七年级数学思维探究：绝对值与方程(有答案)(数学竞赛)

七年级数学思维探究：绝对值与方程(有答案)(数学竞赛)

商高是公元前11世纪的中国数学家,当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期,数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理,在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩,勾广三,股修四,经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为3和

4时,直角三角形的斜边就是5,勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理,是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元

前6世纪发现的． 9．绝对值与方程 解读课标

绝对值是数学中活性较高的一个概念,当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题,如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．

绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程,解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有： 1．最简绝对值方程

形如()0ax b c c +=≥是最简单的绝对值方程,可化为两个一元一次方程ax b c +=与ax b c +=-． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程

这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解． 问题解决

例1 方程525x x -+=-的解是________．

试一试原方程变形为552x x -=--,再把此方程化为一般方程求解．

例2若关于x 的方程230x m -+=无解,340x n -+=只有一个解,450x k -+=有两个解,则m ,n ,k 的大小关系为（）．

A ．m n k >>

B ．n k m >>

C ．k m n >>

D ．m k n >> 试一试从方程ax b c +=有解的条件入手． 例3解下列方程： （1）314x x -+=； （2）311x x x +--=+； （3）134x x ++-=．

试一试对于（1）,从内向外,运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是,方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．

例4 如图,数轴上有A 、B 两点,分别对应的数为a 、b ,已知()2

1a +与3b -互为相反数．点P 为数轴上一动点,其对应的数为x ．

（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等,求点P 对应的数．

（2）数轴上是否存在点P ,使点P 到点A 、点B 的距离之和为5？若存在,请求出x 的值；若不存在,说明理由；

（3）当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向左运动时,点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动,点

B 以每分钟20个单位长度的速度向左运动,问几分钟时点P 到点A 、点B 的距离相等？

试一试由绝对值的几何意义建立关于x 的绝对值方程． 例5讨论关于x 的方程25x x a -+-=的解的情况．

分析与解a 与方程中常数2、5有依存关系,这种关系决定了方程解的情况．

故寻求这种关系是解本例的关键,利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具． 数轴上表示数x 的点到数轴上表示数2和5的点的距离和的最小值为3,由此可得原方程的解的情况是： （1）当3a >时,原方程有两解；

（2）当3a =时,原方程有无数解()25x ≤≤； （3）当3a <时,原方程无解． 数学冲浪 知识技能广场 1．若9x =是方程

123x m -=的解,则m =_______；又若当1n =时,则方程1

23

x n -=的解是_____． 2．方程3121x x -=+的解是_______；x =_______是方程()3115

x

x -=+的解；

解方程399019951995x +=,得x =_______．

3．如果()2

230x x y -+-+=,那么()2

x y +的值为________． 4．已知关于x 的方程()22ax a x +=-的解满足1

102

x -

-=,则a 的值为（）． A ．10或25B ．10或25- C ．10-或25 D ．10-或2

5

-

5．若20042004202004x +=?,则x 等于（）．

A ．20或21-

B ．20-或21

C ．19-或21

D ．19或21- 6．方程880m m +++=的解的个数为（） A ．2个 B ．3个C ．无数个 D ．不确定 7．解下列方程 （1）1

42

132

x -+=；（2）221x x -=-； -2

-1

3

（3）3548x -+=；（4）213x x -+=．

8．求关于x 的方程()21001x a a ---=<<的所有解的和． 9．解方程32x k +-=．

10．已知a 、b 、c 、d 都是整数,且2a b b c c d d a +++++++=,则a d +=_______． 11．若1x 、2x 都满足条件21234x x -++=,且12x x <,则12x x -的取值范围是_______． 12．满足方程2006182006x --+=的所有x 的和为________． 13．若关于x 的方程21x a --=有三个整数解,则a 的值为（） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3

14．方程27218a a ++-=的整数解的个数有（） A ．5 B ．4 C ．3D ．2

15．若a 是方程20042004a a -=+的解,则2005a -等于（） A ．2005a - B ．2005a -- C ．2005a + D ．2005a -+ 16．解下列方程

（1）200520052006x x -+-=； （2）154x x -+-=．

17．当a 满足什么条件时,关于x 的方程25x x a ---=有一解？有无数多个解？无解？ 应用探究乐园

18．如图,若点A 在数轴上对应的数为a ,点B 在数轴上对应的数为b ,且a ,b 满足()2

210a b ++-=．

（l ）求线段AB 的长；

（2）点C 在数轴上对应的数为x ,且x 是方程12122

x x -=+的解,在数轴上是否存在点P ,使得PA PB PC +=?

