高中高考数学立体几何易错题选及解析

高中高考数学立体几何易错题选及解析

一、选择题：

1．设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ ）

A 共线

B 共面

C 不共面

D 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。

2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM( )

A 是AC 和MN 的公垂线

B 垂直于A

C 但不垂直于MN C 垂直于MN ，但不垂直于AC

D 与AC 、MN 都不垂直 正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。

3．已知平面α∥平面β，直线L ?平面α,点P ∈直线L,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10，且到L 的距离为9的点的轨迹是（ ）

A 一个圆

B 四个点

C 两条直线

D 两个点

正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。 4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持A P ⊥

BD 1,则动点P 的轨迹（ ）

A 线段

B 1

C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段 C 线段BC 1

D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段

正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。

5． 下列命题中：

① 若向量、与空间任意向量不能构成基底，则∥ 。 ② 若a ∥b ， b ∥c ，则c ∥a .

③ 若 、 、是空间一个基底，且 =

31＋31 ＋3

1

,则A 、B 、C 、D 四点共面。

④ 若向量 a + b ， b + c ， c + a 是空间一个基底，则 a 、 b 、 c 也是空间的一个基底。其中正确的命题有（ ）个。

A 1

B 2

C 3

D 4

正确答案：C 错因：学生对空间向量的基本概念理解不够深刻。

6．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b 在面α内的射影为c ，直线a ⊥c ，则a ⊥b ④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )

正确答案：①

错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清

7．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )

A 、7

B 、8

C 、9

D 、10 正确答案：A

错误原因：4+8—2=10

8．下列正方体或正四面体中，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )

正确答案：D

错误原因：空间观点不强

9． a 和b 为异面直线，则过a 与b 垂直的平面( )

A 、有且只有一个

B 、一个面或无数个

C 、可能不存在

D 、可能有无数个 正确答案：C

错误原因：过a 与b 垂直的夹平面条件不清 10．给出下列四个命题：

（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.

（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V 、面数F 满足的关系式为2F

－V=4.

（3）若直线l ⊥平面α，l ∥平面β，则α⊥β.

（4）命题“异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是

（ ）

A ．（2）（3）

B ．（1）（4）

C ．（1）（2）（3）

D ．（2）（3）（4）

正确答案：A

11．如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（ ）

A ．75°

B ．60°

C ．50°

D ．45° 正确答案：C

12．一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ）

A 、α+β<900

B 、α+β≤900

C 、α+β>900

D 、α+β≥900 答案：B

点评：易误选A ，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。

13．在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数

Q R · · S · P · · P · B S · R ·

· S · P Q ·

R · C · R P · · · D Q A Q S

为（ ）

A 、2个

B 、4个

C 、6个

D 、8个 答案：B

点评：易瞎猜，6个面不合，6个对角面中有4个面适合条件。

14．△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面

角B-AD-C ，若b

a

=

θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形

C 、直角三角形

D 、形状与a 、b 的值有关的三角形 答案：C

点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。

15．设a ，b ，c 表示三条直线，βα,表示两个平面，

则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。 A. α⊥c ，若β⊥c ，则βα// B. α?b ，α?c ，若α//c ，则c b // C. β?b ，若β⊥b ，则αβ⊥

D. β?b ，c 是α在β内的射影，若c b ⊥，则α⊥b 正解：C

C 的逆命题是β?b ,若αβ⊥，则a b ⊥显然不成立。 误解：选B 。源于对C 是α在β内的射影理不清。

16． α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（ ）。

A. α和β都垂直于平面

B. α内不共线的三点到β的距离相等

C. m l ,是α平面内的直线且ββ//,//m l

D. m l ,是两条异面直线且ββαα//,//,//,//l m m l 正解：D

对于βα,,A 可平行也可相交；对于B 三个点可在β平面同侧或异侧；对于m l C ,,在平面α内可平行，可相交。

对于D 正确证明如下：过直线m l ,分别作平面与平面βα,相交，设交线分别为

11,m l 与22,m l ，由已知βα//,//l l 得21//,//l l l l ，从而21//l l ，则β//1l ，同理β//1m ，βα//∴。

误解：B

往往只考虑距离相等，不考虑两侧。

17．一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D 、E 、F ，且知SD ：DA=SE ：EB=CF ：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）

A.

