2020年上海市高考数学模拟试卷(3)
2020年上海市高考数学模拟试卷（3）
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）已知集合M ＝{1+a ，a 2+a ，3}，N ＝{a 2﹣3a +8，b ﹣3，0}，且M ∩N ＝{2}，则a +b 的值为 ． 2．（4分）已知函数f （x ）=√x +
k
√x
在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k ＝ ． 3．（4分）计算tan54°﹣tan36°﹣2tan18°＝ ．
4．（4分）已知定义在R 上的单调函数f （x ）的图象经过点A （﹣3，2）、B （2，﹣2），若函数f （x ）的反函数为f ﹣
1（x ），则不等式|2f ﹣
1（x ﹣2）+1|＜5的解集为 ．
5．（4分）（理） 已知函数f （x ）＝x 3+x ，关于x 的不等式f （mx ﹣2）+f （x ）＜0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为 ．
6．（4分）函数y ＝2sin （2x +π
6）+1的最小正周期是 ，最小值是 ． 7．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），P 为曲
线C 上的动点，直线的方程：x +y ＝4，则点P 到直线的距离d 的最小值为 8．（5分）从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是 ．（用数值表示结果）
9．（5分）函数y =(2x+1)2
(x+1)(4x+1)（x ≥0）的最小值为 ．
10．（5分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，AC ＝2，BE ＝2EA ，AD 与CE 的交点为O ．若AO →
?BC →
=?2，则AB 的长为 ．
11．（5分）log 2
12
x ?1
4
≤0，则x ∈ ．
12．（5分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 ①三个题都有人做对； ②至少有一个题三个人都做对；
③至少有两个题有两个人都做对．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）由两个1
4圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π
3
B ．π
2
C ．π
D ．2π
14．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |﹣|FB ||的值等于（ ） A ．8√2
B ．8
C ．4√2
D ．4
15．（5分）已知x ∈R ，则条件“|x ﹣1|＜1”是条件“x 2＜4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
16．（5分）设集合A ＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5﹣2+1＝4，{6，3}的“交替和”就是6﹣3＝3，{3}的“交替和”就是3）．则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ） A ．128
B ．192
C ．224
D ．256
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）已知向量m →
=(√3cosx ，?1)，n →
=(sinx ，cos 2x)． （1）当x =π
3时，求m →?n →
的值；
（2）若x ∈[0，π
4]，且m →?n →
=√33?1
2，求cos2x 的值．
18．（14分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝90°，平面P AB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点． （1）求证：AB ⊥PE ；
（2）求三棱锥P ﹣BEC 的体积．
19．（14分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60＜m ＜150，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．
（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益＝在职人员创利总额﹣被裁员工生活费）；
（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 20．（16分）已知椭圆
x 2a +
y 2b =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与
x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点． （1）求椭圆的离心率；
（2）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T 之间，且NF ＝2MF ．
①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求S 1
S 2；
②若原点O 到直线TMN 的距离为
20√4141
，求椭圆方程．
21．（18分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，2a1+1＝a2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足a n＝log2（b n﹣n），求{b n}的前n项和T n．
2020年上海市高考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）已知集合M＝{1+a，a2+a，3}，N＝{a2﹣3a+8，b﹣3，0}，且M∩N＝{2}，则a+b的值为3．
