极限数学归纳法练习题
极限、数学归纳法练习题
一、 选择题：
1、在等差数列{}n a 中, a 2=5, 12lim =∞→n
a n
n 那么a 5等于 （ ）
（A ）
2
13
（B ）8 （C ）11 （D ）13 2、已知S n 是无穷等差数列1，3，5，…前n 项之和，则n
n
n S S 2lim
∞→的值等于 ( )
(A)
4
1
(B)1 (C)2 (D)4 3、若2lim 22=++∞→c bn cn an n ，3lim =++∞→a cn c bn n ，则b
an cn c
bn an n ++++∞→22lim ＝ ( )
(A)
61 (B)32 (C)2
3
(D) 6 4、已知数列{a n }满足??? ??++???? ??+??? ??+??? ??+=111411311211n a n ，则n a n n ∞→lim 的值等于 (A)、0 (B)、2
1
(C)、1 (D)、不存在 ( ) 5、无穷数列{}n a 的前n 项和n
n S n 31
621311222++++++= ,则n n S ∞→lim = （ ）
（A ）
3
1
（B ）21 （C 1811 （D 不存在
6、{}n a 为等比数列，且a 1+a 2+……+a n =2n －1,则1
2
23222lim +∞→+++n n n
n a a a a 的值是 （ ） （A ）－1 （B ）
31 （C ） 3
4
（D ）1 7、已知f(n)＝1＋2＋…＋n ，(n ∈N)，则2
2)]([)
(lim n f n f n ∞→的值是 ( )
(A)2 (B)0 (C)1 (D)
2
1
8、2
31
lim 221++--→x x x x 的值为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．－1
D ．－2
9、函数0)(x x x f =在处连续是函数0)(x x x f =在处有极限的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分不必要条件
10、用数学归纳法证明不等式“64127
2
1412111>
++++-n 成立”，则n 的第一个值应取 A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 （ ）
11、函数0||)(==x x x f 在处
（ ）
A ．无定义
B ．不存在极限
C ．不连续
D ．连续
12、x =1是函数??
?
??>=<=)
1()1(0
)1()(3x x x x x
x f 的
（ ）
A ．连续点
B ．无定义点
C ．不连续点
D ．极限不存在的点
13、])
13)(23(11071741411[
lim +-++?+?+?∞→n n n 等于
（ ）
A ．
4
1
B ．
3
1 C ．
3
2 D ．1
14、有下列命题： ①2
31
lim 221+--→x x x x 不存在； ②231lim 22
2+--→x x x x 不存在；③函
数231)(22+--=x x x x f 在点x =1处不连续；④函数2
31
)(22+--=x x x x f 在开区间（1，2）
内连续.其中正确的是 （ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．②③
15、4
1
121lim 22=--+∞→x x kx x ，则常数k 的值为
（ ）
A ．2
B ．
2
1
C ．－2
D ．－
2
1 16、已知a 、b 是不相等的正数，若2lim
1
1=+-++∞→n
n n n n b a b a ，则b 的取值范围是 （ ）
A ．0＜b ≤2
B ．0＜b ＜2
C ．b ≥2
D ．b ＞2
17、设函数??
?=≠+=)
0()
0(1
)(x a
x e x f x 在x =0处连续，则a 的值为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．e
D ．e+1
18、等比数列{a n }满足121,2
1
)(lim a a a a n n 则=
+++∞→ 的取值范围是 （ ）
A ．（－1，1）
B ．（0，1）
C ．（0，21）
D ．（0，21）∪（2
1
，1）
19、1
2232122
2)2221(lim -∞→+++++++n n
n n n n C C C 等于
（ ）
（A ）16 （B ）8 （C ）4 （D ）2
20、用数学归纳法证明：x 2n -y 2n (n ∈Z +)能被x +y 整除的第二步是：假设n =k (k ∈Z +
)时，
x 2k -y 2k 能被x +y 整除，证当n =k +1时，x 2（k+1）-y 2（k+1）也能被x+y 整除。则在证明过
程中，x 2（k+1）-y 2（k+1）
的合理变形是 （ ）
(A)( x k +1+y k +1)(x k +1-y k +1) (B) x 2k (x 2 +y 2)-y 2 (x 2k +y 2k
)
(C) x 2(x 2k -y 2k )+y 2k (x 2 -y 2) (D) x 2(x 2k +y 2k )-y 2k (x 2 +y 2
)
二、填空题： 21、??