若存在,求出点P 对应的数；若不存在,说明理由；

（3）在（1）、（2）的条件下,点A ,B ,C 开始在数轴上运动,若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B 和点C 分剐以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动,假设t 秒钟过后,若点B 与点C 之间的距离表示为BC ,点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：AB BC -的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化,请说明理由；若不变,请求其常数值．

19．已知()()()12213136x x y y z z ++--++-++=,求23x y z ++的最大值和最小值． 微探究 从三阶幻方谈起

A

B

O

相传大禹在治洛水的时候,洛水神龟献给大禹一本洛书,书中有如图所示的一幅奇怪的图,这幅图用今天的数学符号翻译出来,就是一个3阶幻方,也就是在33?的方阵中填入1~9,其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．

现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在33?的方阵图中,每行、每列、每条对角线上3个数的和都相等,就称它为三阶幻方．

可以证明三阶幻方以下基本性质：

（1）在33?的方格中填入9个不同的数,使得各行各列及两条对角线上3个数的和都相等,且为S ,若最中间数为m ,则3S m =．

（2）在三阶幻方中,每个数都加上一个相同的数,仍是一个三阶幻方． （3）在三阶幻方中,每个数都乘以一个相同的数,仍是一个三阶幻方．

解三阶幻方问题,常需恰当引元,运用三阶幻方定义、性质,整体核算等方法求解．

例1如图①,有9个方格,要求在每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？

试一试虽然问题要求的只是左上角的数,但是问题的条件还与其他的数相关．故为充分运用已知条件,需引入不同的字母表示数（如图②）．

例2 如图,在33?的方格表中填入九个不同的正整数：1,2,3,4,5,6,7,8和x ．使得各行、各列所填的三个数的和都相等,请确定x 的值,并给出一种填数法．

试一试如下页图,引入不同字母表示数,表中各行、各列三数的和都是相等的正整数,即

123456781233x x ++++++++=+为正整数,又2121233

x x

a b c d x +=+=+-=-,从估计a b +和c d +的最

小值入手．

图①

1319

?

图②

1913x 4

x 3x 2x 1x

整体核算法

整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体,观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构,从整体上计算、推理．

例3 如图①,a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别代表1,2,3,4,5,6,7,8,9中某一个数,不同字母代表不同的数,使每个小圆内3个数的和都相等,那么a d g ++的值是多少？

分析与解设这个相等的和是S ,现将这9个小圆中()3927?=个数求和,可得：

()()()912923129345135S a b c d e f g h i =++++?++++++++=?+++=?=,故15S =．

先从9所在的小圆看,h 至少是1,i 最多只能是5,再从1所在的小圆看,a 最多只能是9,由于115i a ++=,所以必须5i =,9a =,由此可以求得图②．

对照图①与图②中各数的位置,可看到93618a d g ++=++=． 当然也可以有另一解法．

d

c

b

a

x 12

34

5

6

7

89i h g f e

d

c b a

图①

987

65

4

32

1

9

87

6543

21图②

将含1、含2、含4、含5、含7与含8的6个小圆内()3618?=个数求和,可得：

()615124578a b c d e f g h i a d g ?=+++++++++++++++++,即 9072a d g =+++,所以907218a d g ++=-=．

练一练

1．将2到10这9个自然数填入图中的9个圆圈中,每个数只能用一次,且使每一条直线上的三个数的和相同,则中间的圆圈中的数是_______,对应的每一条直线上的3个数的和是_______．

