立体图形上最短距离问题
综上所述，在立体图形求最短距离一定要在其展开图中求解，所以首先要求学生掌握常见几何体的展开图是关键。然后在展开中再去求最短距离。在初中的教材中立体几何中可能就这么几种变化和应用，如果讲的不对，或者有不足的地方，请大家提出宝贵的意见和建议。
2015.1
立体图形中的距离最短问题
立体图形中的距离最短问题 根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中，再到高中，渐渐加强，作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础，显得尤为重要。 立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。 一、通过平移来转化 1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm 二、通过旋转来转化 2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？ 析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm 3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
AB = 4， BC 为底面周长的一半 即BC = 5π AC = AB 2 + BC 2 = 42 + (5π)2 = 16 + 25π2 4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 通过阅读以上信息，解决下列问题： （1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ，则它爬行一圈的路程是多少？ （2）如果树干的周长为80cm ，绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ （1）如图，⊙O 的周长为30cm ，即AC=30cm ， 高是40cm ，则BC=40cm ，由勾股定理得AB =50cm ． 故爬行一圈的路程是50cm ； （2）⊙O 的周长为80cm ，即AC=80cm ， 绕一圈爬行100cm ，则AB = 100cm ，高BC = 60cm ．∴树干高=60×10=600cm=6m ． 故树干高6m 5.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的 痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ） 要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线． A . B . C . D .
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题 【要点精讲】 1距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线 线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离?因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离； 求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 点到平面的距离 平面外一点P在该平面上的射影为P',则线段PP的长度就是点到平面的距离；求 法：①"一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。(2)等体积法。 直线与平面的距离： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的 距离； 平行平面间的距离： 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法， 把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关 距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形. 若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a、b所成的角为，它们的公垂线AA '的长度为d，在a上有线段A' E = m , b上有线段AF = n，那么EF = 、d2 m2 n2 2mncos (“土”符号由实际情况选定)
08立体图形上的最短路径问题
第8讲立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求 两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求
例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点 到内侧点 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点 关于杯口的对称点 ，根据“两点之间，线段最短”可知 即为最短距离
3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 【答案】13cm 【解析】 试题分析：
只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从 点到 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示， 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？ 【答案】
立体几何中体积与距离的问题
………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 1 / 1 B A C D 1A 1B C D 1C 1 B 1 A 1 E D C B A 立体几何中体积与距离的问题 考点一：两条异面直线间的距离 例1如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.求证：(1)EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离； 考点二：点到平面的距离 例2如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，当E 为AB 的中点时， （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）求点E 到面ACD 1的距离； 例3正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。 （1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 考点三：几何体的体积 1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，6AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，2=PD ．求三棱锥ABC P -的体积； 2、已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。 (1)证明：BC PDC ⊥平面;(2)求三棱锥P DEF -的体积。 3.已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形， PAD ?是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，G F E ,,分别是 BC PC PD ,,的中点． 1）求平面EFG ⊥平面PAD ；2）若M 是线段CD 上一点，求三棱锥EFG M -的体积． 练习1、如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°. （Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若AB=CB=2,A 1C=6，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积 练习2如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1 2AA 1，D 是棱AA 1的中点。(Ｉ) 证明平面BDC 1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。 A B C C 1 A 1 B 1 B 1 C B A D C 1 A 1 图5 B P A D
中考专题1——立体图形中的最短路径问题
中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题姓名： （蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题） 1、台阶问题如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想， 这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？ 2、圆柱问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m，高AB是5m，要从点A 处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？ 变式2：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。 3、正方体问题如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（）. （A）3 （B）5（C）2 （D）1 A B A B A ’ A B A B c A B A B C A B 5 3 1 A B 5 (3+1)×3=12 A B C A B C2 1
