一次函数和一元一次方程(不等式)
和而不同 求同存异 WUHAN NO.62 MIDDLE SCHOOL 矜而不争 群而不党
（第1题）
（第1题）
导学案系列 编号： 班级： 姓名：
课题：一次函数和一元一次方程（或一元一次不等式）
主备： 审核： 时间： 201 年 月 第 周
一、课堂引入
1、（1）解方程2x+20=0 （2）当自变量x 为何值时，函数y=2x+20的值为0？
2、（1）解不等式2x-4>0 （2）当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？这两个问题之间有什么联系吗？
二、新课探究
探究（一）
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
312)1(=+x ，012)2(=+x ，112)3(-=+x
1、 解这3个方程相当于在一次函数12+=x y 的函数值
分别为3，0，-1时，求
2、 画出12+=x y 的图像，从图像上可以看出12+=x y
上纵坐标分别取3，0，-1的点，看出解为
归纳：
1、解一元一次方程0=+b ax 相当于在某个一次函数b ax y +=
2、一元一次方程0=+b ax 的解就是直线b ax y +=与x 轴的
交点的 探究（二）
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
223)1(>+x ，023)2(<+x ，123)3(-<+x
1、解这3个不等式相当于在一次函数23+=x y 的函数值分别
为大于2，小于0，小于-1时，求
3、 画出23+=x y 的图像，可以看出在直线12+=x y 上取纵
坐标分别满足取大于2，小于0，小于-1的点，看出解集为
归纳：
1、解一元一次不等式相当于在某个一次函数b ax y +=的值 时，求
2、y >0时对应的函数图像在 ，0 三、随堂练习 1、直线3+=x y 与y 轴的交点是（ ） A 、（0，3） B 、（0，1） C 、（3，0） D 、（1，0） 2、直线3+=kx y 与x 轴的交点是（1，0 ），则k 的值是（ ） A 、3 B 、2 C 、-2 D 、-3 3、若直线b kx y +=的图像经过点（1，3），则方程0=+b kx 的解是=x （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、直线b kx y +=交坐标轴于A(-2,0),B （0,3）两点，则不等式0>+b kx 的解集是（ ） A 、3>x B 、32<<-x C 、2- 5、直线)0(≠+=k b kx y 的图像如图所示，当0>y 时x 的取值范围是（ ） A 、0 B 、0>x C 、2 D 、2>x 和而不同 求同存异 WUHAN NO.62 MIDDLE SCHOOL 矜而不争 群而不党 ) （第1题） 6、有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征。可心：图象与x 轴交于点（6，0）；黄瑶：图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积是9。 你知道这个一次函数的关系式吗？ 7、如图直线a x k y +=11与b x k y +=22的交点（1，2），则使21y y < 的x 的取b x k y +=22值范围是（ ） A 、1 B 、1>x C 、2 D 、2>x 8、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？ 9、若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k 的值是多少？ 10、某天，小明来到体育馆看球赛，进场时发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票同时他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆，途中线段AB,OA 分别表示父子俩送票、取票过程中离体育馆的路程S （米）与所用时间t （分钟）之间的函数关系，结合图像解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度保持不变）： （1）求点B 的坐标和AB 所在直线的函数关系式。 （2）小明能否在比赛开始前返回体育馆？ 11、已知函数21-=kx y 和b x y +-=32相交于点A （2，-1）， （1）求b k ,的值，在同一坐标系中画出两个函数的图像。 （2）利用图像求出：当x 取何值时有：①21y y <；②21y y ≥ （3）利用图像求出：当x 取何值时有：① 01 01>y 且02 b x +1 和而不同 求同存异 WUHAN NO.62 MIDDLE SCHOOL 矜而不争 群而不党 （第1题） 12、已知一次函数b kx y +=，当20≤≤x 时，对应的函数值y 的取值范围是42≤≤-y ，试求b k 、的值。 四、课后练习 1．直线y=3x+9与x 轴的交点是（ ） A ．（0，-3） B ．（-3，0） C ．（0，3） D ．（0，-3） 2．已知直线y=kx+b 与直线y=3x-1交于y 轴同一点，则b 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．13 D ．-13 3 4．已知直线AB ∥x 轴，且点A 的坐标是（-1，1），则直线y=x 与直线AB 的交点是（ ） A ．（1，1） B ．（-1，-1） C ．（1，-1） D ．（-1，1） 5．直线y=3x+6与x 轴的交点的横坐标x 的值是方程2x+a=0的解，则a?的值是______． 6．已知直线y=2x+8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______．?与两条坐标轴围成的三角形的面积是__________． 7．已知关于x 的方程mx+n=0的解是x=-2，则直线y=mx+n 与x?轴的交点坐标是________． 8．方程3x+2=8的解是__________，则函数y=3x+2在自变量x 等于_________?