直线与方程知识点归纳

第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.

3、直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α

⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.

4、 直线的斜率公式:

给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),x 1≠x 2,用两点的坐标来表示直线P 1P 2的斜率： 斜率公式: k=y 2-y 1/x 2-x 1 3.1.2两条直线的平行与垂直

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

（充要条件）

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有l 1∥l 2

2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k k l l =-?⊥（充要条件） 3.2.1 直线的点斜式方程

1、直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000

y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=-

2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=

3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211

y x P x x P 其中

)

,(2121y y x x ≠≠y-y 1/y-y 2=x-x 1/x-x 2

2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，

其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）

2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式

12PP =

3.3.1两直线的交点坐标

1、给出例题：两直线交点坐标

L 1：3x +4y -2=0 L 2：2x +y +2=0

解：解方程组3420

2220x y x y +-=??++=?

得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式

3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，

2l 02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

基础练习

一选择题

1．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( )

A ．y ＋2＝3(x －3)

B ．y －2＝

3

3

(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝3

3

(x －3) 答案：C

2．如下图所示，方程y ＝ax ＋1

a

表示的直线可能是( )

答案：B

3．已知直线l 1：y ＝kx ＋b ，l 2：y ＝bx ＋k ，则它们的图象可能为( )

答案：C

4．经过原点，且倾斜角是直线y ＝2

2

x ＋1倾斜角2倍的直线是( ) A ．x ＝0 B ．y ＝0 C ．y ＝2x D ．y ＝22x 答案：D

5．欲使直线(m ＋2)x －y －3＝0与直线(3m －2)x －y ＋1＝0平行，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．不存在

解析：把直线化为斜截式，得出斜率，通过直线平行的条件计算． 答案：B

6．直线y ＝k(x －2)＋3必过定点，该定点为( ) A ．(3,2) B ．(2,3) C ．(2，－3) D ． (－2,3)

解析：直线方程改写为y －3＝k(x －2)，则过定点(2,3)． 答案：B

7．若直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距是3，则m 的值是( ) A.2

5

B ．6

C ．－2

5

D ．－6

解析：令y ＝0，得(m ＋2)x ＝2m ，将x ＝3代入得m ＝－6，故选D. 答案：D

8．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝1 B.x 2＋y 3＝1 C.x 3－y 2＝1 D.x 2－y 3＝1 答案：B

9．直线x a 2－y

b

2＝1在y 轴上的截距为( )

A ．|b|

B ．±b

C ．b 2

D ．－b 2 答案：D

10．下列四个命题中是真命题的是( )

A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k(x －x 0)表示

B ．经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)·(x 2－x 1)＝(x －x 1)·(y 2－y 1)表示

C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y

b ＝1表示

D ．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示 答案：B

11．直线ax ＋by ＝1(a ， b≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是( ) A.12ab B. 12|ab| C.12ab D.12|ab|

解析：直线ax ＋by ＝1可化为x 1a ＋y 1b ＝1，故其围成的三角形的面积为S ＝121|a|1|b|＝1

2|ab|.

答案：D

12．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A

13．直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则a 的值等于( ) A ．－1或3 B ．1或3 C ．－3 D ．－1 解析：由题意，两直线斜率存在，由l 1∥l 2知1a －2＝a 3≠6

2a

，∴a ＝－1 答案：D

14．直线3x －2y －4＝0的截距式方程是( ) A.3x 4－y

4＝1 B.x 13－y 12

＝4 C.3x 4＋y

－2＝1 D.x 43＋y

－2＝1 答案：D

15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5 解析：k AB ＝

1－23－1

＝－1

2，由k·k AB ＝－1得k ＝2.

由中点坐标公式得x ＝1＋32＝2，y ＝2＋12＝3

2，

∴中点坐标为???

?2，3

2.

由点斜式方程得y －3

2＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.

