2019年山东泰安中考数学试题(解析版)

2019年山东省泰安市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12小题，每小题 4 分，合计48分．

{题目}1．（2019?山东省泰安市T1）在实数 3.14-，－3，，π中，最小的数是(

)

A.

B. －3

C. 3.14-

D. π

{答案} B

{解析}本题考查了实数比较大小，负数小于正数，两个负数绝对值大的反而小，π> 3.14->－3，因此本题选B ． {分值}4

{章节:[1-6-3]实数}

{考点:实数与绝对值、相反数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2．（2019?山东省泰安市T2）下列运算正确的是(

)

A.633a a a ÷=

B. 428a a a =g

C. 23(2)a 66a =

D. 224a a a +=

{答案} A

{解析}本题考查了和幂有关的运算，同底数幂相除，底数不变，指数相减633a a a ÷=正确，因此本题选A ． {分值}4

{章节:[1-15-2-3]整数指数幂} {考点:同底数幂的除法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．（2019?山东省泰安市T3）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道．将数据42万公里用科学记数法表示为(

)

A.4.2×109米

B.4.2×108米

C.42×107米

D.4.2×107米

{答案} B

{解析}本题考查了科学计数法，运用科学计数法时，通常写成10(110)n a a ?≤<的形式，其中n 比原数的数位少1，42万公里=420000000米，n 的值是8，因此本题选B ． {分值}4

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}4．（2019?山东省泰安市T4）下列图形

其中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( )

A. ①②

B.②③

C.②④

D.③④

{答案} A

{解析}本题考查了轴对称图形的概念及对称轴数量的查找，①②都有两条对称轴，③有4条对称轴，④不是轴对称图形，因此本题选A．

{分值}4

{章节:[1-13-1-1]轴对称}

{考点:轴对称图形}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}5．（2019?山东省泰安市T5）如图，直线

l l P,∠1=30°，则∠2+∠3=( )

12

A.150°

B.180°

C.210°

D.240°

{答案} C

{解析}本题考查了平行线的性质，可以过∠2的顶点作一条和

l平行的直线，根据平行公理可得这条

1

线也和

l平行，则∠2+∠3=∠AOC+∠BOC+∠3=∠BOC+∠3+∠1=180°+30°=210°，因此本题选2

C．

{分值}4

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:平行公理及推论}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}6．（2019?山东省泰安市T6）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示:

下列结论不正确

．．．的是( )

A.众数是8

B.中位数是8

C.平均数是8.2

D.方差是1.2

{答案} D

{解析}本题考查了统计中的常见三数一差，通过阅图，可以得出这10个数分别是：6、7、7、8、8、8、9、9、10、10，可以得出众数是8，中位数是8，

平均数是:

6778889

91010

8.2

10

+++++++++

=，

方差是：

22222

22222

1

[(68.2)(78.2)(78.2)(88.2)(88.2)

10

(88.2)(98.2)(98.2)(108.2)(108.2)] 1.848

s=-+-+-+-+-

+-+-+-+-+-=

因此本题选D．

{分值}4

{章节:[1-10-1]统计调查}

{考点:计算器－方差}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}7．（2019?山东省泰安市T7）不等式组

542(1)

2532

1

32

x x

x x

+≥-

?

?

+-

?

->

??

的解集是( )

A.x≤2

B.2

x≥- C.－2

{答案} D

{解析}本题考查了一元一次方程组的解法，解不等式542(1)

x x

+≥-可得：2

x≥-，解不等式

2532

1

32

x x

+-

->可得：2

x<，所以解集是－2≤x<2，因此本题选D．

{分值}4

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{考点:解一元一次不等式组}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}8．（2019?山东省泰安市T8）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为km A.30303

+ B. 30103

+ C. 10303

+ D. 303

{答案} B

{解析}本题考查了运用三角函数解决方位角问题，考虑到需要构建直接三角形，同时考虑到AB 的长已知，所以可以尝试过点B 作AC 的垂线，交于点M ，由已知可得：∠BAM =∠BAE －∠CAE =65°

