数学在蜘蛛网模型的应用

蛛网模型及其在经济学只能感的应用

摘要：蛛网模型是十分重要的数学模型之一，它在经济学中得到了广泛的应用。本文运用了经济学原理和数学原理分析了蛛网模型，同时论证劳动力市场工程师数量与工资率波动形成的收敛型蛛网和我国近二十年小麦价格与产量波动形成的发散型蛛网。从中得到如下的结论：

1.在工程师市场中，工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成收敛型蛛网。

2.在农产品市场中，小麦的价格变动对供给量的影响大于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成发散型蛛网。 关键词：蛛网模型 求曲线 均衡 弹性

引言：引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量，供给量和价格之间相互作用的考察，用动态分析的方法论述诸如劳动力市场调整，农产品市场等周期较长的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。

自改革开放以来，行业人才数量的培养和需求存在周期性变化，数量增多时，必然有工资率的下降；小麦价格的频繁波动和其产量的变化以及其他商品供求变化存在周期性的，都应该运用蛛网模型准确地把握变化趋势，采取灵活对策。当然，供给弹性和需求弹性是这些波动的根本原因。运用蛛网模型研究社会中的经济现象具有一定的指导意义。

1蛛网模型的经济学原理

1.1条件假设

蛛网模型所描述的数量和价格循环波动的现象是在一定的假设条件下出现的。

第一：本期产量供给不影响本期价格，本期产量供给s t Q 决定于前期价格

1t P ；

第二：本期的需求量t

d Q 决定于本期的价格t P ；

第三：需求量弹性不变。蛛网模型假定需求弹性不变，主要是指需求的价格弹性不变，特别是在农产品市场上，农产品的需求弹性小，假设其不变。

第四：一种完全自由竞争的市场，任何生产者和消费者都是被动地接受价格。 1.2 经济学分析

蛛网模型以经济变量的时间先后分析了商品的价格和产量的波动，在其他有周期性的供给量和价格波动的市场也有类似的分析。

第一种情况：需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原来的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但是波动的幅度越来越小，最后会回到原来的均衡点。（如图1）

假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，实际产量由均衡水平e Q 减少到

1Q ，根据需求曲线，消费者愿意支付1P 的价格购买全部的产量1Q ，于是，实际

接个上升为1P 。根据第一期的较高的价格水平1P ，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为2Q 。

在第二期，生产者为了出售全部的产量2Q ，接受消费者所愿意支付的价格

2P ，于是，实际价格下降为2P ，根据第二期的较低的价格水平2P ，生产者将第三期的产量减少为3Q 。

在第三期，消费者愿意支付3P 的价格购买全部的产量3Q ，于是，实际价格有上升为3P 。根据第三期的较高价格水平3P ，生产者又将第四期的产量增加为

4Q 。

如此循环下去，如图1所示。实际的产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点E 所代表的水平。图中的均衡点E 所代表的均衡状态是稳定的。也就是说，由于外在的原因，当价格和产量偏离均衡数值（e P 和e Q ）以后，经济体系中存在着自发的因素，能使价格和产量自动地恢复到均衡状态。

从图中可以看到，只有需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线的斜率的绝对值时，即相对Q 轴而言，供给曲线更陡峭时，才能得到蛛网稳定的结果。这类蛛网称为“收敛型蛛网” 。以时间为横轴，价格为纵轴，可以得到减幅摆动的蛛网图形。（如图2）

（图1）

（图2）最好将两幅图形组合一下，将图1、图2作为文本框内文字组合到图形中。

第二种情况：需求曲线的斜率的绝对值大于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离原来的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但是波动的幅度越来越大，偏离均衡点越开越远。