答案：B

16．直线(a ＋2)x ＋(1－a)y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．－3

2

解析：由(a ＋2)(a －1)＋(1－a)(2a ＋3)＝0化简得1－a 2＝0，∴a ＝±1. 答案：C

17．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( ) A ．C ＝0，B>0 B ．A>0，B>0，C ＝0 C ．AB<0，C ＝0 D ．AB>0，C ＝0 答案：D

18直线的截距式方程x a ＋y

b ＝1化为斜截式方程为y ＝－2x ＋b ，化为一般式方程为bx

＋ay －8＝0.求a ，b 的值（）

解析：由x a ＋y

b ＝1，化得

y ＝－b

a x ＋

b ＝－2x ＋b ，

又可化得：

bx ＋ay －ab ＝bx ＋ay －8＝0， 则b

a

＝2，且ab ＝8. 解得a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4.

19．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标为( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.????43，13 D.????13，43 答案：C

20．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点是P(2,3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是( )

A ．3x ＋2y ＝0

B ．2x －3y ＋5＝0

C ．2x ＋3y ＋1＝0

D ．3x ＋2y ＋1＝0 答案：C

21．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB|等于( )

A.

895 B.175 C.135 D.115

解析：易知A(0，－2)，B ????－1，25，|AB|＝13

5. 答案：C

22．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5 D ．210

解析：设A(x,0)，B(0，y)，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝ 0－4 2＋ －2－0 2＝20＝2 5.

答案：C

23．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P 在直线2x －y －1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________．

答案：2.4

24．已知点(3，m)到直线x ＋3y －4＝0的距离等于1，则m 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－

33 D.3或－3

3

解析：|3＋3m －4|2＝1，解得m ＝3或－3

3.

答案：D

25．两平行线y ＝kx ＋b 1与y ＝kx ＋b 2之间的距离是( ) A ．b 1－b 2 B.

|b 1－b 2|1＋k 2

C ．|b 1－b 2|

D ．b 2－b 1

解析：两直线方程可化为kx －y ＋b 1＝0，kx －y ＋b 2＝0. ∴d ＝

|b 1－b 2|1＋k 2

. 答案：B

26．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0 解析：所求为过A(1,2)，且垂直OA 的直线， ∴k ＝－1

2

，

∴y －2＝－1

2(x －1)，即x ＋2y －5＝0.

答案：A

27．点P(m －n ，－m)到直线x m ＋y

n ＝1的距离等于( )

A.m 2＋n 2

B.m 2－n 2

C.n 2－m 2

D.m 2±n 2 解析：直线方程可化为nx ＋my －mn ＝0， 故d ＝| m －n n －m 2－mn|m 2＋n 2

＝|mn －n 2－m 2－mn|m 2＋n 2

＝m 2＋n 2. 答案：A

28．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.

21313 C.52613 D.7

26

13 解析：由题意m ＝4，则d ＝|－6－1|36＋16

＝

752＝7213

＝713

26.

答案：D

29．垂直于直线x －3y ＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________． 解析：由题意，可设所求直线方程为3x ＋y ＋c ＝0， 则|c|

2

＝5. ∴|c|＝10，即c ＝±10.

答案：3x ＋y －10＝0或3x ＋y ＋10＝0

30．点P(x ，y)在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2 D ．16 答案：A

31．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( ) A ．3x －4y －11＝0 B ．3x －4x ＋9＝0

C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0

D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝0 答案：C

强化练习

一选择题

1．直线y ＝－2x ＋3的斜率和在y 轴上的截距分别是( )

A ．－2,3

B ．3，－2

C ．－2，－2

D ．3,3

[答案] A

2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝3 C ．y ＝1 D ．y ＝3

[答案] A

3．方程y －y 0＝k (x －x 0)( ) A ．可以表示任何直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 [答案] D

[解析] 直线的点斜式方程不能表示没有斜率的直线，即不能表示与x 轴垂直的直线． 4．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 [答案] B

[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2.

所以a ＝2－a ，解得a ＝1.