－20°=45°，所以2

cos4530230AM AB =?=?=o ，30BM AM ==；在Rt △CBM 中，∠CBM =

∠GBH+∠HBA －∠CBG －∠ABM =90°+25°－40°－45°=30°，所以

3

tan3030103CM BM =?=?=o ，所以30103AC AM CM =+=+，因此本题选B ．

{分值}4

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形－方位角} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019?山东省泰安市T9）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A =119°，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则∠P 的度数为( )

A.32°

B.31°

C.29°

D.61°

{答案} A

{解析}本题考查了圆的切线的性质以及圆内接四边形的性质，可以设BP 交⊙O 于点D ，连接CD 、OC ，因为∠A =119°，所以∠BDC =61°，∠OCD =∠BDC =61°，则∠DOC =180°-61°-61°=58°，又∠OCP =90°，所以∠P =90°-58°=32°，因此本题选A ． {分值}4

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:切线的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}10．（2019?山东省泰安市T10）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为( ) A.15

B.

25

C.

35

D.

45

{答案} C

{解析}本题考查了概率的初步知识，根据题意，通过列表或树形图可以得出：随机摸出两个小球，

标号之和总共有20种情况，其中大于5的有12种，即：123

205

P ==，因此本题选C ．

{分值}4

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:一步事件的概率} {类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}11．（2019?山东省泰安市T11）如图，将⊙O沿弦?AB折叠，AB恰好经过圆O，若⊙O的半径为3，则?AB的长为( )

A.

1

2

π B.

π

C.2π

D.3π

{答案} C

{解析}本题考查了轴对称的性质和圆的弧长公式，可以过点O作AB的垂线，交⊙O于点D,垂足为点M，连接OA、OB，在Rt△AOM中，

1

1

2

sin

2

OD

OM

OAM

OA OA

∠===，所以∠OAM=30°，则∠

OMA=60°，∠AOB=2∠OMA=120°，

?

1203

2

180

AB

L

π

π

?

==，因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}

{考点:弧长的计算}

{类别:北京作图}

{难度:3-中等难度}

{题目}12．（2019?山东省泰安市T12）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( )

A.2

B.4

C.2

D.22

{答案} D

{解析}本题考查了矩形的性质、中位线的性质、垂线段最短、点的轨迹等，综合性特别强，难度非常大，根据中位线的性质可以得出点P的运动轨迹是线段P1P2，P1P2P CE，进而求出

∠B P1P2=90°，再根据垂线段最短可以得出BP垂直P1P2时，PB取最小值，即位于P1位置时，根

据勾股定理可以求得：2222

1

2222

BP BC CP

++=D．

{分值}4

{章节:[1-18-2-1]矩形}

{考点:矩形的性质}

{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:高度原创}{类别:发现探究} {难度:6-竞赛题}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 6小题，每小题 4分，合计24分．

{题目}13．（2019?山东省泰安市T13）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 .

{答案}11

4

k <-

{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得：

2224[(21)]41(3)0b ac k k -=---??+>，解得：114k <-，因此本题正确答案是11

4

k <-．

{分值}4

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根的判别式} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}14．（2019?山东省泰安市T14）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题:“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 .；

{答案}911(10)(8)13x y y x x y =??+-+=?

{解析}本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，根据题目中的两个等量关系“甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等”可得：911x y =：根据“两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，可得：

(10)(8)13y x x y +-+=”

，因此本题填写911(10)(8)13x y

y x x y =??+-+=?

． {分值}4

{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}15．（2019?山东省泰安市T15）如图，∠AOB =90°，∠B =30°，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若OA =3，则阴影部分的面积为 .

