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伴随矩阵

伴随矩阵
伴随矩阵

伴随矩阵

定义

A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

1.把A的每个元素都换成它的代数余子式；

（代数余子式定义：在一个n级行列式D中,把元素第i行第j列元素aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下

的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)^(i+j)称

为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j) Mij. ）

2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，

补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除 A的行列式D中元素aij对应的第j行第i行得到的新行列式D1

代替 aij，这样就不用转置了）

即： n阶方阵的伴随矩阵A*为

A11 A21 A31....An1

A12.................. An2

A13 ..................An3

.... .....

A1n................ Ann

例如：A是一个2x2矩阵，

a11，a12

a21，a22

则A的伴随矩阵 A* 为

a22, -a12

-a21, a11

（余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A 的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）

伴随矩阵的性质：

原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如

1 2 3

2 2 1 ------->

3 4 3

+2 6 -4

-3 -6 5

2 2 -2

其中1对应5 ；2 2 对应-3； 3对应2；等等

伴随矩阵的求法:

① 当矩阵是大于等于二阶时：

主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.

非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的.

主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以

(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。

常用的可以记一下：

a b

—— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a)

②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵.

3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日

目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

总结求矩阵的逆矩阵的方法

总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：

摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快 捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method

正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成

数据结构课程设计-特殊矩阵计算器

特殊矩阵计算器 1、特殊矩阵计算器 问题描述：创建两个特殊矩阵 A 和 B，计算 A+B、A-B、A*B、B*A、A（或 B）的逆、A（或 B）的转置、A（或 B）的行列式等，具体要求如下：① A、B 均是压缩存储的特殊矩阵，如上/下三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵、单位矩阵等。 ② A、B 的矩阵类型、行列数、各位置的元素值等信息均在运行时指定（对于不同类型的矩阵，要求输入的数据也不尽相同）。③各运算若可行，则打印结果；若不可行，则给出提示信息。④各运算需自己实现，禁止调用语言内建或第三方类库的矩阵 API。 涉及算法及知识：特殊矩阵的压缩存储、矩阵相关运算。 #include<> #include<> #define max 100 typedef struct{ int row,col;//定义矩阵行数、列数 int a[max][max]; }Matrix; //存储结构 typedef struct{ int array[max]; int n; //定义矩阵的阶 }M; Matrix A,B,C,D; M p; //*************矩阵的压缩存储*********************// int CompressMatrix(int m,int i,int j,int n){ int k;

if(m==1){ if(i<=j) k=(2*n-i+1)*i/2+(j-i)+1; else k=0; return k; } if(m==2){ if(i>=j) k=i*(i+1)/2+j+1; else k=0; return k; } if(m==3){ if(i>=j) k=i*(i+1)/2+j; else k=j*(j+1)/2+i; return k; } if(m==4){ if(i!=j) k=0; else k=i+1;

第3章 矩阵及其运算

第3章 矩阵及其运算 3.1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等 变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1 3.2.1 重要定义 定义3.1 由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为 ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2122221 11211 简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相 同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1 无意义.

n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在 运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵， 又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0?，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的 元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =n m ij a ?)(，则A -n m ij a ?-=)(称为A 的负矩阵. 若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记 为||A 或A Det . 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '. 若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵. 若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩 阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(. 定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则 称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B . 对于方阵A n m ij a ?=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵 *A ????????????=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111 称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义3.3 设有矩阵A ，如果： （1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.