类似分析，得到发散型蛛网和增幅摆动的蛛网图形（如图3，4）

P

p

（图3） （图4）

第三种情况：需求曲线的斜率的绝对值等于供给曲线斜率的绝对值。当市场由于受到外在的干扰派那里原有的均衡以后，实际产量和实际价格始终按同一幅度围绕均衡点上下波动。此类蛛网成为封闭型蛛网。同样以时间为横轴，价格为纵轴得到等幅摆动的蛛网图形（如图5，6）

P

（图5） （图6）

2蛛网模型的数学原理

2.1数学模型的假设与模型的建立

将市场演变模式划分为若干段，用自然数t 表示（t=1,2,3…），商品本期产

量s t Q 决定于前一期的价格1t P -，即供给函数1()s t t Q f P -=；商品本期的需求量d

t Q

决定于本期的价格t P ，即需求函数为()d t t Q f P =，假设它们都是线形的关系：

d t t Q P αβ=-，

1s t t Q P δγ-=-+，其中,,αβδ和γ均为常数且均大雨零。 2.2 数学模型的差分分析

设d s t t Q Q =，得到，1t t P P αβδγ--=-+ 解得，

12222100

0()()[()]()(1)()[1()()()]()1

()()1()[1()]t t t t t t t t t t P P P P P P P γαδββγγαδαδββββγαδγβββ

γαδγγγβββββ

γ

γαδβγβββ

γαδγββγβ

----+=-+++=--++

+=-+

-=+=-

++-+-++---+=-+--+=-+

--+

又因为市场均衡时，均衡价格1e t t P P P -==，从而，由e e P P αβδγ-=-+，得到均衡价格e P αδ

βγ

+=

+， 故，0()[1()]t t e P P P γ

γββ=-+--= 0()()t e e P P P γβ

--+ 分三种情况讨论：

第一种情况：当t →∞时，若1

γ

β<，则t e P P →。

这说明随着时间t 的增加，如果γβ<，则实际价格t P 将以越来越小的幅度围绕均衡价格e P 上下波动，最后逼近均衡价格。

第二种情况：当t →∞时，若1

γ

β>，则t P →∞。这说明随着时间t 的增

加，如果γβ>，则实际价格t P 将以越来越大的幅度围绕均衡价格e P 上下波动，最后无穷大地偏离均衡价格。 第三种情况：当t →∞时，若1

γ

β=，则t P 是常数。这说明随着时间t 的增

加，如果γβ=，则实际价格t P 将以相同幅度围绕均衡价格e P 上下波动循环摆动。

2.3 数学模型的推广

日常，生产的决策者在决策产量或劳动力数量等的供给时，会考虑到t P 和

1t P -，那么可以假设112s t t t P P Q δγ

-++=-+：改成12

s t t t P P

Q δγ-+=-+好些，因为目前t+1还没有到，现在一般时间是t ，此时，11d t t Q P αβ++=-，由11d s

t t Q Q ++=，得

到：112

t t

t P P P δγ

αβ-++-+=-，即，1122()t t t P P P βγγαδ+-++=+。 特征方程：2

20βλγλγ++=

，解得：1,2λ=。

这里的段首为什么空出了两个半汉字呢？

这里特征方程的思想是自己提出的还是其他参考资料之中的？明白这么做的思想和内涵吗？

当2

8γβγ>，也就是当8γβ>

时，224γ

λβ

=<-<-，从而原

方程的解是不稳定的。这说明随着时间t 的增加，如果8γβ>，则实际价格t P 将以越来越大的幅度围绕均衡价格e P 上下波动，最后无穷大地偏离均衡价格。

当28γβγ<，也就是当8γβ<时，需要有1,21λ<成立，又因为，

1,2

λ==<

=

=

所以当2γβ<时，原方程的解是稳定的。这说明随着时间t 的增加，如果

2γβ<，则实际价格t P 将以越来越大的幅度围绕均衡价格e P 上下波动，最后无穷大地偏离均衡价格。

这时的条件比原来模型达到均衡时的条件放宽了，说明决策者的水平提高了，因为在决策1t Q +时，充分考虑了t P 和1t P -。进一步来看，对这个数学模型还可以做如下的分析：⑴决策1t Q +时，可运用近三年或考虑去年并预示今年的价格。⑵可以考虑引入投资额，并建立有关的离散方程关系。