A B D C D 1C 1 ①42 1 AC 1=√42+32=√25;②A B B 1 C A 1C 1412AC 1=√62+12=√37;A 1A B 1 D 1 D 1C 1③42AC 1=√52+22=√29 . 4、长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处 （三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 分析：展开图如图所示，372925<< 路线①即为所求。 小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。 5、圆锥问题 如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕圆锥侧面 爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）． 练习： 1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计）， 圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 2、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱 体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 3、如图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处， 则它爬行的最短路径是 。 4、如图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块 侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 5、如图，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点 A 处，一滴水珠在这个长方形的顶点C ′处，已知长方体的长 为6m ，宽为5m ，高为3m ，蜘蛛要沿着长方体的表面从A 处爬 到C ′处，则蜘蛛爬行的最短距离为（ ） A.130 B.8 C.10 D.10米 1A B A 1B 1D C D 1 C 124 第1题 A B A B 第2题 第5题 A B C D 第4题 A B 第3题 A C B D
08 立体图形上的最短路径问题
第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解
（3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【答案】13cm 【解析】 试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，13AB cm == 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？ 【答案】cm 412 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平 使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412
立体几何中的距离问题
立 体 几 何 中 的 求 距 离 问 题 集美中学数学组 刘 海 江 一、记一记，填一填，这些知识你掌握了吗？ 1、两点间的距离：连接两点的线段的长。 求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得 （2）用公式，),,(),,,(222111z y x B z y x A ，则|AB|= 。 （3）利用向量的模，|AB|=|AB … （4）两点间的球面距离 ：A ，B 为半径是R 的球O 上的两点，若＜,＞=θ 则A ，B 两点间的球面距离为 。 2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。 求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。 （2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。 (3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射 影的长，再由勾股定理求出所求的距离。 （4）利用公式：A 0:),,(00=++C By Ax l y x 到直线的距离为 。 基本思想是将点线距转化为点点距。 3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点） （1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和____________的距离，叫做这个点到这个平面的距离。 求法： ①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求出此 距离； ②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离； ③利用向量、点A ，平面α，满足ααα⊥∈?O A ,,， 则点A 到平面α的距离||n d = （ 是平面α的法向量 ） （2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。 （一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等） 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法） 4、两个平行平面的距离 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。 求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）
高中数学立体几何空间距离问题
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
《立体几何中的角度与距离问题》
二年级下学期小学期末检测 数学试卷 （考试时间：60分钟，满分100分) 题号一二三四五六总分 得分 一、我会算。（12分） 35÷7＝900－700＝73－(13＋27)＝9×9÷9＝ 280＋300＝1000-600＝56－(90－60)= 37＋8÷8= 860－260= 60－27÷3= 4×(78－70)= (40－8)÷4= 二、我会填。（22分） 1、有一个四位数，最高位上是5，十位上是3，其余各位上是0，这个数是（），读作（）。 2、□÷7＝3……□，余数最大是（），当余数最大时，被除数是（）。 3、找规律填数。 537，437，（），237，（）；150，200，（），300，（）。 4、605是（）位数，最高位上的数字是（），这里的5表示（）个（）。 5、（）×7<50，括号里最大能填（）。 6、在（）里填上合适的单位名称： 教室的门高2（）；铅笔长14（）；数学书厚4（）；课桌高8（）。7、在○里填上“>”、“<”、“＝”。 5千米○5000米30mm○3dm纯角○锐角 8、最大的两位数是（），与它相邻的两个数分别是（）和（）。 三、我是小判官。（对的画“√”，错的画“×”）（12分） 1、50÷7＝6……8。…………………………………………………………………（） 2、“333”里的“3”表示的意思一样。…………………………………………（） 3、正方形和长方形都有4条边，4个直角。………………………………………（） 4、角的大小与边的长短有关系。…………………………………………………（） 5、2＋10÷2＝12÷2＝6。…………………………………………………………（） 6、左图中共有6个角。………………………………………………（） 四、我是计算能手。（14分） 1、用竖式计算并验算。（6分） 284＋357923－657
08-立体图形上的最短路径问题
08-立体图形上的最短路径问题
第8讲立体图形上的最短路径问题一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为 “直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A、B两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求' A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求
例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A处绕圆锥一周回到A点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展 开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两 点之间，线段最短”可知'A B即为最短距
离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
【答案】13cm 【解析】 试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，22 =+= AB cm 51213 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二通过旋转来转化
立体几何文科 距离 体积
距离问题 1、如图，四棱锥中，底面， ,,. (1)求证：；(2)求点到平面的距离． 2、如图，已知四棱锥的底面为菱形，，， . （Ⅰ）求证：⊥； （Ⅱ）求点到平面的距离.
3、如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）中，是的中点， . （1）求证:直线平面； （2）求点到平面的距离. 4、在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与的交点，已知 ，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离．
体积问题 【2014高考北京文第17题】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面， AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积. C 1 B 1 A 1 F E C B A 3. 【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中， 平面V AB ⊥平面C AB ，V ?AB 为等边三角形， C C A ⊥B 且C C A =B =O ，M 分别为AB ，V A 的中点． （I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （III ）求三棱锥V C -AB 的体积．
5. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ， AD BC ，3AB AD AC ===， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （I ）证明MN 平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积. 23. 【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱 形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； （II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积.