卡西欧计算器fx-991CN X科学函数计算器(六)

卡西欧计算器fx-991CN X科学函数计算器（六） 矩阵是高等代数中常用的工具，在天体物理、量子力学等领域有着广泛运用，学习对高中理科生以及大学生都有非常重要的作用。卡西欧fx-991CN X是卡西欧第三代新型函数计算器，具备矩阵、计算、复数、统计、表格、方程/函数、向量等10种计算模式，能支持4×4矩阵计算，能够复制以及编辑矩阵变量。 一、基本操作 在卡西欧fx-991CN X科学函数计算器矩阵模式中，可以设置矩阵变量（MatA、MatB、MatC、MatD），指定、编辑变量以及矩阵元素，复制矩阵，并进行矩阵运算。 1.设置矩阵变量 进入矩阵模式后，选择1（MatA），根据需求设置矩阵的行与列。同理可设置MatB、MatC、MatD三个矩阵。

2.指定并编辑矩阵的变量数据 1）按OPTN+1（定义矩阵），然后在显示的菜单中，选择要向其指定数据的矩阵变量。 2）在出现的对话框上，使用一个数字按钮指定行数。 3）在出现的下一个对话框上，使用一个数字按钮指定行数。 4）使用显示的矩阵编辑器输入矩阵的元素。 3.编辑矩阵变量的元素 1）按OPTN+2（编辑矩阵），然后在显示的菜单中，选择要编辑的矩阵变量。 2）使用显示的矩阵编辑器编辑矩阵的元素。 4.矩阵答案存储器 无论何时，只要在矩阵模式中执行的计算结果为矩阵，MatAns屏幕都将显示该结果。该结果还会指定给名为“MatAns”的变量。 5.复制矩阵变量或（MatAns）的内容 1）使用矩阵编辑器显示要复制的矩阵。

2）按STO ，然后执行以下键操作之一，以指定复制目标：(-)（MatA ）、“。，，，”（MatB ）、x 1 -（MatC ）或sin （MatD ）。 二、矩阵计算示例 已知MatA=??????1112，MatB=??????--2112，MatC=??? ???--111001，请确认MatA 的平方和立方（MatA 2、MatA 3）。在计算器键盘上按下AC+MatA+2x 按键，然后确认得出结果? ?????2335；按下AC+MatA+SHIFT+2x +（3x ），确认得出答案? ? ? ???58813。 需要注意的是，不得使用?x 进行输入，需要使用2x 指定平方，并使用SHIFT+2x +（3x ）指定立方。

逆矩阵的几种常见求法

逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理

设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.

矩阵数值算法

计算实习报告 一 实习目的 （1）了解矩阵特征值与相应特征向量求解的意义，理解幂法和反幂法的原理， 能编制此算法的程序，并能求解实际问题。 （2）通过对比非线性方程的迭代法，理解线性方程组迭代解法的原理，学会编 写Jacobi 迭代法程序，并能求解中小型非线性方程组。初始点对收敛性质及收 敛速度的影响。 （3）理解 QR 法计算矩阵特征值与特征向量的原理，能编制此算法的程序，并 用于实际问题的求解。 二 问题定义及题目分析 1. 分别用幂法和幂法加速技术求矩阵 2.5 2.5 3.00.50.0 5.0 2.0 2.00.50.5 4.0 2.52.5 2.5 5.0 3.5-?? ?- ?= ?-- ?--?? A 的主特征值和特征向量． 2. 对于实对称矩阵n n ?∈A R ，用Jacobi 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部 特征值． 1515 4 1141144114114?-?? ?-- ? ?- ?= ? ?- ?-- ? ?-??A 3. 对于实矩阵n n ?∈A R ，用QR 方法编写其程序，并用所编程序求下列矩阵的全部特征值: 111 21 113,4,5,62311111n n n n n n ? ???? ?????==+? ????? ??+??A 三 概要设计 （1） 幂法用于求按模最大的特征值及其对应的特征向量的一种数值算法，

