非正态分布过程能力分析

随机过程复习题

第一章 1．填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '= (2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′ (1)-[ P ′ (1)]2 证明:(1)因为()0 k k k P s p s ∞ == ∑，则()1 1 k k k P s kp s ∞ -='= ∑，令1s →，得 ()1 1k k E X P kp ∞ ='==∑ 。（2）()1 1 k k k P s kp s ∞ -='= ∑， ()()2 2 1k k k P s k k p s ∞ -=''=-∑()2222 =k k k k k k p s kp s ∞ --=-∑ 令1s →，得()()()2 22112 P 1= 1k k k k p kp EX p EX p EX p ∞ ='''-=--+=-∑ ()()2=P 1+1EX p '''∴ ()()()()2 22P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-???? 证毕 3．设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2 ,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n n C p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n, ()00 k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ? ??? ? ? ? ? ? ? --===+∑∑== 由性质得 ()() , 0n t d it EX i i np dt p q g e ==-=-=+ ()()()22 " 2 2 2 2 0n t it i npq d i p q g p n e EX dt ===-=+-+ ()2 2DX =EX EX =npq -

随机过程习题答案A

随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中：

式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（a）（b）第二讲作业： P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：

利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有：

P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业： P111/7．解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：（2）

2.4.1正态分布

2. 4.1正态分布【教学目标】 1.了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。 2.了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点； 2.正态分布曲线所表示的意义. 教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布； 2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】一、设置情境，引入新课这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题 2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题 3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号

为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 这条曲线可以近似下列函数的图像： 22 ()2,(),(,),2x x e x μσμσ?πσ -- = ∈-∞+∞ 其中实数(0)μσσ>和为参数，我们称,()x μσ?的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。问题 5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X 表示一个随机变量，X 落在区间(,]a b 的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足

过程能力指数的4个基本特性

过程能力指数4 个基本特性 ???é?? 摘要：本文根据过程能力指数C p 定义发现了过程能力指数的4 个基本特性，即过程能力指数的对半特性、可计量特性、零判据和基准。这4 个特性为研究各种情况下过程能力指数公式提供了理论依据。关键词：过程能力指数特性贡献过程能力指数区间基准 The Four Basic Properties of Process Capability Index Song xiangyan Abstract: This paper discovers the four important properties of process capability index according to the definition of C p, they are the fifty-fifty property of PCI, the measurability of PCI, the zero criterion of PCI and the datum of PCI. The four basic properties provide theoretical foundation for us to explore the various kinds of formulas of process capability index. Key words: Process capability index; Property; Contribution; Interval of process capability index; Datum 过程能力指数(PCI,Process Capability Index)定义为 C p = T 6 σ= T U–T L 6 σ(1) 式(1)是针对对称公差无偏情况定义的。根据数理统计概率计算公式，图1 中正态分布曲线落在区间[T L,T U]内的合格率为 Ф( T U–μ σ)–Ф( T L–μ σ)=2 Ф(3C p) –1 (2) 由于过程能力指数来自于合格率的贡献，且正态分布曲线落在合格区内的合格率具有积分的累加性，故合格率对对过程能力指数的贡献具有可加性。推论1：过程能力指数具有可加性在无偏情况下，见图2，过程能力指数C p 可看成是合格区间内彼此相邻的任意n 个大小不同的区域的合格率对过程能力指数C p 贡献之和，即： ∑= = + + + = + + + = = n i n Cpi Cpn Cp Cp T T T T Cp 1 2 1 2 1 6 6 6 6 L L L L σσσσ 当T1= T2= ……= T n 时，C P= nT1 6 σ 。图5 是可加性在n=2 时的一个特例。当偏移发生时，过程能力指数PCI 可看成合格区间内彼此相邻的任意n 个大小不同的

正态分布讲解(含标准表)

2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线 b 单位 O 频率/组距 a 它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 2 2 () 2 , 1 (),(,) 2 x x e x μ σ μσ ? πσ - - =∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0 (> σ σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，, ()x μσ ? 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：