然而我们常见到的现实经济数学模型里多数为非线形的，那么是否仍有收敛

型和发散形蛛网呢？比如：43d t t Q P =-，2

1s t t Q P -=是局部均衡？还是均衡呢？还

是发散？留给读者思考。

你写的文章，不是教材，不能用这种口气，或者说值得自己进一步思考，如果自己不清楚，就不要提了。况且“是局部均衡？还是均衡呢？”这种说法本身

就有问题，因为局部均衡也是一种均衡啊。

2.4 两个相互关联时常的蛛网模型的数学原理

自己的同一篇文章，同样的问题，应当用同样的符号，这里不用d ，还是用Qd 、较好，s 也一样。

线形假设：谷物市场：11c c t t d a b p =- ，10b >

1111,0c c t t s c d p d -=+>，均衡时：c c t t d s = ；

牲畜市场：222,0h h t t d a b p b =->

22112,0,0

h h c t t t s c d p ep d e --=++>< ；均衡时：h h t t d s =；

其中， c d =谷物需求，c s =谷物供给，c p =谷物价格，h d =牲畜的需求， h s =牲畜的供给，h p =牲畜的价格。谷物市场是典型的供给上有一期时滞的蛛网，即农民根据预期的谷物价格决定时期t 的供给，这其中他们假定谷物的价格不变。谷物市场与牲畜市场是两个相互独立的市场，但是谷物是牲畜的食物。

将各自的供给和需求方程代入均衡条件以及对结果做相关的调整：

111111

(

)()c c t t a c d p p b b --=-，22211222()()h h c t t t a c d e p p p b b b ---=--，令c

p *和h p *

分别表示谷物市场和牲畜市场的均衡价格，则

必须要收敛，才能写出均衡的价格！

111

21122

(

)()(

)()()c c t c t c h c c t h t h t c d p p p p b d e p p p p p p b b *

*

-*

**

---=---=----，

再令：1212122,,,d d e A A B b b b =-=-=- 11c c t t c t t c x p p x p p **--=-?=-， 11h h t t h t t h

y p p y p p **

--=-?=-，于是，该系统可以更简洁地表述为：1c t t c x p p *

-=-，

11h t t h

y p p *

--=-；或者用矩阵表示： 11

120t t t t x x A

y y B A --????

??= ? ? ???????

两个市场均衡要求对所有的t 有1t t x x x *-==，并且对所有的t 有1t t y y y *-==，

从而， *11

11

c

a c p

b d -=+，

*2211222211(h a c a c e

p b d b d b d --=

-+++)。

令A 表示该系统的矩阵，其中A=120A B A ??

???

， 特征方程：12()()0A E A A λλλ-=--=，得到特征值：1122,A A λλ==，当11λ<且21λ<，即111d b -

<且22

1d

b -<时，谷物市场和牲畜市场有稳定的均衡。应当注意，111d b -

<是谷物市场稳定的条件，22

1d

b -<是牲畜市场稳定的条件，且假定谷物价格恒定。

总上所述，分析了一个市场和两个相互关联的市场的蛛网模型的线形模型。不同类型的市场中达到均衡时的条件都不相同。下面就劳动力市场工程师数量供给与工资率的变动和农产品市场小麦价格和产量的波动分析蛛网模型。

这里的提法可能有些牵强，因为你不知道牲畜的消费量是多大，本来是两个独立的模型，在这里牵强地放在一起，可能意义不大，因为看上面建立的两个市场的方程，期间并没有什么关系，你只是说出了二者之间有一种食物关系，但是并没有真正建立其间的联系，至少模型中没有体现。其间的关系可能是税收问题，和蛛网模型联系起来有些复杂。

