汽车召回 数学建模

汽车召回问题

摘要

摘要省略

一、问题重述

沸沸扬扬的丰田“召回门”波及到了中国。由于油门踏板存在质量问题，2010年1月28日，天津一汽丰田向国家质量监督检验检疫总局递交了召回报告，决定自2010年2月28日开始，对2009年3月19日至2010年1月25日生产的75552辆RA V4轻型越野车辆进行召回。

因踏板问题，丰田目前在全球的召回数量已达到854万辆，超过其去年718万辆的全球销量，成为汽车召回史上规模最大的一次，为此丰田将付出沉重的经济代价。全球近千万辆问题车的召回，铺天盖地的负面报道，令丰田汽车面临名誉和经济的双重危机。但全球汽车史上，动辄就是几百万辆的召回显然不只丰田一家，还有一些著名品牌，比如福特、通用、大众和本田等汽车企业也都曾遭遇“召回门”。2010年03月16日，中国国家质量监督检验检疫局公布的统计数据显示，2009年，中国汽车召回次数和数量均创历史新高。

问题一：

自《缺陷汽车产品召回管理规定》实施以来，汽车召回的范围在不断地扩大，数量也在不断地增加。一方面，缺陷汽车产品召回给企业带来大量的召回成本，影响了客户对企业的满意度，也影响了汽车的销售；另一方面，汽车召回确实为消费者消除了安全隐患，有效保护了消费者的合法权益和人身财产安全，企业的诚信度得到提升。

请你建立一个评价模型，对缺陷汽车产品召回事件做一个尽可能全面和系统的评估。

问题二：

根据你的评价模型，有哪些因素会影响销售？试对丰田汽车的长期销售和短期销售情况进行预测。

问题三：

1. 一直以来，丰田以其高度紧密的集团成员供应商体系闻名，这也被认为是导致汽车质量下降的原因之一，请你分析这种说法的正确性。如果正确请你设计一个汽车企业与汽车零售件供应商之间的风险共担机制来改善这种状况；

2. 在与供应商合作问题上，美国公司同日本公司不同，他们大都强调零部件供应商之间的竞争淘汰。试通过构建模型从不同的角度说明这两种体系的优劣。

问题四：

根据你的研究心得，就汽车召回问题向国有汽车自主品牌提供建议。

二、模型假设与符号说明

2.1 模型假设

1、汽车的生产成本相同。

2、所有通过质检合格的汽车产成品均能卖出。

3、忽略员工工资成本。

2.2 符号说明

m：汽车整车数量

p：供应商所供零件的次品率

1

p：经质检后零件的次品率

2

a：单个零件一次质检所需费用

k：单辆车召回成本

：单辆车售价

B：边际成本

Q：整车生产商的利润

三、问题分析

本文主要研究汽车召回问题，对其进行评价及其对销售的影响。

对于问题一，

对于问题二，

对于问题三，该问题要求判断关于丰田高度紧密的集团成员供应商体系是导致其汽车质量下降的原因之一的说法的正确性，并给出风险共担机制。基于此，必须先分析丰田公司汽车质量与其高度紧密的集团成员供应商体系的关系，再评判题中说法是否正确；供应商与汽车企业均从自身利益出发作出生产决策，往往导致双方利益受损，建立风险机制能较好的权衡双方利益。在比较两体系优劣时，以丰田为代表的集团成员供应商体系，总装厂与供应商建立了密切的合作关系，而美国的汽车总装厂大都强调零部件供应商之间的竞争淘汰。应考虑到两种体系的特点，各自的运转情况，抓住体系间的区别，以利润指标评价两体系。

对于问题四，一些国有汽车自主品牌对汽车召回的看法存在一个误区，认为召回汽车会削弱品牌信誉度，因此不敢大面积召回汽车，然而，召回汽车有问题汽车更是对社会、对消费者的负责，对品牌不仅只有削弱作用。根据前面的研究心得，应让销售商走出这个误区，正确看待汽车召回问题，积极作出决策应对召回可能带来的负面影响。

四、模型建立与求解

1.问题一的模型建立与求解

对于汽车召回事件，一方面，缺陷汽车产品召回给企业带来大量的召回成本，影响了客户对企业的满意度，也影响了汽车的销售；另一方面，汽车召回确实为消费者消除了安全隐患，有效保护了消费者的合法权益和人身财产安全，企业的诚信度得到提升。同时，对于社会来讲召回汽车，对汽车进行维护，可以提高汽车的安全性能，使人们出行更安全，可以减少交通事故的发生。但另一方面现在人们对汽车的需求大，召回汽车