一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足 ,()()b a P a X B x dx μσ?<≤=?, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2 σ μN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计． 2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2 σ μN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

制程过程能力指数的计算方法

摘要：过程能力指数的计算是在稳定的前提下，用过程能力与技术要求做比较，分析过程能力满足技术要求的程度。其中过程指数能力的计算包括计量值、计件值以及计点值三种. 1．计量值的过程能力指数的计算 1)侧公差且分布中心μ和标准中心M重合的情况 : 计算公式:Cp=T/6σ=T U-TL/6σ 其中：T U为质量标准的上限值，T L为质量标准的下限值。 2)双侧公差且分布中心μ和标准中心M不重合的情况从上图中可以看出，因为分布中心μ和标准中心M不重合，所以实际有效的标准范围就不能完全利用。若偏移量为ε，则分布中心右侧的过程能力指数为：C PU=T U-μ/3σ=（T/2-ε）/3σ

分布中心左侧的过程能力指数为：C PL=μ-T L/3σ=（T/2 +ε）/3σ我们知道，左侧过程能力的增加不能补偿右侧过程能力的损失，所以在有偏移值时，只要以两者之间较小的值来计算过程能力指数，这个过程能力指数称为修正过程能力指数，记作CPK。则：CPK=C P (1-K) 2.计件值过程能力指数的计算在计件值情况下，过程能力指数的计算相当于单公差情况，Cp计算公式为： C P=T U-μ/3σ 1)当以不合格品数np作为检验产品质量标准，并以(np)μ作为标准要求时，取样本k个，每个样本大小为n，其中不合格品数分别为(np)1 ，(np) 2，…，(np) k，由二项分布可得： 2)当以不合格品数p作为检验产品质量标准，并以pμ作为标准要求时，取样本k个，每个样本大小 n1 ，n 2，…， nk 3.计点值过程能力指数的计算计点值是指单位产品上的缺陷数，如一件铸件上的砂眼数，1㎡玻璃上的气泡数等。在计件值情况下，过程能力指数的计算仍相当于单公差情况，Cp计算公式为：CP=TU-μ/3σ

正态分布分析

正态分布以平均值为中心呈对称分布的钟形曲线。正态分布是最常见的统计分布，因为许多物理、生物和社会方面的测量值都自然近似于正态。许多统计分析均要求数据来自正态分布总体。例如，居住在宾夕法尼亚州的所有成年男性的身高近似于正态分布。因此，大多数男性的身高都将接近于 69 英寸的平均身高。高于和矮于 69 英寸的男性的数量相近。只有一小部分身材特别高或特别矮。平均值 (μ) 和标准差 (σ) 是定义正态分布的两种参数。平均值是钟形曲线的波峰或中心。标准差决定数据的散布情况。大约有 68% 的观测值与平均值相差不到 +/- 1 个标准差；95% 与平均值相差不到 +/- 2 个标准差；而 99% 的观测值与平均值相差不到 +/- 3 个标准差。就宾夕法尼亚州男性的身高而言，平均身高为 69 英寸，标准差为 2.5 英寸。大约68% 的宾夕法尼亚男性身高介于66.5 (μ- 1σ) 和71.5 (μ+ 1σ) 英寸之间。大约95% 的宾夕法尼亚男性身高介于64 (μ- 2σ) 和74 (μ+ 2σ) 英寸之间。大约99% 的宾夕法尼亚男性身高介于61.5 (μ- 3σ) 和76.5 (μ+ 3σ) 英寸之间。过程能力