{答案}3

4

π

{解析}本题考查了扇形面积公式和割补法求不规则图形面积，考虑到阴影部分不规则，可以分成几个图形的和或差，为此根据题意可以连接OC ，因为∠AOB =90°，∠B =30°，OA =OC ，△AOC 是等边三角形，同时可以求得AB =6，所以BC =AC =3，阴影部分的面积是：()()AOC BOC AOC BOC AOC COD AOC COD S S S S S S S S -+-=-+-V V V V 扇形扇形扇形扇形考虑到两个三角形的面积相等，所

以阴影部分的面积是：226033033=3603604πππ??-，因此本题填34

π．

{分值}4

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:扇形的面积} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}16．（2019?山东省泰安市T16）若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线x =2，则关于x 的程25213x bx x +-=-的解为 .

{答案}122,4x x ==

{解析}本题考查了二次函数对称轴的含义以及一元二次方程的解法，由称轴为直线x =2可得：2221b b a -=-=?，解得：4b =-，解方程245213x x x --=-可得：122,4x x ==因此本题填122,4x x ==． {分值}4

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:二次函数的定义} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}17．（2019?山东省泰安市T17）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形C 1A 2B 2C 2，正方形C 2A 3B 3C 3，正方形C 3A 4B 4C 4，……，点A 1，A 2，A 3，A 4，……在直线l 上，点C 1，C 2，C 3，C 在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是 .

{答案}222{解析}本题考查了一次函数、正方形的对角线、规律型问题，根据已知条件，可以求出前n 个正方2、22428222 根据等比数列求和公式可以得出它们

的和是：1(1)2(12)

2(21)2221n n n n a q S q -?-=

==-=-222． {分值}4

{章节:[1-18-2-3] 正方形}

{考点:正方形有关的综合题}

{类别:思想方法}{类别:发现探究}

{难度:5-高难度}

{题目}18．（2019?山东省泰安市T18）如图，矩形ABCD中，AB=36，BC=12，E为AD中点，F 为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是.

{答案}215

{解析}本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的性质，解决问题的关键是通过勾股定理或是三角形相似来求EF的值，如果考虑勾股定理，FG长度不好求，那么不妨试一下相似，可以通过连接CE来构造相似三角形.连接CE，

在Rt△CDE中，2222

6(36)310

CE DE CD

=++，则在Rt△CGE中，2222

(310)636

CG CE EG

--，所以Rt△CGE?Rt△CDE，则∠CED=∠CEG,又因为∠

AEF=∠GEF,所以∠CEF=∠90°,所以Rt△CGE:Rt△GEF，CG CE

GE EF

=

36310

=，解得：

215

EF=215

{分值}4

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{考点:相似三角形的性质}

{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

{题型:3-解答题}三、解答题：本大题共7 小题，合计78分．

{题目}19．（2019?山东省泰安市T19）先化简，再求值：

2541

(9)(1)

11

a

a a

a a

-

-+÷--

++

，其中a2.

{解析}本题考查了分式的四则运算，其中主要涉及到完全平方公式，合理运用公式可以使运算更简便．最后的代入求值注意最后的结果需要分母有理化.

{答案}解：解：原式=

22

8925141

11

a a a a

a a

--+--+

÷

++

…………………………………………3分

=

2

(4)1

1(4)

a a

a a a

-+

+-

g…………………………………………………………6分

=

4

a

a

-

………………………………………………………………………7分

当a=2时，原式=24

122

2

-

=-………………………………………………8分

{分值}8分

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{难度:1-最简单}

{类别:常考题}

{考点:运用完全平方公式简便计算}

{题目}20．（2019?山东省泰安市T20）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩(成绩都高于50分)，绘制了如下的统计图表(不完整):

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)求出a，b的值；

(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

(3)若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人?

{解析}本题考查了频数分布表和扇形统计图．（1）a，b的值可以通过先根据第三组数据求出学生总数，然后乘以它们各自所占的百分比即可；（2）“第5组”所在扇形圆心角的度数等于360°乘以这一组所占的总数的比例；（3）用1800乘以样本中80分以上的占总数的比例.