2．请构造“幻角”,将1~10这10个整数填入图中的小三角形内（2和4已填好）,使图中每个大三角形内四数之和都等于25．

3．请将4-,3-,2-,1-,0,1,2,3,4,这9个数分别填入图中方阵的9个空格,使3行、3列、2条对角线上的3个数的和都是0．

4．如图,a 、b 、c 、d 、e 、f 均为有理数,图中各行各列及两条对角线上的和都相等,求a b c d e f +++++的值．

4

2

5．如图是一个33 的幻方,当空格填上适当的数后,每行、每列以及对角线上的和都是相等的,求k 的值．

6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数：14,1

2

,1,2,4,8,16,32,64填入方格中,使得所有

行、列及对角线上各数相乘的积相等,求x 的值．

7．幻方第一人

幻方,相传最早见于我国的“洛书”,如图①,洛书中3行、3列以及2条对角线上的点数之和都等于15,是一种“3阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人,他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方,并对一些低阶幻方介绍了构造方法,其中运用了

对称思想．例如,用1,2,3,…,16构造4阶幻方的方法是：先将1,2,3,…,16依次排成图③,然后以外四角对换,即1与16对换,4与13对换,再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方．

-134 f

e

d

c b a 12

11

k

64

x

32

图①

图②

98

7

6

5321416

15

141312

111098

7654

321

图③图④

8．把数字1,2,3,…,9分别填入图中的9个圈内,要求三角形ABC 和三角形DEF 的每条边上三个圈内数字之和都等于18．

（1）给出一种符合要求的填法；

（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．

微探究 商品的利润

商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语,理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础． （1）100%=

?利润

利润率进价

； （2）利润=售价-进价；

（3）售价=进价+利润=进价×（1+利润率）．

例1 一家商店将某件商品按成本价提高50%后,标价为450元,又以8折出售,则售出这件商品可获利润_______元．

试一试从求出成本价切入．

例2 某商店出售某种商品每件可获利m 元,利润率为20%．若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元,则提价后的利润率为（）． A ．25% B ．20% C ．16% D ．12.5% 试一试利用获利不变建立方程．

例3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了10%,为了赚钱,开发商把售价提高了0.5倍,利润率比原来增加了60%,求开发商原来的利润率．

试一试因售价=成本×（1+利润率）,故还需设出成本． 例4 某超市对顾客实行优惠购物,规定如下： （1）若一次购物少于200元,则不予优惠；

（2）若一次购物满200元,但不超过500元,按标价给予九折优惠；

（3）若一次购物超过500元,其中500元部分给予九折优惠,超过500元部分给予8折优惠．

小明两次去该超市购物,分别付款198元与554元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品,

F

E D

C

B

A

他需付款多少？

分析与解第一次付款198元,可能是所购物品的实价,未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款,故应分两种情况加以讨论．

情形l 当198元为购物不打折付的钱时,所购物品的原价为198元,又554450104=+,其中450元为购物500元打九折付的钱,104元为购物打八折付的钱,1040.8130÷=（元）．

因此,554元所购物品的原价为130500630+=（元）,于是购买小明花198630828+=（元）所购的全部物品,小亮一次性购买应付()5000.98285000.8712.4?+-?=（元）．

情形2 当198元为购物打九折付的钱时,所购物品的原价为1980.9220÷=（元）．

仿情形1的讨论,购220630850+=（元）物品一次性付款应为()5000.98505000.8730?+-?=（元）． 练一练

1．某商品的进价为x 元,售价为120元,则该商品的利润率可表示为_______．

2．某商店老板将一件进价为800元的商品先提价50%,再打八折卖出,则卖出这件商品所获利润为_______元． 3．某商场推出全场打八折的优惠活动,持贵宾卡可在八折基础上继续打折,小明妈妈持贵宾卡买了标价为10000元的商品,共带省2800元,则用贵宾卡又享受了_______折优惠．

4．某商品的价格标签已丢失,售货员只知道“它的进价为80元,打七折售出后,仍可获利5%”,你认为售货员应标在标签上的价格为________．

5．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售,若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售,售价为120元,则这款羊毛衫每件的原销售价为_______元．

