2021年高一数学复合函数例题
第一篇、复合函数问题
欧阳光明（2021.03.07）
一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.
二、复合函数定义域问题：
（一）例题剖析：
(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域
例1.设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）
又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例2. 若函数f x x ()=+1 1，则函数[]f f x ()的定义域为 ______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+1 1，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中 x 应满足x f x ≠-≠-???11() 即x x ≠-+≠-?????1111，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域 例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域 为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[ ]-12，，即[]x ∈-12，，由此得 []3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[ ]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所 以[]x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[ ]-15， 例4. 已知f x x x ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为 ______________。 解析：先求f 的作用范围，由 f x x x ()l g 22248-=-，知x x 2 280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用 范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞ （3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。 例5. 若函数 f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (lo g )2的定义域为 ____________。 解析： f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x ∈??????， f 的作用范围为122，?????? 又 f 对lo g 2x 作用，所以log 2122x ∈??????，，解得[]x ∈24， 即f x (log )2的定义域为[]24， 三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. 证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21 因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记 )(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且 因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性； ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。 （4）例题演练 例1、 求函数 )32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明 解：定义域 130322-<>?>--x x x x 或 单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 ---)32(121x x )32(22 2--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地，当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。 有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g （x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地， 当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。 有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数； （4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二 复合函数解析式 1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ?=+=3 42b ab a ， ∴??????=-===3 212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2 -=∴x x f )2(≥x ． 3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 复合函数练习题 1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域（ ）。 析：由已知，]1,1[]1,1[],1,0[2--∈∈。所以所求定义域为故x x 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域（ ） 析：]5,1[)(],5,1[23],1,1[的定义域为从而的范围为那么的范围为由已知x f x x -- 3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域（ ）。 析：)23,1()1,21(),2,1(12)12(),2,1()()2(?-∈∈--+x x x f x f x f 解得的定义域应满足则求的定义域为的定义域可知由 4、设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4Y - B. ()()4,11,4Y -- C. ()()2,11,2Y -- D. ()()4,22,4Y -- 析：?? ???????--∈>-<<<-<<-<<<<->-+>-+B ),4,1()1,4(,1144,222222-.22,0)2)(2(022选综上或解得那么由题意应有得，即由已知，x x x x x x x x x x x 5．函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，23） D ．（2 3，＋∞） 析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。 B ),2(,2 32312 10).,2()1,(,02322为增函数，所以选择上在的定义域内，在函数，其对称轴为区间。内函数为函数的增的减区间，只需要求内求为底，故为减函数。则由于外函数是以得定义域为应先求定义域，即对于对数型复合函数，+∞=+-=<<+∞?-∞>+-t y x x x t y x x 6．找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x ； 解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。 复合函数的定义域 讲解内容： 复合函数的定义域求法 讲解步骤： 第一步：函数概念及其定义域 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 第二步：复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22 (())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。） 第三步：介绍复合函数的定义域求法 例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤ 3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1 7 33x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33? ?- ??? . 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 ???≤≤->-+?≤+<13023202320222 x x x x x x x x x ，或 定义 由函数)(u f y =和)(x g u =所构成的函数)]([x g f y =称为复合函数，其中)(u f y =通常称为外层函数，)(x g u =称为内层函数。 求上述复合函数)]([x g f y =的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行： （1） 写出构成原复合函数的外层函数)(u f y =和内层函数)(x g u =； （2） 求外层函数)(u f y =的单调区间（包括增区间和减区间）B A 、等； （3） 令内层函数A x g u ∈=)(，求出x 的取值范围M ； （4） 若集合M 是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则M 便是原复合函数 )]([x g f y =的一个单调区间； 若M 不是内层函数)(x g u =的一个单调区间，则需把M 划分成内层函数)(x g u =的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数)]([x g f y =的单调区间； （5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数)]([x g f y =在集合M 或这些单调子区间的增减性； （6） 令内层函数B x g u ∈=)(，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数)(u f y =还有更多的单调区间C 、D ，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。 （7） 设单调函数)(x f y =为外层函数，)(x g y =为内层函数 （8） (1) 若)(x f y =增，)(x g y =增，则))((x g f y =增. （9） (2) 若)(x f y =增，)(x g y =减，则))((x g f y =减. （10） (3) 若)(x f y =减，)(x g y =减，则))((x g f y =增. （11） (4) 若)(x f y =减，)(x g y =增，则))((x g f y =减. （12） 结论：同曾异减 （13） 例1. 求函数222)(-+=x x x f 的单调区间. （14） 解题过程： （15） 外层函数：t y 2= （16） 内层函数：22-+=x x t （17） 内层函数的单调增区间：],2 1[+∞-∈x （18） 内层函数的单调减区间：2 1,[--∞∈x （19） 由于外层函数为增函数 （20） 所以，复合函数的增区间为：],2 1[+∞-∈x （21） 复合函数的减区间为： 2 1,[--∞∈x （22） 求函数)23(log 221x x y --=的单调区间. （23） 解 原函数是由外层函数u y 2 1log =和内层函数223x x u --=复合而成的； （24） 易知),0(+∞是外层函数u y 2 1log =的单调减区间； （25） 令0232>--=x x u ，解得x 的取值范围为)1,3(-； （26） 解题过程： 第一篇、复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知 f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数 f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范 围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数 f u ()的定义域为（0，1） ，则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数 f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 复合函数的导数 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当0≠x 时，x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,32 2+-===x x v v u y u ； 复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为 A, u=g(x)的值域为B,若A 二B ,则y 关于x 函数的y=f [ g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二复合函数解析式 1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例 1 设 f (x)是一次函数，且 f [ f (x)] = 4x ? 3，求 f (x). 解：设 f (x)二 ax b (a = 0)，则f [ f (x)] = af (x) b = a(ax b) b = a 2x ab b 二 f(x)=2x+1 或 f(x) = —2x + 3 . 2、 配凑法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式，f[g(x)]的表达式容易配 成g(x)的运算形式时，常用配凑法 .但要注意所求函数 f (x)的定义域不是原复合函数的 定义域，而是g(x)的值域. 1 2 1 例2已知f(x ) = x 2 2 (x 0)，求f (x)的解析式. x x 1 1 2 1 2 解： f(x )=(x )2 -2, x 2, . f(x) = x 2-2 (x_2). x x x 3、 换元法：已知复合函数 f[g(x)]的表达式时，还可以用换元法求 f(x)的解析式.与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化. 例 3 已知 f (.X ? 1) = x ? 2、.. x ，求 f (x T). 解：令 t ? 1,则 t -1 , x =(t -1)2 . :f ( 一 x 1) =x 2 ..X , ■ f(t) =(t 一1)2 2(t 一1) =t 2 -1, .f(x)=x 2-1 (x -1), ■ f(x 1) = (x 1)2 -1 = x 2 2x (x _ 0). 4、 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法 例4已知：函数 目仝 x 与y =g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式. 解：设M(x,y)为y = g(x)上任一点，且 M (x ,y )为M (x, y)关于点(-2,3)的对称点. r 2 . a =4 ab +b =3 2=2 b=1 a =-2 第一篇、复合函数问题 一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B ，若A ?Ｂ， 则y 关于ｘ函数的y=ｆ[ｇ（ｘ）]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (一）例题剖析: (1)、已知 f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域 思路：设函数 f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ，又ｆ对g x ()作用，作用范围 不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈,Ｅ为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数 f u ()的定义域为（0，１)，则函数f x (ln )的定义域为_______＿＿_＿__。 解析:函数 f u ()的定义域为(０，1）即u ∈()01，,所以f 的作用范围为（0,1) 又ｆ对ｌｎx 作用，作用范围不变,所以01< 内容 编辑 链式法则（英文chain rule）是微积分中的求导法则，用以求一个复合函数的导数。所谓的复合函数，是指以一个函数作为另一个函数的自变量。如设f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一个复合函数，并且g′(f(x))=3 链式法则(chain rule) 若h(x)=f(g(x)) 则h'(x)=f'(g(x))g'(x) 链式法则用文字描述，就是“由两个函数凑起来的复合函数，其导数等于里边函数代入外边函数的值之导数，乘以里边函数的导数。 2证明 编辑 证法一：先证明个引理 f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) 证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) 所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) 因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0) 所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) 引理证毕。 设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0) 又由u=φ(x)在x0可导，同理存在一个在点x0连续函数G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0) 于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0) 因为φ，G在x0连续，H在u0=φ(x0)连续，因此H(φ(x))G(x)在x0连续，再由引理的充分性可知F(x)在x0可导，且 F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) 证法二：y=f(u)在点u可导，u=g(x)在点x可导，则复合函数y=f(g(x))在点x0可导，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx) 证明：因为y=f(u)在u可导，则lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0) 当Δu≠0，用Δu乘等式两边得，Δy=f'(u)Δu+αΔu 但当Δu=0时，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式还是成立。 又因为Δx≠0,用Δx除以等式两边，且求Δx->0的极限，得 dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx 又g(x)在x处连续(因为它可导),故当Δx->0时，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0 则lim(Δx->0)α=0 抽象函数专题训练 1 线性函数型抽象函数 【例题1】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0,(1)2,f x f >-=-求()f x 在区间[-2,1]上的值域。 【例题2】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()=2+()f x f y f x y ++，且当0x >时，()2,(3)5,f x f >=求不等式2(23)3f a a --<的解。 2 指数函数型抽象函数 【例题3】已知函数()f x 定义域为R ，满足条件：存在12x x ≠，使得12()(),f x f x ≠对任何x 和y ，()()()f x y f x f y +=?成立。 求： （1）(0);f (2) 对任意值x ,判断()f x 值的正负。 【例题4】是否存在函数()f x 满足下列三个条件： ①()0,.f x x N >∈②()()() ,.f a b f a f b a b N +=?∈，③(2)4f =同时成立？ 若存在，求出()f x 的解析式，若不存在，说明理由。 3 对数函数型抽象函数 【例题5】设()f x 定义在+∞（0，）上的单调增函数，满足()()+()f xy f x f y =，(3)1f =。 