时的函数值是8． 9．直线y=x-1上的点在x 轴上方时对应的自变量的范围是（ ） A ．x>1 B ．x ≥1 C ．x<1 D ．x ≤1 10．已知直线y=2x+k 与x 轴的交点为（-2，0），则关于x 的不等式2x+k<0?的解集是（ ） A ．x>-2 B ．x ≥-2 C ．x<-2 D ．x ≤-2 11．已知关于x 的不等式ax+1>0（a ≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x 轴的交点是（ ） A ．（0，1） B ．（-1，0） C ．（0，-1） D ．（1，0） 12．当自变量x 的值满足____________时，直线y=-x+2上的点在x 轴下方． 13．已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点（2，0），则不等式x-2≥-x+2?的解集是________． 14．直线y=-3x-3与x 轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12?的解集是________． 15．已知关于x 的不等式kx-2>0（k ≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x?轴的交点是__________． 16、兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m ，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑 3m ，哥哥每秒跑4m 。列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答下列问 题： （1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20m ？谁先跑过100m ？ 和而不同 求同存异 WUHAN NO.62 MIDDLE SCHOOL 矜而不争 群而不党 （第1题） （第1题） 17、Ａ、Ｂ两个商场平时以同样价格出售相同的商品，在春节期间让利酬宾．Ａ商场所有商品8折出售，Ｂ商场消费金额超过200元后，可在这家商场7折购物．?试问如何选择商场来购物更经济。 18．已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3?的交点坐标是_________． 19．某单位需要用车，?准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶xkm ，应付给个体车主的月租费是y 元，付给出租车公司的月租费是y 元，y ，y 分别与x 之间的函数关系图象是如图11-3-4所示的两条直线，?观察图象，回答下列问题： （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？ （2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km ，?那么这个单位租哪家的车合算？ 20．在同一坐标系中画出一次函数y 1=-x+1与y 2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题： （1）写出直线y 1=-x+1与y 2=2x-2的交点P 的坐标． （2）直接写出：当x 取何值时y 1>y 2；y 1 21、利用图象解出x ： 6x-4<-x+2 最新初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案 一、选择题 1．商家出售的一种自行车的标价比进价高45%，实际销售这种自行车时按标价八折优惠，每辆获利80元，设这种自行车的进价是每辆x元，下列方程正确的是（） A．45%（1+80%）x﹣x=80 B．x+45%﹣80%=80 C．80%（1+45%）x﹣x=80 D．（1+80%）（1+45%）x﹣x=80 【答案】C 【解析】 【分析】 设这种自行车的进价是每辆x元，根据利润=卖价-进价，列方程即可． 【详解】 设这种自行车的进价是每辆x元， 由题意得，80%（1+45%）x-x=80． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用-销售问题，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 2．小明在某个月的日历中圈出三个数，算得这三个数的和为36，那么这三个数的位置不可能是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 【分析】 日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．【详解】 解：A、设最小的数是x．x+x+1+x+8=36，x=9．故本选项可能． B、设最小的数是x．x+x+8+x+16=36，x=4，故本选项可能． C、设最小的数是x．x+x+8+x+2=36，x=26 3 ，不是整数，故本项不可能. D 、设最小的数是x ．x+x+1+x+2=36，x=11，故本选项可能． 因此不可能的为C. 故选：C. 【点睛】 此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1． 3．甲、乙两运动员在长为100m 的直道AB （A ，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点…若甲跑步的速度为5m/s ，乙跑步的速度为4m/s ，则起跑后100s 内，两人相遇的次数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 【解析】 分析：可设两人相遇的次数为x ，根据每次相遇的时间 100254 ?+，总共时间为100s ，列出方程求解即可． 详解：设两人相遇的次数为x ，依题意有 100254 ?+x=100， 解得x=4.5， ∵x 为整数， ∴x 取4． 故选B ． 