【解答】解：∵集合M＝{1+a，a2+a，3}，N＝{a2﹣3a+8，b﹣3，0}，且M∩N＝{2}，∴2∈M，2∈N，
若1+a＝2，则a2+a＝2，不符合条件，
若a2+a＝2，则a＝1，（舍），或a＝﹣2，
∵2∈N，且a2﹣3a+8＝18，
∴b﹣3＝2，解得b＝5，
∴a+b＝3．
故答案为：3．
2．（4分）已知函数f（x）=√x k
√x
在区间（0，+∞）上有最小值4，则实数k＝4．
【解答】解：依题意，k＞0，则f(x)=√x k
√x
≥2√k，
则2√k=4，解得k＝4．
故答案为：4．
3．（4分）计算tan54°﹣tan36°﹣2tan18°＝0．
【解答】解：因为tan18°＝tan（54°﹣36°）=tan54°?tan36°
1+tan54°tan36°，
所以tan54°﹣tan36°＝tan18°（1+tan54°tan36°）＝tan18°（1+tan54°cot54°）＝2tan18°
所以tan54°一tan36°一2tan18°＝0．
故答案为：0．
4．（4分）已知定义在R上的单调函数f（x）的图象经过点A（﹣3，2）、B（2，﹣2），若函数f（x）的反函数为f﹣1（x），则不等式|2f﹣1（x﹣2）+1|＜5的解集为（0，4）．【解答】解：不等式|2f﹣1（x﹣2）+1|＜5可化为﹣3＜f﹣1（x﹣2）＜2，
由f（x）是定义在R上的减函数，以及函数与反函数的关系得：
f（﹣3）＞x﹣2＞f（2），即2＞x﹣2＞﹣2，0＜x＜4，
∴不等式|2f ﹣
1（x ﹣2）+1|＜5的解集为（0，4）．
故答案为：（0，4）．
5．（4分）（理） 已知函数f （x ）＝x 3+x ，关于x 的不等式f （mx ﹣2）+f （x ）＜0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为 m ＜1 ． 【解答】解：f （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣x ＝﹣f （x ） ∴函数f （x ）是奇函数
f （x ）＝x 3+x ，则f '（x ）＝3x 2+1＞0 ∴函数f （x ）在R 上单调递增 ∵f （mx ﹣2）+f （x ）＜0
∴f （mx ﹣2）＜﹣f （x ）＝f （﹣x ）
即mx ﹣2＜﹣x ，（m +1）x ＜2在区间[1，2]上有解 ∴m +1＜2或（m +1）×2＜2即m ＜1 故答案为：m ＜1
6．（4分）函数y ＝2sin （2x +π
6）+1的最小正周期是 π ，最小值是 ﹣1 ． 【解答】解：函数y ＝2sin （2x +π
6
）+1的最小正周期是2π2
=π，最小值为﹣2+1＝﹣1，
故答案为：π，﹣1．
7．（5分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：{x =√3cosθy =sinθ（θ为参数），P 为曲
线C 上的动点，直线的方程：x +y ＝4，则点P 到直线的距离d 的最小值为 √2 【解答】解：设P （√3cos θ，sin θ），
可得d =√3cosθ+sinθ?4|2=|2sin(θ+π
3)?4|2=4?2sin(θ+π
3)2
，
当sin （θ+π3
）＝1时，d 取得最小值√2
=
√2，
故答案为：√2．
8．（5分）从边长为1的正方体12条棱中任取两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是
411
．（用数值表示结果）
【解答】解：12条棱中任选一条，剩下11条， 在这11条中，有3条与这条平行，有4条与这条垂直， 只有4条与选中的这条异面．
∴从边长为1的正方体12条棱中任取两条，
则这两条棱所在直线为异面直线的概率是4
11
．
故答案为：
4
11
．
9．（5分）函数y =(2x+1)
2(x+1)(4x+1)（x ≥0）的最小值为 89
．
【解答】解：y =(2x+1)2
(x+1)(4x+1)=4x 2+4x+14x 2+5x+1=1?x
4x 2+5x+1
，
①当x ＝0时，y ＝1； ②当x ＞0时，y ＝1?x
4x 2+5x+1
＝1?
1
4x+1x +5，
∵4x +1x
≥2√4=4，
（当且令当x =1
2
时，等号成立）； 故0＜
14x+1x
+5≤14+5=1
9， 故89
≤1?
1
4x+1x
+5＜1，
综上所述，函数y =(2x+1)
2(x+1)(4x+1)（x ≥0）的最小值为89
，
故答案为：8
9
．
10．（5分）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，AC ＝2，BE ＝2EA ，AD 与CE 的交点为O ．若AO →
?BC →
=?2，则AB 的长为 2√3 ．
【解答】解：∵D 是BC 的中点，BE ＝2EA ，
∴BE →
=23BA →
，BC →=2BD →，
∵E ，O ，C 三点共线，设BO →=λBE →+(1?λ)BC →
=2λ
3BA →+2(1?λ)BD →
，且三点A ，O ，D 共线， ∴
2λ3
+2(1?λ)=1，解得λ=3
4，
∴BO →
=12BA →
+14
BC →
，
∴AO →
=AB →
+BO →
=AB →
+12BA →+14BC →=14(AB →
+AC →)，
∴AO →
?BC →=14(AB →+AC →)?(AC →?AB →)=14(AC →2?AB →2
)=14(4?AB →2)=?2，
∴AB →
2
=12，|AB →
|=2√3． 故答案为：2√3． 11．（5分）log 2
12
x ?1
4
≤0，则x ∈ [
√2
2
，√2] ． 【解答】解：log 212
x ?1
4≤0，
∴log 2
12
x ≤14
， ∴?1
2≤log 12
x ≤1
2，
∴log 12√2≤log 12x ≤log 12√2
2，
∴
√2
2
≤x ≤√2， ∴x ∈[
√2
2
，√2]， 故答案为：[
√2
2
，√2]． 12．（5分）甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是 ③ ①三个题都有人做对； ②至少有一个题三个人都做对； ③至少有两个题有两个人都做对．