6．甲用1000元购买了一些股票,随即他将这些股票转卖给乙,获利10%．而后乙又将这些股票反卖给甲,但乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计,则甲（）．

A ．盈亏平衡

B ．盈利1元

C ．盈利9元

D ．亏损1.1元

7．2008年爆发的世界金融危机,是自20世纪30年代以来世界最严重的一场金融危机,受金融危机的影响,某商品原价为200元,连续两次降价%a 后售价为148元,下列所列方程正确的是（）．

A ．()2

2001%148a += B ．()2

2001%148a -= C ．()20012%148a -= D ．()

22001% 148a -=

8．某商店出售某种商品每件可获利m 元,利润率为20%．若这种商品的进价提高25%,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利m 元,则提价后的利润率为（）． A ．25% B ．20% C ．16% D ．12.5%

9．某种商品的进价为800元,出售标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,则最多可打（）．

A ．6新

B ．7折

C ．8折

D ．9折 10．某商场对顾客实行优惠,规定： ①如一次购物不超过200元,则不予折扣；

②如一次购物超过200元但不超过500元,按标价给予九折优惠；

③如一次购物超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠．

某人两次去购物,分别付款168元和423元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款是（）．

A．522.8元B．510.4元C．560.4元D．472.8元

11．某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏,这两种台灯的进价、标价如下表所示：

（2）若A型台灯按标价的九折出售,B型台灯按标价的八折出售,那么这批台灯全部售完后,商场共获利多少元？

12．某公司销售A、B、C三种产品,在去年的销售中,高新产品C的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响,今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%,因而高新产品C是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平,问：今年高新产品C的销售金额应比去年增加多少？

13．某大型超市元旦假期举行促销活动,规定一次购物不超过100元的不给优惠,超过100元而不超过300元时,按该次购物全额9折优惠,超过300元的其中300元仍按9折优惠,超过部分按8折优惠．小美两次购物分别用了94.5元和282.8元,现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品,那么小丽应该付款多少元？

微探究

多变的行程问题

行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型,它们的特点与常用的等量关系如下：

1．相遇问题

其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行,而最终相遇．一般地,甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离．

2．追及问题

其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动,由于位置或者出发时间不同,造成一前一后,又因为速度的差异使得后者最终能追及前者,一般地,快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离．

例1 （1）在公路上,汽车A、B、C分别以80km/h、70km/h、50km/h的速度匀速行驶,A从甲站开往乙站,同时,B、C从乙站开往甲站．A在与B相遇2小时后又与C相遇,则甲、乙两站相距_____km．

（2）小王沿街匀速行走,他发现每隔6min从背后驶过一辆18路公交车；每隔3min迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路总站每隔固定时间发一辆车,那么,发车的间隔时间为

_______min．

试一试对于（2）,“背后驶过与迎面驶来”,其实质就是追及与相遇,距离是同向行驶的相邻两车的间距．

例2 （1）一艘轮船从A 港到B 港顺水航行,需6小时,从B 港到A 港逆水需8小时,若在静水条件下,从A 港到B 港需（）小时．

A ．7

B ．172

C ．667

D ．162

（2）甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点A 、C 同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行,若乙的速度是甲的速度的4倍,则它们第2000次相遇在边（）． A ． AB 上 B ．BC 上 C ．CD 上 D ．DA 上

试一试对于（2）,设正方形边长为a ,甲的速度为x ,相遇时甲行的路程为y ,利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程,把y 用a 的代数式表示．

例3 有甲、乙两辆小汽车模型,在一个环形轨道上匀速行驶,甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶,那么每隔1

13

分钟相遇一次．现在,它们从同一点同时出发,沿相同方向行驶,当甲第一次追上

乙时,乙已经行驶了4圈,此时它们行驶了多少分钟？

试一试当甲追上乙时,甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比．

例4 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发,在距离B 地6千米处相遇,相遇后两人又继续按原方向、原速度前进,当他们分别到达B 地、A 地后,又在距A 地4千米处相遇,求A 、B 两地相距多少千米？