点睛：考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x ，然后用含x 的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 4．关于x 的方程50x a -=的解比关于y 的方程30y a +=的解小2，则a 的值为（ ） A ．415 B ．415- C ．154 D ．154 - 【答案】D 【解析】 【分析】 把a 当做已知数分别表示出x 与y 的值，根据关于x 的方程5x-a=0的解比关于y 的方程3y+a=0的解小2，得到关于a 的一元一次方程，求出方程的解即可得到a 的值． 【详解】 初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案 一、选择题 1．有一下式子：①0x =；②325+=；③14x =；④29x =；⑤23=x x ；⑥34x -；⑦2(1)2x +=；⑧20x y +=．其中是一元一次方程的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 我们将只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程称之为一元一次方程，据此进一步判断即可. 【详解】 ①0x =，满足定义，是一元一次方程； ②325+=，未含有未知数，故不是一元一次方程； ③14x =，分母含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程； ④29x =，未知数次数为2，故不是一元一次方程； ⑤23=x x ，满足定义，故是一元一次方程； ⑥34x -，不是等式，故不是一元一次方程； ⑦2(1)2x +=，满足定义，故是一元一次方程； ⑧20x y +=，含有两个未知数，故不是一元一次方程； 综上所述，一共有3个一元一次方程， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的判断，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．方程2﹣24736 x x --=-去分母得（ ） A ．2﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） B ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣x ﹣7 C ．12﹣2（2x ﹣4）=﹣（x ﹣7） D ．以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】 两边同时乘以6即可得解. 【详解】 解方程：247236 x x --- =- 去分母得：122(24)(7)x x --=--. 故选C. 【点睛】 本题考查了解一元一次方程的去分母，两边乘以同一个数时要注意整数也要乘以这个数. 3．某书店推出一种优惠卡，每张卡售价为50元，凭卡购书可享受8折优惠，小明同学到该书店购书，他先买购书卡再凭卡付款，结果省了10元。若此次小明不买卡直接购书，则他需要付款（） A．380元B．360元C．340元D．300元 【答案】D 【解析】 【分析】 此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解． 【详解】 解：设小明同学不买卡直接购书需付款是x元， 则有：50+0.8x=x-10 解得：x=300 即：小明同学不凭卡购书要付款300元． 故选：D． 【点睛】 本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 4．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x岁，则下列式子正确的是（） A．4x－5=3(x－5) B．4x+5=3(x+5) C．3x+5=4(x+5) D．3x－5=4(x－5) 【答案】D 【解析】 【分析】 设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，根据5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】 设今年儿子的年龄为x岁，则今年父亲的年龄为3x岁，依题意，得： 3x﹣5=4（x﹣5）． 故选D． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 11.3.2 一次函数与一次不等式 教学目标 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题； 学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题的思想； 经历不等式与函数关系问题的探究过程；学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。 教学重点 一次函数与一元一次不等式的关系的理解 教学难点 一次函数图象确定一元一次不等式的解集。 教学过程 I 提出问题，引入新课 通过上节课的学习，我们已经知道，“解一元一次方程0 = ax” +b 与“求当x为何值时，b =的值为0”是同一个问题，现在我们来 ax y+ 看看： （1）以下两个问题是不是同一个问题？ ①解不等式：0 x - 2> 4 ②当为何值时，函数4 y的值大于0？ =x 2- （2）你如何利用图象来说明②？ （3）“解不等式0 x”可以与怎样的一次函数问题是同一的？怎 - 2> 4 样在图象上加以说明？ II 1.根据下列一次函数的图象，你能求出哪些不等式解集？并直接写出 （1 (对每一题都能写出四种情况（大于0，小于0，大于等于0，小于等于0），让学生在充分理解的基础和写出对应的x的取值范围，先小组内交流，然后反馈矫正。) 解： （1）（略） （2）由图象可以得出： 3 x；0 x； > +的解集是3 x-< < 3 x-> +的解集是3 x-≤ 3 ≥ x +的解集是3 x；0 ≤ 3 x-≥ +的解集是3 例2 P41例题 解法1： 分析：将不等式转化为一般形式，再画出对应的一次函数的图象，就是我们已会的求解了． 