【解答】解：若甲做对A ，B ，乙做对A ，B ，丙做对A ，B ，则C 无人做对，所以①错误；
若甲做对A ，B ，乙做对A ，C ，丙做对B ，C ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误；
做对的情况可分为三种情况：
三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，
分类可知三种情况都满足③的说法．
故答案为：③．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）由两个1
4圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π
3
B ．π
2
C ．π
D ．2π
【解答】解：由两个14
圆柱组合而成的几何体的直观图如图： 所以几何体的体积为：1
2×π×12×2=π．
故选：C ．
14．（5分）已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |﹣|FB ||的值等于（ ） A ．8√2
B ．8
C ．4√2
D ．4
【解答】解：F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1， 联立方程组{y 2=4x y =x ?1
，可得x 2﹣6x +1＝0，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1． 由抛物线的定义可知：|F A |＝x 1+1，|FB |＝x 2+1，
∴||F A |﹣|FB ||＝|x 1﹣x 2|=√(x 1+x 2)2?4x 1x 2=√36?4=4√2． 故选：C ．
15．（5分）已知x ∈R ，则条件“|x ﹣1|＜1”是条件“x 2＜4”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解答】解：由|x ﹣1|＜1，解得0＜x ＜2，由x 2＜4解得﹣2＜x ＜2， 故由|x ﹣1|＜1，成立，可以推出x 2＜4成立，即充分性成立； 当x 2＜4时，无法推出|x ﹣1|＜1成立，即必要性不成立； 所以“|x ﹣1|＜1”是条件“x 2＜4”的充分不必要条件， 故选：A ．
16．（5分）设集合A ＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，对于A 的每个非空子集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数（如：{1，2，5}的“交替和”是5﹣2+1＝4，{6，3}的“交替和”就是6﹣3＝3，{3}的“交替和”就是3）．则集合A 的所有这些“交替和”的总和为（ ） A ．128
B ．192
C ．224
D ．256
【解答】解：由题意，S 2表示集合N ＝{1，2}的所有非空子集的“交替和”的总和， 又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}， ∴S 2＝1+2+2﹣1＝4；
S 3＝1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）＝12，
S 4＝1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）＝32，
∴根据前4项猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝n ?2n ﹣
1，
所以S 6＝6×26﹣
1＝6×25＝192，
故选：B ．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）已知向量m →
=(√3cosx ，?1)，n →
=(sinx ，cos 2x)． （1）当x =π3
时，求m →?n →
的值； （2）若x ∈[0，π
4
]，且m →
?n →
=
√3
3
?12
，求cos2x 的值．
【解答】解：（1）当x =π
3时，m →
=（√32，﹣1），n →=（√32，14
）， ∴m →
?n →
=34?14=1
2．
（2）m →?n →
=√3sin x cos x ﹣cos 2x =√3sin2x ?1cos2x ?1=sin （2x ?π）?1
，
若m →?n →
=
√3
3
?12，则sin （2x ?π6
）=
√3
3
，
∵x ∈[0，π
4]，∴2x ?π
6∈[?π
6，π
3]，∴cos （2x ?π
6）=√6
3．
∴cos2x ＝cos （2x ?π6
+π6
）＝cos （2x ?π6
）cos π
6
?sin （2x ?π6
）sin
π6
=
√63×√32?√33×1
2
=3√2?√3
6
． 18．（14分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝90°，平面P AB ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AB ，AC 中点． （1）求证：AB ⊥PE ；
（2）求三棱锥P ﹣BEC 的体积．
【解答】解：（1）连结PD ，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴DE ∥BC ，又∠ABC ＝90°， ∴DE ⊥AB ．
又∵P A ＝PB ，D 为AB 中点，∴PD ⊥AB ． 又PD ?平面PDE ，DE ?平面PDE ，PD ∩DE ＝D ， ∴AB ⊥平面PDE ，∵PE ?平面PDE ， ∴AB ⊥PE ．
（2）∵平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊥AB ，PD ?平面P AB ， ∴PD ⊥平面ABC ，
∵P A ＝PB ＝AB ＝2，D 是AB 中点，∴BD ＝1，PD =√3， 又∵S △BCE =12BC ?BD =12×3×1=3
