投影与直观图的画法

10.2投影与直观图的画法

【知识网络】

1、投影，中心投影和平行投影的相关概念，并注意区分中心投影和平行投影。

2、简单组合图形三视图的画法,由三视图想象实物模型,并画模型草图。

3、用斜二测画法画直观图，掌握作图规则，了解平面图形的直观图与空间图形直观图的区别与联系。

4、掌握简单几何体的三视图、直观图之间的相互转化，了解正投影主要用于绘制三视图，中心投影主要用于绘画，斜投影主要用来作几何体的直观图。

【典型例题】

（

）

（B）（C）

（2）如图所示，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）

①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱

A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④

答案：A。解析：由三视图的画法知。

（3）已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,

则此几何体的外接球的表面积为（）

A．π

3

4

B．π

3

8

C．π

3

16

D．π

3

32

答案：C。解析：由三视图知该几何体是底面半径为1

。

（4）水平放置的△ABC的斜二测直观图如下图⑴所示，已知2

,3=

'

'

=

'

'C

B

C

A，则AB边上中线的实际长度为。

答案：2.5。解析：根据直观图的画法规则易求。

（5）如上图⑵所示，用中心投影法作正方体ABCD—A1B1C1D1的透视图中，若只有一个消点S，

且

3

2

1

1=

BB

CC

，则=

CD

D

C

1

1。

答案：1。解析：由中心投影法的定义知。

x'

x'

例2：在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要落实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三种视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？

答案: 这些正方体货箱的个数为7个

例3：（1）如下图⑴所示，已知△ABC 在一个平面内的直观图是△C B A '''，则△ABC 的BC 边上的中线在这个平面内的直观图的作法是。

⑴⑵

（2）如上图⑵所示，现有一水平放置的边长为1的正方形D C B A ''''，其中对角线C A ''在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积。 答案:（1）取C B ''的中点M '，连结M A ''即可。 （2）解：四边形ABCD 的真实图形如图所示。 ∵C A ''在水平位置，D C B A ''''为正方形，

∴在四边形ABCD 中，DA ⊥AC ，且DA=2,22=''==''C A AC A D 。

∴22=

?=

AD AC S ABCD 四边形。

例4：一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视

图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.

（Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼？试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面 角的余弦值.

答案：解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形，高为CC 1=6

，故所求体积是

72663

12

=??=

V （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍， 故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，

其拼法如图2所示.

证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的 正方形，于是

D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立 （Ⅲ）方法一：设B 1

E ，BC 的延长线交于点G ， 连结GA ，在底面ABC 内作BH ⊥AG ，垂足为H ，

A '

B '

C ''B A C D

正视图 侧视图

俯视图

A

B C

D

C 1 图1

A B C

D

D 1 A 1 B 1 C 1

连结HB 1，则B 1H ⊥AG ，故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在R t △ABG 中，180=AG ，则

5

12

180

126=

?=

BH ，5

182

121=

+=

BB BH H B ，

3

2

cos 11==∠HB HB HB B ，

故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为3

2±

. 方法二：以C 为原点，CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系（如图3），∵正方体棱长为6，则E （0，0，3），B 1（0，6，6），A （6，6，0）. 设向量n =（x ，y ，z ），满足n ⊥1EB ，n ⊥1AB ，

于是???=+-=+066036z x z y ，解得??

???-==z y z

x 21.

取z =2，得n =（2，-1，2）. 又=1BB （0，0，6），3

2

1812|

|||,cos 111==

>=

2±

. 【课内练习】

1．一个圆柱随位置放置不同其主视图可能发生变化，但不可能是下面的那一个？（） A ．长方形 B. 圆 C. 正方形 D.三角形 答案: D 。

2．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。 以上结论，正确的个数是（）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 答案：B 。解析：①②正确。 3．下列说法错误的是（）

A 、正投影主要用于绘制三视图

B 、在中心投影中，平行线会相交

C 、斜二测画法是采用斜投影作图的

D 、在中心投影中最多只有一个消点 答案：D 。解析：在中心投影中可以有多个消点。

4．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_______。

答案：2和32。

5．一个几何体的三个视图都是全等的正方形，则这个几何体是_______;一个几何体的三视答案:正方体；球。

6．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 的直观图时，若∠A 的两边平行于x 轴、y 轴且 ∠A=90°，则在直观图中，∠A=________。

答案：45°或135°。解析：根据斜二测画法规则知。

7．一个物体的三视图是下面三个图形，该物体的名称为________.

主视图 俯视图 左视图

答案:长方体。 8．

一个几何体的主视图和左视图如图所示，它是什么几何体？请补画这个几何体的俯视图.