解法2： 分析： (1)如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢? (2)不等式两边都是一次函数的表达式，因而实际上是比较两个一次函数在x取相同值时谁大的问题． (3)如何在图象上比较两个一次函数的大小呢? (4)如何确定不等式的解集呢? 专题一、一元一次方程 2013-03-05 一、主要概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。 3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 二、等式的性质 等式的性质1：等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 三、解一元一次方程的一般步骤及根据 1、去分母-------------------等式的性质2 2、去括号-------------------分配律 3、移项----------------------等式的性质1 4、合并----------------------分配律 5、系数化为1--------------等式的性质2 6、验根----------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等 四、解一元一次方程的注意事项 1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数； 2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号； 3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号； 4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项； 5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。 3x-2=2x+13-x=2-5(x-1) 3x=5(32-x)2+3(8-x)=2(2x-15) 5-3x=8x+12x+5=3x+12 7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1(5x+1)+ (1-x)= (9x+1)+ (1-3x) 2(x-2)+2=x+12(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 11x+64-2x=100-9x15-(8-5x)=7x+(4-3x) 3(x-7)-2[9-4(2-x)]=2212-2(2x-4)=x-5 5x-2(x-1)=175x+15-2x-2=10 15x+863-65x=543x+5(138-x)=540 3x-7(x-1)=3-2(x+3)18x+3x-3=18-2(2x-1) 3(20-x)=6x-4(x-11)6(x-3)+7=5x+8 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函 数解读式为4． 1 / 7 ②当k 一元一次方程和不等式复习 例题: 例1.解下列方程: (1) 35.0102.02.01.0=+--x x ; (2)01}1]1)12 1(21[21{21=----x ; (3)3(x+1)-31(x-1)=2(x-1)-2 1(x+1); (4)2(|x+1|-2)-3(2|x+1|-1)=7(1-|x+1|)-2 例2.已知关于x 的方程x a x x 4)]3(2[3=--和18 51123=--+x a x 有相同的解,那么这个解是什么? 例3.求关于x 的方程153+=+-bx a x (1)有唯一解的条件;(2)有无数解的条件;(3)无解的条件. 例4.某商场经销一种商品,由于进货时的价格比原来的进价降低了6.4%,使得利润增加了8个百分点,求经销这种商品原来的利润率是多少? 例6.一个五位数,左边三位数是右边两位数的5倍,如果把右边两位数移到前面,则新五位数比原来五位数的2倍多75,求原五位数. 例8.若0)23(2 =+++b ax x b a 是关于x 的一元一次方程,且x 有唯一解,求这个解. 例9．求同时满足2 x ＋3≥3（x ＋2）与33+x ＞3251+-x 的整数x ． 【提示】解 ?????+->++≥+32513 3)2(332x x x x 得，－4＜x ≤－3． 【答案】x ＝－3． 例10．已知方程组???-=-+=+17 2652y x k y x 的解为负数，求k 的取值范围． 【提示】解方程组，得???+=-=．812m y m x 所以 ? ??<+<-．08012m m 【答案】m ＜－8． 例11．已知a 是不等式组?????-<-+>-a a a a 23712 1)1(315的整数解，x 、y 满足方程组???=+-=-43272y x y ax 例12．一批服装，进价是每套320元，进货过程中损耗2%，要使出售后赢利不低于15%， 应怎样定价？ 【答案】（略解）设每套服装定价为x 元， 根据题意，得 320%2320320?--x ≥100 15． 解得 x ≥374.4． 答：定价应不低于374.4元． 课堂练习 一、填空题 1、方程x ＋2＝3的解也是方程ax －3＝5的解时，a ＝ ； 2、方程｜x －1|＝1的解是 ； 3、|2x －3y |＋（y －2）2 ＝0 成立时，x 2＋y 2 ＝ 4、|x-y|=y-x,是x___________y; 方程与不等式之一元一次方程基础测试题及答案 一、选择题 1．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁． 意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A ．大和尚25人，小和尚75人 B ．大和尚75人，小和尚25人 C ．大和尚50人，小和尚50人 D ．大、小和尚各100人 【答案】A 【解析】 【分析】 根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可． 