解法一第一次相遇时,甲、乙两人所走的路程之和,正是A 、B 两地相距的路程,即当甲、乙合走完A 、B 间的全部路程时,乙走了6千米,第二次相遇时,两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图,图中实线表示甲所走路程,虚线表示乙所走路线）,因此,这时乙走的路程应为6318?=（千米）．

考虑到乙从B 地走到A 后又返回了4千米,所以A 、B 两地间的距离为18414-=（千米）．

解法二甲、乙两人同时动身,相向而行,到相遇时两人所走时间相等,又因为两人都做匀速运动,应有：两人速度之比等于他们所走路程之比,且相同时间走过的路程亦成正比例． 到第一次相遇,甲走了（全程6-）千米,乙走了6千米；

到第二次相遇,甲走了（2?全程4-）千米,乙走了（全程4+）千米．

B （乙）

（甲）A

①

②

设全程为s ,易得到下列方程

624

64

s s s --=+, 解得114s =,20s =（舍去）, 所以A 、B 两地相距14千米．

解法三设全程为s 千米,甲、乙两人速度分别为1v ,2v ．则 12

12

66

244s v v s s v v -?=???

-+?=??①②,①÷②得66244s s s -=-+, 解得14s =或0s =（舍去）． 乘车方案

例5 老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观,老师乘一辆摩托车,速度为25千米／时,这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人速度为20千米／时,学生步行的速度为5千米／时,请你设计一种方案,使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过3个小时．

分析若能使人车同时到达目的地,则时间最短,而要实现“同时到达”,必须“机会均等”,即两名同学平等享受交通工具,各自乘车的路程相等,步行的路程也相等,这是设计方案的关键． 解要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短,可设计如下方案：

设学生为甲、乙二人．乙先步行！,老师带甲乘摩托车行驶一定路程后,让甲步行,老师返回接乙,然后老师搭乘乙,与步行的甲同时到达博物馆． 如图,设老师带甲乘摩托车行驶了x 千米,用了

20

x 小时,比乙多行了()3

205204x x ?-=（千米）．这时老师让甲

步行前进,而自己返、回接已,遇到乙时,用了()3255440

x

x ÷+=（小时）．乙遇到老师时,已经步行了

3520408x

x x ??+?= ???

（千米）,离博物馆还有3338x -（千米）

．要使师生三人能同时到达博物馆,甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同,则有3

338

x x =-,解得24x =．即甲先乘摩托车24千米,用时1.2小时,再步行9千米,

用时1.8小时,共计3小时．

因此,上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3个小时．

另解：设乙先步行的时间为x 小时,步行的路程为2s ,则25s x =（千米）,

此时老师带甲走的路程为

学校博物馆乙

233335s x -=-（千米）,老师返回接乙走的路程为23323310s x -=-．故有

33533102025

x x

x --+=,解得 1.8x =,甲乘车的时间为

335 1.220

x

-=（小时）,故甲从学校到博物馆共用1.8 1.23+=（小时）．

练一练

1．甲、乙两人从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇；若同向而行,则b 小时甲追及乙,那么甲、乙两人的速度之比为_______．

2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需4小时,从乙地到甲地逆流行驶需6小时,有一木筏由甲地漂流至乙地,需_______小时．

3．甲、乙两列客车的长分别为150m 和200m ,它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为10秒,那么,乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______．

4．甲、乙分别自A 、B 两地同时相向步行,2小时后中途相遇,相遇后,甲、乙步行速度都提高了1千米／时,当甲到达B 地后立刻按原路向A 地返行,当乙到达A 地后也立刻按原路向B 地返行．甲、乙两人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇,则A 、B 两地的距离是_______千米．

5．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A 到B ,甲需要30分钟,乙需要40分钟．如果乙比甲早出发6分钟,则甲出发后经______分钟可以追上乙．

