地震波动方程

第三章 地震波动方程

现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。

3.1 运动方程（Equation of Motion ）

前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（ma F =）用于连续介质。

3.1.1一维空间之振动方程式

质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。如图1-3所示，考虑一薄棒向x 轴延伸，其位移量为u ：

Fig3-1

则其作用力为“应力”X “其所在的质点面积”，所以其两边的作用力差为

()()()dxds x

x dx x ds ??=

-+σ

σσ 惯量﹙inertia ﹚为

22t

u dxds ??ρ

所以得出

x

t u ??=??σρ22 ……………………………………………………... （3-1）

其中ρ为密度﹙density ﹚，σ为应力﹙stress ﹚=x

u

E ??。

3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stress gradient ﹚而得到加速度。如果ρ与E 为常数，则3-1式可写为

2222

21t

u

c x u ??=?? …………………………………………………… （3-2）

其中ρ

E

c =

运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为

T X c

T X ''=

''21

设22ω-='

'=''T

T X X c 则可得：c

x i

t

i e

X e

T ωω±±∝∝,

考虑欧拉公式：)sin()cos(),sin()cos(t i t e t i t e

t i t

i ωωωωωω-=+=-

()

()

()

()

ct x c

i

ct x c

i

ct x c

i

ct x c

i

De

Ce

Be

Ae

u ---+-++++=ωωωω （3-3）

其中A,B,C,D 为根据初始条件和边界条件确定的常数。

考虑到ω可正可负，方程式的解具有()()ct x g ct x f u ++-=的形式，其中f 及g 为波的函数，以c 的波行速度向+x 与-x 方向传递。

我们可以采用如下程序模拟地震波的传播。平面波在均匀介质里沿x 方向传播，

剪切波的齐次微分方程可表达为：

22

222x

u t u ??=??β 这里u 是位移。对100公里的波长和假定秒公里/4=β的情况，我们写出用有限差分法解这方程的计算机程序。用长度间距公里1=dx ，时间间距1.0=dt 秒。假

定在u （50公里）震源时间函数的形式为：

()()5sin 250t t u π= 0＜t ＜5秒

用u （0公里）的应力自由边界条件和u （100公里）的固定边界条件。用有限差分图解来近似二次导数：

2

1

1222dx u u u x u i i i -++-=?? 以4秒的间隔画出1-33秒的图。

M = moviein(101);

dx=1;dt=0.1;tlen=3;beta=4; %初始化变量,tlen 为震源持续时间，beta 为波传播的速度 u1=zeros(101,1);u2=u1;u3=u1;

%u1为前一个时刻的各点的位移，u2为当前时刻的位移，u3为下一个时刻的位移值，开始均假定为零

t=0;

jj=0;

while (t<=33) %模拟的最长时间为33秒

for ii=2:100

rhs=beta^2*(u2(ii+1)-2*u2(ii)+u2(ii-1))/dx^2; %方程的解

u3(ii)=dt^2*rhs+2*u2(ii)-u1(ii); %对时间求导数

end

%左边为自由边界条件，右边为固定边界条件

u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件

u3(101)=0.0; %右边为固定边界条件

%左右两边为自由边界条件

% u3(1)=u3(2); %左边为自由边界条件

% u3(101)=u3(100); %右边为自由边界条件

%左右两边为固定边界条件

% u3(1)=0.0; %左边为固定边界条件

% u3(101)=0.0; %右边为固定边界条件

if(t<=tlen)

u3(51)=(sin(pi*t/tlen)).^2; %地震震源时间函数

end

for ii=1:101

u1(ii)=u2(ii);u2(ii)=u3(ii); %时刻的更新

end

plot(u2); %绘制目前的波形图

ylim([-1.2 1.2]);