会造成社会的一些不必要麻烦，可以看出汽车召回与企业，车主，社会三个大方面密切相关。

为了缺陷汽车产品召回事件做一个尽可能全面和系统的评估，建立了基于层次分析法的模糊综合评价。

1.1评价指标的选取

（1）汽车企业评价指标的选取

企业召回汽车的价值包括缺陷汽车产品召回所带来的召回成本、企业信誉度、品牌满意度、忠诚度、品牌形象、股票价格、渠道竞争力、市场占有率、技术改进、质量管理规范和水平等的提升价值和因召回而避免的产品缺陷给消费者造成人身安全伤害的损失等。为了更容易的建立评价模型，要对其进行指标的整合。召回成本、质量管理规范和水平等的提升价值、召回而避免的产品缺陷给消费者造成人身安全伤害的损失同属于资金型的指标，将其统一定位召回损失；企业信誉度、忠诚度、品牌形象同属于企业的诚信度。最终确定四个指标为企业满意度、召回损失、企业诚信度、企业竞争力水平。

（2）车主评价指标选取

对于消费者来说，召回汽车对自己本身的人身安全是一件好事。企业对缺陷汽车处理后，消费者出车的安全系数提高了。但由于汽车召回，在一段时间内，不能使用自己的汽车，可能会影响到自己的生活。综合考虑后选取三个指标为幸福指数提升度、人身安全保障、心里安全保障。

（3）社会评价指标的选取

缺陷汽车产品召回的社会价值是指通过缺陷汽车产品召回制度的实施对提高全社会诚信水平和提升国家公共安全等方面所带来的增量价值。一方面体现了政府监管力度的提升和对企业、消费者的责任，同时也为企业提供了关于缺陷汽车产品召回的共同遵循的原则，明确了厂家与用户的责任和义务，是企业对社会、对用户负责的体现，对于提高全社会诚信水平所带来的推动效应和价值。所以说所谓缺陷汽车产品的召回是对公共安全的提升、消费者合法权益的提升、企业信用的提升、法律法规的提升和国家竞争力的提升。综合考虑后选取三个指标为政府信誉度、社会和谐度、国家竞争力。

这样就建立了二级评价模型，见图

1.2层次分析法确定指标权重

企业进行汽车召回时，主要考虑三方面因素：企业价值、客户价值、社会价值。这三方面因素中又包含若干子因素。根据AHP层次分析法，可以建立起缺陷汽车产品召回的评价框架：

????????

??????????????????????????）国家竞争力（）社会和谐度（）政府信誉度（）社会价值（）心理安全价值（）人身安全价值（

）（幸福指数）客户价值（）

（竞争力水平）（企业诚信度）召回成本损失（）企业满意度（）企业价值（综合价值10983765243211B B B C B B B C B B B B C

1.层次分析法确定各因素权值

在确定了相关因素后，需要比较若干个因素对同一目标的影响，从而确定它们在目标中占的比重。综合评价中因素的权重分配，通常凭经验根据各因素的重要性直接给出权值，难以作到客观准确。层次分析法（AHP ）是一种适用的多准则决策方法，将问题分解成各组成因素，将这些因素按支配关系组成递阶层结构，确定层次中诸因素的相对重要性，求解判断矩阵，从而确定各因素的相对权重，效果较好。

2.构造正互反矩阵

要比较n 个因素{}n y y y Y ...,21= 对同一目标的影响，每次取两个因素j i y y 和，ij a 表示j i y y 和对目标的影响程度之比，其中的ij a 取值由Saaty 的1-9 值法决定：

对于ij a 的确定，根据网上查阅的相关信息和对客观实际的分析，利用1~9值法，得到比较合理的值。

总体价值：???????? ??=122121141241A 企业价值：???????? ??=112

811262211381613111C 客户价值：??????? ?

