专题09 排列组合高考常见小题全归类(精讲精练)(解析版)
专题09排列组合高考常见小题全归类
【命题规律】
排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
【核心考点目录】
核心考点一：两个计数原理的综合应用
核心考点二：直接法
核心考点三：间接法
核心考点四：捆绑法
核心考点五：插空法
核心考点六：定序问题（先选后排）
核心考点七：列举法
核心考点八：多面手问题
核心考点九：错位排列
核心考点十：涂色问题
核心考点十一：分组问题
核心考点十二：分配问题
核心考点十三：隔板法
核心考点十四：数字排列
核心考点十五：几何问题
核心考点十六：分解法模型与最短路径问题
核心考点十七：排队问题
核心考点十八：构造法模型和递推模型
核心考点十九：环排问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空
方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224
⨯⨯=种不同的排列方式，
故选：B
2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志
愿者中任选2人，组成一个小组，有2
5
C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
2 54!240
C⨯=种不同的分配方案，
故选：C．
3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有32
43
C C种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有5
5
A种情况．
所以共有325
4351440
C C A=种不同安排方法．
故选：C
4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）
A．2种B．3种C．6种D．8种
【答案】C
【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有12
323
C C=种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有2
22
A=种安排方法
所以，不同的安排方法共有326
⨯=种
故选：C
5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
A．120种B．90种
C．60种D．30种
【答案】C
【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1
6C ； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有2
5C ； 最后剩下的3名同学去丙场馆．
故不同的安排方法共有12
6561060C C ⋅=⨯=种．
故选：C
6．（2020·全国·统考高考真题）如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12．设1≤i A ．5 B ．8 C ．10 D ．15 【答案】C 【解析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=． ∴1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===． 原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=． ∴1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===． 故个数之和为10． 故选：C ． 7．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 【答案】 6 35 ． 【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有4 8C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有 6612m =+=个，故所求概率1267035 m P n = ==． 故答案为： 635 ． 8．（2020·全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种． 【答案】36 【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 ∴先取2名同学看作一组，选法有：246C = 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：3 36A = 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36． 【方法技巧与总结】 1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ， ，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对 这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种． 2、错位排列公式1 (1)(1)!!i n n i D n n =-=+⋅∑ 3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 （1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． 4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑： （1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素； （2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置； （3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数． 5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其 他元素一起排列，共有1 1 n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k k k A A -+-+⋅种． 6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相 邻（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 n k n k A --·1k n k A -+种． 7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”： （1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步． （2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考虑其他情形． （3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”． （4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排． 【核心考点】 核心考点一：两个计数原理的综合应用 【典型例题】 例1．（2022·全国·高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）： “中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物； “十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香； “四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ） A ．108 B ．36 C ．9 D ．6 【答案】C 【解析】由题可知中间格只有一种放法； 十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法； 四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法； 所以不同放法共有133=9⨯⨯种． 故选：C ． 例2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（ ） A ．90 B ．216 C ．144 D ．240 【答案】B 【解析】完成这件事情，可以分两步完成， 第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有2 519C -=种方案； 第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有4 424A =种不同方案， 所以根据分步乘法计数原理得共有249216⨯=种不同安排方案． 故选：B ． 例3．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（ ） A ．720 B ．520 C ．600 D ．264 【答案】D 【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：134 244192C C A =， 若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：222 42372C A A =； 因此不同的演出顺序的种数为19272264+=． 故选：D ． 核心考点二：直接法 【典型例题】 例4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（ ）种 A ．54 B ．72 C ．96 D ．