M(:,jj+1) = getframe; %获得当前的图像

t=t+dt; %时间延长

end

movie(M) %演示波形传播

3.1.2三维空间之振动方程式

推导三维空间之振动方程式的过程，与上节中所采用的一维空间讨论方式类似，如图3-2所表示，先探讨在x 方向之位移量u ：

Fig3-2

在y-z 面上的作用力差为：()()[]dydz x dx x xx xx σσ-+ 在x-z 面上的作用力差为：()()[]

dxdz y dy y yx yx σσ-+ 在x-y 面上的作用力差为：()()[]dxdy z dz z zx zx σσ-+ 惯量为：

22t

u

dxdydz ??ρ

得出

x zx yx xx f z

y x t u +??+??+??=??σσσρ22 ………………………………….. ﹙3-4﹚

其中σ

xx 、σyx 及σzx 分別为

stress tensor 在xx ﹙x 面方向、x 力方向﹚，yx ﹙y 面方向、x

力方向﹚及zx ﹙z 面方向、x 力方向﹚方向的分量。注意，在本讲义中有关stress tensor 的两个下标﹙indexes ﹚之定义，依序为面的方向与力的方向。 将σ

xx 、σyx 及σzx 与其对应的应变之关系代入

3-4式可推导得出三维空间之振动方程式

如下：

()x f u x

t u +?+??+=??222μθ

μλρ …………………………………. ﹙3-5a ﹚

其中λ及μ为常数，而2

?为Laplacian operator ，代表2

2

2222z y x ??+??+??。

以相同的方法，可以得出在y 及z 方向的振动方程式，若其位移量分別为v 与w ，则其相对应之振动方程式可分別表示如下：

()y f v y

t v +?+??+=??222μθ

μλρ ………..………………………… ﹙3-5b ﹚

()z f w z

t w +?+??+=??222μθ

μλρ …………………………………. ﹙3-5c ﹚

若以向量形式来统一表示3-5a 、b 、c 式，可改写如下：

()()f u u div grad t u +?+?+=??

222μμλρ …………………………... ﹙3-6﹚ 其中u

为位移向量，在x 、y 与z 方向的位移分量分別为u 、v 与w 。

其中z y x f f f ,,为体力，只有在研究震源时，才考虑该体力。这是构成许多地震学理论基

础的基本方程，称之为连续介质方程或运动方程。体力f 通常包括重力项g f 和震源项s f 。在正常模型地震学中，重力项是频率很低时的一个重要因子，但对所观测到的典型波长范围，即在体波和面波的计算中，通常可被忽略。在这本书后面我们将考虑震源项s f 。在没有体力的情况下，有齐次运动方程：

()()u u div grad t

u

222?+?+=??μμλρ （3-7） 在场论中考虑到：

u u u 2?-???=???? （3.8）

将其变为更常用的形式，即：

u u u ????-???=?2 （3.8）

将这个式子代入（3.12）得到：

()())(222u rot rot u div grad t

u μμλρ-?+=?? ()u u u

????-???+=μμλρ2

上式决定了在震源区以外，地震波的传播。解真实地球模型的上述方程是地震学的重要部分，这样的解给出了离震源某一距离的特定地点预期的地面运动，通常称为合成地震图。

3.1.3体波﹙纵波与橫波﹚之振动方程式

首先，我们考虑由介质伸缩所衍生的质点体积应变之振动方程式。从上节所描述的单一方向﹙x 、y 、z ﹚上之位移量﹙u 、v 、w ﹚所导出的振动方程式，可以进一步地推求

体积应变θ所引发的振动方程式，由θ的基本定义可以很自然的联想到分別将3-4a 、3-4b 以及3-4c 三式分別对x 、y 与z 微分之后再相加，忽略体力，即可得到下式：

θρμλθ2

2

22?+=??t

……………………………………………… ﹙3-7﹚

另外，考虑剪切应变可能产生的振动方程式。若将3-5c 式对y 微分、3-5b 式对z 微分，然后相減，忽略体力可得到下式：

???

?

???-???=??? ????-????z v y w z v y w t 22

2

ρμ ……………………………. ﹙3-7﹚

其中括弧內的z

v

y w ??-??项就是质点运动绕x 轴的扭转角度。

Fig3-3

参考图3-3，一个质点P ﹙y 、z ﹚向逆时针方向扭转到P ’﹙y 、z ﹚，扭转角度为ωx ，若其扭转半径为r ，根据几何关系可得到：

αcos r y =，αsin r z =

其位移形变为

x x z r v ωαω-=-=sin x x y r w ωαω==cos

将其分別对y 及z 微分且相加，得出

??

?

????-??=

z v y w x 21ω 同理得到??? ????-??=x w z u y 21ω和??

?