立体图形上的最短路径问题
第8讲 立体图形上的最短路径问题 一、方法技巧 解决立体图形上最短路径问题： 1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直” 2.“平面化”的基本方法： （1）通过平移来转化 例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可 （2）通过旋转来转化 例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求 例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解 （3）通过轴对称来转化 例如：求圆柱形杯子外侧点B 到内侧点A 的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A 关于杯口的对称点'A ，根据“两点之间，线段最短”可知'A B 即为最短距离 3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短 （2）勾股定理 4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图 二、应用举例 类型一 通过平移来转化 【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想要到B 点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少 【答案】13cm
试题分析： 只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案. 试题解析： 解：展开图如图所示，13AB cm == 所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm 类型二 通过旋转来转化 【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少 【答案】cm 412 【解析】 试题分析： 解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算. 试题解析： 解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开 铺平使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2） )(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++= 所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412 【难度】一般 【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度. 【答案】34cm 【解析】 试题分析： 展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.
数学人教版八年级下册立体图形中的最短路径问题
立体图形中最短路径问题教案 第三实验中学刘春艳 1．教学目标 知识与技能目标 (1)学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念． 过程与方法目标 (1)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力． (2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想． 情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣． (2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． 2．教学重点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题． 3．教学难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题． 4．教学方法： 引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识教强,思维活跃,为了实现本节课的教学目标,我力求以下三个方面对学生进行引导： （1）从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程； （2）从学生活动出发,顺势教学过程； （3）利用探索研究手段,通过思维深入,领悟教学过程． 5、教学过程设计 本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三环节：归纳；第四环节：练习；第五环节：小结；第六环节：课后作业；第七环节：板书． 第一环节：情境引入 内容： 情景１：多媒体展示： 提出问题：为什么人们都喜欢走捷径？ 意图：通过情景１复习公理：两点之间线段最短并对学生进 行德育渗透； 第二环节：合作探究情景２：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东
西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图：通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念． 在这个环节中，可引导学生从以下几方面解决 ⑴ 如何找最短路线？在哪个图形中找 ⑵ 哪儿是蚂蚁爬行的起点？ 哪是终点？ ⑶ 你们画的一样吗？还有不同的画法吗? ⑷ 如何计算? 接下来后提问：怎样计算AB ？得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题． 在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+?∴=. 第三环节：总结归纳 1、 展 ------（立体 平面） 2、找 --------起点， 终点 3、连--------路线 4、 算--------利用勾股定理 5、答 第四环节：练习 练习一：有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A 点环绕油罐建梯子，正好到点A 的正上方点B ，问梯子最短需多 少米？ 练习二：有一圆形油罐底面圆的周长为16m ，高为7m ，一只蚂蚁 从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 多少？ 练习三：如图,一圆柱高9cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从距上底面1厘米点A 爬到对角B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3）是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
立体几何经典难题汇编
立体几何难题汇编1 1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（） ①能构成矩形； ②能构成不是矩形的平行四边形； ③能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】证明题． 【分析】画出图形，分类找出所有情况即可． 【解答】解：作出正方体： 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况： ①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确； ③四面体A 1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确； ④四面体B 1-ABD 的每个面都是直角三角形，所以正确； ⑤四面体A 1-ABD 的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角 形． 由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确． 综上可知：正确的结论个数是4． 故选C． 【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键．
【解答】 解：作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ， 由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭圆上， 且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD ≌△ACD ，所以BE=CE ． 取BC 中点F ，∴EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值， 因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大，因为BC 是定值，所以只需EF 最大即可， 当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a ， ∴AB=a ，所以EB= EF= 所以几何体的体积为： ． 故答案为： 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能 力以及计算能力． 4. 如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，已知在直角三角形ABC 中，BC=1，AC=2， AB= ．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A ∈l ， （2）C ∈α．则B 、O 两点间的最大距离为 _________. 22.a c -22 1.a c --2222112*21*2* 1. 323a c c c a c --=--222 1. 3c a c --5