? ??+?++++?++++++
∞
→n n 321132112111lim =________
22、=--+-→9
3
3lim
2
3
x x x x
23、若=+=-+∞→b a b an n
n n 则,)35(
lim 2
.
24、已知x
x f x f x x x )
5(lim
,32)3(lim
00
→→=则的值是 .
25、设n n n n a na ∞
→∞
→=lim 1)2(lim 且存在，则n n a n )1(lim -∞
→= .
三、解答题：
26、已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，且
1171114
32=++a a a ， )(lim ,31
216
321n n a a a a a a +++=
∞→ 求.
27、设函数????
???≥-<≤-+-<≤<=)3(4)31(2
4)10()0(0
)(2
x x
x x x x x x x f （1）画出函数的图象；（2）在x =0，x =3处函数)(x f 是否连续；（3）求函数)(x f 的连
续区间.
28、如图所示，在Rt △ABC 内有一系列正方形，其面积分别为S 1，S 2，…，S n ，….
已知AB=a ，且所有正方形面积之和等于△ABC 面积的一半，求BC 的长和∠A .
29、已知数列312?,532?,752
?,……)12)(12(2
+-n n ，……，S n 为其前n 项和，
计算：（1）S 1, S 2, S 3, S 4. （2）猜想S n 的表达式并用数学归纳法证明。
30、已知正数数列{a n }满足2n s = a n +1, (n *
∈N )
计算：（1）a 1, a 2, a 3, a 4. （2）猜想a n 的表达式并证明。
31、用数学归纳法证明：
（1）1-21+31-41+……+121-n -n 21=11+n +21+
n +……+n
21 （2）a n+1+(a+1)2n-1能被64整除。
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
数列的极限、数学归纳法
数列的极限、数学归纳法 一、知识要点 （一） 数列的极限 1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作 A a n n =∞ →lim . 2.运算法则：若lim n n a →∞ 、lim n n b →∞ 存在，则有 lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ?=? )0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=?? ???-=>=<=∞ →)11() 1(1) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、 p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则??? ????>=<=∞→)()() (0)()(lim q p q p b a q p n g n f q p n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1 1a S q = - （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞ = （当lim n n S →∞ 存在时） （二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。 ②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。 二、例题（数学的极限）
数列数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S
数学归纳法典型例习题
欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21） 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ Λ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k Λ 1 1 1211 2+++=++ 【关键字】认识、问题、要点 数学归纳法（ 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 这就是说，当n =k +1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)． (1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值． (2)设b n ＝ a 22n －3，T n ＝ b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 解： (1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5 令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243. (2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2 b n ＝a 22 n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2， 右边＝2(2＋1)(2－1)3 ＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立， 即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3 成立 那么，当n ＝k ＋1时， 左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3 ＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)?? ??k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3 ＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立． 综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3 . 数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案 张毅 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下． 数学归纳法例题讲解 例1．用数学归纳法证明： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边3 13 11=?= ，右边3 11 21= += ，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()() 1 212121 7 515 313 11+= +-+ +?+ ?+ ?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ?? ??????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ??-= 321121121121 7151513131121k k k k 3 22 221321121++? =??? ??+-= k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()() 32121 12121 7 515 313 11+++ +-+ +?+ ?+ ?k k k k ()() 321211 2+++ += k k k k ()() ()()()() 321211232121 322 ++++= ++++= k k k k k k k k ()1 1213 21+++= ++= k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ??? ??