2． ∴V P ﹣BCE =1
3S △BCE ?PD =1
3×3
2×√3=√3
2．
19．（14分）某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工2m 人（60＜m ＜150，且m 为10的整数倍），每人每年可创利100千元，据测算，在经营条件不变的前的提下，若裁员人数不超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利1千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润a 千元）；若裁员人数超过现有人数的30%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利2千元（即若裁员a 人，留岗员工可多创利润2a 千元），为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的50%，为了保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费．
（1）设公司裁员人数为x ，写出公司获得的经济效益y （千元）关于x 的函数（经济效益＝在职人员创利总额﹣被裁员工生活费）；
（2）为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
【解答】解：（1）设公司裁员人数为x ，获得的经济效益为y 千元， 则由题意得当0＜x ≤3
10×2m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+x ）﹣20x ； 当
310
×2m ＜x ≤1
2×2m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+2x ）﹣20x ；
∴y ={(100+x)(2m ?x)?20x ，0＜x ≤0.6m (100+2x)(2m ?x)?20x ，0.6m ＜x ≤m
，x ∈N *；
（2）当0＜x ≤0.6m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+x ）﹣20x ＝﹣[x 2﹣2（m ﹣60）x ]+200m ；① 由①得对称轴x ＝m ﹣60＞0，当0＜m ﹣60＜0.6m 时，即60＜m ＜150时， 当x ＝60﹣m 时，y 有最大值，y 1＝m 2+80m +3600；
当0.6m ＜x ≤m 时，y ＝（2m ﹣x ）（100+2x ）﹣20x ＝﹣2[x 2﹣2（m ﹣30）x ]+200m ；② 由②得对称轴x ＝m ﹣30，∵60＜m ＜150，
∴当0.6m ＜m ﹣30＜m 时，即75＜m ＜150时，x ＝m ﹣30，y 有最大值，y 2＝2m 2+80m +1800； ∵当m ﹣30≤0.6m 时，即60＜m ≤75时，x ＝0.6m 时，y 有最大值，y 3＝1.68m 2+128m ；
∵当60＜m ≤75时，y 3﹣y 1＝0.68m 2+48m ﹣3600；
y 3﹣y 1在（60，75]上单调递增，当m ＝60时，（y 3﹣y 1）min ＝1728＞0 当75＜m ＜150时，
y 2﹣y 1＝m 2﹣1800＞3825＞0，
即当60＜m ＜150时，y 2最大即当公司应裁员数为m ﹣30， 即公司应裁员m ﹣30人时，获得的经济效益最大． 20．（16分）已知椭圆
x 2a +
y 2b =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与
x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点． （1）求椭圆的离心率；
（2）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T 之间，且NF ＝2MF ．
①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求S 1
S 2；
②若原点O 到直线TMN 的距离为
20√4141
，求椭圆方程．
【解答】解：（1）由F 是AT 的中点，可得?a +a 2c
=2c ，
即（a ﹣2c ）（a +c ）＝0，又a 、c ＞0， 则a ＝2c ，可得e =c
a =1
2；
（2）①解法一：过M ，N 作直线l 的垂线， 垂足分别为M 1，N 1， 依题意，
NF NN 1
=
MF MM 1
=e ，
又NF ＝2MF ，故NN 1＝2MM 1，故M 是NT 的中点，可得S △MNF S △TNF
=1
2
，
又F 是AT 中点，即有S △ANF ＝S △TNF ，故
S 1S 2
=1
2
；
解法二：有a ＝2c ，即为b =√3c ， 椭圆方程为
x 24c 2
+
y 23c 2
=1，F （c ，0），T （4c ，0），
设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），点M 在椭圆
x 24c +
y 23c =1上，即有y 12=3c 2?3
4
x 12
，MF =
√(x 1?c)2+y 12=√(x 1?c)2+3c 2?3
4x 12
=√1
4x 12?2cx 1+4c 2=|12x 1?2c|=2c ?12
x 1，
同理NF =2c ?1
2x 2，
又NF ＝2MF ，故2x 1﹣x 2＝4c ，得M 是N ，T 的中点，可得S △MNF S △TNF
=1
2
，
又F 是AT 中点，可得S △ANF ＝S △TNF ，则S 1S 2
=1
2
；
②解法一：设F （c ，0），则椭圆方程为
x 2
4c +
y 23c =1，
由①知M 是N ，T 的中点，不妨设M （x 0，y 0），则N （2x 0﹣4c ，2y 0）， 又M ，N 都在椭圆上，
即有{ x 024c 2+y 023c 2=1(2x 0?4c)24c 2+4y 023c 2=1即{ x 024c 2+y 02
3c 2=1(x 0?2c)
24c 2+y 023c
2=14， 两式相减得：
x 0
24c ?