?=1313319319112C 社会价值：??????? ??=1212214

214113C 3.求正互反矩阵的权重

求解判断矩阵的最大特征值max λ及其对应的特征向量，该特征向量即为权系数。

一般情况下，矩阵未必是一致性矩阵，但为了得到较准确的结论，通常要求矩阵具有较高的一致性。通常用CR=CI/RI 来衡量一致性,CI= ，RI 通常情况下用Saaty 给出的值为标准：

1.3多级模糊评判模型的建立

模糊综合评判就是应用模糊变换原理和最大隶属度原则，考虑与被评价事物相关的

各个因素，对其所做的综合评价。这里评价的着眼点是各个相关因素。

在复杂系统中，由于要考虑的因素很多，并且各因素之间往往还有层次之分。在这种情况下，应该考虑将着眼因素集合U 按某些属性分成几类，先对每一类做综合评判，然后再对评判结果进行“类”之间的高层次的综合评判。具体步骤如下：

1.划分因素集U

对因素集U 作划分，即

},,{321U U U U =

式中1U 为企业评价，2U 为车主评价，3U 为社会评价。

2.初级评判

对每个{}ik i i i u u u U ,...,21=中的i k 个因素，按初始模型作模糊评判。这里拿1U 为例进行分析。

对于一个企业来讲，汽车召回的后果就是对企业发展的影响，其影响的程度可以评语级},{21n v v v V =来确定。这里取}{},{21较差好，较好，一般，差，==n v v v V 由于影响预应力管桩质量的因素为非定量因素，可用类比法建立隶属函数 对实际观察到的某一因素的四种评价，根据符合程度对每一种评价选用5个程度符合值语言，如“完全符合”，‘.基本符合”，有些符合”，“不完全符合”，赋予数值化，可分别取 为1,0.75,0.5,0. 25,0，从而建立该因素相对于四种评价的单因素评价模糊集。

设i U 的因素重要程度模糊子集为i A ~，i U 的k 个因素的总的评价矩阵为i R ，则模糊综合

评判模型为：

()),,...,(,2121

22221

11211,21in i i mn m m n n m i i i b b b r r r r r r r r r a a a B R A =?????

???????== N i ,...,2,1=

其中，

n m j i r R ?=)(,是V U ?，模糊子集，通常称为模糊矩阵，由各单因素评判结果得到，j i r ,表示i 个因素对第 j 个评语的隶属度；),...,(21m a a a A =是U 上的模糊子集，常称为关于U 上的权向量；),...,(21n b b b B =是V 上的模糊子集，常称为综合评判结果向量；“。”为合成运算，可取为（＋，×）。

此时可以分别得到汽车召回对企业，车主，社会的影响程度。

3.二级评判

设},...

,{21N U U U U =的因素重要程度模糊子集为A ，且),...,(21N A A A A =,则U 的总的评价

矩阵R ~为：

??????

? ??=??????? ??=N N N R A R A R A B B B R ~~~~~~~~~~221121

则得出总的（二级）综合评判结果，即

R A B ~~~ =

此结果再根据最大隶属度原则，所得结果即为最后评判结果，得到汽车召回对企业，车主，社会的综合影响程度。

1.4多级模糊评判模型的检验

为了检验模型的合理性与适用性，以丰田因踏板问题召回为例来检验模型准确度。此次因踏板问题，丰田目前在全球的召回数量已达到854万辆，超过其去年718万辆的全球销量，成为汽车召回史上规模最大的一次，为此丰田将付出沉重的经济代价。全球近千万辆问题车的召回，铺天盖地的负面报道，令丰田汽车面临名誉和经济的双重危机。对企业评价指标来讲，此次汽车召回量大，自然成本损失很高，对企业的发展产生较大的不良影响，对企业满意度和企业竞争力水平有一定的影响。召回量越大，则越显出企业的信誉越高，故企业诚信度较高，对企业发展有很好的促进作用。则1U 的模糊关系为 ?????

???????=015.025.000025.075.015.075.025.0000175.025.001R 则()0.0915

77,0.5884,0.3872,0.3,3659.0111==R A B 对车主来讲，召回汽车是对车主的保护对身体和心理的安全保障都有很好的促进作用，而因为车辆召回使得生活不方便，故幸福指数是下降的，对车主产生不好的影响。则2U 的模糊关系为

????

??????=025.0175.05.00025.0175.0005.075.012R 则()4423,0

,0.4423,0. 310.715,0.92222==R A B 对社会来讲，汽车召回使得政府信誉度不断提高，国家竞争力也有提高，因为车祸减少社会和谐度增加。则3U 的模糊关系为

????