它要求矩阵 A 的特征值有如下关系： 12n ...λλλ>≥≥ ，对于相应 的特征向量。其算法如下： Step 0：初始化数据0,, 1.A z k = Step 1：计算1k k y A z +=。 Step 2：令 k k m y ∞=。 Step 3：令 k k k z y m = ；如果1k k m m +≈或1k k z z +≈，则 goto Step 4；否则 ， k = k + 1 ，goto Step 1。 Step 4：输出结果 算法说明与要求 输入参数为实数矩阵、初始向量、误差限与最大迭代次数。输出 参数为特征值及相对应的特征向量。注意初始向量不能为“0”向量。 （2） 迭代法的原理 如果能将方程 Ax =b 改写成等价形式：x=Bx+f 。如果B 满足：ρ(B )<1，则对于任意初始向量 x (0) ，由迭代 x ( k + 1) = Bx (k ) + f 产生的序列均收敛到方程组的精确解。迭代法中两种最有名的迭代法就是Jacobi 迭代法，它的迭代矩阵 B 为： 1()J D L U -=-+,1 f D b -= 其中，D 为系数矩阵 A 的对角元所组成对角矩阵，L 为系数矩阵 A 的对角元下方所有元素所组成的下三角矩阵，U 为系数矩阵 A 的对角元上方所有元素所组成的上三角矩阵。 算法如下： Step 0：初始化数据 00,,,,k A b x δ=和ε。 Step 1：计算D,L,U,J 或G, 得到迭代矩阵B. Step 2：:1k k =+ 0x B x f * =+ 0x x = 如果0x x δ-<或()f x ε≤，goto Step 3?否则 goto Step ２。 Step 3：输出结果。 程序说明与要求

四则运算计算器

基于单片机实现的四则运算计算器 姓名 学号： 班级： 专业名称：测控技术与仪器 指导教师： 东北大学 2016年1月

课程设计（论文）任务书课程设计（论文）题目：基于单片机实现的四则运算计算器 基本内容和设计要求： 1、主机的矩阵键盘输入数和运算符号，从机显示运算结果。 2、主从单片机串行通信系统，并在LCD上显示运算内容及结果。 3、计算结果超过十位数字则显示错误。 4、运算除法时，结果只取整数，不是四舍五入。 5、有清零功能。

目录 课程设计（论文）任务书................................................................................................ i i 摘要 (1) 第1章绪论 (2) 1.1计算器简介 (2) 1.2设计主要内容 (2) 第2章系统硬件设计 (4) 2.1硬件组成 (4) 2.2输入模块 (4) 2.3输出模块 (5) 2.4运算模块 (5) 第3章系统软件设计 (7) 3.1 主程序 (7) 3.1.1主程序框图及初始化 (7) 3.1.2LCD程序框图及初始化 (8) 3.1.3键盘程序框图及初始化 (9) 3.1.4运算程序框图 (10) 第4章调试测试与实验分析 (11) 4.1 计算器调试 (11) 参考文献 (12) 心得体会 (13) 附录硬件原理图及PCB图 (14) 附录程序清单 (15) 附录实物照片 (28)

摘要 单片机的出现是计算机制造技术高速发展的产物，它是嵌入式控制系统的核心，如今，它已广泛的应用到我们生活的各个领域，电子、科技、通信、汽车、工业等。本设计是基于89C52RC单片机来进行的四则运算计算器系统设计，可以完成计算器的键盘输入，进行加、减、乘、除的基本四则运算，并在LCD1602液晶显示屏上显示相应的结果。本电路采用89C52RC单片机为主要控制电路，利用4*4矩阵键盘作为计算器以及运算符的输入。显示采用字符LCD静态显示。软件用C语言编程，并用开发板进行演示。 关键词：计算器，89C52RC单片机，LCD，矩阵键盘

伴随矩阵

伴随矩阵 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了） 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。

则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4

-3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反

c语言 矩阵计算器

#include #define M 20 #define N 20 float A[M][N]; //定义了含有400个浮点型数组元素的二维数组 float B[M][N]; float C[M][N]; int i,j,m,n,p,q,k; int main() { printf(" ###########################################\n"); printf(" ### 欢迎您使用矩阵计算器系统。###\n"); printf(" ### 系统功能:###\n"); printf(" ### 计算两个矩阵相加,相减; ###\n"); printf(" ### 矩阵相乘；矩阵转置; ###\n"); printf(" ### ###\n"); printf(" #########################################\n\n"); int x; do{ printf("请选择您需要的运算，若退出则选择0后按回车键结束\n"); printf("******************************************************************\n") ; printf("0，退出\n"); printf("1，矩阵相加\n"); printf("2，矩阵相减\n"); printf("3，矩阵相乘\n"); printf("4，矩阵转置\n"); printf("******************************************************************\n") ; scanf("%d",&x); switch (x) {

伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证

A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001

矩阵链算法

/************************ Matrix Chain Multiplication ***************************/ /************************ 作者：Hugo ***************************/ /************************ 最后修改日期：2015.09.10 ***************************/ /************************ 最后修改人：Hugo ***************************/ using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; using System.Threading.Tasks; using System.Text.RegularExpressions; using System.Collections; namespace Matrix { class Program { public static int nummulti = 0; static ArrayList list1 = new ArrayList();//定义计算式存储列表 static ArrayList listrow = new ArrayList();//定义矩阵行数存储列表 static ArrayList listcolumn = new ArrayList();//定义矩阵列数存储列表 static void Main(string[] args) { /****************************************************************************** *****************/ //从键盘上获取矩阵 int nummatrix = Int32.Parse(Console.ReadLine()); int countmat = 0; for (countmat = 0; countmat < nummatrix; countmat++) { string s = Console.ReadLine(); string[] str = s.Split(' ');//把输入的一行字符按空格拆分 listrow.Add(Int32.Parse(str[1]));//行数存储到矩阵行数存储列表 listcolumn.Add(Int32.Parse(str[2]));//列数存储到矩阵列数存储列表

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用 摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出

矩阵求逆方法大全-1

求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→

matlab-GUI矩阵计算器

数学应用软件工具箱开发 ——矩阵计算器 姓名：*** 学号：******** 指导老师：*** 专业：******** 2014年9月11日

一.操作过程 1.准备工作 ①在Matlab的主窗口中，选择File菜单中的New菜单项，再选择其中的GUI 命令，就会显示GUI的设计模板； ②选择GUI模板中的默认的空白模版Blank GUI（Default）就会显示GUI设计窗口，可以开始设计矩阵计算器了。 2.设计过程 ①在GUI界面中加入以下控件： 1>2个文本编辑器(edit text)作为输入矩阵的窗口； 2>16个用以执行运算的按钮（push button）； 3>4个静态文本框（static text），其中一个作为显示计算所得结果的窗口，另外3个分别作为表示所输入的矩阵（A、B）以及用来输入标题（矩阵计算器）； 4>加入3个按钮组（button group）分别圈住： a.1>中的2个控件及3>中的A、B； b.2>中的16个计算按钮； c.3>中的显示计算结果的窗口。 ②分别双击以上25个控件修改其string属性如下： 1>中的改为空白（将原有的“edit text”删掉）； 2>中的改为对应的矩阵运算或文字，如“+”、“/R”、“秩”、“逆”等（见图1）； 3>中的按顺序改为空白、“A”、“B”以及“矩阵计算器”； 4>中的按钮组分别改为“输入区”、“功能区”、“输出区”。 ③对每个控件分别单击右键，选择“view callback”→“callback”→“保存”，在每个控件的函数后加入代码（见附件）。 ④此外，还需要做的小变动有： 1>②中修改string属性时通过修改fontWeight及fontSize把string的字符粗细、字号也一并修改了。 2>分别双击2个文本编辑器(edit text)将其max属性取值为100或更大的值，以使编辑器有滚动条，方便显示输入的维数比较大的矩阵。 3>双击计算结果窗口将其style改为listbox，也用于显示维数比较大的计算结果。

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日

目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3) 摘要 (4) 关键词 (4) 0引言 (4) 1主要结论 (4) 1.1伴随矩阵的基本性质 (4) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10) 2应用举例 (11) 例1 (11) 例2 (11) 结束语 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的 2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1) i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A * = 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ??? ?? ?? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 1主要结论 1.1伴随矩阵的基本性质 性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么

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