【详解】 设大和尚有x 人，则小和尚有（100﹣x ）人， 根据题意得：3x+1003 x -=100， 解得x=25， 则100﹣x=100﹣25=75（人）， 所以，大和尚25人，小和尚75人， 故选A ． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 2．A ，B 两地相距480 km ，一列慢车从A 地出发，每小时行驶60 km ，一列快车从B 地出发，每小时行驶90 km ，快车提前30 min 出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇．若设慢车行驶了x h 后，两车相遇，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．60(30)90480x x ++= B ．6090(30)480x x ++= C ．160()904802x x ++= D ．16090()4802 x x ++= 精心整理 一次函数与一元一次不等式训练题及答案 一、选择题（共10 小题；共30 分） 1.如图，以两条直线，的交点坐标为解的方程组是 A. B. C. D. 2.将一次函数的图象向上平移个单位，平移后，若，则的取值范围是?() A. B.4 C. D. 3.如图所示，函数和的图象相交于，两点．当时，的取值范围是 A. B. C. D.或 4.一次函数的图象如图所示，则方程的解为?() A. B. C. D. 5.如图，直线是函数的图象．若点满足，且，则点的坐标可能是?()． A. B. C. D. 6.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解 集是 ?() A. B. C. D. 7.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示）， 则所解的二元一次方程组是 ?()． A. B. C. D. 8.已知函数，，的图象交于一点，则值为?() A. B. C. D. 精心整理 A. B. C. D. 10.已知关于的一次函数在上的函数值总是正的，则的取值范围是 A. B. C. D.以上答案都不对 二、填空题（共 5 小题；共15 分） 11.如图，已知函数和的图象交于点，根据图象可得方程组的解是?． 12.一次函数与的图象如图，则的解集是?． 13.如图，已知函数与函数的图象交于点，则不等式的解集是?． 14.方程组的解是则直线和的交点坐标是?． 15.观察函数的图象，根据图所提供的信息填空： （ 1）当?时，； （ 2）当?时，； （ 3）当?时，； （ 4）当?时，． 三、解答题（共 5 小题；共55 分） 16.如图，函数和的图象相交于点， （1）求点的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 17.已知一次函数的图象过点，，求函数表达式并画出它的图象，再利用图象求： （ 1）当为何值时，，，； （ 2）当时，的取值范围； （ 3）当时，的取值范围． 18.甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地 的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系．根据图象，解答下列问题： （1）线段表示轿车在途中停留了 ? ； （2）求线段对应的函数解析式； （3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 19.如图，直线经过点，． （ 1）求直线的解析式； （ 2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （ 3）根据图象，写出关于的不等式的解集． 20.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点沿路线运 动． （ 1）求直线的解析式． （ 2）求的面积． 一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2 8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4 导学案：一元一次不等式与一次函数的关系学校____________ 班级____________ ____________ 【学习目标】 1、一元一次不等式与一次函数的关系。 2、会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。 3、通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养数形结合意识。 【学习重点】 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系。 【学习难点】 根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答。 【学习过程】 一、复习导学 前面我们学习过一次函数、一元一次方程与一元一次不等式，我们知道一元一次方程的解就是一次函数图象与x轴交点的横坐标，也就是说： “一元一次方程ax+b=0”与“求当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一问题， 那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的关系呢？ 如：下面两个问题是同一问题吗？ （1）解不等式：2x-4＜0 （2）当x为何值时，函数y=2x-4的值小于0？ -42 y x 今天我们就来探究类似这样的问题？ 二、自主探究、合作交流 1．探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系： 还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式． 如y=2x－5为一次函数． 在一次函数y=2x－5中， 当y=0时，有方程2x－5=0； 当y＞0时，有不等式2x－5＞0； 当y＜0时，有不等式2x－5＜0． 