??????=025.0175.000075.0125.000175.05.03R

则()0,0714.0,8572.0,8929.0,2143.0333==R A B

二级评判结果为

()()0523.0,4198.0,5235.0,6083.0,3725.02857.0,1429.0,5714.0321=????

? ??==B B B B A B

一级评判结果分析，按最大隶属原则，此次汽车召回对汽车企业发展产生很差的影响，对车主产生较好的影响，对社会也产生较好的影响。综合来讲此次召回是可以接受的。

2.问题二的模型建立与求解

汽车的销售情况与汽车的价格，汽车的质量，汽车企业的满意度，汽车企业的诚信度等密切相关，本文考虑的是汽车召回对汽车销量的影响，所以只考虑汽车召回所直接影响的因素对汽车销售的影响。在第一问中通过对表中权重分析可以看到对汽车企业发展影响较大的是企业满意度和企业诚信度。

企业的满意度是指车的质量，性能及售后服务情况，满意度越高车主就越容易买车，其销售量越大。汽车企业的诚信度是指汽车企业的召回情况即对有问题的车的召回力度，力度越大，其诚信度越高。汽车召回表示汽车的质量有问题，增加了车主的担忧程度，使得车主对企业的满意度将低。召回力度越大，车主对企业的满意度越低，但企业的诚信度确得到大幅提高，即满意度与召回力度成反比，诚信度和召回力度成正比。

汽车召回对汽车销量的影响就是这两个指标对其的综合影响，汽车召回使得满意度暂时很低，车主买车的意愿暂时减少，同时因为企业非常诚信，故其诚信度增加，对于企业的长远发展很有帮助，车主也会支持其发展，所以销售量又会慢慢的上升。满意度主要影响近期销售，诚信度主要影响长期销售。很明显此次汽车召回的力度非常大，使得车主对企业的满意度大减，近期销售很减的很快。但企业的诚信度确得到很大提高，从长远看，其销量会增加。

汽车的销售情况受很多因素的影响，所以销售情况变化较快，所谓短期预测是指在事件发生后三个月内的预测，长期预测是指事件发生后十个月的预测，本文的预测不考虑企业降价或通过其他方法来提高销量，假设汽车的售价和其他服务不变。

2.1销量模型的建立

通过分析可以得到当满意度大时，诚信度就相对较小，此时汽车的销量是不断上升的；当满意度较小时，诚信度较大，此时的销量是先下降后上升，看出销售量于满意度和诚信度密切相关，建立销售量与满意度和诚信度的关系。

)(21ct bt e k e k a y ?+?=

其中a 是预测之初的月销量，b 为从诚信度指数，c 为满意度指数，21,k k 为常数。此函数通过变化b ，c 的值可以满足一直上升或先下降后上升的关系，此函数是可取的。

通过查阅丰田2009年的汽车销售量，得到从五月到十二月的销售量见表

月份

销量

通过拟合可以求的8379.0,239.021==k k 05.0,8.0=-=c b

通过观察可以看出2009年的汽车销售量从五月到十二月一直出现上升的趋势，其原因是在此期间企业的召回力度非常小，使得企业满意度较高，企业诚信度一般。这与前面的分析吻合。

2.2销量的预测

根据建立的预测模型，需要知道一月份的销量、企业满意度指标的值和企业诚信度指标的值。一月份销量可以从网上查得，下面确定企业满意度指标的值和企业诚信度指标的值。

在第一问中，用到模糊评语集}{},{21较差好，较好，一般，差，==n v v v V ，表示召回对企业的发展的影响。为了将企业满意度指标的值和企业诚信度指标的值进行量化，类比建立企业满意度指标的值和企业诚信度指标的值的平语集}{较差好，较好，一般，差，=V ；根据上一步求的05.0,8.0=-=c b ，通过分析发现在2009年的五月份左右的召回力度一般则企业满意度指标的值0.05对应评语集“一般”，企业诚信度指标的值-0.08对应评语集“一般”。为此建立

企业满意度指标的值}03.004.005.007.009.0{1，，，，=V ，

企业诚信度指标的值}19.08.06.05.0{2-----=，，，，V

分别对应评语集}{，差好，较好，一般，较差

=V 通过资料可以求的4.166=a 此次丰田召回案力度非常大，所以企业的满意度为差则企业满意度指标值为0.03，企业的诚信度确得到了空前的提高诚信度为好则诚信度指标值为-0.5.将以上数据代入得到的预测结果见表

