常用的一些矢量运算公式

常用的一些矢量运算公式

1.三重标量积

如a ，b 和c 是三个矢量，组合()

a b c

??叫做他们的三重标量积。三重标量积等于这三

个矢量为棱边所作的平行六面体体积。在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为

(),,i j k ，令三个矢量的分量记为()()1

2

3

1

2

3

,,,,,a a a a b b b b 及()1

2

3

,,c c c c 则有

(

)()

123123123123

123123

c c c i jk

a b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ??=?++=

因此，三重标量积必有如下关系式：

()()()a b c b c a c a b ??=??=??即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。

2.三重矢量积

如a ，b 和c 是三个矢量，组合(

)

a b c

??叫做他们的三重标量积，因有

()()()a b c a c b c b a ??=-??=??

故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。三重标量积有一个重要的性质（证略）:()

()()a b c a b c a c b

??=-?+? （1-209）

将矢量作重新排列又有：()()()

a b c b a c b a c

?=??+? （1-210）

3.算子（

a ?

）

?

是哈密顿算子，它是一个矢量算子。（

a ?

）则是一个标量算子，将它作用于标量φ

，即

()a φ?是φ在a 方向的变化速率的a 倍。如以无穷小的位置矢量

d r

代替以上矢量a

，则

()dr φ

?是φ在位移方向

d r

的变化率的

d r

倍，即

d φ

。

()

()d dr dr φφφ=?=?

若将

()

dr ?作用于矢量v ，则

()dr v

?就是v 再位移方向

d r

变化率的

d r

倍，既为速度矢量

的全微分()

dv dr v

=? 应

用

三

重

矢

量

积

公

式

（

1-209

）

()()()

00()()()()

a b a b a b b a a b b a a b ???=???+???=??-??-??+??

应用三重矢量积公式（1-210）又有

()()()

00()()()()a b a b a b a b a b b a b a

??=??+??=???+?+???+??

将以上两式结合（相减）后可得

()

{()}

1

()()()()()

2

a b a b a b b a a b b a a b ?=

??-???-???-???-??+?? 一个重要的特例，令a b v ==，因()

0v v ???=则有21

()()

2

v v v v v ?=?-??? 4.算子?

的应用 令φ是标量，a 是矢量，

;a b

为并矢量，则有

00002000()()()()()()()()()()()(;)(;)(;)()()a a a a a a a a a a a a a

a b a b a b b a a b φφφφφφφφφφ?=?+?=??+????=??+?=??+??????=???-??=?+?=??+??

在直角坐标中，令

2222

222

()x y z y x z

x y z

x y z

a ia ja ka i

j k x y z a a a a x y z i jk

a x y z a a a x y z

a a a a x y z

φφφφφφφφφ=++????=++????????=++

????????=

???????=???=++??????

?=++???

对一组正交曲线坐标系

123(,,)

εεε，其单位矢量123(,,)

e e e ，将任意位置矢量

R

变分写为

111222333

R h d e h d e h d e δεεε=++

其中

123

,,h h h 为尺度因子（拉美系数）。因在直角坐标中，

R dxi dx j dxk

δ=++，所以

1231h h h ===。在柱坐标

(,,)

r z ?中，因

r z

R dre rd e dze ?δφ=++，所以1321,h h h r

===。在球坐标

(,,)

r θ?中，因

sin r R dre rd e r e θθ

δθθ=++，所以

1231,,sin h h r h r θ

===。

在任意正交曲线坐标系中，令φ

是标量，矢量

112233

a a e a e a e =++，则有

312112233

231312231123

133112233

123123

112233

()()()1

1e e e h h h h h a h h a h h a a h h h h e h e h e a h h h h a h a h a φφφ

φξξξξξξξξξ????=

++

????

??????=

++????????????=

???

单位矢量的旋度和散度为

321

11133122

2311231

2233112123111222333(1,2,3)

()

1(1,2,3)

1()()()e e h h e h h h h h h e h h h h h h h h h h h h h h h ξξξφφφφξξξξξξ????=-?????=??