勾股定理应用之立体图形最短距离 (2)
勾股定理应用之立体图形中的最短距离的教学 设计 一、教学目标 （一）知识目标 1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。 2．会画立体图形展开图 （二）能力目标 1．能用“两点之间线段最短”解决实际问题。 2．通过勾股定理的简单应用，能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考与表达的能力。 ﹙三﹚情感与价值观 培养学生参与的积极性，及合作交流的意识。学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，逐步体验数学说理的重要性。 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。引导学生积极探索，注意观察生活，体验生活中的数学。 通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 二、重点难点剖析 （一）重点 1．勾股定理的简单应用 2．在立体图形中寻找最短距离 （二）难点 1．在立体图形中寻找最短距离 2．理解化曲为直、化曲为平的数学思想 （三）难点突破 为了突出重点，突破难点，在应用勾股定理的过程中，按简单到繁琐、由特殊到一般的思想，引导学生步步深入。在教学中，给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的办法，并与他人进行合作与交流。另外对练习的精选，也选择学生易错的题型，让他们养成仔细分析问题的习惯。三、教学策略及教法设计 （一）教学策略 课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，熟练运用勾股定理。 学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握勾股定理。 辅助策略：借助多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。 （二）教法设计 探索法：让学生在探索中寻找最短距离，积累数学活动经验。
立体几何中的角度与距离问题
立体几何中的角度与距离问题 【基础知识】 一．空间角度问题 （一）理解空间中各种角的定义及其取值范围 1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。 2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算 1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形） 2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。 当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°. 3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。 4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面 另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角 注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。 2.计算题必须有推理过程。 二．空间距离问题 1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离 2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算 α β A O P A B O P α β (1) (2) (3)
立体图形上最短距离问题
立体图形上最短距离问题
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B C A 立体图形上最短距离问题 金水初中 刘彬 在北师大版数学的七年级和八年级的教材中都涉及到了物体在几何体表面爬行时的最短距离问题，这对于一些刚刚接触几何体的同学是个很难理解的问题。实际在数学上就是在几何体表面点到点的最短距离的问题。结合教学实际,我总结了教材和练习中最常见的几种最短距离问题，主要涉及到了正方体、长方体和圆柱，以及它们几种简单的变形，特总结如下，希望能对这方面的问题，帮助解决学生的困惑,能使学生掌握这方面的知识。 同一个面最短距离最简单，主要是连线，借助勾股定理来解决,在下面的介绍简单介绍，重点说不在同一个面的问题。这几个几何体中正方体最简单，下面先从正方体开始说起。 一、 正方体和长方体中最短距离 例1、 如图，一只蚂蚁在正方体表面爬行 （1)、当蚂蚁从正方体的一个顶点Ａ沿表面爬到顶点Ｂ,怎样爬距离最短? 分析:由于顶点Ａ和顶点B 在同一个平面上,所以连接，利用勾股定理直接求解即可。 (2)如图，如果蚂蚁要从边长为1 cm 的正 方体顶点Ａ爬到顶点C,那么爬行的最段距离是多少？ 分析:由于顶点A 和顶点C 不在同一个平面上，所以要求最短距离需要将正方体展开，在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离。 解：将正方体展开,下面是其四连面的一部分,这是Ａ与Ｃ的位置如图所示,
C A 这时AC 的长度就是长方形的对角线的长度。所以 AC 的长度 等于22 21+＝5 所以在正方体中求最短距离相对来说还是比较简单的。 (3)如果将正方体换成边长ＡD=2ＣM,宽ＤF=3cm,高ＡB=１cm 的长方体,蚂蚁仍需从顶点Ａ沿表面爬到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样的路线爬行距离最短？为什么？ 分析：由于 长方体每边的长短不一样,所以在展开图中就有三种不同的形式，三种情况下结果就会不一样 解：方案一:将面AB ＣD 沿DC 展 开和面C ＤEF 在同一个平面中，如图，这时ＢE 的长度为2+3=5，EF 的长度为１，所以AE= 22 51+= 26 方案二:将面AD ＣF 沿DF 展开和面ＣDEF 在同一个平面，如图,这 时ＡＣ＝2+１=3，ＥF=3 所以AE ＝2233+= 18 H E F G C B A D E F C B D A C E D F A G
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题 【要点精讲】 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 点到平面的距离 平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。 直线与平面的距离： 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； 平行平面间的距离： 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形． 若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝ θcos 2222mn n m d ±++（ “±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:
立体图形线路最短问题(最全)
立体图形最短距离问题 1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 2.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在C 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从圆柱侧面从A 处爬向C 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 3.有一圆形油罐底面圆的周长为16m，高为7m，一只蚂蚁从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 4.圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面圆的周长为18cm,在杯子内壁离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，距离杯子上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少? C A A B B A B A C A C A
5.如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B？ 6.已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？ 7..如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B 点最短路程是多少？ 8.有一个如图示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深为AE=40cm，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且EG=60cm；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵． （1）小动物应该走怎样的路线才使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注． （2）求小动物爬行的最短路线长？ A B