5．方程y ＝ax ＋1

a

表示的直线可能是( )

[答案] B

[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1

a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴

上的截距是1a >0，则直线y ＝ax ＋1

a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜

率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1

a

过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．

6．与直线y ＝－2x ＋3平行，且与直线y ＝3x ＋4交于x 轴上的同一点的直线方程是( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝1

2x ＋4

C ．y ＝－2x －8

3

D ．y ＝12x －8

3

[答案] C

[解析] y ＝3x ＋4与x 轴交点为(－4

3，0)，

又与直线y ＝－2x ＋3平行， 故所求直线方程为y ＝－2(x ＋4

3)

即y ＝－2x －8

3

故选C.

7．直线l ：y －1＝k (x ＋2)的倾斜角为135°，则直线l 在y 轴上的截距是( ) A ．1

B ．－1

C.

22

D ．－2

[答案] B

[解析] ∵倾斜角为135°， ∴k ＝tan135°＝－tan45°＝－1，

∴直线l ：y －1＝－(x ＋2)，令x ＝0得y ＝－1.

8．等边△PQR 中，P (0,0)、Q (4,0)，且R 在第四象限内，则PR 和QR 所在直线的方程分别为( )

A ．y ＝±3x

B ．y ＝±3(x －4)

C ．y ＝3x 和y ＝－3(x －4)

D ．y ＝－3x 和y ＝3(x －4) [答案] D

[解析] 直线PR ，RQ 的倾斜角分别为120°，60°， ∴斜率分别为－3， 3.数形结合得出． 9．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( ) A.y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 B.y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2

C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0

D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝0 [答案] C

10．直线x a 2＋y

b 2＝1在y 轴上的截距是( )

A ．|b |

B ．－b 2

C ．b 2

D ．±b

[答案] C

11．直线x a ＋y

b ＝1过一、二、三象限，则( )

A ．a >0，b >0

B ．a >0，b <0

C ．a <0，b >0

D ．a <0，b <0 [答案] C

12．(2012－2013·邯郸高一检测)下列说法正确的是( ) A.y －y 1x －x 1

＝k 是过点(x 1，y 1)且斜率为k 的直线

B ．在x 轴和y 轴上的截距分别是a 、b 的直线方程为x a ＋y

b ＝1

C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离是b

D ．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式 [答案] D

13．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )

A ．2x ＋y －8＝0

B ．2x －y ＋8＝0

C ．2x ＋y －12＝0

D ．2x －y －12＝0

[答案] A

[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －3

2－3，即2x

＋y －8＝0.

14．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32

B ．－23

C.25 D ．2

[答案] A

[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3

－1－3

，

化为截距式为x －32

＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－3

2.

15．已知2x 1－3y 1＝4,2x 2－3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是( ) A ．2x －3y ＝4 B ．2x －3y ＝0 C ．3x －2y ＝4 D ．3x －2y ＝0 [答案] A

[解析] ∵(x 1，y 1)满足方程2x 1－3y 1＝4，则(x 1，y 1)在直线2x －3y ＝4上．同理(x 2，y 2)也在直线2x －3y ＝4上．由两点决定一条直线，故过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是2x －3y ＝4.

[点评] 利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零． 16．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 [答案] B

[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)．

令y ＝0得x ＝3＋4k

k ，令x ＝0得y ＝－4k －3.

由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－3

4或k ＝－1.

因而所求直线有两条，∴应选B.

解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋y

a

＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.

∴所求直线有两条，∴应选B.

17．在x 轴与y 轴上的截距分别是－2与3的直线方程是( ) A ．2x －3y －6＝0 B ．3x －2y －6＝0 C ．3x －2y ＋6＝0 D ．2x －3y ＋6＝0

[答案] C

[解析] 因为直线在x 轴，y 轴上的截距分别为－2,3，由直线方程的截距式得直线方程为

x －2＋y

3

＝1，即3x －2y ＋6＝0. 18．若直线l 的一般式方程为2x －y ＋1＝0，则直线l 不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] D

19．下列各组中的两条直线平行的有( ) (1)2x ＋y －11＝0，x ＋3y －18＝0 (2)2x －3y －4＝0,4x －6y －8＝0 (3)3x －4y －7＝0,12x －16y －7＝0 A ．0组 B ．1组 C ．2组 D ．3组 [答案] B

[解析] 第一组相交，第二组重合，第三组平行，故选B.

