高考数学专题突破数形结合思想

高考数学专题突破：数形结合思想

一．知识探究：

数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。

1．数形结合的途径 （1）通过坐标系形题数解

借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

4)1()2(22=-+-y x 如等式

（2）通过转化构造数题形解

许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将a ＞0与距离互化，将a 2

与面积互化，将a 2

+b 2

+ab=a 2

+b 2

－2)12060(cos ?=?=θθθ或b a 与

余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。

2．数形结合的原则 （1）等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

（2）双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。

（3）简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。

二．命题趋势

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

数形结合是每年高考必考的内容，预测2008年对本专题的考察为：选择题可采用的简易解法，还有函数问题对应图形性质等，尤其关注三个“二次”的互相转化。

三．例题点评

题型1：利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题 例1．（1）（2007年湖南理3）设M N ，是两个集合，则“M

N ≠?”

是“M N ≠?”

的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

（2）（1999全国，1）如图所示，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A.（M ∩P ）∩S

B.（M ∩P ）∪S

C.（M ∩P ）∩

I

S

D.（M ∩P ）∪

I

S

解析：（1）B ；由韦恩图知M N ≠??/M

N ≠?;反之，

M N ≠?.M N ?≠?

（2）Ｃ；由图知阴影部分表示的集合是M ∩P 的子集且是

I

S 的子集，故答案为Ｃ。

点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。

例2．（1）（06重庆卷）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ）

（2）（06浙江卷）对a,b ∈R,记max|a,b |=??

?≥b

a b b

a a ＜,,函数f （x ）＝max||x+1|,|x －2||(x ∈R)

的最小值是 。

解析：（1）如图所示，单位圆中AB 的长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，当AB 的长小于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越快，当AB 的长大于半圆时，函数()y f x =的值增加的越来越慢，所以函数()y f x =的图像是D 。

（2）由()()2

1212122≥

?-≥+?-≥+x x x x x ， 故()????

??

?

?

?? ?

?

<-?

?? ?

?

≥+=212211

x x x x x f ，其图象如右， 则()2

312121min =+=

??

?

??=f x f 。 点评：数学中考查创新思维，要求必须要有良

好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。 题型2：解决方程、不等式问题

例3．若方程()

()lg lg -+-=-x x m x 233在()

x ∈03，内有唯一解，求实数m 的取值范围。

解析：（1）原方程可化为()()--+=<

设()()y x x y m 12

22103=--+<<=，

在同一坐标系中画出它们的图象（如图）。由原方程在（0，3）内有唯一解，知y y 12与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-<≤10m 或m =1。

例4．已知u v ≥≥11，且()()()()()log log log log a a a a u v au av

a 2

2

221+=+>，求

()l o g

a

uv 的最大值和最小值。

解析：令x u y v a a ==log log ，，

1+

x

则已知式可化为 ()()()x y x y -+-=≥≥114002

2

，，

再设()(

)

t uv x y x y a ==+≥≥log 00，，由图3可见，则当线段y x t =-+

()x y ≥≥00，与圆弧()()()x y x y -+-=≥≥114002

2

，相切时，截距

t 取最大值

t max =+222（如图3中CD 位置）；当线段端点是圆弧端点时，t 取最小值t min =+13

（如图中AB 位置）。因此log ()a uv 的最大值是222+，最小值是13+。

点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型3：解决三角函数、平面向量问题

例5．（1）（07年北京理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐

角为θ，那么cos2θ的值等于 。

（2）（2007年陕西15）如图，平面内有三个向量、OB 、OC ,其中OA 与OB 的夹角为

120°，OA 与的夹角为30°,且|OA |＝||＝1，||＝32，若OC ＝λ+μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值

为 。

解析：（1）

7

25

；注意图形是正方体，充分利用全等及直角三角形的性质处理问题； （2）6；解析：（OC ）2＝（λOA +μOB ）2=λ2OA 2+μ2OB 2

+2λμ?=12；注意

OA 与OC 的夹角为30°，OA 与OB 的夹角为120°，结合图形容易得到OB 与OC 的夹角

为90°，得μ=0；这样就得到答案。

点评：综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特征。

例6．（2007山东20）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定

方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105?

的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120?

方向的2B 处,

此时两船相距,问乙船每小时航行多少海里? 解：如图，连结

12A B

，22A B =

，

1220

60

A A =

?= 122A A B ?是等边三角形，1121056045B A B ∠=?-?=?，

在121A B B ?中，由余弦定理得

22212111211122

2

2cos 4520220200

2

B B A B A B A B A B =+-??

=+-??=，

12B B =

60=

答：乙船每小时航行海里。

点评：三角形经常和正余弦定理结合到一块，利用平面图形的几何意义以及具有几何性质的处理实际问题，注意对解的存在性的讨论。 题型4：解析几何问题

例7．（1）（06湖南卷）已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤?

则22

x y +的最小值是 ；

（2）（06全国II ）过点（1，2）的直线l 将圆(x －2)2

＋y 2

＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝ 。

解析：（1）由??

???≤--≤+-≥022011y x y x x ，画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则2

2y

x +的最小值是5。

（2）（数形结合）由图形可知点

A 在圆2

2

(2)4x y -+=的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l OA ⊥，

所以1l OA k k =-==

点评：线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。

例8．（1）(06上海卷)若曲线2

y ＝|x |＋1与直线y ＝

kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件

是 。

解析：作出函数2

1,0||11,0x x y x x x +≥?=+=?-+

的图象，如

右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；

（2）（06江西卷）如图，椭圆22

221(0)

x y Q a b a b

+=>>：的右焦点为(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ， 两点，P 为线段AB 的中点．

（1）求点P 的轨迹H 的方程；

（2）若在Q 的方程中，令21cos sin a θθ=++，2sin 0b θθπ??

