广安友谊中学2020年春季高二下期半期考试数学(理科)试题

广安友谊中学2020年春季高二下期半期考试

数学试题（理科）

（满分：150分 考试时间： 120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设i 为虚数单位，则复数3?2i i 的实部是( )

A. 3

B. ?3

C. 2

D. ?2

2. 体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，若每个门都能进出，小明到该体育场晨练，则他进、出门的方案有( )

A. 12种

B. 7种

C. 14种

D. 49种

3. 与曲线y =x 2相切，且与直线x +2y +1=0垂直的直线的方程为( )

A. y =2x ?2

B. y =2x +2

C. y =2x ?1

D. y =2x +1

4. 设M(5,?1,2)，A(4,2，?1)，O(0,0，0)，若OM ??????? =AB ????? ，则点B 的坐标应为( )

A. (?1,3，?3)

B. (1,?3,3)

C. (9,1，1)

D. (?9,?1,?1)

5. 已知(x 2+1)n 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 4的系数为( )

A. 40

B. 20

C. 10

D. 5

6. 如图，函数y =?x 2+3和y =2x 的图像围成阴影部分的面积为( )

A. 2√3

B. 323

C. 2?√3

D. 353

7. 如果函数y =f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

①函数y =f(x)在区间(?3,?12)内单调递增；

②函数y =f(x)在区间(?12,3)内单调递减；

③函数y =f(x)在区间(4,5)内单调递增；

④当x =2时，函数y =f(x)有极大值；

⑤当x =3时，函数y =f(x)有极小值．

则上述判断中正确的是( ) A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ④⑤

8. 天干地支纪年法，源于中国.中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”??依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”??依此类推.2019年2月23日，中共中央、国务院印发了《中国教育现代化2035》，明确了教育发展方向。已知1949年为“己丑”年，那么2035年为( )

A. 丙卯年

B. 乙卯年

C. 丙巳年

D. 辛巳年

9. 友中篮球队运动员向前进和向前冲是双胞胎兄弟，他俩在进行日常投篮练习，哥哥向前进先投，若哥

哥投进后，则弟弟投进的概率为34；若哥哥未投进，则弟弟投进的概率为14. 若哥哥投进的概率为34，则哥哥先投后，弟弟投进球的概率为( ) A. 916 B. 716 C. 58

D. 34 10. 广安市颐荷园荷花基地，种植莲藕每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是f(x)=?14x 3+

218x 2+12x(x 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元)，要使利润最大，每年需种植莲藕( )

A. 5万斤

B. 6万斤

C. 7万斤

D. 8万斤

11. 函数f(x)的定义域为R ，

f(2)=3，对任意x ∈R ，都有f(x)+f ′(x)<2，则不等式e x f(x)?2e x ?e 2>0的解集为( )

A. {x|x <2}

B. {x|x >2}

C. {x|x 2}

D. {x|x

A. (0,e 2?3]

B. [3+1e 4,e 2?3]

C. (0,3+1e 4]

D. [0,+∞)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若复数z =1+2i ，则|z +2i|=__________．

14. 已知函数f (x )=sinx +√3?x 2，则∫f (x )2

?2dx =________

15. 为支援武汉抗击新冠肺炎疫情，军队抽组1400名医护人员于2月3日起承担武汉火神山专科医院医疗

救治任务.此外，从解放军疾病预防控制中心、军事科学院军事医学研究院抽取15名专家组成联合专家组，指导医院疫情防控工作.该医院开设了重症监护病区(A)，重症病区(B)，普通病区(C)三个病区.现在，将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区了解情况，要求每个专家去一个病区，每个病区都有专家，一个病区可以有多个专家.已知甲不能去重症监护病区(A)，乙不能去重症病区(B)，则分配方式一共有______种． 16. 设函数f(x)=xlnx ，g(x)=

f′(x)x ，给定下列命题 ①函数f(x)的最值点为x =1e

②不等式g(x)>0的解集为(1e ,+∞)；

③函数g(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减；

④若x 1>x 2>0时，总有m 2(x 12?x 22)>f(x 1)?f(x 2)恒成立，则m ≥1； ⑤若函数F(x)=f(x)?ax 2有两个极值点，则实数a ∈(0,1)．

则正确的命题为 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. （10分）毕业在即，友中高三1班有3名男生，4名女生站成一排拍照留影，在下列情况下，各有多少

种不同的站法？

(1)其中甲不站两端；

(2)其中3名男生互不相邻；

(3)其中甲不站最左边，乙不站最右边．

18. （12分）已知函数f(x)=13x 3+14f′(1)x 2?7x +1(f′(x)是f(x)的导函数)

(Ⅰ)求f′(1)的值；

(Ⅱ)求函数f(x)在[?2,2]上的最大值与最小值．

19. （12分）在正方体中，已知O 为A 1C 1中点

(1)求证B 1C//平面ODC 1;

(2)求异面直线B 1C 与OD 夹角的余弦值．

20. （12分）2020年伊始，“新冠肺炎病毒”在我国传播，全体中国人民众志成城、全力抗疫，病毒即将

被彻底驱离，但境外疫情正在迅速蔓延，我国海外留学生的安危也牵动着国人的心，不少留学生选择就地居家隔离，也有部分留学生选择回国，但是航班紧张．现有A 、B 、C 、D 、E 五名在英留学生，各自通过互联网订购回国机票，若订票成功即可回国，假定他们能否获得机票互不影响，A 、B 、C 、D 、E 获得机票的概率分别是12，12，13，14，15．

(1)求这五名留学生均不能回国的概率；

(2)若A 、B 在英国学习期间租住同一间房子，于是两人商定，若都获得机票才一起回国，否则两人均不回国(已购票者，则选择退票)，设X 表示五名留学生中回国的人数，求X 的概率分布列．

21.（12分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E为线段AD的中点，如图1，沿BE将△ABE折起至△PBE，

使BP⊥CE，如图2所示．

(1)求证：平面PBE⊥平面BCDE；

(2)求二面角C?PD?E的余弦值．

22.（12分）已知函数f(x)=lnx+(a+2)x，g(x)=?ax2?1(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若存在负整数a，对?x∈(0,+∞)，都有f(x)≤g(x)恒成立，求a的最大值；

(3)求证：当x>0时，e x?xlnx+2x3?x?1>0．