6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动）,如果当甲到达终点时,乙距终点还有5米,丙距终点还有10米,那么当乙到达终点时,丙距终点还有______米．

7．小李骑自行车从A 地到B 地,小明骑自行车从B 地到A 地,两人都匀速前进．已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米,求A 、B 两地间的路程．

8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节,林老师驾轿车从舟山出发,上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速,其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／时,比去时少用了半小时回到舟山．

（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程； （2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：

y （元）的计算方法为：5y ax b =++,其中a （元／千米）为高速公路里程费,x （千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长）,b （元）为跨海大桥过桥费,若林老师

乙

从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元,求轿车的高速公路里程费a ．

9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进,行人速度为3.6千米／时,骑车人的速度为10.8千米／时,如果有一列火车从他们背后开过来,它通过行人用了22秒,通过骑车人用了26秒．问这列火车

的车身长为多少米？

10．如图,甲、乙两人分别在A 、B 两地同时相向而行,于E 处相遇后,甲继续向B 地行走,乙则休息了14分钟,再继续向A 地行走．甲和乙到达B 和A 后立即折返,仍在E 处相遇．已知甲每分钟行走60米,乙每分钟行走80米,则A 和B 两地相距多少米？

11．某单位有135人要到50千米外的某地参观,因为步行时速只有5千米,为了使他们上午到达,配备了一辆最多载人50名、时速25千米的大客车．于是早晨6时整出发,若人员上下车的时间不计,试拟一个运行方案,说明步车如何安排,才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地,并求该地的时刻,画出汽车往返的运行图． 12．A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶,某一时刻,A 在前,C 在后,B 在A 、C 正中间．10分钟后,C 追上B ；又过了5分钟,C 追上A ．问再过多少分钟,B 追上A ?

乙

E

B

A

9．绝对值与方程 问题解决

例1 由552x x -=--,得552x x -=--或()552x x -=---,所以0x =或10x =-．经检验知0x =时, 方程左右两边不等,故舍去．从而原方程的解为10x =-．

例2 A 23x m -=-,34x n -=-,45x k -=-,由题意得0m -<,0n -=,0k ->,从而0m >,0k <．

例3 （1）54x =-或3

2

x =．原方程化为314x x -+=或314x x -+=-,即314x x +=-或314x x +=+．

（2）当3x <-时,原方程化为()()311x x x -++-=+,得5x =-． 当31x -<≤时,原方程化为311x x x ++-=+,得1x =-． 当1x ≥时,原方程化为()311x x x +--=+,得3x =． 综上知原方程的解为5x =-,1-,3．

（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为13x -≤≤．

例4 （1）1x =；（2）存在,32x =-或72（3）223或4

15

数学冲浪

1．1；9或3 2．2或0；10

7

±；0或1- 3．49 4．A 5．D 6．C

7．（1）1x =-或3x =-；（2）1x =；（3）3x =或13x =

；（4）43

x =-或2x =． 8．()2101x a a -=±<<,()21x a -=±±,()21x a =±±,得13x a =+,23x a =-,31x a =+,41x a =-,故12348x x x x +++=．

9．当0k <,原方程无解；当0k =时,原方程有两解：1x =-或5x =-；当02k <<时,原方程化为32x k +=±,此时原方程有四解：()32x k =-±±；当2k =时,原方程化为322x +=±,此时原方程有三解：1x =或7x =-或3x =-；

当2k >时,原方程有两解：()32x k =-±+．

10．0或12d a +≤,又a 、d 都是整数,得2d a +=,1,0．

当2d a +=,则a b c d =-==-,即0d a +=矛盾；若1d a +=,令1a =,0b c d ===满足题意；若0d a +=,令1b =,0a c d ===满足题意．

11．1220x x --<≤ 12．4012 13．C

14．B 由数轴知72a -≤≤1,且2a 为偶数 15．D 0a ≤ 16．（1）1002或3008可以得到220052006x -=； （2）15x ≤≤．

17．由绝对值几何意义知：当33a -<<时,方程有一解；当3a =±时,方程有无穷多个解,当3a >或3a <-时,方程无解．

18．（1）2a =-,1b =,3AB =；（2）存在点P ,点P 对应的数为1-或3-；（3）()()''''53512A B B C t t -=+-+=,为常数．

19．()12123x x x x ++-=--+-≥,同理213y y -++≥,314z z -++≥,得

()()()12213136x x y y z z ++--++-++≥．

当且仅当12x -≤≤,12y -≤≤,13x -≤≤时,上面各式等号成立． 又()()()12213136x x y y z z ++--++-++=,

由12123x y z -??