由此可见：_________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________． 2．做一做： 作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题． 一次方程、方程组与不等式、不等式组 1.〖2006年陕西中考〗一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（） A．600×0．8一x＝20 B．600×8一x＝20 C．600×0．8＝x一20 D．600×8＝x一20 【答案】A 【解析】根据利润＝售价一成本，可知A正确． 【考点】本题考察了一元方程在成本问题中的应用． 2.〖第2届希望杯〗 ①若a＝0，b≠0，方程ax＝b无解；②若a＝0，b≠0，不等式ax＞b无解． ③若a≠0，方程ax＝b有唯一解x＝；④若a≠0，不等式ax＞b的解为x＞．则 （A）①、②、③、④都正确．（B）①、③正确，②、④不正确． （C）①、③不正确，②、④正确．（D）①、②、③、④都不正确． [答案]选（B） [解析]若a＝0，b＝－1，0x＞－l，可见②有解；若a≠0，如a＝－1，－x＞b x＜－b，④ 说法不正确．只有①，③是正确的．选（B）． 【考点】本题是对含字母系数的一元一次方程(不等式)解的情况的考察． 3. 〖希望杯培训〗不等式 21 2 32 x x x +- ->+的解集是_________ 【答案】x＜1 【考点】本题主要考察学生解不等式的能力，注意去分母时，每一项的变化． 4. 〖第6届希望杯〗某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克（）元．（A）2．6．（B）2．5．（C）2．4．（D）2．3． 【答案】选（C） 【解析】 5. 〖希望杯培训〗关于 x 的不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）． A ． －5≤a ≤－143 B ． －5≤a ＜－143 C ． －5＜a ≤－143 D ． －5＜a ＜－14 3 【答案】C 【解析】先求不等式组的解集，根据题意，进一步确定a 的范围． 解不等式组???x ＋15 2 ＞x －32x ＋2 3＜x ＋a 得，2132<<-x a ，由不等式组有4个整数解可知这4个解应 是20，19，18，17，则a 32-应在16和17之间，即162317a ≤-<，解不等式可得a 的取值范围，选C ． 6.〖2003年海淀中考〗某同学在A 、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也 相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元? （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A 所有商品打八折销售，超市B 全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱? 【详解】 （1)设书包的单价为x 元，则随身听的单价为(4x 一8)元． 根据题意，得4x 一8＋x ＝452．解这个方程，得x ＝92． 4x 一8＝4×92—8＝360． 即：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元． （2）在超市A 购买随身听与书包各一件需花费现金：450×80％＝361．6(元) 因为361．6＜400，所以可以选择超市A 购买． 在超市B 可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360＋2＝362(元) 因为362＜400，所以也可以选择在超市B 购买． 因为362＞361.6，所以在超市A 购买更省钱． 【考点】本题主要考察了一次方程的应用，本题的特点是：表述复杂，解答简单，重在分析． 1. 〖第 17届希望杯〗初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间(包括这两名同学)恰有15人，则全班同学共有______人． 【答案】 55或25 【解析】法一： 本题是发散性题目，应该分两种情况考虑.设全班一共有x 个人，根据题意可知有两种情况：（一）、从右向左报数时，报20的同学没有到达第一遍报数为20的同学所在 求一次函数解析式专项练习 1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上． （1）求a的值； （2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积． 2．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标． 3．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象． （1）求k、b的值； （2）当x=2时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 4．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求： （1）y与x的函数关系式； （2）其图象与坐标轴的交点坐标． 5．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？ 6．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式 mx+n＜0的解集． 7．已知，直线AB 经过A （﹣3，1），B （0，﹣2），将该直线沿y 轴向下平移3个单位得到直线MN ． （1）求直线AB 和直线MN 的函数解析式； （2）求直线MN 与两坐标轴围成的三角形面积． 8．已知：关于x 的一次函数y=（2m ﹣1）x+m ﹣2若这个函数的图象与y 轴负半轴相交，且不经过第二象限，且m 为正整数． （1）求这个函数的解析式． （2）求直线y=﹣x 和（1）中函数的图象与x 轴围成的三角形面积． 