求： （1）(1);f (2) 若()+(8)2,f x f x -≤求x 的取值范围。 4 三角函数型抽象函数 【例题6】已知函数()f x 的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：①当12,x x 是其定义域中的数时，有121221()()1 ();()() f x f x f x x f x f x ?+-= -②()1,f a =-（0a >，a 是定义域中的一个数） ③当02x a <<时，()0.f x <试问： （1） ()f x 的奇偶性如何？说明理由。 （2） 在0,4a （）上，()f x 的单调性如何？说明理由。 5 幂函数型抽象函数 【例题7】已知函数()f x 对任意实数x y 、，均有()()()f xy f x f y =?，且(1)1,(27)9f f -==，当01x ≤<时，[)()0,1f x ∈. (1) 判断()f x 的奇偶性； (2) 判断()f x 在+∞[0，）的单调性，并给出证明； (3) 若0a ≥ ，且(1)f a +≤，求a 的取值范围。 练习：2010省市部分试题 1.（上海十四校联考）已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下 列两式成立： )6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为 答案 1 专题：复合函数的定义域 讲解内容： 复合函数的定义域求法 讲解步骤： 第一步：函数概念及其定义域 函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值. 第二步：复合函数的定义 一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: 2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+ 问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是 求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。） 第三步：介绍复合函数的定义域求法 例1. 已知()f x 的定义域为]( 3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得 35x -<≤ 3325x ∴-<-≤ 137x -<≤ 1733 x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33??- ??? . 练1.已知)(x f 的定义域为]30(， ，求)2(2x x f +定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 §1.2.2复合函数的求导法则 教学目标理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 （2）推论：[]' '()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和 ()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和 ()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导 数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ ax x a x 22 --的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2 1 sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3 x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法 复合函数的概念及复合函数的单调性 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）] 叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立，a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例：对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地， 当0＜a＜1时， 是单调递增函数 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 解：① 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。注意：要求定义域 练习：求下列函数的单调区间。 1、（1）减区间，增区间； （2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）； （3）减区间，增区间； （4）减区间，增函数。 2、已知求g（x）的单调区间。 提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x） 的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。 例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x） （1）y=f（x）的表达式及定义域； （2）求y=f（x）的值域； （3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。 答案：（1）x∈（0，3） （2）（0，] 复合函数练习题 一．解析式的求法 1. 代入法 例1、f ( x) = 2 x + 1 ，求f ( x + 1) 2. 待定系数法 例2、二次函数f ( x) 满足 f ( x + 3) = f (1 - x) ，()0 f x=的两实根平方和为10，且x=图像过点(0,3) ，求f ( x) 解析式。 3. 换元法 例3、 21 (31) 34 x f x x + += - ，求 f ( x) 解析式。 4. 配凑法 例4、f (3x +1) = 9 x2- 6 x + 5 ，求f ( x) 解析式。 5. 消元法（构造方程组法） 例5、f ( x) +2 f (- x) = x -1 ，求 f ( x) 解析式。 二. 定义域、值域、单调性、最值练习 1)若函数f ( x - 1) 定义域为(3, 4] ，则函数f 的定义域为。 2)求下列函数y=log4(x2－4x+3)的单调区间。 3)求复合函数y = log3 (2 x - x2) 的单调区间 4) f ( x) 是定义在R 上的函数，f ( x) 满足f ( x + 2) = - f ( x) ，当x ∈[0,2 ] 时，f ( x) = 2 x - x 2 ，求x ∈[-2,0] 时f ( x) 的解析式 5)求函数 24 1 3 x x y + ?? = ? ?? , x ∈ [0,5) 的值域。 6)求函数 11 1 42 x x y ???? =-+ ? ? ???? 在x ∈ [ -3, 2] 上的值域。 7)求函数 2 3 log45 1 3 x x y +- ?? = ? ?? 的单调区间 高一数学复合函数例题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一篇、复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< 高一数学复合函数讲解 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 1、复合函数的概念 如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如：函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立。 a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。 对任意， 当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。 ∵当a＞1时， ∵y=f（u）是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地，当0＜a＜1时， 是单调递增函数 一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。 有以下四种情况： （1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M 上也是增函数； （2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M 上也是减函数； （3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M 上也是减函数； （4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M 上也是增函数。 注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 （1）（2） 又是减函数 ∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。 ②x∈（-1，3） 令 ∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。 注意：要求定义域 练习：求下列函数的单调区间。 1、（1）减区间，增区间； （2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）； （3）减区间，增区间； （4）减区间，增函数。 2、已知求g（x）的单调区间。 复合函数问题 一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用X 围为D ，又f 对g x ()作用，作用X 围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1.设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用X 围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用X 围不变，所以01<(完整版)高一数学复合函数讲解
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