????????=

++?

?????????

轮换轮换

123(,,)

n n n n 方向梯度

n ?

作用于矢量a

为

{

{

{

332121111213122131313332221223212332311233112233313231132323()()()()()()a h a h h h

n a e n a n n n n h h h h a a h h h h

e n a n n n n h h h h h h a h a h e n a n n n n h h h h ξξξξξξξξξξξξ??????=?+---??????

?????+?+-+-???????

????+?+

-+-??????

笛卡尔量

1.求和约定.克罗尼克尔符号.轮转符号

以

1(1,2,3)

x i =表示笛卡尔直角坐标系的坐标，

1(1,2,3)

i i =表示三个坐标轴方向单位矢量。

令

123(,,)

x x x φ，定义求和约定的写法为

123123i

i

d dx dx dx dx x x x x φφφφ

φ????=

++=????式中重复下标称为哑指标，表示求和约定。哑指标字母可以任意更换，j j dx x φ??和i

i dx x φ

??具有相同的

效果。使用求和约定时规定在每一单项中同一指标使用不能超过两次。

克罗克尼尔（Kroneker ）符号定义为0,1,ij i j

i j δ=?=?

≠?

在笛卡尔直角坐标系中，有

12,

,3,i

ij ij ij ij i j j x i i x x x δδδδ??====?

单位矩阵也可以表示为111213212223313233100010()001ij I δδδδδδδδδδ??

??????===????????????

轮转符号定义为

0,,,1,,,1,2,3-1,,,1,2,3ijk

i j k i j k i j k ε??

=???

当中有两个相同时

当为顺序轮转排列时

当为非轮转顺序排列时 例如1232313121323212131,1εεεεεε======-。采用轮转符号

ijk

ε可使运算的书写简化，

如

123

123123

i

ijk j ki i i i a b a a a a b b b b ε?==

或

123123123()()i

i ijk j ki k ijk i j a b a b i i i v v i x x x x v v v εε?=?????????

???==????????????

或

()(

)k

i ijk j v v x ε???=?

2.笛卡尔量定义

在直角坐标系中量称为笛卡尔量，而量本身与所取的坐标无关。如一个标量在任何坐标系中都为同一个量，标量亦称为零阶量。如一个适量在任何坐标系中以为同一个量。但他在三维空间中由三个分量组成，在不同的坐标系中这三个分量则不同，但他们都有一定的变换关系，矢量亦称为一阶量。若有一个量∏

（如应力）在任一点处有三个矢量分量

123

,,p p p 即这个

量具有九个分量。

∏

这个量在任何坐标系中都为一个量，而它们的9个分量在不同的坐标

系中有不同的分量，但它们存在一定的变换关系，则

∏

这个量称为二阶量，常简称为量。

在三维空间中被称为零阶量，一阶量，二阶量等等，是因为它们分别有012

3,3,3个分量，而

称之为零阶，一阶，二阶量，并可由此类推到n 阶量。

笛卡尔二阶量

∏

所确定的三个矢量的分解式为112233

1111212313

2121222323

3131232333

i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p p i p i p i p ∏=++=++=++=++

则量∏可用9个量元素来定义，可写成如下的矩阵形式

111213212223313233p p p p p p p p p ??

??∏=??????

或写成量的九项式：,,1,2,3

i j ij i i p i j ∏==

如

1112131,0()

ij p p p p i j ====≠，则为单位量I

如果两分两满足条件

ij ji

p p =，则这个量叫对称量。如果两分两满足条件

ij ji

p p =-，则这

个量叫反对称量。若将量∏

的分量

ij

p 与

ji

p 互易位置后的量，则称该量的共轭量，并以

c

∏表示：

112131122232132333c p p p p p p p p p ??

??∏=??????

3.并失

为区别两个矢量的点乘，可将两个矢量的并失

ab

写成

;a b

。令

112233112233

,a i a i a i a b i b i b i b =++=++，则并失亦有9个分量，写成矩阵形式为

111213212223313233;a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b a b ??