=++=+=60 3224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+… 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 .1002 C ！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ?-?+→?) 0()0(lim = x x x x x ?--?-?-??→?0 )100()2)(1(lim 0 Λ =lim 0 →?x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ??--?+→?) 2()22(lim 0 =2x f x f x ?-?+→?2) 2()22(lim + []x f x f x ?--?-+→?-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ?--?-→?-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ?--?-→?) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→?（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 第十一讲 数列的极限与数学归纳法 教案 【考点简介】 1．数列极限与数学归纳法在自主招生中的考点主要有：数列极限的各种求解方法；无穷等比数列各项和；数列的应用题；常用级数；数学归纳法证明等式与不等式。 【知识拓展】 1．特殊数列的极限 （1）1 lim 0(0,a n a a n →∞=>是常数） （2） lim 0(0)!n n a a n →∞=> （3）lim 0k n n n a →∞=（1a ＞，k 为常数） （4） 111 lim 1,lim 1n n n n e n n e →∞→∞ ????+=-= ? ????? 公式（4）证明：令11n M n ?? =+ ??? ，取自然对数得到1ln ln 1M n n ??=+ ???， 令1x n = ，得ln(1) ln x M x +=， 由洛比达法则得00ln(1)1 lim lim()11x x x x x →→+==+，即0limln 1x M →=， 所以，limln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1n n e n →∞ ?? += ??? 。 另外，数列11n n ???? ??+?? ?????? ?是单调递增的，理由如下：由11n n G A ++≤（1n +个正实数的几何平均数≤ 它们的算术平均数）有111 11111111n n n n n n n ?? ++ ?++??=+?<==+? ? +++? ?? ， 所以1 11111n n n n +??? ?+<+ ? ? +???? 。 2．洛比达法则 若lim ()0x f x →∞ =（或∞），lim ()0x g x →∞ =（或∞），则()'() lim lim ()'() x x f x f x g x g x →∞ →∞=。 3．夹逼定理 如果数列{}n x 、{}n y 以及{}n z 满足下列条件： （1）从某项起，即当0n n ＞（其中0n N ∈），有n n n x y z ≤≤（123n =，，）； （2）lim n n x a →∞ =且lim n n z a →∞ =； *实用文库汇编之数学归纳法（2016.4.21）* 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ． 那么当n =k +1时， 11 1 31 21 1++++++k k 1 1 1211 2+++=++ 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n个数a ij（i 1,2, ,m; j 1,2, , n）组成的m行n 列的矩形数表 a11 a12 a1n a2n a m1 a m2 a mn 称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设 A (a ij )mn; B (b ij )mn 若a ij b ij(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与B相等，记为A=B 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 (1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij ) mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律 ① A+B=B+A ； ②( A+B )+C=A+(B+C ) ③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij ) mn , k 为常数，则 kA (ka ij )mn (2)运算规律 ①K (A+B) =KA+KB , ② (K+L )A=KA+LA , ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 n AB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kj k1 (2) 运算规律 ① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC ③ (B C)A BA CA 3)方阵的幂 ①定义：A (a ij ) n ，则 A k A K A ②运算规律： A m A n A m n (A m )n A (4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ① AB BA ② AB 0, 不能推出 A 0或B 0; ③ (AB)k A k B k 4．矩阵的转置 (1) 定义：设矩阵 A=(a ij )mn ，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为 A T (a ji )nm ， (2) 运算规律 ①(A T )T A; ②(A B)T A T B T ； ③(kA)T KA T ; ④ (AB)T B T A T 。 A. n －1 B. n ＋1－1 C. n ＋1－2 D. n ＋2－2 高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1 1 . 已知a ＝ ，数列{a }的前n 项和为S ，已计算得S ＝ 2－1， S ＝ 3－1，S ＝1， n n ＋1＋ n n n 1 2 3 由此可猜想 S n ＝( ) [答案] B 1 1 1 1 2．已知 S k ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ (k ＝1,2,3，…)，则 S k ＋1 等于( ) k 1 k 2 k 3 2k 1 A. S k ＋ ＋ 2(k 1) 1 1 B. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 k 1 1 1 C. S k ＋ ＋ － ＋ 2k 1 2k 2 1 1 D. S k ＋ ＋ ＋ ＋ 2k 1 2k 2 [答案] C 1 1 1 1 1 1 1 [解析] S k ＋1＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋ (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1 k 2 k 3 2k 2 k 1 ＋…＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ ＋ ＋ ＝S k ＋ ＋ － ＋ . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 2 3. 