120 【答案】A 【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名， 分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有3 36A =种情况， 此时有1863=⨯种名次排列情况； ②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有2 36A =种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有3 36 A=种情况， 此时有6636 ⨯=种名次排列情况； 则一共有361854 +=种不同的名次情况， 故选：A． 例5．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出,,,,, A B C D E F共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A和B去询问成绩，回答者对A说“很遗㙳，你和B都末拿到冠军；对B说“你当然不是最差的”．试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A．720种B．600种C．480种D．384种 【答案】D 【解析】由题意，,A B不是第一名且B不是最后一名，B的限制最多，故先排B，有4种情况， 再排A，也有4种情况，余下4人有4 4432124 A=⨯⨯⨯=种情况， 利用分步相乘计数原理知有4424384 ⨯⨯=种情况． 故选：D． 例6．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）A．24种B．6种C．4种D．12种 【答案】B 【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面， 则只需对剩下3人全排即可， 则不同的排法共有3 33216 A=⨯⨯=， 故选：B． 核心考点三：间接法 【典型例题】 例7．将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）． A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种 【答案】D 【解析】7个人从左到右排成一排，共有7 75040 A=种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都相邻有35 35720 A A= 种不同的站法，甲站在最右端有6 6720 A=种不同的站法，甲、乙、丙3个相邻且甲站最右端有24 2448 A A=种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，不同的站法有5040720720483648 --+= 种不同的站法． 故选：D 例8．某学校计划从包含甲､乙､丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲､乙､丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（） A ．21种 B ．231种 C ．238种 D ．252种 【答案】B 【解析】10人中选5人有5 10C 252=种选法，其中，甲､乙､丙三位教师均不选的选法有57C 21=种， 则甲､乙､丙三位教师至少一人被选中的选法共有55 107C C 231-=种． 故选：B 例9．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A ．408种 B ．240种 C ．1092种． D ．120种 【答案】A 【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为1 5 55A A ， 其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为142 442A A A ， 于是得15142 55442A A A A A 51204242408-=⨯-⨯⨯=， 所以“六艺”讲座不同的次序共有408种． 故选：A 核心考点四：捆绑法 【典型例题】 例10．（2022·四川自贡·统考一模）在某个单位迎新晚会上有A 、B 、C 、D 、E 、F 6个节目，单位为了考虑整体效果，对节目演出顺序有如下具体要求，节目C 必须安排在第三位，节目D 、F 必须安排连在一起，则该单位迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）种 A ．36 B ．48 C ．60 D ．72 【答案】A 【解析】由题意D 、F 在一二位或四五位、五六位，C 是固定的，其他三个节目任意排列，因此方法数 为23 233A A 36=． 故选：A ． 例11．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）“四书” “五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ） A ．622622A A A B ．62 62A A C ．622 672A A A D ．622 662A A A 【答案】C 【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座， 共有66A 种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有2 2A 种排法， 排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位， 从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有2 7A 种排法， 故总共有622627A A A 种排法， 故选：C ． 例12．（2022春·四川内江·高三威远中学校校考期中）某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法 A ．24 B ．144 C ．48 D ．96 【答案】D 【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种， 物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑， 与语文、英语、生物三门课程进行排序，有24 24A A 48=种排法． 由分步乘法计数原理可知，共有24896⨯=种不同的排法． 故选：D ． 核心考点五：插空法 【典型例题】 例13．（2022·全国·高三专题练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）． A ．5424A A ⋅ B ．542 4C C ⋅ C ．42 67A A ⋅ D ．42 67C C ⋅ 【答案】A 【解析】先排4个商业广告，则44A ，即存在5个空，再排2个公益广告，则2 5A ，故总排法：4 2 45A A ， 故选：A ． 例14．（2022·全国·高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．72种 【答案】C 【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有3 3A 32 =，再将商、角插入4个空 中，共有2 43A 36=种． 故选：C ． 例15．（2022·全国·高三专题练习）A ，B ，C ，D ，E ，F 这6位同学站成一排照相，要求A 与C 相邻且A 排在C 的左边，B 与D 不相邻且均不排在最右边，则这6位同学的不同排法数为（ ） A ．72 B ．48 C ．36 D ．24 【答案】C 【解析】首先将A 与C 捆绑到一起，与除B 、D 以外的其他2位同学共3个元素进行排列，有3 3A 6=种 排法，再将B 、D 插空到除最右边的3个位置中，有2 3A 6= 种排法，因此共有6636⨯=种排法， 故选：C 核心考点六：定序问题（先选后排） 【典型例题】 例16．满足* (1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（ ）个． A ．49C B ．4 9P C ．4 10C D ．4 10P 【答案】A 【解析】∵数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为4 9C ． 故选：A ． 例17．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ） A ．120种 B ．80种 C ．20种 D ．48种 【答案】C 【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为2 520A =． 故选：C ． 例18．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为 （ ） A ．2520 B ．5040 C ．7560 D ．10080 【答案】A 【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下， 先对8盏不同的花灯进行全排列，共有8 8A 种方法， 因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取， 所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序， 故一共有8 8 22222222 =2520A A A A A 种， 故选：A 核心考点七：列举法 【典型例题】 例19．（2022春·河南南阳·高三统考期末）2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海､宁夏､广西､广东､福建､新疆､云南､陕西､江苏､浙江､安徽､四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻．某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施．如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（） A．15种B．16种C．17种D．18种 【答案】B 【解析】因为在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，所以不同的关闭方案如下： '''''''''''' ACEB ACED ACB D ACB E ADB E ADC E AEB D， ,,,,,, '''''''''''''''''''' ,,,,,,,, BDAC BDA E BDC E BEAC BEA D CEA D CEB D BAC E DAC E， 共16种方案， 故选：B 例20．