2923 B. 2719

C. 3130

D. 27

23

正解：D 。

当平面EFD 处于水平位置时，容器盛水最多

2121sin 3

1sin 313131h ASB SB SA h DSE SE SD h S h S V V SAB SDE SAB

C SDE F ?∠????∠???=??=∴

??-- 27

431323221=??=??=

h h SB SE SA SD 最多可盛原来水得1－

27

23

274=

误解：A 、B 、C 。由过D 或E 作面ABC 得平行面，所截体计算而得。

18．球的半径是R ，距球心4R 处有一光源，光源能照到的地方用平面去截取，则截面的最大面积是（ ）。

A. 2

R π

B.

2

1615R π C. 2169R π

D. 2

2

1R π

正解：B 。

如图，在Rt OPA ?中，AB OP ⊥于B 则2

OA OB OP =?即2

4R OB R =?

14OB R ∴=

又22221516

AB OA OB R =-= ∴以AB 为半径的圆的面积为215

16

R

误解：审题不清，不求截面积，而求球冠面积。

P

A

B O

19．已知AB 是异面直线的公垂线段，AB=2，且a 与b 成ο

30角，在直线a 上取AP=4，则

点P 到直线b 的距离是（ ）。

E. 22

F. 4

G. 142 b

H. 22或142

正解：A 。过B 作BB ’∥a ，在BB ’上截取BP ’=AP ，连结PP ’，过P ’作P ’Q ⊥b 连结PQ ，∴PP ’⊥由BB ’和b 所确定的平面，∴PP ’⊥b

∴ PQ 即为所求。在Rt ?

PQP ’中，PP ’=AB=2,P ’Q=BP ’,BQ P 'sin ∠=AP ?ο

30sin =2, ∴PQ=2。

误解：D 。认为点P 可以在点A 的两侧。本题应是由图解题。

20．若平面α外的直线a 与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是 （ ） （A ）)2

,

0(π

（B ）)2

,

0[π

（C ）]2

,

0(π

（D ）]2

,

0[π

错解：C

错因：直线在平面α外应包括直线与平面平行的情况，此时直线a 与平面α所成的角为0 正解：D

21．如果a,b 是异面直线，P 是不在a,b 上的任意一点，下列四个结论：（1）过P 一定可作直线L 与a , b 都相交；（2）过P 一定可作直线L 与a , b 都垂直；（3）过P 一定可作平面α与a , b 都平行；（4）过P 一定可作直线L 与a , b 都平行，其中正确的结论有（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 答案：B

错解：C 认为（1）（3）对 D 认为（1）（2）（3）对

错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。

22．空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ）

A 、1对

B 、2对

C 、3对

D 、4对 答案：C 错解：D

错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。 23．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是

A 、一定是正三棱锥

B 、一定是正四面体

C 、不是斜三棱锥

D 、可能是斜三棱锥 正确答案：（D ）

错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D

24．给出下列四个命题：

（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

（2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V ，面数F 满足的关系式为

2F-V=4

（3） 若直线L ⊥平面α，L ∥平面β，则α⊥β

（4） 命题“异面直线a,b 不垂直，则过a 的任一平面和b 都不垂直”的否定，其中，正

确的命题是 （ ）

A 、（2）（3）

B 、（1）（4）

C 、（1）（2）（3）

D 、（2）（3）（4） 正确答案：（A ）

错误原因：易认为命题（1）正确

二填空题：

1. 有一棱长为a 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的

形状），则气球表面积的最大值为__________.

错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a ，球的表面积为2

a π。这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为

，所以正确答案为：22a π。

2. 一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离

心率为2

e =，则该时刻这平行光线对于水平平面的入射角为________。 错解：答

6π。错误原因是概念不清，入射角应是光线与法线的夹角，正确答案为：3

π。 3. 已知正三棱柱1

1

1

ABC A B C -底面边长是10，高是12，过底面一边AB ，作与底面ABC

成0

60角的截面面积是___________________。

错解：学生用面积射影公式求解：

1004cos 60S S S ===底底截＝

错误原因是没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是： 4. 过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。

错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。 正确答案是不能确定。

5. 判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线

垂直于另一个平面。 正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。

6. 平面α外有两点A,B ，它们与平面α的距离分别为a,b ，线段AB 上有一点P ，且

AP:PB=m:n ，则点P 到平面α的距离为_________________.