??==??????

，并失为二阶量。必须注意，并失;a b 与;b a 是不同的

111213212223313233;b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a ??

??=??????

，由此可见;b a 是并失;a b 的共轭量。 矢量的梯度梯度为一并失，故是一个二阶量：312111312222312333;a a a x x x a a a grad a a x x x a a a x x x ??

????????????

???=?=??

?????????????????

考虑矢量

123()(,,)

a r a x x x =的无穷小增量，因

1111123

123

2222123

1233333123123

a a a da dx dx dx x x x a a a

da dx dx dx x x x a a a

da dx dx dx x x x ???=++??????=++??????=

++??? 故/d a d r 为具有九个分量的二阶量31

21

1131

22

223123

33a a a x x x a a a d a x x x d r a a a x x x ??

?????

???????

???=??

???????

?????

?????

因可将

da

表示为量

/d a d r 与矢量

d r

的点乘，

(;)

d a

d a d r d r grad a d r a d r

=

?=?=? 应用并失运算法则又有(;)();()d a d r a d r a d r a =??=??=??

对标量函数

()

r φ类似的有

d d r grad d r φφφ

=?=??

并失运算服从如下四个运算法则 （1）结合律法则 ;;(;);;(;)

a b c a b c a b c ==连续的并失积可以任何方式加上括号而不改

变结果。

（2）标量率法则

;();(;)

a b a b a b λλλ==标量

λ

在并失运算中可以提到任何一个位置。

（3）缩并率法则 两个矢量点乘为一个标量，一个并失（量）与一个矢量点乘则为一个矢量，表示通过点乘将并矢量积的阶降低了两阶，这个过程叫做缩并。如利用结合率和标量律后，可知并失与矢量的点乘后为一矢量：

(;);()()a b c a b c b c a

?=?=?

如利用标量律后，可知两个并失点乘后仍未一并失

(;)(;);();()(;)

a b c d a b c d b c a d ?=?=?

（4）分配律法则

;();;a b c a b a c

+=+

4.量的梯度，散度和格林定理

零阶量（标量）的梯度是矢量，一阶量（矢量）的梯度是二阶量，一次类推，二阶量的梯度必为三阶量。

设A 是二阶量，其分量

123(,,)

ij ji A A x x x =，定义,ij

ij k

k

A A x ?=?表示

ij

A 对

k

x 求偏导数。

梯度符号是一矢量算子，123,,,1,2,3

k grad A k x x x x ????

????=?===????????????

故量A 的梯度可写为{},,1,2,3,1,2,3

ij ij k k A gradA A A i j k ???

=?==?????==量A 的梯度具有27个分量的量，即3

3个分量，属于

三阶量。

一阶量（矢量）的散度是一个标量，二阶量的散度将是一个矢量。散度的定义为

3132132333112112221

23123123,,ij k A A A A A A A A A A divA A x x x x x x x x x ?????

?????????=??==++++++????

?????????????? 在正交坐标系123(,,)

ξξξ中，拉美系数为

123

,,h h h 时，二阶量的散度和变形率量分量

ij

D 的公

式

为

22

33123123111112311232ln ln 1

1ij k k kk k kk

k k i k k k k A h h h h h h h h divA A A A A A h h h h h h h h ξξξξξ==????????????????=??==-?-?????? ? ?????????????????

∑∑2211

12112221

3322

12223332

333

111

211121133111311122313

33221211332223312133()()

()()11()(),21111,22h v h v D h h h h h v h v D h h h h h v v h v v v h h D D h h h h h h h h h v v v h v h v D D h h h h h h ξξξξξξξξξξξξξ??=+????=+???????=

+=++?????????=++=+????3312311232

h h v h h h h ξξ??+??

若令

;X v a

=为一并失（二阶量），则有量形式的高斯定理为

(;)(;)A

v a d n v a dA

ττ??=??

故将二阶量分量记为

ij

T ，则又可写为

ij

A ij i

i

T d T n dA

x ττ?=???