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（） A．6种B．8种C．10种D．16种 【答案】C 【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知： 经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种， 故选：C ． 例21．（2022·上海浦东新·上海市实验学校校考模拟预测）定义“规范01数列”{an }如下：{an }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若m =4， 则不同的“规范01数列”共有 A ．18个 B ．16个 C ．14个 D ．12个 【答案】C 【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下： ，01010011；010101011，共14个 核心考点八：多面手问题 【典型例题】 例22．我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有种不同的选法． A ．675 B ．575 C ．512 D ．545 【答案】A 【解析】分析：根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求解． 详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理． 第一类2个只会左边的都不选，有33 55100C C ⋅=种； 第二类2个只会左边的有1人入选，有123 256400C C C ⋅=种； 第三类2个只会左边的全入选，有213 257175C C C ⋅=种，所以共有675种不同的选法，故选A ． 例23．某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法 A ．225 B ．185 C ．145 D ．110 【答案】B 【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类． ①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有4454C C 种； ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选， 这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能， 因此有1344132 54524C C C C C C +种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选， 这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种， 因此有2244221313 2545242 514C C C C C C C C C C ++种． 综上分析，共可开出441344132244221313 542 545242545242514185C C C C C C C C C C C C C C C C C C +++++=种． 故选：B ． 例24．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ） A ．26种 B ．30种 C ．37种 D ．42种 【答案】C 【解析】根据题意，设{A =只会划左桨的3人}，{B =只会划右桨的3人}，{C =既会划左桨又会划右桨的2人}，据此分3种情况讨论： ①从A 中选3人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中剩下的人中选取，有3 5C 10=种选法， ②从A 中选2人划左桨，C 中选1人划左桨，划右桨的在（B C ⋃）中选取，有213 324C C C 24=种选法， ③从A 中选1人划左桨，C 中2人划左桨，B 中3人划右桨，有1 3C 3=种选法， 则有1024337++=种不同的选法． 故选：C ． 核心考点九：错位排列 【典型例题】 例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．30种 D ．60种 【答案】B 【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有2 510C =， 另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2， 所以不同的坐法有10220⨯=种． 故选：B 例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．90 B ．135 C ．270 D ．360 【答案】B 【解析】根据题意，分以下两步进行： （1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有2 615C =种选法，假设选出的2个小球的编号为5、 6； （2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里， 对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子． 则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入， 对于编号为3、4的小球，只有1种放法． 综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为1533135⨯⨯=种． 故选：B ． 例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（ ） A ．20 B ．90 C ．15 D ．45 【答案】D 【解析】根据题意，分2步分析： ①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有1 5 C种选法， ②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一， 所以不同的拿卡片的方法有111 53345 C C C ⋅⋅=种． 故选：D． 核心考点十：涂色问题 【典型例题】 例28．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种 A．36B．48C．54D．72 【答案】D 【解析】如图：将五个区域分别记为∴，∴，∴，∴，∴，则满足条件的涂色方案可分为两类， 第一类区域∴，∴涂色相同的涂色方案，第二类区域∴，∴涂色不相同的涂色方案， 其中区域∴，∴涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域∴，有4种方法，第二步涂区域∴，有3种方法，第三步涂区域∴，有2种方法，第四步涂区域∴，有1种方法，第五步涂区域∴，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域∴，∴涂色相同的涂色方案有43212 ⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案； 区域∴，∴涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域∴，有4种方法，第二步涂区域∴，有3种方法，第三步涂区域∴，有2种方法，第四步涂区域∴，有1种方法，第五步涂区域∴，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域∴，∴涂色不相同的涂色方案有43211 ⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案； 所以符合条件的涂色方案共有72种， 故选：D． 例29．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O ，A ，B ，C ，D ，E 六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（ ） A ．480 B ．720 C ．1080 D ．1200 【答案】D 【解析】先给O 涂色，有1 5C 种方法，接着给A 涂色，有1 4C 种方法，接着给B 涂色，有1 3C 种方法， ∴若C 与A 同色，则有1种涂色方法，接着给D 涂色，有3种涂色方法， 最后E 有2种涂色方法； ∴若C 与A 不同色，则有2种涂色方法，接着给D 涂色， 若D 与A 同色，则有1种涂色方法，最后E 有3种涂色方法； 若D 与A 不同色，则有2种涂色方法，最后E 有2种涂色方法． 综上，涂色方法总数为1 5C 14C []13C 1322(1322)1200⨯⨯+⨯⨯+⨯= 故选：D 例30．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD -的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A ．72种 B ．36种 C ．12种 D ．60种 【答案】A 【解析】如下表 核心考点十一：分组问题 【典型例题】 例31．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ） A ．91 B ．101 C ．111 D ．121 【答案】B 【解析】（1）若编号为1222310++++=，则有2 5220C ⨯=种， （2）若编号为1123310++++=，则有21 5330C C ⨯=种， （3）若编号为1122410++++=，则有22 5330C C ⨯=种， （4）若编号为1113410++++=，则有31 5220C C ⨯=种， （5）若编号为2222210++++=，则有1种， 所以不同的指派方法种数为203030201101++++=种． 故选：B ． 例32．已知有6本不同的书． （1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？ （2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ 【解析】 （1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为222 642 3 3 15 C C C A =． （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同 的分堆方法的种数为123 65360. C C C = 核心考点十二：分配问题 【典型例题】 例33．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了 ,,A B C 三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案． 【答案】10 【解析】由题意可得乙一定参加A 项目， 若A 项目只有一个人时，即为乙， 则先将甲、丙、丁分为两组，有2 3C 种， 再将两组分配到,B C 两个项目，有2 2A 种， 则有22 32C A 6⋅=种不同的志愿者选拔方案， 若A 项目有2人时，又甲不能参加A 项目， 则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A 项目，有1 2C 种， 再将剩下的2人分配到,B C 两个项目，有2 2A 种， 则有12 22C A 4⋅=种不同的志愿者选拔方案， 综上，共有6410+=种不同的志愿者选拔方案． 故答案为：10． 例34．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法 【答案】180 【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有2 6C 种选法， 第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有1 4C 种选法， 第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有1 3C 种选法， 所以共有211 643C C C 180=种选法． 故答案为： 180． 例35．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法． 【答案】150 【解析】根据题意，分2步进行分析： ∴将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有22 5322 C C 15A =种分组方法， 若两组1人，一组3人，有3 5C 10=种分组方法， 则有15＋10＝25种分组方法， ∴将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有3 3A 6=种情况， 则有25×6＝150种安排方法， 故答案为：150． 核心考点十三：隔板法 【典型例题】 例36．（2022·全国·高三专题练习）六元一次方程12610x x x +++=的正整数解有________组． 【答案】126 【解析】12610x x x +++=的正整数解的组数为5 99876 12624 C ⨯⨯⨯= =， 故答案为：126． 例37．（2022·全国·高三专题练习）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（ ） A ．720种 B ．420种 C ．120种 D ．15种 【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书， 再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为2 6C =15， 故选： D 例38．（2022春·山东济宁·高三济宁一中校考开学考试）()11 2x y z ++展开式为多项式，则其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ） A ．12项 B ．24项 C ．39项 D ．78项 【答案】D 【解析】()11 2x y z ++展开之后必有形如a b c mx y z 的式子出现，其中,,,m R a b c N ∈∈，且11a b c ++=． 构造14个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，利用隔板法，共有分法2 13C 种； 每组去掉一个小球的数目分别为()11 2x y z ++的展开式中,,x y z 各字母的次数； 小球分组模型与各项的次数是一一对应的，故()11 2x y z ++的展开式中，合并同类项之后的项数为 2 131312 782 C ⨯= =项． 故选：D 核心考点十四：数字排列 【典型例题】 例39．（2022春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中 （没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个 【答案】20 【解析】由题意可得，用2根火柴棒表示数字1，3根火柴棒表示数字7，4根火柴棒表示数字4，5根火柴棒表示数字2，3或5，6根火柴棒表示数字6或9，7根火柴棒表示数字8， 数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两类：2和6，3和5，组成两个数字，还有数字只能为0，这样组成的无重复数字的三位数个数为：112112 C C A+C C A=20． 222232 故答案为：20 例40．（2022·全国·高三专题练习）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数． 【答案】198 【解析】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一． 当个位为0时，从2，4，6中再取1个数字（3种方法），从1，3，5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法； 当十位或百位为0时（2种不同方法），从2，4，6中再取1个数字放置在个位（3种方法），然后从1，3，5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法； 当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位（有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字（2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法），将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列（有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种． 根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个， 故答案为：198． 例41．（2022·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校考二模）用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____ ． 【答案】72 【解析】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1,3,5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个 A=种排法， 数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有4424 ⨯=个．故答案为：72．由分步乘法计数原理得，由1,2,3,4,5组成的无重复数字的五位数中奇数有32472 核心考点十五：几何问题 【典型例题】 专题10-2排列组合与二项式定理第二季 1．设，是的小数部分．则当时，的值（）． A．必为无理数B．必为偶数C．必为奇数D．可为无理数或有理数 【答案】C 【解析】 令．则，知是方程的两个根． 因此，． 所以，当时，． 令．则当时，．故所有的为偶数． 从而， ． 又，则为的小数部分，即． 故（奇数）．选C. 2．把1，2，3，，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？ A．31 B．30 C．28 D．32 【答案】B 【解析】 该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当6前有1个数字时，有种， 当6前有2个数字时，有种， 当6前有3个数字时，有种， 当6前有4个数字时，有种， 根据分类计数原理，共有种， 故选：B． 3．以四面体的顶点和各棱中点为顶点的空间四边形有（ ）个. A ．141 B ．144 C ．423 D ．432 【答案】C 【解析】 综上，从这十个点中取四个不共面的点的取法共有种. 而每不共面的四个点可以构成三个不同的空间四边形，则以这十个点为顶点的空间四边形共有个. 选C. 4． m n m k n k n k C C --==∑（ ） A ．2 m n + B ．2 m n m C C ．2n m n C D ．2m m n C 【答案】D 【解析】∵ ()()()()!! !!!!n m k n k n n k n C C n m m k k n k ---= ?--- ()()()()!!!!!!!!!! m k n m n n m C C n m k m k n m m k m k = =?=?----， ∴ 原式0 02m m m k m k m m n m n m n k k C C C C C ===∑?==∑， 故选D. 5．学校决定把12个参观航天航空博物馆的名额给二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四个班级. 要求每个班分得的名额不比班级序号少；即二(1)班至少1个名额, 二(2)班至少2个名额，…… ，则分配方案有( ) 专题10-1排列组合与二项式定理第一季 1．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法.例如：137可表示为“”，26可表示为“”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9个数字表示三位数的个数为（） A．