错解为：

na mb

m n

++。错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形，忽略AB 在平面两测的

情况。正确答案是：|na mb mb na

m n m n

+-++或|

。 7. 点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成0

30的角，则AB 的长等于_____.

错解：16. 错误原因是只考虑AB 在平面同侧的情形，忽略AB 在平面两测的情况。正确答案是：16或64。

8. 判断若a,b 是两条异面直线，p 为空间任意一点，则过P 点有且仅有一个平面与a,b 都平

行。

错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P 在其中一条线上，或a 与P 确定平面时恰好与b 平行，此时就不能过P 作平面与a 平行。

9．与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面共有______个。 正确答案：7个 错误原因：不会分类讨论

10．在棱长为1的正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，若G 、E 分别为BB 1，C 1D 1的中点，点F 是正方形ADD 1A 1的中心，则四边形BGEF 在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。 正确答案：

2

1 错误原因：不会找射影图形

11．△ABC 是简易遮阳板，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD 面积最大，遮阳板ABC 与地面所成角应为_________。 正确答案：50° 错误原因：不会作图

12．平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为

2

1

的椭圆，则角θ等于_______。

正确答案：30°

错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。

13．把半径为r 的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。

正确答案：(

12

6

+)r 错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上

14．AB 垂直于BCD ?所在的平面，4:3:,17,10===BD BC AD AC ，当BCD ?的

面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 。正确答案：

135

15．在平面角为600的二面角βα--l 内有一点P ，P 到α、β的距离分别为PC=2cm ，

PD=3cm ，则P 到棱l 的距离为____________

答案：

3

57

2cm 点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。

16．已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，D 是底面三角形内一点，且∠

DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________ 答案：600

点评：以PD 为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD 与棱PC 的夹角，利用

cos 2450+cos 2600+cos 2α=1得α=600，构造模型问题能力弱。

17．正方体AC 1中，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，

试写出满足条件的一个截面____________ 答案：面AD 1C 点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD 1C ，

易瞎猜。

18．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为_____议程。

正解：

5

2。 设5242,22=+=

=AB x BD

55

25

25

222=

=

=

x 58

555252=-

=AD CD AD CD BD AB CD ⊥⊥∴⊥,,Θ

ADB ∠Θ为二面角的平面角，2

π

=

∠∴ADB

22)55

8

()552(

+=∴AB 5

852*******=+=

5

2422)8552

(

42cos 2

22=??-+=

∠∴ACB

误解：折叠后仍然CD AD CD BD ⊥⊥,判断不了，找不到AB ADB Rt ,?的长求不出。

19．某地球仪上北纬ο

30，纬线的长度为cm π12，该地球仪的半径是_____cm ，表面积是_____

cm 2。

正解：π192,34

设地球仪的半径为R ，纬线的半径为r 。 由已知ππ122=r ，6=r

πππ1924844,34,2

3

6,30cos 2=?===?

=∴?=R S R R R r 表故οΘ。 误解：误将πππππ1443644,61222

=?====R S R R 得

20．自半径为R 的球面上一点P 引球的两两垂直的弦PA 、PB 、PC,则

222PC PB PA ++=_____。

正解:24R ,可将PA,PB,PC 看成是球内接矩形的三度,则2

22PC PB PA ++应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。

误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。

21．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα??AC ,，则∠BAC= 。 错解：600

错因：画图时只考虑一种情况 正解：600或1200

22．直线l 与平面α成角为300，m A m A l ??=?,,αα则m 与l 所成角的取值范围是 错解：[ 300 , 1200]

错因：忽视两条直线所成的角范围是]90,0[0

正解：[ 300 , 900]