????-??=y u x v z 21ω，所以质点扭转的运动方程式可写为：

y

x x t

ωρμω2

2

2?=?? y y t ωρ

μω2

2

2?=

?? z z t

ωρμω2

2

2?=?? ………………………………………………… ﹙3-8﹚

3-6式与3-8式可用通式描述如下：

φφ

222

2?=??c t

……………………………………………………. ﹙3-9﹚

其为典型之波动方程式。根据

对3-8式而言，Θ=φ，可得出αρμ

λ=+=

=21V c …………. ﹙3-10﹚

对3-6式而言，i ωφ=，可得出βρ

μ

===2V c ………………. ﹙3-11﹚

3-10可视为纵波﹙亦称为P 波﹚，因其质点运动方向与波的传播方向相同﹙如图3-4﹚。

质点运动方向 波传方向

Fig3-4

1-24视为橫波﹙亦称为S 波﹚，因ω为扭转应变，其质点的转动方向与波的传播方向成正交。S 波依其质点振动方向的不同可分为SV 及SH ，如图3-5所示。

波传方向

Fig3-5

综合以上所得，在完全弹性介质中，当其受外力作用时，产生两种波相：纵波与橫波。由前节所述之各弹性系数的关系，我们可将3-10式以及3-11式写为：

αρ

μ

κ=+

=

341V ； βρ

μ

==

2

V ﹙12V V <﹚

其他弹性系数与速度的关系如下：

1432

212221-???

? ??-=V V V V E ρ

………………………………………………. ﹙3-12﹚

??

????

????????-????

??-=11121221V V σ …………………………………………… ﹙3-13﹚

()??? ?

?

-=-=

222134213V V E ρσκ

………………………………… ﹙3-14﹚

()

2212V E

ρσμ=+=

…………………………………………… ﹙3-15﹚

其中3-13式可化为

σ21112

21-+=???

? ??V V ……………………………………………... ﹙3-16﹚

在地函內部，大部分的泊松比σ接近于1/4。 若σ=1/4，则

32

21=???

? ??V V ， 21 732.1V V = 而且

25652

221V V E ρρ==

3

5952

221V V ρρκ==

222

13

V V ρρμ==

若σ=1/2，即介质为纯液体，则

μ、E 及2V 皆为零

21V ρκλ==

地震所产生之弹性波，穿过地球內部，藉由弹性波传播所产生的速度变化，参考弹性理论以及弹性系数关系，我们可以探索地球內部的情況。

3.1.4 地震波的势

位移u 往往可以根据P 波的标量势φ和S 波的矢量ψ：

0,=????+?=φφ?u （3.25）

那么有：

θ?=?=??2u （3.26）

将其代入θρμλθ2

222?+=

??t

，得到： 01

222

2=??-?t ?

?α ：

()z y x

u ?)(?)(?)(

)0()

13.3(22y

u

x v x w z u z v y w ??-??+??-??+??-??==??-?=?-???=????=??+???=??φφφφφ

φ?因为根据 （3.27）

将（3.27）代入

x x t ωρμω2

2

2?=?? y y t ωρ

μω2

2

2?=

?? z z t ωρμω2

2

2?=??可得： 012222

=??-?t

φ

βφ （3.29）

P 波的解由?的标量波动方程给出，S 波的解由φ的矢量波动方程给出。

3.3 平面波

式（3.28）和（3.29）具有相同的形式，它们在直角坐标系可以

表示为：

???

?

????+??+??=??2

22222

222z f y f x

f c t f 我们用分离变量法来寻找)()()()(t T z Z y Y x X 形式的解。每个因子是仅仅一个变量的函数。由上式可得：

2

22222222221dt

T

d T dz Z d Z c dy Y d Y c dx X d X c =++ 这意味着2

21dt T d T 是常数，令其为2ω-可得： t i e T T dt

T

d ωω±∝=+,0222 同理，对于某常数y x k k ,,有

t ik x x e X X k dx

X

d ±∝=+,022

2

y ik y y e Y Y k dy

Y d ±∝=+,02

2

2 z ik z z e Z Z k dz

Z d ±∝=+,02

2

2 应注意，2

22

2

2y x z

k k c

k --=

ω，因此解可由三个量()y x k k ,,ω，而不是

四个量来表示。类似于一维形式的推导。该方程可以有如下形式的通解：

()???