-???①②-1③≤≤≤≤≤≤得①+②2?+③3?,62315x y z -++≤≤,因此,23x y z ++的最大值为15,最小值为6-． 从三阶幻方谈起（微探究）

例l 由已知条件得：123413241319x x x x x x x x x x ++=++=++=++,这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和,即1234123421319x x x x x x x x x ++++=+++++,21319x =+∴,得16x =． 例2 a b +与c d +的最小值是

123452+++=,所以21253x -≥,即212x ≤．而2123

x

a b +=-为整数,且x 是不同于1,2,3,4,5,6,7,8的正整数,故9x =． 练一练

1．2,6,10；15,18,21

设中间的圆圈中的数是x ,同一直线上的3个数的和是y ,则43231054y x -=+++=,4

183

x y =

-． 2．如图

3．如图：

5

6

37

91

8

1024

-1

-2

3

40-4-321

4．由条件得：41 9a -+=,39b c ++=,9d e f ++=．上述三式相加有627a b c d e f ++++++=,故21a b c d e f +++++=．

5．如图,由121a k b a c ++=++及11121c d b d ++=++,得121k b c +=+,110c b =+,从而110121231k =+=（注：这个幻方是可以完成的,如第1行为6,231,111；第2行为221,116,11；第3行为121,1,226）．

6．这9个数的积为311

12481632646442

????????=,所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为64,得

1ac =,1ef =,2ax =,a 、c 、e 、f 分别为

14、1

2

、2、4中的某个数,推得8x =． 7．略 8．（1）略

（2）显然有12945x y z ++=++

+=①

图中六条边,每条边上三个圈中之数的和为18,得32618108z y x ++=?=．② ②-①,得21084563x y +=-=．③

把AB 、BC 、CA 每一边上三圈中之数的和相加,得231854x y +=?=．④ 联立③、④解得15x =,24y =,进而6z =．

在1~9中三个数之和为24的仅有7,8,9,所以在D 、E 、F 三处圈内,只能填7,8,9三个数,共有6种不同填法．显然,当这三个圈中之数一旦确定,根据题目要求,其余六个圈内之数也隧之确定,从而得到结论,共有6种不同的填法． 商品的利润（微探究）

例l 设成本为a ,则()150%450a +=,得300a =,所求利润为4500.830060?-=（元）．

例2 C 设原进价为a 元,提价后的利润率为%x ,则()20%125%%m a a x =?=+?,解得%16%x =． 例3 设原来的利润率是%x ,原来的成本是a ,则()()()1.510.0110.110.0160a x a x +=+++????,解 得65x =,即原来的利润率是65%． 练一练 1．

120x

x

- 2．160 3．九 4．120 5．150 6．B 7．B

8．C 设提价后的利润率为%x ,则

()()()125%1%125%20%20%

m m x m ++=++,解得16x =． d

c b k a 11

121

9．B

10．C 提示：1682000.9180,按照③,可得应付款为5000.91380.8560.4?+?=（元）． 11．（1）A 型台灯购进30盏,B 型台灯购进20盏； （2）这批台灯全部售完后,商场共获利720元．

12．设去年总销售金额为a ,则高新产品C 的销售金额为0.4a ,A 、B 的原销售金额为0.6a ,今年的销售金额为()0.6120%0.48a a ?-=,设高新产品C 的增长率为x ,由()0.410.48a x a a ++=．得0.330%x ==． 13．注意到1000.99094.5100?=<<,3000.9270282.8?=<