23．若AB 的中点M 到平面α的距离为cm 4，点A 到平面α的距离为cm 6，则点B 到平面

α的距离为_________cm 。

错解：2

错因：没有注意到点A 、B 在平面α异侧的情况。 正解：2、14

24．已知直线L ∩平面α=O ，A 、B ∈L ，→

OA = 4 ，8=→

AB ；点A 到平面α距离为1，则点B 到平面α的距离为 。 答案：1或3 错解：3

错因：考虑问题不全面，点A ，B 可能在点O 的同侧，也可能在O 点两侧。

25．异面直线a , b 所成的角为?60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为?60，这样的直线L 有 条。 答案：三条

错解：一条

错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P 作b a b b a a '''',,//,//由确定一平面α，画b a '',相交所成角的平分线m 、g ，过m, g 分别作平面α的垂面γβ,，则在γβ,中易找到所求直线共有3条。

26．点P 是?ABC 所在平面外一点，且P 在?ABC 三边距离相等，则P 点在平面ABC 上的射影是?ABC 的 心。 答案：内心或旁心 错解：内心

错因：P 在平面ABC 内的正射影可能在?ABC 内部，也可能在?ABC 外部。

27．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长为1，若把四面体的体积V 表示成x 的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。 正确答案：（0，

2

6

] ?

??

?

?

??326， 错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x 的隐藏范围。 28．在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AD 的中点，则点A 1到平面为EF 的距离为 正确答案：

3

2 错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。

29．点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 正确答案：

5

70

2 错误原因：找不到解题思路

三、解答题：

1. 由平面α外一点P 引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC ，O 为⊿ABC 的外心，

求证：OP α⊥。

错解：因为O 为⊿ABC 的外心，所以OA ＝OB ＝OC ，又因为PA ＝PB ＝PC ，PO 公用，所以⊿POA ，⊿POB ，⊿POC 都全等，所以∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，所以OP α⊥。 错解分析：上述解法中∠POA ＝∠POB ＝∠POC ＝RT ∠，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。 正解：取BC 的中点D ，连PD ，OD ，

,,,,,,AB PO PO .

PB PC OB OC BC PD BC OD BC POD BC PO α==∴⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥Q 面同理，

2. 一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中放一个半径为1cm 的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能到达的空间的体积。

错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。 错误原因是空间想像力不够。

正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：

33144

8[1(1)]8833

ππ-?=-，

除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个114??的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为2

1[114(1)4]48124

ππ??-??=-。其他空

间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：

3440

(8)481256()33

cm πππ-+-=-。

3．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=8，AA 1=4，M 为B 1C 1上一点，且B 1M=2，

点N 在线段A 1D 上，A 1D ⊥AN ，求： (1)

),cos(1AM D A ；

(2) 直线AD 与平面ANM 所成的角的大小； (3) 平面ANM 与平面ABCD 所成角（锐角）的大小. 解：(1) 以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴. 则D(0,8,0)，A 1 (0，0，4)，M(5,2,4) 4,8,0(1-=∴D A ) )4,2,5(=AM

∵01=?AM D A ∴0,cos 1>=∠AM D A

(2) 由(1)知A 1D ⊥AM ，又由已知A 1D ⊥AN ，⊥∴D A 1平面AMN ，垂足为N. 因此AD 与平面所成的角即是.DAN ∠ 易知2arctan 1=∠=∠D AA DAN

(3) ∵⊥1AA 平面ABCD ，A 1N ⊥平面AMN ，

∴11NA AA 和分别成为平面ABCD 和平面AMN 的法向量。 设平面AMN 与平面ABCD 所成的角（锐角）为θ，则

5

5

arccos

),(1111=∠=∠==D AA N AA NA AA θ 4．点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ．

（Ⅰ）求EOF ∠的大小； （Ⅱ）求二面角E OF A --的大小．

解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H

，则

EG FH ==

，GH =．

22222

EF GH EG FH EG FH ∴=++-?

222012.=++-=

又在EOF ?中，2OE OF ==，

2221cos 22

OE OF EF EOF OE OF +-∴∠===-?．

120EOF ∴∠=o ．

（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．

∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．

∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角．

在Rt ?EGM 中，90EGM ∠=o

，EG =，1

12

GM OE ==，

∴tan EG

EMG GM

∠=

=EMG ∠= 所以，二面角E OF A --的大小为arctan ． 解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O －xyz ，

则(1,OE =-u u u r ，(0,2,0)OF =u u u r

．

1

cos ,2||||

OE OF OE OF OE OF ?∴<>==-u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u u

r u u u r ． 120EOF ∴∠=o ．

（Ⅱ）设平面OEF 的法向量为1(1,,)n y z =u r

． 由110,0,n OE n OF ?=?=u r u u u r u r u u u r

得

120,20,

y z y ?-+=?