{答案}解:(1)抽取学生的人数:10÷25%=40(人)

a=40×30%=12，b=40－8－12－10－3=7…………………………………………………3分

（2）360°×3

40

=27°……………………………………………………………………5分

(3)1800×812

40

+

=900(人)

所以，成绩高于80分的共有900人.……………………………………………………8分{分值}8分

{章节:[1-10-1]统计调查}

{难度:1-最简单}

{类别:常考题}

{考点:用样本估计总体}

{题目}21．（2019?山东省泰安市T21）已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m

y x

=的象交于点A ，与x 轴交于点B (5，0)，若OB =AB ，且OAB S V =15

2

. (1) 求反比例函数与一次函数的表达式;

(2)若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标.

{解析}本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及等腰三角形的判定．（1）通过三角形的面积可以求出A 点的纵坐标，进而通过勾股定理求出横坐标，则点A 的坐标可求，分别代入一次函数及反比例函数解析式可以求得具体值；（2）若△ABP 是等腰三角形，则AB 可能是底也可能是腰，需要分情况讨论，当AB 是腰时，还要考虑到A 是顶点和B 是顶点两种情况，综上，需要分三种情况进行讨论，然后对结果进行验证，看是否符合题意，不要出现遗漏或错解. {答案}解：(1)过点A 作AD ⊥x 轴于点D

Q OAB S V =15

2

∴

11155222

OB AD AD ?=??=g ∴3AD =…………………………………………………………………………………2分 Q B (5，0) ∴AB =OB =5

在Rt △ABD 中，BD 2222534AB AD -=-=.

∴OD =9

∴A(9，3) ………………………………………………………………………………4分

Q m

y x

=经过点A ∴39

m =

∴27m =

∴反比例函数表达式为27

y x

=

.………………………………………………………5分 Q y kx b =+经过点A ，点B

∴9350k b k b +=??+=?，解得：3415

4

k b ?=???

?=-?? ∴一次函数表达式为315

44

y x =-.…………………………………………………7分 (2)本题分三种情况

①当以AB 为腰，且点B 为顶角顶点时，可得点P 的坐标为P 1 (0.0)、P 2(10，0) ………………………………………………………………………………………8分 ②当以AB 为腰，且以点A 为顶角顶点时，点B 关于AD 的对称点即为所求的点P 3 (13，0) ………………………………………………………………………………9分 ③当以AB 为底时，作线段AB 的中垂线交x 轴于点P 4，交AB 于点E ，则点P 4即为所求 由(1)得，C (0，154

-

) 在Rt △OBC 中，BC

25

4

=

Q cos ∠ABP 4=cos ∠OBC ∴

4BE OB

BP BC

= ∴4

5

5

2254

BP =

∴4258

BP =

∴42565

588

OP =+=

∴465

(

,0)8

P ………………………………………………………………………11分

{分值}11分

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}

{难度:4-较高难度}

{类别:思想方法}{类别:常考题}{类别:易错题}

{考点:等腰三角形常见基本图形}

{题目}22．（2019?山东省泰安市T22）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍

(1)求A、B两种粽子的单价各是多少?

(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子

的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?

{解析}本题考查了运用分式方程和一元一次不等式解决实际问题．（1）根据题意列分式方程，需注意分式方程的解既要考虑是否有意义，还要考虑是否符合实际情况；（2）利用一元一次不等式确定A种粽子数量的取值范围，然后在范围内确定最多能购进多少.

{答案}解:(1)设B种粽子的单价为x元，则A种粽子的单价为1.2x元

根据题意，得

15001500

+=……………………………………………………………………3分

1100

1.2x x

解得: x=2.5……………………………………………………………………………5分

经检验，x=2.5是原方程的根

1.2x=1.2×

2.5=3

所以A种粽子的单价是3元，B种粽子的单价是2.5元…………………………7分

(2)设A种粽子购进m个，则购进B种粽子(2600－m)个

根据题意，得

3m+2.5(2600－m )≤7000……………………………………………………………9分

解得m≤1000

所以，A种粽子最多能购进1000个. ……………………………………………11分

{分值}11分

{章节:[1-9-2]一元一次不等式}

{难度:2-简单}

{类别:常考题}{类别:易错题}

{考点:其他分式方程的应用}{考点:不等式的简单应用问题}

{题目}23．（2019?山东省泰安市T23）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点.