答案:三棱柱

9．画出水平放置的正六边形的直观图。 答案：解如图所示 乙 丙

（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，画对应x '轴、y '轴，使∠='''y O x 45°。

（2）以点O '为中点，在x '轴取AD D A =''，在y '轴上取GH H G 2

1

=

''，

以点H '为中点画E F ''平行于x '轴，并等于FE ；再以G '为中点画C B ''平行于x '轴，并等于BC 。

（3）连结A F E D D C B A '''''''',,,，所得的六边形F E D C B A ''''''就是正六边形ABCDEF 的直观图。 10．下图是一个容器的三视图，认真观察，说明它是由哪几种基本几何体组合而成的，并根据图中数据计算该容器上下两部分的容积.

主视图 左视图 俯视图

主视图

左视图

'x B 'A 'C 'F 'E '

D '俯视图

答案:该容器是由一个圆锥，一个圆台，一个圆柱组合而成的

)(4

31233132cm V ππ=???=

）（圆锥，)(164232cm V ππ=??=圆柱 【作业本】

A 组

1．下面是一个物体的三视图，该物体是所给结果中的（ ）

A.正方体

B.长方体

C.圆锥

D.四棱锥

答案:D

2．在用斜二测画法画水平放置图形的直观图时，下面的说法正确的是（） A 、水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B 、两条相交直线的直观图可能是平行直线 C 、互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D 、平行四边形的直观图仍是平行四边形

答案：D 。解析：由斜二测画法规则可知。 3．用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值 分别为（ ）

主视图

左视图

俯视图

0.5cm

A．9与13B．7与10

C．10与16D．10与15

答案：C。

4．如图⑴所示，正四面体D—ABC（四个面是全等的等边三角形，每个顶点在底面的投影是这个等边三角形的中心），S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则△SQD在四个面的射影可能是（把你认为正确的序号都填上，正四面体及在四个面的射影如图⑵所示，射影为①②③④中阴影部分三角形）。

①②③④

⑴⑵

答案：②③。

5．棱长为1cm的小正方体组成如图所示的几何体，

那么这个几何体的表面积是2

cm

答案：36cm2。

6．四面体PABC中，PA、PB、PC两两垂直，则P ABC的。

答案：垂心。

7．找出与下列几何体对应的三视图，在三视图的横线上填上对应的序号．

答案：解：（3），（4），（6），（1），（8），（5），（2），（7）．

8．一个几何体的三视图如图所示：其中，正视图中△ABC的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，请画出该几何体的直观图，并求出它的体积.

。

B组

1．如图一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图是全等的等腰直角三角形，且直角边的，那么这个几何体的体积等于

A．

2412

1

C．

6

1

D．

3

1

答案：C。解析：该几何体是三条棱两两互相垂直，交于一点

1

A

B

C

D

Q

S

俯视图侧视图

且棱长为1的三棱锥，故1

6

V =。

2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）

A 、2221+

B 、2

21+ C 、21+ D 、22+

答案：D 。 3．如右图为一个几何体的三视图，

尺寸如图所示，则该几何体的表面积为

（不考虑接触点） （ ） A . 6+3+π B . 18+3+π4

C . 18+23+π

D . 32+π 答案：C 。解析：该几何体是正三棱柱上叠放一个球。

4．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，则该组合体的上下两部分分别是

_______.

答案:圆锥，半球 5．如图（1），E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是图（2）中的（要求把可能的序号都填上）。

①②③④ （

1）

（2） 答案：②③。

6．正方体的直观图如右图所示，则其展开图是（要求把可能的序号都填上）。

答案：（4）

7．(1)

下

A

1

A B

1B C 1C D 1D E F 正视图 侧视图 俯视图

图是几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形的数字表示该位置小立方块的个数.请画出这个几何体的主视图和左视图;

(2)如果将上题的已知条件改变一下，俯视图不变，小正方形中的数字改变一下，如图，请画出这个几何体的主视图和左视图.

答案:

8．下列几何体的左视图有可能相同吗？为什么？

（1）圆台（2）圆锥（3）圆柱（4）长方体（5）三棱锥（6）三棱柱（7）球

答案:（2）（5）（6）的左视图可能都是三角形,

（3）（4）的左视图都是矩形.(若不按图中位置放置,(7) 的左视图为圆,(3) 的左视图也可能为圆,(3)(4)(6) 的左视图可能都为矩形.)

1

3 2

4

(2)

1

2 2

1

(1)

(1)

(2)

主视图 左视图 主视图 左视图