生产或提供满足根据客户需要定义的规格的产品或服务的能力。例如，影印机制造商要求橡胶辊筒的宽度必须介于 32.523 cm 与 32.527 cm 之间，才能避免卡纸。能力分析揭示了制造过程满足这些规格的程度，并提供有关如何改进该过程和维持改进的见解。在评估过程能力之前，必须确保过程是稳定的。不稳定的过程是无法预测的。如果过程稳定，则可以预测将来的性能并改进其能力。应定期测量并分析过程的能力。能力分析有助于回答以下问题： ?过程是否满足客户规格？ ?过程将来的性能如何？ ?过程是否需要改进？ ?过程是保持了这些改进还是回复到了原来的未改进状态？可使用过程指标（如 Cp、Pp、Cpk 和 Ppk）来分析过程能力。潜在（组内）能力和整体能力大多数能力评估都可以分组为两种类别中的一种：潜在（组内）能力和整体能力。每种能力都表示对过程能力的唯一度量。潜在能力通常称为过程的“权利”：它忽略子组之间的差异并表示当消除了子组之间的偏移和漂移时执行过程的方法。另一方面，整体能力是客户所体验到的；它考虑了子组之间的差异。评估潜在能力的能力指标包括 Cp、CPU、CPL 和 Cpk。评估整体能力的能力指标包括 Pp、PPU、PPL、Ppk 和 Cpm。例如，您检查某一糖果厂的设备，其中包括将特定重量的糖果装入容器的机器。糖果每周从工厂出货一次。为评估此过程的能力，在一周内的每天，对袋子样本进行称重；每个样本在分析中表示一个子组。观察发现，每个子组内的变异性很小，但由于子组平均值每天都有偏移，因此袋子重量的总体变异性很大。因此，整个一周的出货在袋子重量上与给定日期内生产的袋子重量之间存在较大的变异性。在下图中，较小的分布表示连续七天内每天的袋子重量的分布。最上面的分布表示整周的出货，它是子组的合计。

过程能力与过程能力指数

过程能力与过程能力指数过程能力过程能力以往也称为工序能力。过程能力是指过程加工质量方面的能力，它是衡量过程加工内在一致性的，是稳态下的最小波动。而生产能力则是指加工数量方面的能力，二者不可混淆。过程能力决定于质量因素，而与公差无关。当过程处于稳态时，产品的计量质量特性值有99.73％落在μ±3σ的范围内，其中μ为质量特性值的总体均值，σ为质量特性值的总体标准差，也即有99.73％的产品落在上述6σ范围内，这几乎包括了全部产品。故通常用6倍标准差(6σ)表示过程能力，它的数值越小越好。过程能力指数 (一)双侧公差情况的过程能力指数对于双侧公差情况，过程能力指数C p的定义为：C p= T =T U -T L （公式1）； 6σ 6σ 式中，T为技术公差的幅度，T U、T L分别为上、下公差限，σ为质量特性值分布的总体标准差。当σ 未知时，可用σ?1=R/d2或σ?2=s/c4估计，其中R为样本极差，R为其平均值，s占为样本标准差，s为其平均值，d2、c4为修偏系数，可查国标《常规控制图》GB／T4091—2001表。注意，估计必须在稳态下进行，这点在国标GB／T4091—2001《常规控制图》中有明确的规定并再三强调，不可忽视。在过程能力指数计算公式中，T反映对产品的技术要求，而σ反映过程加工的一致性，所以在过程能力指数C p中将6σ与T比较，就反映了过程加工质量满足产品技术要求的程度。根据T与6σ的相对大小可以得到过程能力指数C p。如下图的三种典型情况。C p值越大，表明加工质量越高，但这时对设备和操作人员的要求也高，加工成本也越大，所以对于C p值的选择应根据技术与经济的综合分析来决定。当T=6σ，C p=1，从表面上看，似乎这是既满足技术要求又很经济的情况。但由于过程总是波动的，分布中心一有偏移，不合格品率就要增加，因此，通常应取C p大于1。各种分布情况下的C p值