?

=??解得20,2y z ==-． 所以，12

(1,0,)n =-u r ． 又因为平面AOF 的法向量为2(0,0,1)n =u u r

，

1212123

cos ,||||

n n n n n n ?∴<>==u r u u r

u r u u r u u

r u u r ．∴123,arccos n n <>=u r u u r ． 所以，二面角E OF A --的大小为3

arccos

3

． 5．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长等于

b ，一条侧棱AA 1与底面相邻两边AB 、AC 都成450角，求这个三棱柱的侧面积。 解：过点B 作BM ⊥AA 1于M ，连结CM ，在△ABM 和△ACM 中，∵AB=AC ，∠MAB=∠MAC=450，MA 为公用边，∴△ABM ≌△ACM ，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA 1⊥面BHC ，即平面BMC 为直截面，又BM=CM=ABsin450=2

2

a ，∴BMC 周长为

2x 2

2a+a=(1+2)a ，且棱长为b ，∴S 侧=(1+2)ab

点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，

即“过BC 作平面与AA 1垂直于M ”；三是由条件“∠A 1AB=∠A 1AC ?∠AA 1在底面ABC 上的射影是∠BAC 的平分线”不给出论证。

6．如图在三棱柱ABC-'''C B A 中，已知底面ABC 是底角等于

ο30，底边AC=34的等腰三角形，且

22','=⊥C B AC C B ，面AC B '与面ABC 成ο45，B A '与

'AB 交于点E 。

1) 求证：'BA AC ⊥；

2) 求异面直线AC 与'BA 的距离；

A 1

C 1C B

A

M

B 1

3) 求三棱锥BEC B -'的体积。 正解：①证：取AC 中点D ，连ED ，

ED AB E ∴的中点，是'Θ//2'2

=C B

AC DE AC C B ⊥∴⊥,'Θ

又ABC ?Θ是底角等于ο

30的等腰?，D DE BN AC BD =⊥∴I ,

',,BA AC BE AC BDE AC ⊥⊥∴⊥∴即面

②解：由①知的一个平面角，是二面角B AC B EDB --∠'

23

3

3230tan ,245=?

===∠∴οοAD BD ED EDB ，＝ 在

22

2224245cos 2222=?

?-+=?-+=?αοBD ED BD ED EB DBE 中：ED BE ED Rt BDE EB ,,,2⊥??∴=∴是等腰是异面直线AC 与'BA 的距离，

为2

③连，面又BED AC BD D A ED EA ED D A ⊥⊥∴=

==,',2','

2'',','=⊥∴⊥∴?D A ABC D A AC D A BED D A 且面面

33

8

')(2131'31'=???=?=?-D A AC BD D A S V ABC ABC B

33

4

2121''''''====----ABC B ABB C BEB C BEC B V V V V

误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后

错解。

7．如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。求

4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长； 5) PC 和NC 的长；

6) 平面NMP 和平面ABC 所成二面

角（锐角）的大小（用反三角函数表示）

正解：①正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对

角线长为974922=+

②如图1，将侧面BC 1旋转ο

120使其与侧面AC 1在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过CC 1到点M 的最短路线。 设PC ＝x ，则P 1C ＝x ，

在2,292)32

2

1==+?x x MAP Rt ＋中，（

5

4

,5211=∴==∴

NC A P C P MA MC ③连接PP 1（如图2），则PP 1就是NMP 与平面ABC 的交线，作NH 1PP ⊥于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，1PP CH ⊥。

所成二面角的平面角。与平面就是平面ABC NMP NHC ∠∴

1,602

11=∴=∠=

∠?CH PCP PCH PHC Rt ο

Θ中，在 54

tan ==∠?CH NC NHC NCH Rt 中，在

误解：①不会找29 的线段在哪里。 ②不知道利用侧面BCC 1 B 1展开图求解。 ③不会找二面角的平面角。