(1)若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；

(2)若PE⊥EC，如图②，求证:AE·A B=DE·AP;

(3)在(2)的条件下，若AB=1，BC=2，求AP的长.

{解析}本题考查了矩形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定及性质、三角函数的应用等，综合性较强，熟练掌握相关图形的性质和判定是解决此题的关键．（1）根据角平分线的性质可以得到AP=PF，然后证明四边形AGFP是平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判定；（2）证明两个乘积的式子相等，最常用的方法是证明它们所在的三角形相似，为此可以证明△AEP ∽△DEC，根据已知条件，根据同角的余角相等可以得到∠AEP=∠CED，根据平行线的性质和等角的余角相等可以得到∠P AE=∠CDE，问题得到解决；（3）根据（2）中的相似比求值即可.

{答案}解：(1)证明:∵BP平分∠ABD，PF⊥BD，P A⊥AB

∴AP=PF ∠ABP=∠CBE……………………………………………………………………1分

又∵在Rt△ABP中，∠APB+∠ABP=90°

在Rt△BGE中，∠BGE+∠GBE=90°

∴APB=∠BGE…………………………………………………………………………………2分

又:∠BGE=∠AGP

∴∠APB=∠AGP

∴AP=AG.

∴AG=PF………………………………………………………………………………………3分

∵PF⊥BD，AE⊥BD

∴PF∥AG……………………………………………………………………………………4分

∴四边形AGFP是平行四边形

∴Y AGFP是菱形……………………………………………………………………………5分

(2)∵AE⊥BD，PE⊥EC

∴∠AEP+∠PED=90°，∠CED+∠PED=90°

∴∠AEP=∠CED

又∵∠P AE+∠ADE=90°，∠CDE+∠ADE=90

∴∠P AE=∠CDE……………………………………………………………………………7分

∴△AEP∽△DEC

∴AE AP DE CD

=

∴AE·CD=DE·AP……………………………………………………………………………9分

又∵CD =AB

∴AE ·AB=DE ·AP ………………………………………………………………………10分 (3)∵AB =1，BC =2 ∴1

tan 2

AE AB ADB DE AD ∠===………………………………………………………………11分 由(2)知 1

2

AP AE CD DE == ∴11

22

AP CD ==…………………………………………………………………………13分

{分值}13分

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质} {难度:3-中等难度} {类别:常考题}

{考点:相似三角形的应用}

{题目}24．（2019?山东省泰安市T24）若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (3，0)、B (0，-2)，且过点C (2，-2). (1)求二次函数表达式；

(2)若点P 为抛物线上第一象限内的点，且PBA S V =4，求点P 的坐标；

(3)在抛物线上(AB 下方)是否存在点M ，使∠ABO =∠ABM ?若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.

{解析}本题考查了二次函数的综合运用，涉及到二次函数的图像和性质．（1）根据待定系数法把三

个点的坐标代入可求；（2）可以用二次函数的解析式来表示点P 的坐标(m ，224

233

m m -- )；若直

接求PBA S V 比较困难，可以利用割补法，即：PAB POA AOB POB S S S S =+-V V V V ，从而形成关于点P 坐标的方程，然后解方程，找出符合题意的点P 的坐标；（3）可以先求出直线AB 的表达式，然后过点M

作ME ⊥y 轴，垂足为E.作MD ⊥x 轴交AB 于点D ，则D 的坐标为(t ，223t -)，MD =222

33

t t -+，

BE =224

33

t t -+，最后在Rt △BEM 中利用勾股定理形成关于t 的方程求解.