过程能力指数CPK

过程能力指数CPK 过程能力指数(Process capability index,CP或CPK)，也译为工序能力指数、工艺能力指数、制程能力指数什么是过程能力指数过程能力指数也称工序能力指数，是指工序在一定时间里，处于控制状态(稳定状态)下的实际加工能力。它是工序固有的能力，或者说它是工序保证质量的能力。这里所指的工序，是指操作者、机器、原材料、工艺方法和生产环境等五个基本质量因素综合作用的过程，也就是产品质量的生产过程。产品质量就是工序中的各个质量因素所起作用的综合表现。对于任何生产过程，产品质量总是分散地存在着。若工序能力越高，则产品质量特性值的分散就会越小；若工序能力越低，则产品质量特性值的分散就会越大。那么，应当用一个什么样的量，来描述生产过程所造成的总分散呢?通常，都用6σ(即μ＋3σ)来表示工序能力：工序能力＝6σ 若用符号P来表示工序能力，则： P＝6σ 式中：σ是处于稳定状态下的工序的标准偏差工序能力是表示生产过程客观存在着分散的一个参数。但是这个参数能否满足产品的技术要求，仅从它本身还难以看出。因此，还需要另一个参数来反映工序能力满足产品技术要求(公差、规格等质量标准)的程度。这个参数就叫做工序能力指数。它是技术要求和工序能力的比值，即工序能力指数=技术要求／工序能力 Cp=T/6σ T——公差 σ——总体标准差（或用样本标准差S）当分布中心与公差中心重合时，工序能力指数记为Cp。当分布中心与公差中心有偏离时，工序能力指数记为Cpk。运用工序能力指数，可以帮助我们掌握生产过程的质量水平。过程能力指数的意义制程能力是过程性能的允许最大变化范围与过程的正常偏差的比值。

过程能力指数Cp与Cpk计算公式

摘要：过程能力也称工序能力，是指过程加工方面满足加工质量的能力，它是衡量过程加工内在一致性的，最稳态下的最小波动。过程能力概述过程能力也称工序能力，是指过程加工方面满足加工质量的能力，它是衡量过程加工内在一致性的，最稳态下的最小波动。当过程处于稳态时，产品的质量特性值有%散布在区间[μ-3σ，μ+3σ]，（其中μ为产品特性值的总体均值，σ为产品特性值总体标准差）也即几乎全部产品特性值都落在6σ的范围内﹔因此，通常用6σ表示过程能力，它的值越小越好。过程能力指数Cp的定义及计算过程能力指数Cp是表征过程固有的波动状态，即技朮水平。它是在过程的平均值μ与目标值M重合的情形，如下图所示：过程处于统计控制状态时，过程能力指数Cp可用下式表示： Cp = (USL-LSL)/6σ 而规格中心为M=(USL+LSL)/2，因此σ越小，过程能力指数越大，表明加工质量越高，但这时对设备及操作人员的要求也高，加工成本越大，所以对Cp值的选择应该根据技朮与经济的综合分析来决定。一般要求过程能力指数Cp≧1，但根据6Sigma过程能力要求Cp ≧2，即在短期内的过程能力指数Cp ≧2。例：某车床加工轴的规格为50±，在某段时间内测得σ =，求车床加工的过程能力指数。 Cp = (USL-LSL)/6σ = (6* = 过程能力指数Cpk的定义及计算上面我们讨论了Cp，即过程输出的平均值与目标值重合的情形，事实上目标值与平均值重合情形较为少见；因此，引进一个偏移度K的概述，即过程平均值μ与目标值M的偏离过程，如下图所示： K=|M-μ|/(T/2) = 2|M-μ|/T (其中T=USL-LSL) Cpk= (1-K)*Cp= (1-2|M-μ|/T)*T/6σ =T/6σ-|M-μ|/3σ 从公式可知： Cpk=Cp-|M-μ|/3σ，即Cp-Cpk=|M-μ|/3σ 尽量使Cp=Cpk，|M-μ|/3σ是我们的改善机会。例：某车床加工轴的规格为50±，在某段时间内测得平均值μ=，σ=，求车床加工的过程能力指数。 Cpk =T/6σ- |M-μ|/3σ = (6*-||/ (3* =

过程能力与过程能力指数

过程能力过程能力在管理状态的制程上，该过程具有达成品质的能力，称为过程能力。正确地维持作业的条件或标准且在计数上、经济上良好且安定的制程上，量测产品的品质特性，通常以或有时仅以6 来表示。