通过对图中数据的观察，可以明显发现销售量时先下降，一直下降到四月份才开始缓慢上升。这与实际情况非常吻合。

3.问题三的模型建立与求解

3.1建立风险共担机制

（1）正确性分析

一直以来，丰田以其高度紧密的集团成员供应商体系闻名，这也被认为是导致汽车质量下降的原因之一，与欧美公司的同时选择2到3家供应商，使之互相竞争的模式不同，丰田汽车建立了与供应商密切合作的关系，甚至持有核心零部件商部分股份。这种独特的零部件采购方式让丰田的采购成本低于欧美竞争对手。

丰田的主要零部件来自三家企业，这三家企业过度依赖丰田,成为零部件供应商的厄运。金融危机造成丰田产量迅速走低，丰田销量下滑引起连锁反应，造成零部件子公司业绩迅速下滑。而零部件子公司销量下滑，再度对主机厂销量增长提出要求。过度追求销量的结果，却使质量控制和研发能力弱化。

（2）汽车企业与汽车零售件供应商之间风险共担机制的建立：

本田汽车公司挑选供应商应当给予对质量、成本及运输方面的考虑。公司应选择靠近汽车装配厂的零部件工厂，但这些零部件将根据成本情况运送至其他地区。

汽车零售件供应商与汽车企业之间是一个相互依赖、争取双赢的共同体，必须考虑共同分享利润，共同承担风险，不能只考虑自身利益而失去大局。对于可能出现的风险，两者之间要根据实际情况建立损失赔偿规则，一旦规则确定，就要定下协议书保证规则的实施。这样，在一个死性的约定下，就可以很好的克服只考虑自身利益的做法，达到共同盈利的目的。

3.2对两种供应体系的评价

3.2.1两种供应商体系的简单介绍

以丰田为代表的集团成员供应商体系：在汽车行业，丰田的“紧密供应商管理体系”被人们称作是一种“金字塔”型的结构，这种“金字塔”结构涉及到了整车生产厂、一级供应商、二级供应商、三级供应商，甚至还有四、五级供应商，他们之间是以业务层层转包为基础。整车生产厂与一级供应商之间有密切的资金和技术合作，而二级以下的供应商没有自主研发能力，只能依附上级的供应商。体系之外的其他供应商很难进入此体系，汽车零件几乎只来自体系内部的供应商。

以通用为代表的竞争淘汰供应商体系：汽车厂商从零部件供应商的订货更多的是基于采购价格，谁的价格便宜就采购谁的零部件产品，而很少参考过去的交易记录；汽车厂商在零部件采购过程中，进行严格的质量检查。如果发现零部件供应商提供的零部件质量不合格，汽车厂商可以拒绝付款。

3.2.2模型的建立

生产商无论是哪种供应体系，其最终目的都是为了盈利，盈利多、风险小的供应体系是整车生产商的选择。以利润为决策目标建立评价模型来判定两种体系的优劣较客观，符合生产实际。

为评价两种供应商体系，即在相同的外界条件下比较两种供应商体系中总装厂的利润率和次品率。假设两种供应商生产同一型号的汽车，生产同样的数量，且只要生产出来就一定可以卖出。

（1）集团成员供应商体系

○

1体系运行示意图：

○

2质检降低次品率： 在实际生产过程中，汽车零件供应商所提供的产品必然存在一个次品率，它的大小与零件生产商的工艺相关，在此不予讨论。整车生产商对零件进行质检，质检时不可能对所有的零件都检查，只能抽取一小部分检查，所抽取的数目越大质检后次品率会越小，然而这同时将增加质检成本。

质检后次品率的变化与质检率的关系：

)(21v h p p =-

v 表示质检率，)(v h 代表了质检效果。

由质检产生的成本：

a m v Z ??=1

次品最终都将导致汽车的召回，从而产生召回成本：

k m p Z ??=22

○

3利润＝销售获利－产品成本－质检成本－召回成本 已假设汽车的生产成本相同，两体系于它无区别，故在比较两体系的优劣时可将它去掉，则成本只包含质检成本和召回成本：

21Z Z m Q --=β

（2）竞争淘汰供应商体系

○

1多家供应商投标对成本和次品率的影响 一般情况下，随着参与投标人数的增加，最优报价也将随着降低，利润也随之减少，当投标人无限多时，最优报价为投标人自己的成本，利润为零。这与现实市场竞争理论相吻合，当参与竞争的人数越多时，竞争越激烈，供应商利润越少。根据博弈论中不完全信息静态博弈的贝叶斯纳什均衡理论，n 家供应商参与的无标底招标时投标人在投标博弈中的最优报价为：

