简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。 (9) 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。 (10) 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。 2-2 填空题 (1) 用一个假想截面把杆件切为左右两部分，则左右两部分截面上内力的关系是，左右两面内力大小相等，( )。 A. 方向相反，符号相反 B. 方向相反，符号相同 C. 方向相同，符号相反 D. 方向相同，符号相同 (2) 如思2-1(2)图所示矩形截面悬臂梁和简支梁，上下表面都作用切向均布载荷q，则( )的任意截面上剪力都为零。 A. 梁(a) B. 梁(b) C. 梁(a)和(b) D. 没有梁
第2章 构件的内力分析 思2-1(2)图 (3) 如思2-1(3)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是梁(a)上的集中力F 作用在铰链左侧梁上，梁(b)上的集中力作用在铰链右侧梁上，铰链尺寸不计，则两梁的( )。 A. 剪力F S 图相同 B. 剪力F S 图不相同 C. 弯矩M 图相同 D. 弯矩M 图不相同 思2-1(3)图 (4) 如思2-1(4)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是集中力偶M 分别作用在铰链左右侧，且铰链尺寸可忽略不计，则两梁的( )。 A. 剪力F S 图相同 B. 剪力F S 图不相同 C. 弯矩M 图相同 D. 弯矩M 图不相同 思2-1(4)图 (5) 如思2-1(5)图所示，梁ABCD 在C 点作用铅垂力F ，若如思2-1(5)图(b)所示，在B 点焊接一刚架后再在C 点正上方作用铅垂力F ，则两种情形( )。 A. AB 梁段的剪力F S 相同 B. BC 梁段的剪力F S 相同 C. CD 梁段的剪力F S 相同 D. AB 梁段的弯矩M 相同 E. BC 梁段的弯矩M 相同 F. CD 梁段的弯矩M 相同 思2-1(5)图 (6) 如思2-1(6)图所示，梁的剪力F S ，弯矩M 和载荷集度q 之间的微分关系 S d d M F x =-和S d d F q x =-适用于图( )所示微梁段，其中F 0和M 0分别为集中力和集中力偶。
第四章 杆件的内力与内力图
第四章 杆件的内力与内力图 一、选择题 1．各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的（ ） A ．应力 B ．变形 C ．位移 D ．力学性质 2．关于截面法下列叙述中正确的是（ ） A ．截面法是分析杆件变形的基本方法 B ．截面法是分析杆件应力的基本方法 C ．截面法是分析杆件内力的基本方法 D ．截面法是分析杆件内力与应力关系的基本方法 3.下列结论正确的是（ ）。 A.杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和 B.杆件某截面上的应力是该截面上内力的平均值 C.应力是内力的集度 D.内力必大于应力 4．常用的应力单位是兆帕（MPa ），1Mpa ＝（ ） A ．103N ／m 2 B ．106 N ／m 2 C ．109 N ／m 2 D ．1012 N ／m 2 5．长度为l 的简支梁上作用了均布载荷q ，根据剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系，可以确定（ ） A ．剪力图为水平直线，弯矩图是抛物线 B ．剪力图是抛物线，弯矩图是水平直线 C ．剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线 D ．剪力图是抛物线，弯矩图是斜直线 6.如图所示悬臂梁，A 截面上的内力为（ ）。 A.Q ＝ql ，M ＝0 B.Q ＝ql ，M ＝21 ql 2 C.Q ＝－ql ，M ＝21ql 2 D.Q ＝－ql ，M ＝ 2 3ql 2 7.AB 梁中C 截面左，右的剪力与弯矩大小比较应为 （ ）。 A.Q c 左=Q c 右，M c 左Q c 右，M c 左=M c 右