模型举出一个收敛的例子和一个发散的例子就可以了。

3 劳动力市场调整的收敛型蛛网

3.1研究意义

大学入学率根据高等教育的收益率变化所进行的调整并非总是能够顺利地或快速地完成，尤其是在某些技术很强的专业领域，比如工程及法律等方面。问题在于：假如说工程师的工资率在某一个突然性的抬升，那么新毕业的工程师门的供给并不会受这种高工资的影响，而是必须要等到三四年之后劳动力市场上才会有充足的此类劳动力供给。同样的道理，如果工程师的工资率趋于下降，那么已经注册入学学习工程专业的学生也不大可能愿意立即放弃学习这一专业。他们已经在这个领域中投入了许多的时间和精力，所以他们宁愿在此专业内等待机会，而不是花费更多的时间和金钱来学习一个新的专业领域。

这对我们现实社会有着很重要的指导意义。就像我国高中生物教师数量供给变动一样，由于2000年以前普通高等院校入学考试中不考生物，所以在中学教学中，生物基本被忽视，甚至不授课。中学生物教师少之甚少。但2000年以后，为了有高素质的中学生物教师，不得不提高工资率，但是数量仍然不足。经过几年的培养和学习，才弥补了此类教师的书来年感不足。随之，工资率下降，因为生物教师的数量大大超过的需求的数量。大学生在选择专业也是很重要的，现在，中西医，法硕，经济管理等专业报考的人越来越多，其后果就是社会上此类人才过多，行业的工资率下降。

劳动力供给未能对劳动力市场状况作出及时的反应，这种情很可能回引起劳动力市场对高技术人才的需求出现一个繁荣——萧条的周期。如果政府教育部门或私立教育机构的规划者没有意识到这些周期的存在，那么在本应该采取措施激励或削减相应专业的大学或研究生入学率的时候，他们的实际做法很可能正好相

反的。

3.2. 工程师市场的收敛型蛛网

假设当前的工程师市场是处于均衡状态的，工资率为0W ，工程师数量为0

N （如图7）。现在假定工程师的需求曲线从0D 移动到1D ，起初，对工程师需求的这种增加并未导致工程师的供给增加到0N 以上，这是因为即使一个人决定成为工程师，那么他还要经历很长一段时间才能真正成为一名工程师。这样，尽管工程师需求的上升导致更多的人决定加入工程专业技术领域，但是劳动力市场上，此时可雇佣的工程师数量仍然是0N 。这样，这0N 位工程师在当前就可以获得水平为1W 的工资率。

现在，工程师的现行工资率为1W ，高于1D 曲线和S 曲线相交所决定的长期均衡工资率*W 。然而，市场并没有意识到*W 的存在，它只观察到了1W 。如果人们缺乏远见，将1W 看成是新的均衡工资率，那么，将会有1N 的人进入工程专业领域。当然这些1N 位工程师毕业时，劳动力市场便会出现工程师的过程（如图8）。

（图7） （图8）

由于工程师的供给数量现在暂时固定在1N 的水平上，因此，工资率将下降到2W 。而这样的工资率的下降又将引起学生和工人从工程专业领域的移出。不过，这种效应在几年内还不能被人们充分地感觉到。需要指出的是，这时的工资率2W 低于长期均衡工资率（仍然在*W ）的。因此，当劳动力供给真正依据2W 进行调整的时期，它的调整就又太大了，它会将工程师的供给一直调整到2W

之后，

N0

N*

人数

需求在工资率2W 上超过了供给。这导致工资率上升到3W ，于是，同样的循环周期又出现了。

由于工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，即劳动力的供给曲线的斜率绝对值大于需求曲线的斜率绝对值，形成收敛型蛛网。

3.3 实例分析 据统计，某地区1990年的工程师数量为3000人，工资率为600元/天。1994年工程师的数量减少到2500人，工资率为800元/天。1998年的人数为2800人。 如果维持这种工程师人数供给与工资率的波动模式，并假设劳动供给曲线和需求曲线都是线形的，那么若干年以后工程师市场能否趋于稳定呢？