?

??++++???? ??++-=c z n y n x n t f c z n y n x n t f t z y x f z y x z y x 21,,, 其中c

n k c n k c n k z z y y x x ===

,,，12

22=++z y x n n n ，令r ?=++n z n y n x n z y x 下面我们看看

???

?

??++-c z n y n x n t f z y x 1的物理意义。令

a const c

z

n y n x n t z y x ==++-

当t=t1时，)(1a t c z n y n x n z y x -=++ 当t=t2时，)(2a t c z n y n x n z y x -=++

由平面解析几何知识可知第一式为离原点距离为)(1a t c -的平面，第二式为离原点距离为)(2a t c -的平面，并且两平面的法线方向都为()

z y x n n n ,,。因此两平面之间的距离为

)(12t t c -，为波从t 1时刻传播到t 2时刻所传播的距离，传播的速度恰为c ，这也是为什么我

们在波动方程中将其称之为速度的原因。

类似地，???

?

??+++

c z n y n x n t f z y x 2表示以速度c 向-n 方向传播的平面波。 任意函数都可以写成简谐平面波叠加的形式

根据Fourier 叠加原理，可以把屋里上实际存在的平面波动，以数学形式分解成抽象的、覆盖整个频率范围的平面波的积分来表示：

()()?

?∞

∞

-???

? ?

?--∞∞-???

? ??-???

? ??-=

=???? ??-dt

e c x n t

f F d e F c x n t f c

x n t i j j c x n t i j j j

j j

j ωωπωω

ω1

21

实际问题不考虑ω-。 因此通常取()()?

?

?

???Φ+??? ???-=ωωωωc t i e A t f r n r ?),,(为方程的基本解。而n

?为波传播的方向，由于c 为波的传播速度，通常称c

n

?为慢度矢量。对不同的()()ωωΦ,A 做Fourier 叠加即可得到任意函数形式的平面波。

引进平面波的概念很有帮助。平面波是一个位移只在波的传播方向上变化，在与波传播方向相互垂直的方向上，位移为常数的波动方程的解。例如，沿x 轴传播的波，位移可表达为：

()(

)c

x

t t x ±=f u , （3.30）

这里c 是波的速度，f 是任意函数（矢量函数需表达出波的偏振），这波沿

x x -+或方向传播。位移不随z y 或变化。在Z Y 、方向上，波无限扩展。如果

)(t f 是离散的脉冲，那么假定u 有以平面波阵面传播的位移脉冲形式。更普遍地

说，在位置矢量X 处，平面波在单位矢量S

?方向传播的位移可表达为： ?(,)(/)t t c =-?u x f s

x （3.31） ()

t =-?f s x （3.32）

这里c /?s

s =是慢度矢量，它的值是速度的倒数。 由于地震能量通常由局部的震源辐射出来，地震波阵面总有某种程度的弯曲。然而，在离震源足够大的距离，波阵面平坦到足以使平面波的近似在局部上是正确的。因此，许多解地震波动方程的方法总是把整个解表达为不同传播角度的平面波的和。往往通过变换到频率域，从方程中去掉与时间的依赖关系。在这种情况下，可以把特定角频率ω的位移表达为：

()()()

,i t t A e

ωω--?=s x u x （3.33）

()()

i t e

ωω--?=k x A （3.34）

这里()s

s k ?c ωω==叫做波数矢量。在这本书中，我们将用复数来表示谐波。其详细情况在附录2中作了复习。把谐波称为单色的平面波，有时也把它叫做调和的或稳态平面波解。用来描述这样的波的其他参数是波数c k ω==k ，频率

π

ω

2=f ，周期f T 1=和波长cT =∧。波数为单位长度内波的震动次数。 在波的传播过程中，某一振动状态(周相)在单位时间内传播的距离为波速c ，因此波速又叫做相速。应注意介质中各质点的振动速度和波的传播速度c 是两个完全不同的概念。振动速度由震源确定，它是周期性变化的，而波速的大小只与介质性质有关。

将不同的谐波参数归纳于表3.1。

表3.1谐波参数

角 频 率 ω

ck T f ==

=π

πω22 频 率

f

∧

===c T f 12πω

周 期

T

c

f T ∧===

ωπ21 速 度

c

k

f T c ω=∧=∧=

波 长

∧

k

cT f c π2===

∧ 波 数

k

c

f

c

k ππω

22=

∧=

=

3.4 P 波和S 波的偏振

考虑沿x 方向传播的P 波，根据（3.28）式有：

??αtt xx ?=?2 （3.35）

可以把（3.35）式的解写成：

(

)

α??x

t ±=0 （3.36）

这里减号相应于沿x +方向传播，加号相应于沿x -方向传播。因为??=u ，故有：

==?=z y x x u u u ?