1

n b c n =- 其中c 为工程成本估计。

中标时，其利润为：

11

u b c c n =-=- 供应商的利润降低了，就意味着整车生产商的成本降低了，故投标竞争将会降低成本。

另一方面，投标对零件的质量也有筛选的作用，用函数)(n g 表示投标对产品次品率的降低作用，则经过投标后，次品率为：

))(1(12n g p p -= ， 其中1)(0<

○

2淘汰机制增加边际成本 淘汰竞争并非越激烈越好，激烈的竞争将带来诸如库存、违约以及错失商机等因数导致的成本，将这些成本归结为边际成本。显而易见，边际成本与参与竞争的供应商数目相关，而且是关于时间t 的一个函数。假设日边际成本为),(t n f ，在一个竞标周期T 内，总的边际成本可求得：

?=T

dt t n f B 0),( ○

3利润＝销售获利－边际成本－质检成本－召回成本 21Z Z B m Q ---=β

3.3 对两种供应体系的评价

以丰田汽车公司为代表的集团成员供应商体系通过利润共享，风险共担，提高了全行业的盈利水平。在生产能力，原材料价格相同的条件下，其纯利率，但是这种风险共担机制降低了生产质量。丰田的供应体系可以明显的降低成本，但却在抵御市场波动的能力上输给了美国的供应链体系结构。对于竞争淘汰供应商体系，总装厂看似通过供应商的竞争，降低了零部件的供应价格，总装厂压榨了供应商的利润空间，但却因为竞争带来的边际成本占其产业附加值的比例相当大，导致了其利润率的降低

4.问题四模型建立和求解

对国有汽车自主品牌的建议：

对于汽车召回问题，国有汽车企业必须正确看待。召回是汽车企业诚信、为消费者安全、利益考虑的表现，是诚信的体现。汽车生产商应该以诚信为本，不要惧怕召回，而应该主动召回。

经过论文的分析，我们知道，召回确实影响了汽车企业的经济利润，使得企业的近期利益有所伤害。但是从长远来看，企业的诚信度这种无形的资产得到积累，将会使企业的发展前景越来越广阔，利润也会逐渐补回，直至获得更多的盈利。

召回问题对于丰田来看，还体现了一个供应链缺陷问题，这就要求企业从优化供应链，降低库存周期的方面考虑，提高在管理效率方面的自身竞争力。

有业内人士指出，企业宣布召回的声音越大，对相关车主获知召回信息就越有利，越有助于更多的消费者正确认识汽车召回制度，更有助于企业在消费者心中树立起良好的品牌信誉度。

所以，一旦有必要召回，企业应当立即召回，这不仅是给予对消费者的考虑，更是对企业长远利益的考虑。但是应该尽量避免召回，那就要求企业必须加大质量控制的投入，对产品质量严格把关，为了保证产品质量，汽车企业应对新产品进行充分、反复的使用测试，稳扎稳打，不断对产品暴露的缺点进行修正，把汽车的安全隐患减小到最低限度，同时加强汽车产品的生产、装配管理，推行责任制，降低由于这些环节导致的汽车召回风险，这才是避免大规模召回的正确途径。同时在召回车时可以诚恳的对买家道歉。汽车产品召回本身就是因果关系产生的，因就是存在质量缺陷，结果就是厂家召回处理问题。存在问题缺陷，承认，召回，修理换配件，是义务也是责任，是对客户的负责。我们相信汽车企业不是有意的将不安全的车出售给我们的。将现代先进的全面质量管理理念应用于实践，努力追求“零缺陷”，实现精益求精，从而逐渐提升品牌信誉。

五模型评价

1.模型的优点

2.模型缺点

参考文献：

[1]彭德力，博弈论对低价投标的重要意义，山西建筑，vol.36No.11,2010.4

[2]《运筹学》教材编写组，运筹学，北京，清华大学出版社，2005.6第三版

[3] 姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2005

[4] 徐国祥.统计预测和决策［M］.上海：上海财经大学出版社，2005.