一次函数与方程不等式关系 1、直线l 1∶y ＝k 1x ＋b 与直线l 2∶y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图， 则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞－2 D ．x ＜－2 2、如图,已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P(-1,1),则关于x 的不等式x+m>kx-1的解集在数轴 上表示正确的 是( ) 3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作 出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元 一次方程 组是 （ ） 最新初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题含答案 一、选择题 1．若代数式x＋2的值为1，则x等于( ) A．1 B．－1 C．3 D．－3 【答案】B 【解析】 【分析】 列方程求解． 【详解】 解：由题意可知x+2=1，解得x=-1， 故选B． 【点睛】 本题考查解一元一次方程，题目简单． 2．某商品打七折后价格为a元，则原价为（） A．a元B．10 7 a元C．30%a元D． 7 10 a元 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用打折的意义表示出价格即可得出答案．【详解】 设该商品原价为x元， ∵某商品打七折后价格为a元， ∴原价为：0.7x=a， 则x=10 7 a（元）， 故选B． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 3．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（） A．B．4 C．3 D．不能确定 【答案】C 【解析】 试题分析：根据三角形全等可得：3x－2=5且2x－1=7或3x－2=7且2x－1=5；第一个无解，第二个解得：x=3． 考点：三角形全等的性质 4．关于x的方程1514 () 2323 mx x -=-有负整数解，则所有符合条件的整数m的和为 （） A．5 B．4 C．1 D．－1【答案】D 【解析】 【分析】 先解方程，再利用关于x的方程1514 2323 mx x ?? -=- ? ?? 有负整数解，求整数m即可． 【详解】 解方程1514 2323 mx x ?? -=- ? ?? 去括号得，1512 2323 mx x -=- 移项得，1152 2233 mx x -=-， 合并同类项得 11 1 22 m x ?? -= ? ?? ， 系数化为1， 2 (1) 1 x m m =≠ - ， ∵关于x的方程1514 2323 mx x ?? -=- ? ?? 有负整数解， ∴整数m为0，-1． ∴它们的和为：0+（-1）=-1. 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是用m表示出x的值． 5．某学校，安排50人打扫校园卫生，20人拉垃圾，后因两边的人手不够，又增派30人去支援，结果打扫卫生的人数是拉垃圾人数的3倍，若设支援打扫卫生的同学有x人，则下列方程正确的是（） A．50＋x＝3×30 B．50＋x＝3×(20＋30－x) C．50＋x＝3×(20－x) D．50＋x＝3×20 【答案】B 【解析】 【分析】 可设支援打扫卫生的人数有x人，则支援拉垃圾的人数有（30﹣x）人，根据题意可得题中 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持年级八年级课题一次函数与一元一次不等式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．认识一元一次不等式与一次函数问题的转化关系 2．学会用图象求解不等式 3．进一步理解数形结合思想 过程 方法 1．培养提高从不同方向思考问题的能力 2．经历不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待问题情感 态度 积极参与活动，形成合作交流的意识及独立思考的习惯 教学重点1．理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系。2．掌握用图象求解不等式的方法 教学难点图象法求解不等式中自变量取值范围的确定 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入 问题1：解不等式5x+6>3x+10 问题2：当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0 思考：以上两个问题是同一个问题吗？ 是否能用一次函数图象说明以上问题呢？ 二、自主探究 1．画出函数y=2x-4的图象，能否解决问题2 2．由以上问题，你能否说出一次函数与一次不等式之间有何关系？ 三、课堂训练 例1：用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10 学生独立完成问题1 中的不等式可转化为 2x-4>0解得x>2 问题2可转化为 2x-4>0，x>2时函数 y=2x-4的值大于0， 因此为同一的问题 学生尝试画图 教师引导学生观察图 象，可以看出当x>2 时，直线上的点全在 x轴的上方，即x>2 时y=2x-4>0，由此可 发现，通过函数图象 可以求不等式的解集 小组内讨论，并发表 意见 师生共同归纳 由于任何一元一次不 等式都可转化为 ax+b>0或axkb<0(a， b为常数，a≠0)的形 式，所以解一元一次 不等式可看成：当一 次函数值大于（或小 于）0时，求自变量 相应的取值范围 目的是让学生向 一次函数方向联 想 让学生明确解决 问题应从变化与 对应的观点考虑 通过这一活动动 一次函数与方程、不等式之间的关系 人教版九年制义务教育八年级数学下册 宁都县赖村中学谢新华 教学重点、难点： 一次函数与方程、不等式之间的关系 教学目标： 1.