对于不等式 1°当 n ＝1 时， n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设 n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即 k 2＋k 第二章数列、极限、数学归纳法（2） 等比数列 【例题精选】: 例1：“b 2 = ac ”是a , b , c 成等比数列的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 分析：由a , b , c 成等比数列?b ac 2=；b ac 2=若a , b , c 中有等于零者，a , b , c 不成等比数列，故选（B ） 说明：只有当a , b , c 均不为零时， b ac 2=? a , b , c 成等比数列。 例2：已知数列{}a n 的前n 次和S k k n n =+3(为常数），那么下述结论正确的 是 A ．k 为任意实数时，{}a n 是等比数列 B ．k = －1时，{}a n 是等比数列 C ．k = 0时，{}a n 是等比数列 D ．{}a n 不可能是等比数列 分析：给出 s k k n n =+3(为常数），可由s n 求出通项a n 来进行判断： n a s k n a s s k k n n n n n n ===+≥=-=+-+=?---13123323211111 时，时，() ()() 当n a ==?=1223210时，由（）式 当a k k 121321=+==-时代入（）式得得, {}∴=-=?∈-当时，数列k a n N a n n n 1231()是等比数列，故选（B ）。 小结：解好本题要准确掌握数列的前n 项和S n 与通项a n 关系式 a n =s n s s n n n 1 112=-≥?? ?- 例3：在等比数列{}a n 中，已知a a a a a 132492040+=-+=,,求 解：设等比数列的公比为q ，依题意：() ()a a q a q a q 112 1 13 201402+=-+=????? ()()()()()12112 214 421024 19188÷=-∴=-=-∴==--=-得 代入得q q a a a q 例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n 项， 13122 实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立， 证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 实用文档 文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 数列极限和数学归纳法 一、知识点整理： 数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和 要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01 q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。 1、理解数列极限的概念：2 1 ,(1),n n n -等数列的极限 2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广 3、常见数列的极限：1 lim 0,lim 0(1),lim →+∞→+∞→+∞ ==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1lim (01)1→+∞==<<-n n a S S q q 数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和 证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22389n n +--能被64 整除，2438(1)9k k +-+-）22 9(389)64(1)k k k +=--++），证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。 二、填空题 1、 计算：1 12323lim -+∞→+-n n n n n =_____3_____。 2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、2 1 为公比的等比数列，体积分别记为ΛΛ，，， ，n V V V 21 =+++∞ →)(lim 21n n V V V Λ87 . 3、 20lim ______313n n n →∞+=+1 3 4、 数列的通项公式，前项和为，则 =______32 _______. 5、 设{}n a 是公比为 2 1 的等比数列，且4)(lim 12531=+???+++-∞→n n a a a a ，则=1a 3． 6、 在等比数列{}n a 中，已知123432,2a a a a ==，则()12lim n n a a a →∞ +++=L _16±______. 7、 数列{}n a 的通项公式是13(2)--+=+-n n n a ，则)(lim 21n n a a a +++∞ →Λ=___76 ____ . 8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=， 则lim n n S →∞ 的值为 163 . {}n a *1 , 1 ()1 , 2(1)n n a n N n n n =?? =∈?≥?+? n n S lim n n S →∞ 数学归纳法（2016.4.21） 令狐采学 一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确； （2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型1.证明代数恒等式 例1．用数学归纳法证明： 证明：①n=1时，左边31311=?= ，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n=k 时，等式成立，即： ()()1212121751531311+=+-++?+?+?k k k k ． 当n=k+1时． 这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 题型2.证明不等式 例2．证明不等式n n 21 31 21 1<++++ (n ∈N)． 证明：①当n=1时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立． ②假设n=k 时，不等式成立，即 k k 21 31 21 1<++++ ． 那么当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立． 说明：这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是 1211 1 31 21 1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是 要证明： 1211 2+<++k k k ． 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标． 题型3.证明数列问题 例3 (x ＋1)n ＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋…＋an(x －1)n(n ≥2，n ∈N*)． (1)当n ＝5时，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值． (2)设bn ＝a2 2n －3，Tn ＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法 证明：当n ≥2时，Tn ＝n(n ＋1)(n －1)3. 解：(1)当n ＝5时， 原等式变为(x ＋1)5＝a0＋a1(x －1)＋a2(x －1)2＋a3(x －1)3＋数学归纳法经典例题及答案精品
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