设点 1(3000,600)P ，2(2500,600)P ，3(2500,800)P ，4(2800,800)P

……（如图9）可以求的需求函数：21800(1,2,)5n n y x n =-= ，即5

45002

n n x y =-；供给

函数：131600(1,2,)2n n x y n +=+= 。由蛛网模型的数学原理分析可知，3

2

γ=，

5

2

β=，从而315γβ=<，则n e y y →（e y 为均衡工资率），625e y =元/天，

2687.5e x =人。

（图9）

4 小麦价格波动的发散型蛛网 4.1 研究意义

我国社会主义市场改革是以农村为起点，并进一步扩大到经济的各个方面。农村改革具有特殊的意义，然而当农民真正接触到市场经济时，他们收入的增长问题却成了困扰农村改革的障碍。

华北地区，东北和西北的部分地区农民主要种植小麦，小麦的价格高低直接影响着这些农民的收入。由于农作物生产往往容易陷入蛛网困境，因此从价格和农民收入的关系出发，选择一条实现小麦稳定，持续发展的路径，具有十分重要的历史和现实意义。

小麦作为生活的必需品，它有自身的特征：小麦供给价格弹性大于需求价格弹性。从理论上讲，其价格和产量的波动易形成发散型蛛网。一半而言，消费者对小麦价格变化反应不明显。同时，小麦需求主要受人口数量，消费偏好等因素制约，表现比较平稳。它的价格变动只影响人们消费结构的变化，基本不改变对

综上分析，在劳动力市场中，

工程师的数量和工资率的波动是由于工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成收敛型蛛网。

它的需求。但是，对种小麦的农民来说，它的价格变动使农民反应十分明显。价格的涨跌都会导致小麦生产的扩张和萎缩。当小麦价格上涨的幅度大于需求减少的幅度时，农民纯收入会增加，种麦的积极性会提高；反之，当小麦的价格下跌幅度大于需求增加的幅度时，农民纯收入减少，种麦的积极性就会下降。

我国自1985年以来，小麦总产量（万吨）和小麦收购价格指数如上表。排除政治，自然和生产技术等因素以外，小麦生产的产量和收购发价格的波动大致有五个周期。1987年的收购价格比1986年低，导致1988年小麦的产量

（图10）

（图11） 下降到8543万吨，当年收购价格指数达到115.2。比1986年增加10.5%；到1993年，小麦产量高达10639万吨。1994年小麦减产709万吨，随即收购价格指数上涨达到了历史最高152.2，与1993年相比上涨了近50%左右，随后小麦的价格下跌，到1997年仅为89.0，再到2000年达历史最低点81.8。从2001年开始，小麦的收购价格有所上升。据当前报道，小麦的价格一直上升（如图10，11）。 假设0T 为1985年，相应每四年一个周期：1T 为1986年到1989年，2T 为1990年到1993年，3T 为1994到1997年，4T 为1998年到2001，5T 为2002至今。（2002年到现在，种麦的农民越来越少，国家为了保护农民自身利益，提高国内小麦的产量，小麦的收购价格一直上涨，比2004年还要高）。求出相应的平均价格指数：

0P =100.1,1P =111.2,2P =100.425,3P =120.875,4P =89.225,5P =120.7（估计值,实际值更大），由蛛网模型的经济原理分析，可以得到增幅摆动的发散型蛛网（如图12）。

（图12，发散型蛛网）

据以上分析，需求价格弹性小于供给价格弹性时，小麦的收购价格与产量波动形成发散型蛛网。这种蛛网现象也四市场通过价格手段对供给和需求调节的结果。

这是利用eviews对数据处理的结果，你看出来了，这个看不出什么有意义的结果，原因是它们不能形成需求曲线和供给曲线，因为价格是一个均衡价格，也没有什么规律性的内容，另外，这里面可能还有通货膨胀的影响，不是可比价格。另外本文中格式问题自己要修改好，如段首空出两个汉字，错别字不能出现，英文首字母要大写等这些硬伤不能有。另外表格必须调整好，必须保持原格式，不能分页，不能随便加行。