=< ?2??

≤

，设轨迹H 的最高点和最低点分别为M 和N ，当tan θ为何值时，MNF △为一个正三角形？

解析：如图，（1）设椭圆Q ：22

22x y 1a b

＋＝（a >b >0）上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），

又设P 点坐标为P （x ，y ），则2222221122222222b x a y a b 1b x a y a b 2?????＋＝…………（

）＋＝…………（）

1?当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2，

由（1）－（2）得b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2

（y 1－y 2）2y ＝0，

212212y y b x y

x x a y x c

∴－＝－＝

－－， ∴b 2x 2

＋a 2y 2

－b 2

cx ＝0…………（3），

2?当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3），

故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2

cx ＝0，

（2）因为轨迹H 的方程可化为：2

222222c x y c a b a

（－）

＋＝（），

∴M （c 2，2bc a ），N （ c 2，－2bc a

），F （c ，0），使△MNF 为一个正三角形时，

则tan 6

π＝22

bc

a c ＝

b a ，即a 2＝3b 2，由于2

1cos sin a θθ=++，

2sin 0b θθπ?

?=< ?2?

?≤，则1＋cos θ＋sin θ＝3 sin θ，得tan θ＝43。

点评：对于直线与圆锥曲线的相交及相关问题，借数言形是常用的方法，可以通过斜率

处理垂直、夹角等问题，等等。 题型5：导数问题 例9．（06天津卷）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图

象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ． 4个

解析：函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A 。

点评：通过函数图像分解导函数的正负，对应好原函数的单调递增、单调递减。

例10．（06浙江卷）已知函数f(x)=x 3

+ x 3

，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）

求证：当n *N ∈时，

(Ⅰ)x ;2312

12+++=+n n n n x x x （Ⅱ）21)2

1()21(--≤≤n n n x 。

证明：（I ）因为'2

()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率

1

2

1132.n n n k x x +++=+ 因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2

,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+.

（II ）因为函数2

()h x x x =+当0x >时单调递增，

而221132n n n n x x x x +++=+2

1142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+，

所以12n n x x +≤，即

11,2n n x x +≥因此1121211

().2

n n n n n n x x x x x x x ----=??????≥ 又因为12

2

12(),n n n n x x x x +++≥+令2

,n n n y x x =+则

11

.2

n n y y +≤ 因为2

1112,y x x =+=所以12111()().2

2

n n n y y --≤?=

因此2

21(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22

n n n x --≤≤

点评：切线方程的斜率与函数的导数对应，建立了几何图形与函数值的对应。 题型6：平面几何问题

例11．已知ABC ?三顶点是(4,1),(7,5),(4,7)A B C -，求A ∠的平分线AD 的长。 解析：第一步，简单数形结合，在直角坐标系下，描出已知点,,A B C ，画出ABC ?的边及其A ∠的平分线AD 。（如图）

第二步，观察图形，挖掘图形的特性（一般性或特殊性），通过数量关系证明（肯定或否定）观察、挖掘出来的特性。特性有：

（1）AB AC ⊥；（2）45BAD CAD ∠=∠=?； （3）2CD DB =，（4）260ABC ACB ∠=∠=?等等。

证明：∵(4,1),(7,5),(4,7)A B C -∴(3,4),(8,6)AB AC ==-,5,10AB AC == ∵38460AB AC ?=-?+?=

∴（1）AB AC ⊥，∵AD 是A ∠的平分线； ∴（2）45BAD CAD ∠=∠=?，∵10

25

CD AC DB

AB

=

=

=(角平分线定理) ；

∴（3）2CD DB =

，∵tan tan 602ABC ∠=∠?=

≠，

∴（4）260ABC ACB ∠=∠=?不正确，

第三步，充分利用图形的属性，创造性地数形结合，完成解题。过点D 作DE AB ⊥，

交AB 于点E ，则有BDE ?∽BCA ?或110

33

DE AC =

=等等。又在Rt ADE ?中，（可

以口答出）3

AD ==

2

1点评：数形结合的基础是作图要基本准确，切忌随手作图！数形结合的关键是挖掘图形的几何属性，切忌只重数量关系忽视位置关系！如果把本题的图形随手作成如下一般平面图形，则失去了数形结合的基础，很难挖掘出图形的几何属性，是很失败的。

例

12

．

已

知

A =

｛(x,y )||x |≤1,|y |≤1｝,B =｛(x,y )|(x

–

a

)2

+(y –

a

)2

≤1，

a

∈R ｝,若

A ∩

B ≠?，则

a

的取值范围

是 。

解析：如图，集合A 所表示的点为正方形PQRS 的内部及其边界，集合B 所表示的

点为以C (a ,a )为圆心，以1为半径的圆的内部及其边界．而圆心C (a ,a )在直线y=x 上，故要使A ∩B ≠?，

则2

2

1221+≤≤-

-a 为所求。

点评：应用几何图象解决问题时，尤其要注意特殊点（或位置）的情况，本题就是按照这样的思路直接求出实数a 的取值范围。

四．思维总结

从目前高考“注重通法，淡化特技”的命题原则来看，对于数形结合的数学思想方法，我们在复习时，应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图象的充分利用之上即可。

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。