过程能力指标(process capability indices ( 与))：过程能力指标是一些简洁之数值，用来表示过程符合产品规格之能力。指标之值可视为过程之潜在能力，亦即当过程平均值可调到规格中心或目标值时，过程符合规格之能力。指标之值与指标类似，但将过程平均值纳入考虑。过程能力分析(process capability analysis)：在产品生产周期内统计技术可用来协助制造前之开发活动、过程变异性之数量化、过程变异性相对於产品规格之分析及协助降低过程内变异性。这些工作一般称为过程能力分析(process capability analysis)。过程能力的概念过程能力：所谓的过程能力，就是过程处于统计控制状态下，加工产品质量正常波动的经济幅度，通常同质量特性值分布的6倍标准偏差来表示，记为6σ. 生产能力：指加工数量方面的能力。过程能力决定于质量因素而与公差无关。为什么要进行过程能力分析？之所以要进行过程能力分析，有两个主要原因: ·我们需要知道过程度量所能够提供的基线在数量上的受控性； ·由于我们的度量计划还相当“不成熟”，因此需要对过程度量基线进行评估，来决定是否对其进行改动以反映过程能力的改进情况。根据过程能力的数量指标，我们可以相应地放宽或缩小基线的控制条件。工序过程能力指该工序过程在5M1E正常的状态下，能稳定地生产合格品的实际加工能力。过程能力取决于机器设备、材料、工艺、工艺装备的精度、工人的工作质量以及其他技术条件。过程能力指数用Cp 、Cpk表示。案例一：某公司某工序的关键指标?——拉力参数的控制图如下，我们进行如下过程能力的分析：Cpk= Min[ (USL- Mu)/3s, (Mu - LSL)/3s][1] 过程能力的意义 SPC的基准 SPC的基准：就是统计控制状态或称稳态，过程能力即稳态下所能达到的最小变差。过程能力反映了稳态下该过程本身所表现的最佳性能(分布宽度最小)。因此，在稳态下，过程的性能是可预测的，过程能力也是可评价的。离开稳态这个基准，对过程就无法预测，也无法评价。过程能力的决定因素过程能力决定于由偶因造成的总变差。当过程处于稳态时，产品的计量质量特性值有99.73%落在u±3 的范围内，其中u和为质量特性值的总体参数，也即有99.73%的产品落在上述6 范围内，这几乎包括了全部产品。

正态分布练习含答案

正态分布一.选择题： 1.正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 2. 已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2 )则P (X <3)等于 ( ) A.15 B.14 C.13 D.12 解析：由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P (X <3)＝P (X >3)＝12. 答案：D 3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ2 2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有 ( ) A ．μ1<μ2，σ1<σ2 B ．μ1<μ2，σ1>σ2 C ．μ1>μ2，σ1<σ2 D ．μ1>μ2，σ1>σ2 解析：由图可知，μ2>μ1，且σ2>σ1. 答案：A 4.设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论不正确的是。 A ．)0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-=

B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10 解析：由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x ＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B 是错误的．答案：B 6. 已知随机变量X ～N (3,22 )，若X ＝2η＋3，则D η等于 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析：由X ＝2η＋3，得DX ＝4D η，而DX ＝σ2 ＝4，∴D η＝1. 答案：B 7. 在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布)36,100(，那么考试成绩在区间(]112,88内的概率是（） A ．0.6826 B ．0.3174 C ．0.9544 D ．0.9974 答案：C 。解析：由已知X —N （100，36），故88100112100 (88112)( )(22)2(2)10.954466 P X P Z P Z P Z --<≤=<≤=-<≤=≤-=。 8. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80 分到90分的人数是（） A. 32 B. 16 C. 8 D. 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102 )， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。二．填空题 9. 若随机变量X ～N (μ，σ2 )，则P (X ≤μ)＝________. 解析：由于随机变量X ～N (μ，σ2 )，其概率密度曲线关于x ＝μ，对称，故P (X ≤μ)＝1 2 . 答案：12 10. 已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点．解析：∵P (X >0.2)＝0.5，∴P (X ≤0.2)＝0.5，