20．若直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x －ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.12 B.12或0 C ．0 D ．－2 [答案] B

[解析] 由已知得13(－a )－2a (a －1)＝0，即2a 2－a ＝0，解得a ＝0或1

2，故选B.

21．直线(3－a )x ＋(2a －1)y ＋7＝0与直线(2a ＋1)x ＋(a ＋5)y －6＝0互相垂直，则a 值是

( )

A ．－13

B.17

C.12

D.15

[答案] B

[解析] 由(3－a )(2a ＋1)＋(2a －1)(a ＋5)＝0得a ＝1

7

.

22．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0 [答案] A

[解析] 由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－3

2，由点斜式可得

直线l 的方程为y －2＝－3

2

(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.

23．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图像只可能是下图中的( )

[答案] B

[解析] l 1：y ＝ax ＋b ，l 2：y ＝－bx ＋a ，在A 选项中，由l 1的图像知a >0，b <0，判知l 2的图像不符合．在B 选项中，由l 1的图像知a >0，b <0，判知l 2的图像符合，在C 选项中，由l 1知a <0，b >0，∴－b <0，排除C ；在D 选项中，由l 1知a <0，b <0，由l 2知a >0，排除D.所以应选B.

24．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若l 过原点和二、四象限，则( )

A.?????

C ＝0B ＞0 B.????

?

C ＝0B ＞0A ＞0

C.?????

C ＝0AB ＜0

D.?????

C ＝0AB ＞0

[答案] D

[解析] ∵l 过原点，∴C ＝0，又l 过二、四象限， ∴l 的斜率－A

B

<0，即AB >0.

25．直线3x －y ＝0与x ＋y ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．垂直

[答案] A

[解析] A 1B 2－A 2B 1＝331－13(－1)＝3＋1≠0，

又A 1A 2＋B 1B 2＝331＋(－1)31＝3－1≠0，则这两条直线相交，但不垂直． 26．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2,1)

[答案] B

[解析] 解方程组?????

2x ＋3y ＋8＝0，

x －y －1＝0，

得?????

x ＝－1，

y ＝－2，

即交点坐标是(－1，－2)． 27．直线ax ＋3y －5＝0经过点(2,1)，则a 的值等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1

[答案] B

[解析] 由题意得2a ＋3－5＝0，解得a ＝1.

28．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( ) A ．－2 B ．－1

2

C ．2 D.12 [答案] B

[解析] 由?

????

x －y ＝1

2x ＋3y ＋8＝0得交点(－1，－2)，

代入x ＋ky ＝0得k ＝－1

2

，故选B.

29．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)

[答案] C

[解析] 方程可化为y －1＝k (x －3)，即直线都通过定点(3,1)．

30．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )

A ．(－2，－3)

B ．(2,1)

C ．(2,3)

D ．(－2，－1)

[答案] C

[解析] 将A 、B 、C 、D 四个选项代入x －y ＋1＝0否定A 、B ，又MN 与x ＋2y －3＝0垂直，否定D ，故选C.

31．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )

A ．x －3y ＋7＝0

B ．x －3y ＋13＝0

C ．2x －y ＋7＝0

D ．3x －y －5＝0

[答案] B

[解析] 由?

????

3x ＋y －1＝0，

x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．

∵所求直线与3x ＋y －1＝0垂直， ∴所求直线斜率k ＝13，∴y －4＝1

3(x ＋1)，

即x －3y ＋13＝0.