设小美第二次购物的原价为x 元,则()3000.83000.9282.8x -?+?=,解得316x =． （1）若小美第一次购物没有优惠,第二次购物原价超过300元,则小丽应付

()31694.53000.83000.9358.4+-?+?=（元）．

（2）若小美第一次购物原价超过100元,第二次购物原价超过300元,则第一次购物原价为94.50.9105÷=（元）,则小丽应付()3161053000.83000.9366.8+-?+?=（元）． 多变的行程问题（微探究）

例1 （1）1950设甲、乙两站相距x 千米,则

280708050

x x

+=++,解得1950x =．

（2）4设18路公交车的速度是m/min x ,小王行走的速度是m/min y ,同向行驶的相邻两车的间距为m s ． 则6633x y s x y s

-=??

+=?,解得4s x =,即4s

x =． 例2 （1）C 设船在静水中的速度为x ,水流速度为y ,则()()68x y x y +=-,解得7x y =,

()()6676

677

x y y y x y ++==． （2）

A 设正方形边长为a ,第2000次相遇共行了()22000147998a a a +-?=,设甲的路程为y ,甲的速度为x ,则

79984y a y x x

-=,解得1599y =．64399 3.6a a a =?+． 例3 设环形跑道长为S ,甲和乙的速度分别是v 甲,v 乙．

因为当甲、乙同时同地同向出发,甲首次追上乙时,乙行驶了4圈,所以当甲追上乙时,甲行驶了5圈．这说明54v v =甲乙,代入到()43v v S ?+=甲乙中,得4934v S ?=乙,即3S v =乙,于是所求时间为412S S

=（分钟）． 练一练 1．

b a

b a

+- 2．24 3．7.5先求出甲、乙两车速度和为

200

2010

=（米／秒）

4．36设A 、B 两地相距km s ,甲、乙两人速度和为v ,则 ()222 3.6s v

s v =???

=+???

,解得36s =． 5．18

6．5519

设甲跑全程需时1t ,则195v t =乙,190v t =丙,

1918v v =乙丙,又设乙跑完全程需时2t ,则2100v t =乙,21819v t v =乙丙2180019t =

,此时丙离终点为()18005

1005m 1919

-

=． 7．设A 、B 两地间的路程为x 千米,由

3636

24

x x -+=,得108x =（千米）． 8．（1）360千米；（2）0.4a =元／千米．

9．设火车的速度为x 米／秒,则()()122326x x -?=-?,解得14x =,从而火车的车身长为()14122286-?=（米）．

10．:60:803:4AE BE ==,设3AE x =,4BE x =,从而7AB x =（米）,由7473146080

x x x x

++=+,得240x =,故A 、B 两地距离是24071680?=（米）

． 11．如图所示,设第①组先乘车的路程为1S ,后步行的路程为22S ,则第②组应为先步行2S ,然后乘车,再步行2S ；第③组为先步行22S ,再乘车到达目的地．

设第②组步行2S 所需时间为x 小时,则25S x =（千米）,则车送第①组及返回接第②组的时间和也为x 小时,行驶的路程为225x 千米,此时12525S x x =+,115S x =．

由12250S S +=,解得2x =（小时）,所以130S =（千米）,于是第①组乘车时间为

30

1.225

=（小时）,步行时间为224?=（小时）．第①组到达目的地（即全程）所需时间为：4 1.2 5.2+=（小时）,即11时12分到达． 12．设开始时B 与A ,C 的距离均为s ,C ,B ,A 的速度分别为c ,b ,a ,从开始到B 追上A 需要x 分钟．则由题意得

()()()10152c b s c a s x b a s -=??

-=??

-=?①②③

出发地目的地

车()

车()

车()车()③

②①

③②①③②

①②2S 22S 2

S 2S 1

S 2

由①、②得110c b s -=

,215c a s -=, 两式相减,得1

30

b a s -=

,即()30s b a =-, 代入③式得()()30x b a b a -=-． 由0b a -≠,得30x =．

因此,再过3010515--=（分钟）,B 追上A ．