（3.37）

注意对沿x 方向传播的平面波，在y 和z 方向没有变化，所以空间导数y ?和z ?为零。对P 波仅在沿x 轴波的传播方向上有位移。这样的波叫做纵波。而且因为

0=????，运动是不旋转的，或“无旋”的。由于P 波使介质体积发生变化，

所以P 波也叫“压缩”波或“膨胀”波。然而，要注意的是P 波包括剪切和压缩， 这是为什么P 波速度对体积模量和剪切模量反应都灵敏的原因。实际的P 波谐振运动可以用图3.2来说明。

图3.2 沿页面水平传播的谐振平面P 波（上面）和S 波（下面）的位移。

S 波纯剪切，没有体积变化。而P 波包括材料体积的变化和剪切 （形状变化）。相对于地球实际的应变，这里应变被放大。

现在考虑沿正x 方向传播的S 波，矢量势为：

z

y x ψ?????

? ??-+??? ??-+??? ??-=βψβψβψx t x t x t z y x （3.38） 位移为：

()0=?-?=??=z y y z x x u ψψψ

()z x x z z x y y u ψψψ?=?-?=??=ψ （3.39）

()y x y x x y z z u ψψψ-?=?-?=??=ψ

这里我们再用0=?=?z y ，即给出：

z y

u ??y x z x ψψ?-?= （3.40） 运动在y 和z 方向，垂直于传播方向。S 波的实际运动往往可以分成两个分量：在含传播矢量的垂直面里的运动（SV 波）和取向与这个面垂直的水平运动（SH 波）。因为()0=????=??ψu ，运动是纯剪切的，没有任何的体积变化（因此叫做剪切波）。在垂直方向偏振的剪切谐波（SV 波）的质点运动如图3.2所示。

3.5 球面波

如果我们假定球对称，P 波势中的标量波动方程（3.28）就可能有另外的解。在球坐标系里，拉普拉斯方程为：

()??

?

???????=

?r r r r r φφ2221 （3.41） 因为球对称，这里去掉角的偏导数，由表达式（3.28），即得到：

01122222

=??-??????????t

r r r r φ

αφ （3.42） 在点0=r 以外，方程的解可表达为：

()(

)

r

r t f t r αφ±=

, （3.43）

注意到除了r

1

因子外，这与平面波方程（3.30）是相同的。分别用+和-号表示向

内和向外传播的波。因为这个表达式通常用来模拟从点源辐射的波，所以在正常

情况下，r 1

项表示波的振幅随距离衰减的几何扩散因子，在第6章将进一步的探

讨。

在0=r 时，（3.43）不是方程（3.42）的正确的解。然而，这表明（例如Aki 和Richards,4.1节），（3.43）可能是以下非齐次方程的解：

()()()t f r t

r πδφ

αφ412222

-=??-? （3.44）

这里()r δ函数在0=r 以外的任何地方都为零，它的体积积分为1。因子

()()t f r πδ4表示在震源时间函数。在第9章讨论震源理论时，我们将回到这个方

程上来。

平面波的反射和折射

地壳及地球内部是成层结构，内部有不少分界面。地表也可看作一个界面，震源在各向同性的均匀介质中产生的地震波波阵面是成球形的一层一层向外传播，称为球面波。因此，严格来讲，我们应该讨论球面波遇到分界面时的情况。但当距离震源足够远时，也就是说震源到接收点的距离比波长大得多时，作为一种近似，可讨论平面波在分界面上的行为。同时当ρλ<<（ρ为分界面的曲率半径），也可以将分界面看作平面，这样可使讨论大大简化而不影响对许多现象本质的揭示。同时，球面波在理论上可以看作是许多不同方向的均匀或不均匀的平面波的叠加，因而先弄清了平面波在分界面上的行为，也比较容易讨论球面波在分界面的行为。

P 波、SV 波

设平面波（指均匀的平面波）的传播方向在xz 平面内，传播方向就是波阵面的法线方向，波的位移场可以表示为：

φ??+?=+=?s p u u u （1）

其中?满足压缩波的波动方程，φ满足剪切波的波动方程.