10 B．20 C．36 D．38 【答案】D 【解析】 分情况讨论，当百位数为1时，十位数为1有2种，十位数为2有2种，十位数为3有2种，十位数为4有1种，为6有2种，为7有2种，为8有1种；当百位数为2时，十位数为1有2种，为2有2种，为3有1种，为6有2种，为7有1种；当百位数为3时，十位数为1有2种，十位数为2有1种，为6有1种；当百位数为4时，只有1种；当百位数为6时，十位数为1有2种，为2有2种，为3有1种，为6有2种，为7有1种；当百位数为7时，十位数为1有2种，为2有1种，为6有1种；当百位数为8，只有一种，一共有38种，故选D。 2．有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为（）A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 根据题意，分四种情况讨论：_网 ①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4； 此时有种顺序，可以排出24个四位数. ②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2， 若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有种取法，安排在四个位置中， 有种情况，剩余位置安排数字1，可以排出个四位数 同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字； ③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有种情况， 剩余位置安排两个2，则可以排出个四位数； ④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片， 有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排1， 可以排出个四位数，则一共有个四位数，故选C. 3．如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）． A．种B．种C．种D．种 【答案】C 4．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，； （）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，． 倒霉和李华在下落的过程中撞到了从到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根树枝不同的撞击次序有（）种． A．B．C．D． 专题09 交通 一、知识体系 二、备考策略 1.完整识记铁路运输的优点、管道运输的优点与水路运输的缺点。 2.构建交通与其它地理知识联系的知识体系。 三、考点梳理与考向训练 考点一交通运输方式与布局 1.现代交通运输方式的优缺点 方式优点缺点 铁路运输当代最重要的运输方式之一。运量大、 速度快、运费较低、受自然因素影响 小、连续性好 修筑铁路造价高、消费金属材料多、 占地面积大、短途运输成本高 公路运输发展最快、应用最广、地位日趋重要 的运输方式。机动灵活、周转速度快、 装卸方便、对各种自然条件适应性强 运量小、耗能多、成本高、运费较贵 水路运输历史悠久的运输方式。运量大、投资 少、成本低 速度慢，灵活性和连续性差，受航道 水文状况和气象等自然条件影响大 航空运输速度快、运输效率高，是最快捷的现 代化运输方式 运量小、能耗大、运费高，且设备投 资大、技术要求严格 2.交通运输线的区位因素 3.港口区位因素 考向一 交通方式选择、交通布局特点及成因 (2019·北京文综)某中学制作主题为“点亮中国”的宫灯。下图为学生手绘的设计图。读图，回答下题。 1．甲面中绘有多座大桥，可以推断所示区域( ) A．建桥成本低B．水运条件缺乏 C．交通需求量大D．人口迁移频繁 【答案】1.C 【解析】1.交通建设的决定性因素是社会经济因素，图示区域交通需求量大，故建有多座大桥，方便通行，故C选项正确；跨海建桥，建设成本应较高，故A选项错误；图示区域位于珠江三角洲，水运条件并不缺乏，故B选项错误；大桥两岸人口、货物流动频繁，但并不等于人口迁移频繁，故D选项错误。 （2019年新课标全国卷Ⅰ）图2示意我国东北某区域铁路线的分布，该区域铁路修建的年代较早，近些年几乎废弃。据此完成2—4题。 图2 2．该区域铁路线主要沿（） A．等高线分布B．河谷分布 C．山脊线分布D．山麓分布 3．该区域修建铁路主要是为了运输（） A．原木B．农产品C．工业品D．石材 4．近些年来，该区域铁路几乎废弃的主要原因是（） A．设施陈旧B．运速太慢 C．线路过密 D．运输需求太小 【答案】2．B 3．A 4．D 【解析】 2．从图中信息来看，早期铁路分布明显沿河流河谷分布，主要是由于河谷地区地势平坦，有利于铁路修建及运营，A对，BCD错。故选B。 3．图示地区有海拔1300m以上的山地，图示地区地势变化应该是中部较高，河流放射状流向四周，该地区平原面积较小，图示地区不是平原的主体部分，农产品运量较小，B错误；该区域铁路建设目的主要是为了运输原木，因为东北地区是我国三大林区之一，林木资源丰富，人口较少，本地需求量小，主要向外运输，A正确；图示区域位于长白山地区，东北地区的工业主要集中在辽中南地区，该区域工业品运输量小，C错 专题09排列组合高考常见小题全归类 【命题规律】 排列组合是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识． 【核心考点目录】 核心考点一：两个计数原理的综合应用 核心考点二：直接法 核心考点三：间接法 核心考点四：捆绑法 核心考点五：插空法 核心考点六：定序问题（先选后排） 核心考点七：列举法 核心考点八：多面手问题 核心考点九：错位排列 核心考点十：涂色问题 核心考点十一：分组问题 核心考点十二：分配问题 核心考点十三：隔板法 核心考点十四：数字排列 核心考点十五：几何问题 核心考点十六：分解法模型与最短路径问题 核心考点十七：排队问题 核心考点十八：构造法模型和递推模型 核心考点十九：环排问题 【真题回归】 1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（） A．12种B．24种C．36种D．48种 【答案】B 【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空 方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224 ⨯⨯=种不同的排列方式， 故选：B 2．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种 【答案】C 【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志 愿者中任选2人，组成一个小组，有2 5 C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 2 54!240 C⨯=种不同的分配方案， 故选：C． 3．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（） A．12B．120C．1440D．17280 【答案】C 【解析】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有32 43 C C种情况， 再分别担任5门不同学科的课代表，共有5 5 A种情况． 所以共有325 4351440 C C A=种不同安排方法． 故选：C 4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（） A．2种B．3种C．6种D．8种 【答案】C 【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有12 323 C C=种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有2 22 A=种安排方法 所以，不同的安排方法共有326 ⨯=种 故选：C 5．（2020·海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（） A．120种B．90种 C．60种D．30种 【答案】C 1 •将标号为1, 2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信圭寸中•若每个信封放2张，其中标号为1, 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （力72 种但）18 种（C） 36 种（D）54 种 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力•【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有4种方法；其他四封信放入两个信 封，每个信封两个有圧'种方法，共有'M “种，故选B. 2某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天•若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有 （A） 30种但）36种 （C） 42种解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值（D） 48种16日，再加上甲值14日且乙 值16日的排法 即C; C: 2C； C: C：C3=42 法二：分两类 甲、乙同组，贝y只能排在15 S,有C： =6种排法 3•某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员 工中的甲' 乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2A 2 A 4A :种方法 甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有 4A22 ( A44 A31A31A33) 种 方法 故共有IOO8种不同的排法 4.8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 (A) A8√∖92 (B) Aδ8C92 (C) A88A72 (D) Aδ8C72 答案：A 5•由 1、 2、 3、4、 5、 6组成没有重复数字且1、 3都不与5相邻的六位偶 的个数是 (A) 72 (B) 96 (C) 108 (D) 144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A; A;二24个 ②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3A∣A2 = 12个 算上个位偶数字的排法，共计3 (24+ 12) = 108个 答案：C 6. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂 一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 (A) 288 种(B) 264 种(C) 240 种(D) 168 种 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 6.4 计数原理及排列组合（精讲）（基础版）思维导图 考点一 排队问题 【例1】（2022·广东）有7名同学，其中3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的排法种数． (1)选5人排成一排； (2)全体站成一排，女生互不相邻； (3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边； (4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边； (5)男生顺序已定，女生顺序不定； (6)站成三排，前排2名同学，中间排3名同学，后排2名同学，其中甲站在中间排的中间位置； (7)7名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻； (8)7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻． 【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240 【解析】（1）从7人中选5人排列，排法有57A 2520=（种）． （2）先排男生，有33A 种排法，再在男生之间及两端的4个空位中排女生，有4 4A 种排法．故排法共有 3434A A 144=（种） ． （3）方法一（特殊元素优先法） 先排甲，有5种排法，其余6人有66A 种排法，故排法共有6 65A 3600 ⨯=（种）．方法二（特殊位置优先法） 左右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有2 6A 种排法，其他 位置有5 5A 种排法，故排法共有2565A A 3600=（种）． （4）方法一 分两类：第一类，甲在最右边，有6 6A 种排法；第二类，甲不在最右边，甲可从除去两端后剩 考点呈现 例题剖析 下的5个位置中任选一个，有5种排法，而乙可从除去最右边的位置及甲的位置后剩下的5个位置中任选 一个，有5种排法，其余人全排列，有5 5A 种排法．故排法共有6565A 55A 3720+⨯⨯=（种）．方法二 7名学 生全排列，有77A 种排法，其中甲在最左边时，有66A 种排法，乙在最右边时，有6 6A 种排法，甲在最左边、 乙在最右边都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有5 5A 种排法，故排法共有765765A 2A A 3720-+=（种）． （5）7名学生站成一排，有77A 种排法，其中3名男生的排法有3 3A 种，由于男生顺序已定，女生顺序不定， 故排法共有77 33 A 840A =（种）． （6）把甲放在中间排的中间位置，则问题可以看成剩余6人的全排列，故排法共有6 6A 720=（种）． （7）先把除甲、乙、丙3人外的4人排好，有44A 种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有2 2A 种 排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有25A 种排法．故 排法共有422 425A A A 960=（种）． （8）将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有6 61A 6 种排法，甲、乙两人可交换位置，故排 法共有62 621A A 2406 =（种）． 【一隅三反】 1．（2022·河北·藁城新冀明中学）有5名男生和甲、乙2名女生排成一排，求下列情况各有多少种不同的排法？ (1)女生甲排在正中间； (2)2名女生不相邻； (3)女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）； (4)2名女生中间恰有1名男生． 【答案】(1)720种；(2)3600种；(3)2520种；(4)1200种. 【解析】(1)女生甲排在正中间，其余6人有66A 种排法，因此不同排法种数为6 6A 720=种； (2)将5名男生排成一排，有55A 种排法，2名女生可以在 每2名男生之间及两端共6个位置中选出2个排，有26A 种排法，因此不同排法种数为52 56A A 3600=种； (3)对7名学生全排列有7 7A 种排法，因此不同排法种数为771A 25202 =种； (4)选1名男生排在2名女生中间，有1 5C 种排法，将3人看成1个元素， 第04练 计数原理、排列组合、二项式定理 1．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（理））六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B 【解析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论． 解：最左端排甲，共有5 5A =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有14 44C A =96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B ． 2．（2020·广东省高二期末）在()6 2x +展开式中，二项式系数的最大值为m ，含4x 的系数为n ，则 n m =（ ） A ．3 B ．4 C ． 13 D ． 14 【答案】A 【解析】因为6n =，所以二项展开式中共有7项，所以第四项的二项式系数最大， 所以3 620m C ==， 根据二项展开式的通项公式可得22 6260n C =⋅=， 所以 60320 n m ==.故选：A. 3．（2020·青铜峡市高级中学高二期末（理））设2220122(1)...n n n x x a a x a x a x ++=++++，则0a 等 于（ ） A ．1 B ．0 C ．3 D ．3n 【答案】A 【解析】在2220122(1)...n n n x x a a x a x a x ++=++++中令0x =得01a =．故选：A ． 4．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（理））3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（ ） A ．243 B ．125 C ．128 D ．264 【答案】B 高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解 排列组合的综合运用 考点一全排列 【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（） A．4种B．12种C．18种D．24种 【答案】D 【解析】由题意可得不同的采访顺序有4 424 A 种，故选：D. 【举一反三】 1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（） A．64种B．48种C．24种D．12种 【答案】C 【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4 424 A=种方法．故选：C． 2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（） A．50 B．60 C．120 D．90 【答案】C 【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书 全排列，故有5 5120 A=种，故选：C． 3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（） A．3种B．6种C．12种D．5种 【答案】B 【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：3 33216 A=⨯⨯=.故选：B 考点二相邻问题 【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【解析】先安排甲､乙相邻，有2 2 A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列， 故有排法种数为42 4248 A A ⨯=.故选：C 【举一反三】 1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（） A．8种B．12种C．20种D．24种 【答案】C 1.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 试题分析因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x ⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 【考点】二项式定理 【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每 项，分析好2x 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项 的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 2.