32．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )

A ．24

B ．20

C ．0

D ．－4

[答案] B

[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·2

5＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，

∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，

将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20. 33．已知点A (a,0)，B (b,0)，则A ，B 两点间的距离为( ) A ．a －b B ．b －a C.a 2＋b 2 D ．|a －b |

[答案] D

[解析] 代入两点间距离公式．

34．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标是( )

A ．(－3,1)或(7,1)

B ．(2，－3)或(2,7)

C ．(－3,1)或(5,1)

D ．(2，－3)或(2,5) [答案] A

[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7.

35．已知A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，当|AB |取最小值时，实数a 的值是( ) A ．－72

B ．－1

2

C.12

D.72

[答案] C

[解析] |AB |＝(a －4)2＋(a ＋3)2＝2a 2－2a ＋25＝2(a －12)2＋492，∴当a ＝12

时，|AB |

取最小值．

36．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( ) A ．5 B ．4 2 C ．2 5 D ．210

[答案] C

[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝2 5.

37．△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－4，－4)、B (2,2)、C (4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( )

A.26

B.65

C.29

D.13 [答案] A

[解析] AB 的中点D 的坐标为D (－1，－1)． ∴|CD |＝(－1－4)2＋(－1－(－2))2＝26； 故选A.

38．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形

[答案] C

[解析] |AB |＝(3－0)2＋(2－5)2＝32， |BC |＝(0－4)2＋(5－6)2＝17， |AC |＝(3－4)2＋(2－6)2＝17， ∴|AC |＝|BC |≠|AB |， 且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.

∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．

39．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( ) A.

895

B.175

C.135

D.115

[答案] C

[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，2

5

)．

40．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5) B ．(－1,1) C ．(5,5)或(－1,1) D ．(5,5)或(1，－1)

[答案] C

[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋5

3，

由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋5

3－3)2＝13，

即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5， 当x ＝－1时，y ＝1，

当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)． 41．点(0,5)到直线y ＝2x 的距离是( ) A.52 B. 5 C.32 D.52 [答案] B

[解析] 由y ＝2x 得：2x －y ＝0，∴由点到直线的距离公式得：d ＝

5

5

＝5，故选B.

42．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( ) A ．4 B.21313

C.51326

D.71326

[答案] D

[解析] ∵两直线平行，∴63＝m

2，∴m ＝4，

∴两平行直线6x ＋4y －6＝0和6x ＋4y ＋1＝0的距离 d ＝

|1＋6|62＋4

2＝

713

26

. 43．已知点A (3,4)，B (6，m )到直线3x ＋4y －7＝0的距离相等，则实数m 等于( ) A.74 B ．－294

C ．1 D.74或－294

[答案] D

[解析] 由题意得|9＋16－7|5＝|18＋4m －7|

5，

解得m ＝74或m ＝－29

4

.

44．点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( ) A ．(8,0)

B ．(－12,0)

C ．(8,0)或(－12,0)

D ．(0,0) [答案] C

[解析] 设P (a,0)，则

|3a ＋6|32＋42

＝6，

解得a ＝8或a ＝－12，

∴点P 的坐标为(8,0)或(－12,0)．

45．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0 D ．3x ＋y －5＝0

[答案] A

[解析] 由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线， ∴所求直线的斜率k ＝－1

2，

∴y －2＝－1

2

(x －1)，即x ＋2y －5＝0.

46．已知直线l 过点(3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0

C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0

D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0 [答案] D

[解析] 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由已知有|－2k －2＋4－3k |k 2＋1＝|4k ＋2＋4－3k |k 2＋1，所以k ＝2或k ＝－2

3，

所以直线方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.

47．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A.9

5 B.18

5 C ．3 D ．6

[答案] C

[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.

48．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C. 2 D ．16 [答案] A

[解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方， ∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|

2＝22，

∴x 2＋y 2最小值为8.故选A.

二填空题

1．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为________．

[答案] y ＝－2x ＋1

[解析] 点斜式为y －3＝－2(x ＋1)，化为斜截式为y ＝－2x ＋1.

2．已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________． [答案] y －1＝－(x －2)

[解析] 设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2， ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1. 又k 2＝1，∴k 1＝－1.

∴l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．