由于均匀平面波波阵面上的z y x φφφ?,,,为常数，而这里平面波传播方向在xz

平面内，因此垂直于xz 平面的直线上的各点必在同一波阵面内，也就是：

0=??=??=??=??y

y y y z

y x φφφ?。 P 波产生的位移为：

()()()z

u w u v x u u z p p y

p p x p p ??=

===??==??

0 P 波产生的应力为

()()()

02222222222222=??=???

? ????+??==???=??? ????+??==??+???? ????+??=??+???

????+??=+=z v

y w z v e z x x w z u e z z x z w z w x u e zy p

zy zx p

zx zz p zz μμμσ?μ

μμσ?μ??λμλμθλσ

SV 波的位移

()()()x

y x u w x z u v z z y u u y

x y z s sv z x y s sv y y

z x s sv ??=??-??===??-??==??-=??-??=

=φ

φφφ

φφφφ0

SV 波产生的应力为：

()()()022********=??=???? ????+??==???

? ????+??-=???

????+??==???=??=+=z v y w z v e x z x w z u e z

x z w

e zy sv zy y y zx sv zx y zz sv zz μμμσφφμμμσφμ

μμθλσ

将上面两式代入（1）式得：

x

z w w w x z v v v z x u u u y

s p z x s p y s p ??+

??=+=??-??=+=??-??=

+=φ?φ

φφ?

分析界面条件，界面应力为：

z v y w z v e z x z x x w z u e z x z z w z w x u e zy zy y y zx zx y zz zz ??=???

?

????+??==??

?

? ????-??+???=???

????+??==???? ?????+??+?=??+??? ????+??=+=μμμσφφ?μμμσφ?μ?λμλμθλσ22222222222222

界面条件为界面两边应力相等，位移连续，即：

'

,',',,'

''w w v v u u zy zy zx zx zz zz ======σσσσσσ

分析位移场在y 方向的分量s s p v v v v v =+=,,也就是v 全部为横波场的分量。再由界面应力条件看，v 只出现xy σ的表达式中，而u,w 只出现在zx zz σσ,的表达式中。因此，SH 波和P-SV 波产生的波场是分离的。

地球表面是一个特殊的分界面，它将无限介质划分为两个半空间，地面以上空气介质，其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。地球表面可以看成是一个弹性半空间表面，表面下面视为理想弹性介质，表面上面为空气，这种界面称为自由界面，自由界面上的应力作用为零。本节中将介绍弹性波在自由表面上的反射。

P 波在自由界面的反射

如图所示，取xoy 平面为自由表面，设有一P 波自下部介质入射到自由表面上，由于自由表面以上不存在介质，所以当波遇到自由表面时，只可能折回到原来的介质，而不会透过它，即只存在反射被而不存在透射波。当P 波入射到自由表面上时，为满足自由表面处的边界条件，反射波中会同时产生P 波和SV 波两种成分，此时，SV 波称为转换波。但是，由于SH 波的振动方向与P 被和

SV

波的振动方向是相互独立的，所以反射波中不会产生SH 波。

设入射P 波为平面简谐波，入射面为xOz 平面，法线为z 轴，入射P 波的

入射角为d i ,反射SV 波的反射角为s

i '，由图中各波的传播方向与坐标轴方向的关系，它们的波函数可以写为：

()()()z k x k t i y z k x k t i z k x k t i z

x

z

x

z

x

Be e A e A ''-''-'-'-+-===ωωωφ??,,2211

这里φ只考虑y φ分量，这是由于只有y

y ?φ??产生xoz 平面的振动。 式中，s z d z

d z s x d x

d x i k i k i k i k i k i k '='''='='='''='=

cos ,cos ,cos sin ,sin ,sin β

ω

αωαωβ

ω

αωαω

由边界条件可知，在z=0处，方程为()(),,z k x k t i z k x k t i z x z x e e '