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 【考点】 二项式展开式的通项公式 (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 3.【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 【答案】D 【解析】 试题分析由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份有24C 种方法，然后进行全排列3 3A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法。 故选D 。 【考点】 排列与组合；分步乘法计数原理 【答案】660 【解析】 【考点】排列组合的应用 【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 5.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________． 【答案】16，4 【解析】 【考点】二项式定理 专题十五排列组合问题 【母题原题1】【2018某某，16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260 【解析】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为若取零，则排列数为 因此一共有个没有重复数字的四位数. 【母题原题2】【2017某某，16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答) 【答案】600 【命题意图】考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能力．【命题规律】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类分步计数原理．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查．难度基本稳定在中等. 【答题模板】求解排列组合问题，一般考虑： 第一步：分清分类和分步. 第二步：分清排列与组合，确定解题方向.根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题； 第三步：正确应用公式运算求解. 【方法总结】 1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 2. 解答排列、组合问题的角度： 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 3. 有条件的排列问题大致分四种类型． (1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)． (4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法． 4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误． 5.不同元素分组：将n 个不同元素放入m 个不同的盒中 6、相同元素分组：将n 个相同元素放入m 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有1 1m n C --种.解决此类问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n 个元素排成一列，共有()1n -个空，使用()1m -个“挡板”进入空档处，则可将这n 个元素划分为m 个区域，刚好对应那m 个盒子. 7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可. 1．【2018届某某省某某市第一中学《黄金卷》第四套】集合 ，从集合中各 取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？ A. 52 B. 58 C. 64 D. 70 【答案】B 专题9 间接法模型 例1．为抗击新冠病毒，某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名专家，其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，丙、丁两名专家不能安排在同一地工作，则不同的分配方法总数为（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36 【解析】 因为甲、乙两名专家必须安排在同一地工作，此时甲、乙两名专家 看成一个整体即相当于一个人，所以相当于只有四名专家， 先计算四名专家中有两名在同一地工作的排列数，即从四个中选二个和 其余二个看成三个元素的全排列共有：23 43C A ⋅种； 又因为丙、丁两名专家不能安排在同一地工作， 所以再去掉丙、丁两名专家在同一地工作的排列数有3 3A 种， 所以不同的分配方法种数有：2 3 3 43336630C A A ⋅-=-= 故选：C 例2．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ） A ．900种 B ．600种 C ．300种 D ．150种 【解析】 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，有2 510C =（种）不同选法， 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从6名教师中选4名，有4615C =（种）不同选法， 所以不同的选派方案共有(10+15)4 4600A =（种）. 故选B. 例3．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种 A ．240 B ．320 C ．180 D ．120 【解析】 两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4， 专题09 非谓语动词（解析版） Part 1：知识点梳理 1.非谓语动词作主语的用法； 2.非谓语动词作表语的用法； 3.非谓语动词作定语的用法； 4.非谓语动词作状语的用法； 5.非谓语动词作宾语的用法； 6.非谓语动词作宾语补足语的用法。 知识点1基本用法 不定式to do 主动、将来 作主语、宾语、表语、 定语、同位语、状语和补语to be done 被动、将来 to be doing 主动、进行 to have done 主动、完成 to have been done 被动、完成 过去分词done 被动、完成作表语、状语、定语和补语 动词-ing doing 主动、进行 作主语、宾语、表语、 定语、状语(不作目的状语) 和补语 being done 被动、进行 having done 主动、完成 having been done 被动、完成 知识点2 非谓语动词作主语 1. 动词-ing和不定式都可作主语，但动词-ing多表示一般情况，而不定式常指具体情况。 Teaching English is my job. To write an email to the manager is my work today. 2. 动词-ing和不定式作主语时，句子前后应保持结构的一致性。 Seeing is believing. To see is to believe. 3. “there be＋no＋主语”这种结构中通常用动词-ing作主语，而不用不定式。这种结构表示“不可 能，无法”，相当于“it is impossible to do sth.”。 There is no reasoning with him. 注意：本句型中的no有时可用not any或never any代替。如There is never any telling what will happen in the future. 4. 不定式作主语一般可以用形式主语it 代替。 To keep healthy is important. ＝It is important to keep healthy. 注意：It is＋adj.＋for sb. to do sth. 中adj.常为表示不定式行为性质的词(important, impossible, right 等)，如：It is impossible for a man to fly by himself. 而It is＋adj.＋of sb. to do sth.中adj.为表示人的品质的词(kind, foolish, clever, wrong, wise, nice等)，如It is kind of you to help me with my English. 5. 动词-ing作主语用形式主语it代替时，常在特定结构It is worthwhile/no good/no use/a waste of...中使用。 It is a waste of time regretting for the past. 6. 单个不定式、动词-ing作主语时谓语动词用单数；并列不定式或动词-ing作主语时若指整体概念，谓语动词仍用单数。 To learn a foreign language well is not easy. Taking exercise does good to your health. Going to bed early and getting up early is a good habit. 7. “疑问词＋to do”结构可以作主语、宾语和表语。 Where to find the lost keys is still a problem. I was wondering how to get there. My problem is when to change the plan. 知识点3非谓语动词作宾语 只接不定式作宾语的动词 hope,want,offer,long(渴望),fail,expect,wish,ask,decide, pretend,manage,agree,afford,determine,promise,happen 只接v.