让学生理解一次函数与方程、不等式之间的关系，从而解答有关的函数坐标、函数值等问题 2.通过探索一次函数与方程、不等式之间的关系，经历具体到抽象再到具体，到抽象，最后具体的学习过程，体会探索的严谨性，科学性，掌握循序渐进的学习方法，树立数形结合的学习函数的思想方法 3.经历了探索一次函数与方程、不等式之间的关系过程，掌握了学法，树立起了学好函数的信心，体会到成功的喜悦 教学策略： 运用多媒体技术，讲练结合与小组讨论法 教学教学过程 谭金林说：可是这两个点怎么画呢?当函数值大于某值时，x怎 样取值？ 这下难住了他们，为此他们举出一个例子已知一次函数y=2x+8，请你帮他们画出两点，作出直线？当y>4时，x取何值？ 设计意图：通过举自己身边的两位同学的例子引入课题，从而让问题变得那么的贴近自身实际，提高学习的兴趣 板书：一次函数与方程、不等式之间的关系学习目标 1.能理解感悟一次函数与方程、不等式之间的数形关系，并能运用这种关系解决有关一次函数的问题 2.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间关系的过程，体验知识产生、发展、形成的过程，感悟数形结合思想 3.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间的数形关系，掌握了学习函数的方法 设计意图：明确学习目标，使学习更具针对性 一、动动手，填一填 (1)当x 取___值时，函数值等于3. (2)当x 取___值时，函数值等于0. (3)当x 取___值时，函数值等于-1 2.已知一次函数y=2x+3的图像（如右上图）及图像上的一 方程、不等式与一次函数专题练习（实际应用） 题型一：方程、不等式的直接应用 典型例题1：（2009，株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱，买一份礼物送给父母．已知： 在暑假期间，如果卖出的报纸不超过1000份，则每卖出一份报纸可得0.1元；如果卖出的报纸超过1000份，则超过部分．．．． 每份可得0.2元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过1000份． （2）孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元，请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内． 典型例题2：（2007，福州，10分）李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息： 假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售1件奖励a 元，营业员月基本工资 为b 元． （1）求a ，b 的值； （2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，则小俐当月至少要卖服装多少件？ 配套练习： 3、(2009,益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元 买了同样的钢笔2支和笔记本5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运 会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 4、（2009，济南）自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五 月份的工资情况信息： （1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？ （2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？ 5、（2009，青岛）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 题型二：方案设计 典型例题6、（2009，深圳）迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？ 典型例题7：(2008、湖北咸宁)“５、１２”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心，某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区。已知A 蔬菜基地有蔬菜200吨，B 蔬菜基地有蔬菜300吨，现将这些蔬菜全部调往C 、D 两个灾民安置点。从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元。设从地运往处的蔬菜为x 吨。 x 的值； ⑵、设A 、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元，写出w 与x 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； ⑶、经过抢修，从B 地到C 地的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m 元(m >0)，其余路线的运费不变，试讨论总运费最小的调运方案。 一次函数与方程（或不等式）结合的问题 一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低 析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点 （2，0），（0，30），所以，解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 （3）由题意得，解得。 ； 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制最新初中数学方程与不等式之一元一次方程经典测试题及答案
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