-'

-+-ωω()z k x k t i z x e ''-''-ω的线性

组合（其中由于z=0，指数因子中的z 因子全为零）。所以必有x x

x k k k ''='=，因此必有： β

α

α

s

d

d

i i i '=

'=

sin sin sin

这就是Snell 定律，回忆一下几何光学，可见上式与几何光学中的折射定律

和反射定律完全一致，这是由于它们在本质上（波动性）有相同之处。而折射反射定律正是反映了物质的波动相关的一种规律。在光学中是从光学实验或惠更斯原理得到了折射反射定律，而这里我们从波动方程和边界条件出发也得到了它。

我们在以后的推导中令上式为常数p 。 则波函数可以写为：

???

? ??

--?

?

? ??

--?

?

? ??

+-===z i px t i y z i px t i z i px t i s s s Be

e

A e

A βωαωαωφ??cos cos 22cos 11,,

则：P 波产生的位移为：

()()z

u w p i x

u u z

p p x p p ??==-=??==??ω?

P 波产生的应力为

()()

2

222

2222

222

2

2

22222222

2222

22

22

2

22222222221sin 2sin 22sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos sin cos 2cos 2p i i i i i i i i i i i p z z x d d d d d d d d

d d d p

zz β?ρωαμρ?ωαμμλ?ωαμμμλ?ωαμαλ?ωαμααλ?ω?αμω?αωωλ?μ??λσ--=?????

?--=??????-+-=?

??

???-++-=??????+-=??

????+???? ?

?+-=-???

? ??--=??+???? ????+??=

()z p i z p i z x x w z u e zx p

zx ??-=??-=???=??

?

????+??==?ωρβ?ωμ?μ

μμσ222222 SV 波的位移

()()y

y x y z

s sv y y z x s sv p i x

y x u w z

z y u u φωφφφφφφ-=??=??-??==??-=??-??==

SV 波产生的应力为：

()()()

y y s y s y y zx sv zx y y y zz sv zz p p i p i x z

x w z u e z

p

i z p i z x z w e φβρωφρμρβμρωφρμρβμρωφφμμμσφωρβφωμφμμμθλσ2

2222222222

22222

221sin 1cos 222222-=???? ?

?--=???? ??-=???? ????+??-=??? ????+??==??-=??-=???=??=+=

根据边界条件，可得： 对于正应力：

()()()()0221|2212220=??-+--=+==z

p i p y sv zz p zz z zz φωρβ??ωβρσσσ

对于剪应力：

()()()

0212|2

222120=-+???

????+??-=+==y sv zx p zx z zx p z z

p i φωβρ??ωρβσσσ 将入射波反射波的势的表达式代入可得：

()

()()()

???

???

?=-+-=++-0

21cos 20cos 221222122

2122B p A A i p B i p A A p d s βραρββρββρ

由第二个式子可得：

()

???

?

??--=121cos 2122221A A p

i p

A B d

βαβ，代入第一式得到折射系数： ()

()

2

2

2242

2

22

41221cos cos 421cos cos 4p i i p p i i p A A d s d

s βαβ

ββαββ-+--=

反射系数为：

()()2

22

242

2

2121cos cos 421cos 4p i

i p p i p

A B d

s

d

βαβ

ββα

β-+--=

由于β

αs

d i i p sin sin 2

=、(

)

s s i i p 2cos sin 212122

22

2=???

? ??-=-βββ，代入上面的式子可得到：

???????+-=

+-=s

s d s

d s

s d s

s d i i i i i A B i i i i i i A A 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 22cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2sin 2

222

1222

22212αββαβαβ 位移位的振幅并不表示质点的振幅，不具有实际物理意义，下面讨论作为位移振幅比的反射系数。

对于稳态传播的P 波，位移振幅为：α

ω

势振幅；对于稳态传播的S 波振幅为：β

ω

势振幅。我们可以举例说明上面的式子成立，如对于上面所表示的入射波：

()()()1111

cos 0

?α

ω??ω?s

z p p y

p p x p p i i z u w u v p i x u u -=??=

===-=??==

其合成振幅为：12

2

?α

ω=+p p w u 对于上面提到的SV 波：