三角变换与解三角形单元测试(版,含答案)版含答案

11三角变换与解三角形

第13页

1.(2017全国Ⅲ,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos

A=0,a=2,b=2.

(1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.

解(1)由已知可得tan A=-,所以A=.

在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,

即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.

(2)由题设可得∠CAD=,

所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1.

又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,

所以△ABD的面积为.

2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边,且a=2csin A.

(1)求角C;

(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.

解(1)由a=2csin A及正弦定理得sin A=2sin Csin A.

∵sin A≠０,∴sin C=.∵△ABC是锐角三角形,∴C=.

(2)∵C=,△ABC的面积为,

∴absin ,即ab=6.①∵c=,∴由余弦定理得a2+b2-2abcos =7,

即(a+b)2=3ab+7.②将①代入②得(a+b)2=25,故a+b=5.

3.(2017河南商丘二模,理17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(1+cos C)=c(2-cos

B).

(1)求证:a,c,b成等差数列;

(2)若C=,△ABC的面积为4,求c.

(1)证明∵b(1+cos C)=c(2-cos B),

∴由正弦定理可得sin B+sin Bcos C=2sin C-sin Ccos B,

可得sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=2sin C,

∴sin A+sin B=2sin C,∴a+b=2c,即a,c,b成等差数列.

(2)解∵C=,△ABC的面积为4absin C=ab,

∴ab=16,∵由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,

∵a+b=2c,∴可得c2=4c2-3×16,解得c=4.

4.(2017河南六市联考二模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+b cos

A=0.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,b=2,求△ABC的面积.

解(1)在△ABC中,由正弦定理得sin A·sin B+sin B·cos A=0,即sin B(sin A+cos A)=0,又角B为

三角形内角,sin B≠０,所以sin A+cos A=0,即sin=0,

又因为A∈(0,π),所以A=.

(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos A,则20=4+c2-4c·,

即c2+2c-16=0,解得c=-4(舍)或c=2,

又S=bcsin A,所以S=×2×2=2.

5.(2017四川成都二诊,理17)如图,在梯形ABCD中,已知∠A=,∠B=,AB=6,在AB边上取点

E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=,EC=.

(1)求sin∠BCE的值;

(2)求CD的长.

解(1)在△CBE中,由正弦定理得,sin∠BCE=.

(2)在△CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BE·CBcos,即7=1+CB2+CB,解得CB=2.

由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC,cos∠BEC=,sin∠BEC=,

sin∠AED=sin,cos∠AED=,

在Rt△ADE中,AE=5,=cos∠AED=,DE=2,

在△CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CE·DEcos=49,∴CD=7.?导学号16804183? 6.

(2017江西宜春二模,理17)如图,某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,

已知角A为,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.

(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何可使得三角形地块APQ面积最大?

(2)已知竹篱笆长为50米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方米100元,

若AP≥AQ,求围墙总造价的取值范围.

解设AP=x,则AQ=200-x,

∴S△APQ=x(200-x)sin=2 500,

当且仅当x=200-x时,取等号,即AP=AQ=100时,S△APQ有最大值为 2 500平方米.

(2)由正弦定理,得AP=100sin∠AQP,AQ=100sin∠APQ.

故围墙总造价y=100(AP+2AQ)

=10 000(sin∠AQP+2sin∠APQ)

=10 000cos∠AQP.

因为AP≥AQ,所以≤∠AQP<,

所以cos∠AQP≤.

所以围墙总造价(单位:元)的取值范围为(5 000,15 000].?导学号16804184?

7.已知向量a=,b=(-sin x,sin x),f(x)=a·b.

(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;

(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=1,a=2,求△ABC面积的最大

值.

解(1)易得a=(-sin x,cos x),

则f(x)=a·b=sin 2x+sin xcos x=cos 2x+sin 2x

=sin,

∴f(x)的最小正周期T==π,

当2x-+2kπ(k∈Z)时,即x=+kπ(k∈Z),f(x)取最大值是.

(2)∵f=sin=1,

∴sin,∴A=.

∵a2=b2+c2-2bccos A,∴12=b2+c2-bc,∴b2+c2=12+bc≥2bc,∴bc≤12.(当且仅当b=c时等

号成立)

∴S=bcsin A=bc≤3.

∴当△ABC为等边三角形时面积最大,最大值是3.?导学号16804185?

8.(2017陕西咸阳二模,理17)设函数f(x)=sin xcos x-sin2(x∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f=0,c=2,求△ABC面积的最大值.

解(1)函数f(x)=sin xcos x-sin2(x∈R),化简可得f(x)=sin 2x-=sin 2x-.

令2kπ-≤2x≤2kπ+(k∈Z),则kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即f(x)的递增区间为(k∈Z),

令2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),

则kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).

可得f(x)的递减区间为(k∈Z).

(2)由f=0,得sin C=.

∵△ABC是锐角三角形,∴C=.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,将c=2,C=代入得4=a2+b2-ab.

由基本不等式得a2+b2=4+ab≥2ab,即ab≤4(2+),

∴S△ABC=absin C≤×4(2+)×=2+,

即△ABC面积的最大值为2+.