4.3 相关因素分析

麦价格在上涨和下跌的根本原因是供给弹性大于供给弹性。在我国，诸多问题的存在直接影响着价格指数，影响着此类蛛网模型的形成。

（1）价格信息。一方面，信息闭塞，农民素质较低，对价格进行理性预期的能力有限，没有足够的能力获得信息并传播信息，这必然会影响农民盲目扩大小麦的生产，以致小麦生产的结构失调。

（2）市场体系不完善。在市场制度的发育过程中，市场主体和市场体系之

间，前者更具有决定性。1985年开始，我国加快了购销体制改革，市场交易份额不断上升。但是全国统一的市场没有形成，供给量和需求量的波动较大，形成发散型蛛网是不可避免的。

（3）政府功能未充分发挥。改革开放以前，我国对各方面的价格管理过硬过死，价格不能真实地反映价值。之后的市场化改革如果完全依靠市场调节解决价格波动问题，期望进而增加农民收入是不客观的。现实中，政府对收购价格的干预不及时，不全面，导致了蛛网的形成。随着改革的进一步深化，必须充分发挥政府的功能，使政府功能满足市场发展的需要。

至此，本文运用经济学原理和数学原理分析了蛛网模型，并论证了劳动力场工程师工资率对数量影响形成的收敛型蛛网和小麦价格波动形成的发散型蛛网。我们可以得到下面的结论：在工程师市场中，工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成收敛型蛛网。在农产品市场中，小麦的价格变动对供给量的影响大于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成发散型蛛网。

参考文献：

《西方经济学》高鸿业中国人民大学出版社

《数学模型》姜启源清华大学出版社

《动态经济学》罗纳德·肖恩中国人民大学出版社

《现代劳动经济学》伊兰伯格，史密斯中国人民大学出版社Summary: Cobweb model is one of the important mathematical models, and it is applied widely in the economics in our lives. In this essay we are using the economics principle and the mathematics principle to analyze the cobweb model,and we prove the convergent cobweb model, which is formed by engineer quantities’and wages’changes, in the lobour force market, besides, we prove the exhaling cobweb model, which is formed by the price and the quantity alteration in the recent 20 years in our nation. We can gain the conclusions as follows:

1.In the engineer’force market, the affection in the engineer quantity by the wages’changes is less than the affection in the demand, that is to say,the abs of the demand curve slope less than the abs of the supply curve slope,that is formed the convergent cobweb.

2.In the produce market, the affection in the wheet quantity by the

price’changes is more than the affection in the demand, that is to say,the abs of the demand curve slope more than the abs of the supply curve slope,that is formed the exhaling cobweb.

Key words: cobweb model supply curves demand curves

equilibrium flexibility

附录：

供求均衡：在完全竞争市场条件下，需求曲线与供给曲线决定市场的均衡价格和均衡交易量，即：两条曲线的交点。供求均衡是社会资源优化配制的

基本标志，此时社会上的各种产品的供给量等于需求量。此时的交易

量称为均衡交易量。equilibrium quantity: Qd=Qs.

均衡价格：equilibrium price，也称市场清出价格market clearing price，即取得供求均衡的价格。

价格弹性：是指随着产品价格的上下调整，所引起需求量的变动比率。通俗地说，需求价格弹性就是需求量在价格变动前后的敏感度。这个常识告诉我

们，价格的制定在一定程度上是受产品需求价格弹性影响的，那些同

质化普遍存在，而又充分竞争的产品或者相对显得稀缺和奢侈的产品，企业决定调整价格时尤其要注意其价格的需求弹性。