-ing形式作宾语的动词或短语 mind,miss,enjoy,imagine,practise,suggest,finish,escap e,excuse,appreciate,admit,keep,avoid,risk,resist,consider,c an’t help,feel like,succeed in,be fond of,object t o,get down to,be engaged in,insist on,think of,be proud of,take pride in,set about,be afraid of,be tired of,look forward to,devote 第十章 排列组合、二项式定理、选修部分 一．基础题组 1.【2005某某，理6】从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221 x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是 A 、43 B 、72 C 、86 D 、90 【答案】B 2.【2005某某，理11】设*n N ∈，则1232 1 666n n n n n n C C C C -++++=__________。 【答案】 ()1716 n - 【解析】()122 11671616666n n n n n n n n n C C C C --=+=+++ ++⇒所求为： ()1716 n - 本题答案填写：( )1716n - 3.【2006某某，理5】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 【答案】A 【解析】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有 1 44 C =种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有 2 46 C =种 方法；则不同的放球方法有10种，选A ． 4.【2006某某，理11】7)12(x x +的二项展开式中x 的系数是____（用数学作答）． 【答案】280 【解析】7 )12(x x + 的二项展开式中x 的项是 334 7(2)280C x x ⋅=，所以x 的系数是 280． 5.【2007某某，理11】若6 21x ax ⎛⎫+ ⎪ ⎝⎭ 的二项展开式中3 x 的系数为5,2则a =__________.(用数字作答) 【答案】2 【解析】 () 621123166()r r r r r r r T C x ax C x a ----+⎡⎤==⎣⎦，当3r =时得到3x 项的系数336522C a a -=⇒= 6.【2008某某，理11】5 2⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数是（用数字作答）. 【答案】40 【解析】 355215 5((2)r r r r r r r T C x C x --+==-，所以2r =，系数为22 5(2)40C -=. 7.【2010某某，理14】如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若 11,23PB PC PA PD ==，则 BC AD 的值为__________． 【答案】 6 【解析】解析：∵∠PBC＋∠ABC＝180°， ∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠PBC＝∠ADC， 又∵∠P＝∠P， ∴△PBC∽△PDA， ∴ BC PC AD PA =， 专题09 植被与土壤 植物是生物土壤是环境土壤形成的几大因素：气候母质生物因素土壤是植物生长的基质为植物提供水份，土壤性质的不同会造成植被分布的不同，相互适应、相互改造，土壤植被提供养分植被 反过来保护土壤 知识点一.植被与环境 1.植被定义 自然界成群生长的各种植物的整体 2.植被的分类 (1) 天然植被：天然形成的植被，例如森林、草原、荒漠等 (2) 人工植被：人工栽培和经营管理的植被，例如经济林、人工草场等 3.类型 森林（分布在湿润半湿润地区） 热带雨林：特征是发育最繁茂的类型，植物种类丰富，群落结构复杂 热带季雨林 亚热带常绿阔叶林：特征是终年常绿，乔木多革质叶片，花期多在春末夏初，秋季陆续进入果期温带落叶阔叶林：特征是乔木一般有宽阔的叶片，夏季盛叶，冬季落叶 亚寒带针叶林：特征是耐寒针叶乔木组成，以松、杉类植物为主，树叶为针状、抗寒抗旱 草原（分布在半湿润半干旱的内陆地区） 热带草原：特征是以旱生草本植物为主，星散分布着旱生乔木、灌木，具有独特的群落外貌 温带草原：特征是是多年生草本植物群落，以丛生禾草植物占优势，普遍存在旱生结构 荒漠（分布在干旱地区） 热带荒漠：特征是植被稀疏，地表大面积裸露，植物种类贫乏，群落结构简单 4.植物在生活过程中，始终与周围环境进行着物质和能量的交换，植物的形态和生活机能，以及它们的分布等，都依赖于所生活的环境。 5.环境对植被的影响 (1)气候条件对植被分布的影响 ①热量：由于太阳辐射提供给地球的热量，有从赤道向两极递减的规律性差异，导致植被从赤道向两极呈带状分布。 ②水分：在中纬度地区，从沿海到内陆，各地水分条件不同，植被由森林依次变为草原、荒漠。 (2)地形对植被分布的影响：在一定高度的山区，从山麓到山顶的水热状况随着海拔的增加而变化，导致植被出现垂直分带现象。 6.植被对地理环境的影响 (1)植被对地理环境的影响十分显著。 (2)当地表失去了植被，会导致整个地理环境的退化。 (3)人们要特别重视以各种方式来恢复植被，改善整个生态环境 知识点二.土壤 1.土壤概念:陆地表层具有一定肥力,能够生长植物的疏松表层。 专题09 数学与生活 【母题来源】2021年高考乙卷 【母题题文】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ， H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称 为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ） A ． ⨯+表高表距 表目距的差表高 B ． ⨯-表高表距 表目距的差表高 C ．⨯+表高表距 表目距的差 表距 D ． ⨯表高表距 -表目距的差 表距 【答案】A 【试题解析】如图所示： 由平面相似可知，,DE EH FG CG AB AH AB AC ==，而DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EH AB AH AC AC AH CH --====-，而CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH -+⨯= ⨯=+--＝+⨯表高表距 表高表目距的差． 【命题意图】 1.相识三角形问题 2.考察数学与生活问题 3.考查学生的阅读理解能力 【命题方向】 最近3年每年都会出现数学应用问题，也是命题的热点问题。预测在2022年的高考过程中也会出现一个数学应用题目的出现 【得分要点】 1. 会分析并提取数学问题 2. 建立数学模型，并提取相关数据。 3. 通过数学模型解决相关题目 一、单选题 1．（2021·河南郑州市·高二期末）胡夫金字塔的形状为正四棱锥.1859年，英国作家约翰·泰勒在其《大金字 塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例1 1.6182⎛⎫ ⎝≈ +⎪⎪⎭ ，泰勒还引用了古希腊历 史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即2h as =．已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形()2860a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上条件，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ） A ．3479． B ．512.4 C ．611.6 D ．695.7 【答案】D 专题09 语言文字综合运用 一、（重庆市实验中学2021-2022学年高三检测） 阅读下面的文字，完成下面小题。 歌德有一句名言：“生活之树常青，而理论往往是灰色的。”这道出了一个的真理，（）。美学要回归大众丰富多彩的生活实践，不能单纯追求脱离现实生活的________和抽象体系。只有这样，美学才能接地气，获得________的滋养，具有强大生命力。当代中国的美学理论与人们________的艺术和审美实践还有距离，与现实生活的贴近度仍不够，还有一些需要改进之处。当代西方美学已出现了“生活转向”，即突破单纯聚焦于艺术的局限，转向自然与生活的关注，由此展开了“环境美学”“生活美学”的新潮。虽然西方的情况与我们并不完全一样，但美学走进生活确已成为不可阻挡的时代潮流，而美育是其中重要一环。 19．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（） A．牢不可破高头讲章络绎不绝日新月异 B．颠扑不破官样文章络绎不绝今非昔比 C．颠扑不破高头讲章源源不断日新月异 D．牢不可破官样文章源源不断今非昔比 20．下列填入文中括号内的语句，衔接最恰当的一项是（） A．那就是任何理论包括美学理论如果只满足于体系建构和逻辑自洽，而不关心现实生活及其变化，其结果只能是灰色的 B．那就是美学理论包括任何理论如果不关心现实生活及其变化，而只满足于体系建构和逻辑自治，其结果只能是灰色的 C．如果任何理论包括美学理论只满足于体系建构和逻辑自洽，那就是不关心现实生活及其变化，其结果只能是灰色的 D．如果美学理论包括任何理论不关心现实生活及其变化，那就是只满足于体系建构和逻辑自洽，其结果只能是灰色的 21．文中画横线的部分有语病，下列修改最恰当的一项是（） A．即单纯突破聚焦于艺术的局限，转向对自然与生活的关注，由此加强了“环境美学”“生活美学”的新潮。 B．即突破单纯聚焦于艺术的局限，转向到自然与生活的关注，由此掀起了“环境美学”“生活美学”的新潮。 C．即突破单纯聚焦于艺术的局限，转向对自然与生活的关注，由此掀起了“环境美学”“生活美学”的新潮。 D．即单纯突破聚焦于艺术的局限，转向到自然与生活的关注，由此加强了“环境美学”“生活美学”的新潮。专题10-2排列组合与二项式定理第二季-2019年领军高考数学(理)压轴题必刷题(解析版)
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