{答案}解：(1)因为抛物线2y ax bx c =++过点(0，－2)，

∴c=－2，

又因为抛物线过点(3，0)，(2，－2)

∴9320

4222

a b a b +-=??

+-=-?，…………………………………………………………………………2分

解，得23

43a b ?=????=-

??

所以，抛物线表达式为224

233

y x x =

--……………………………………………………3分 (2)连接PO ，设点P (m ，224

233

m m -- )

则PAB POA AOB POB S S S S =+-V V V V ………………………………………………………………5分 =212411

3(2)32223322

m m m ?--+??-?g g

=23m m -……………………………………………………………………………7分 由题意得23m m -=4

∴m =4或m =－1(舍) ∴2241023

3

3

m m --=

∴点P 的坐标为(4，103

).……………………………………………………………………9分

(3)设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点A (3，0)、B (0，－2) ∴302k n n +=??=-?，解，得232

k n ?

=???=-?

所以AB 的表达式为2

23

y x =

-……………………………………………………………10分 设存在点M 满足题意，点M 的坐标为(t ，224

233t t --).过点M 作ME ⊥y 轴，垂足为E.作MD ⊥x 轴

交AB 于点D ，则D 的坐标为(t ，223t -)，MD =222

33

t t -+，BE =22433t t -+

又MD ∥y 轴

∴∠ABO =∠MDB

又∴∠ABO =∠ABM

∴∠MDB =∠ABM

∴MD MB =…………………………………………………………………………………12分 ∴22

23

3

MB t t =-+

在Rt △BEM 中

22222242

()(2)333

t t t t t -++=-+ 解得：118

t =

所以点M 到y 轴的距离为

11

8

…………………………………………………………………13分 {分值}13分

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {难度:5-高难度}

{类别:发现探究}{类别:常考题} {考点:其他二次函数综合题}

{题目}25．（2019?山东省泰安市T25）如图，四边形ABCD 是正方形，△EFC 是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且∠CEF =90°，FG ⊥AD ，垂足为点G. (1)试判断AG 与FG 是否相等?并给出证明；

(2)若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗?若垂直给出证明；若不垂直，说明理由.

{解析}本题考查了正方形性质、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等，综合

性较强，难度比较大．（1）证明线段相等，最常用的方法是证明其所在的三角形全等，为此在BC 边上取BM=BE，连接EM、AF，然后根据已知条件去证明△AEF≌△MCE即可；（2）延长GH交CD于点Q,证明DGQ

V是等腰三角形，然后根据“三线合一”证明DH⊥GH.

{答案}解：(1)AG=FG

证明如下:在BC边上取BM=BE，连接EM、AF……………………………………………1分

Q四边形ABCD是正方形

∴AB=BC

∴AE=CM………………………………………………………………………………………2分

Q∠CEF=90°

∴∠AEF+∠BEC=90°

又Q∠BEC+∠BCE=90°

∴∠AEF=∠BCE………………………………………………………………………………4分

又∵CE=EF

∴△AEF≌△MCE……………………………………………………………………………5分

∴∠EAF=∠EMC=135°

又Q∠BAD=90°

∴∠DAF=135°－90°=45°………………………………………………………………6分

又Q FG⊥CD

∴AG=FG.……………………………………………………………………………7分

(2)DH⊥GH

证明如下:延长GH交CD于点Q

Q四边形ABCD是正方形

∴AD⊥CD

又∵FG⊥AD

∴FG∥CD

∴∠GFH=∠DCH………………………………………………………………………9分

又∵GHF=∠CHQ FH=CH

∴△FGH≌△CQH……………………………………………………………………11分

∴GH=HQ FG=CQ………………………………………………………………12分∴AG=CQ

∴DG=DQ

V是等腰三角形………………………………………………………………13分∴DGQ

∴DH⊥GH……………………………………………………………………………14分{分值}14分

{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}

难度:5-高难度}

{类别:常考题}

{考点:等腰直角三角形}{考点:正方形的性质}