(x 0?2c)2
4c =3
4
，解得x 0=7
4
c ，
可得y 0=3√5
8c ，故直线MN 的斜率为k =3√5
8c 74c?4c
=?√56
，
直线MN 的方程为y =?√5
6(x ?4c)，即√5x +6y ?4√5c =0， 原点O 到直线TMN 的距离为d =
√5c 5+36=√5
41
，
依题意√5√41
=20√41
41，解得c =√5，
故椭圆方程为
x 220
+
y 215
=1．
解法二：设F （c ，0），则椭圆方程为x 24c +
y 23c =1，
由①知M 是N ，T 的中点，故2x 1﹣x 2＝4c ，
直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为y ＝k （x ﹣4c ），与椭圆联立， 并消去y 得：
x 2
4c +
k 2(x?4c)2
3c =1，
整理得：（4k 2+3）x 2﹣32ck 2x +64k 2c 2﹣12c 2＝0，（*） 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 即有{
x 1
+x 2=32ck
2
3+4k 2x 1x 2=64k 2c 2?12c
23+4k 2
， 由{x 1+x 2=32ck 2
3+4k 22x 1?x 2=4c 解得{
x 1
=16ck 2
+4c 3+4k 2x 2=16ck 2
?4c 3+4k 2
， 即有
16ck 2+4c 4k 2+3
×
16ck 2?4c 4k 2+3
=
64k 2c 2?12c 2
4k 2+3
，解之得k 2=
5
36，即k =?√56
． 直线MN 的方程为y =?
√5
6
(x ?4c)，即√5x +6y ?4√5c =0，
原点O 到直线TMN 的距离为d =√5c 5+36=√5c
41
，
依题意
√5c √41
=20√41
41，解得c =√5，
故椭圆方程为x 220
+
y 215
=1．
21．（18分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，2a 1+1＝a 2． （Ⅰ） 求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ） 若数列{b n }满足a n ＝log 2（b n ﹣n ），求{b n }的前n 项和T n ．
【解答】解：（1）由已知S 4＝4S 2，2a 1+1＝a 2．可得4a 1+6d ＝4a 1+4d ，2a 1+1＝a 1+d ， 解得a 1＝1，d ＝2，…..（4分） 则a n ＝2n ﹣1…..（6分）
（2）数列{b n }满足a n ＝log 2（b n ﹣n ），b n =2a n +n =22n?1+n ，…（8分） 则T n =b 1+b 2+?+b n =21+23+?+22n?1+1+2+?+n
=2(1?4n )1?4+n(n+1)2=23(4n ?1)+n(n+1)
2
?..（12分）
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷150 3
高考模拟复习试卷试题模拟卷 【考情解读】 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解反证法的思考过程和特点． 【重点知识梳理】 1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 实质 由因导果 执果索因 框图表示 P ?Q1→Q1?Q2→…→Qn ?Q Q ?P1→P1?P2 →…→ 得到一个明显 成立的条件 文字语言 因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． 【高频考点突破】 考点一 综合法的应用 例1 已知数列{an}满足a1＝12，且an ＋1＝an 3an ＋1(n ∈N*)． (1)证明数列{1 an }是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn ＝anan ＋1(n ∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<1 6. 【特别提醒】(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理
2014年上海市高考数学试卷(理科)
上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上 的Q使得+=，则m的取值范围为_________． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
2020年上海市高考数学试卷-含详细解析
2020年上海市高考数学试卷 副标题 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( ) A. a 2+b 2≤2ab B. a 2+b 2≥?2ab C. a +b ≥2√|ab| D. a 2+b 2≤?2ab 2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( ) A. { x =1+3t y =?1?4t B. {x =1?4t y =?1+3t C. {x =1?3t y =?1+4t D. {x =1+4t y =1?3t 3. 在棱长为10的正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，P 为左侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( ) A. AA 1B 1B B. BB 1C 1C C. CC 1D 1D D. ABCD 4. 命题 p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷127 3
高考模拟复习试卷试题模拟卷 【考情解读】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 际问题． 【重点知识梳理】 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21. (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 4．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题． (1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b(b≠0)?a＝λb?x1y2－x2y1＝0． (2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质
2019年上海市高考数学理科试题(Word版)
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________ )()(1=-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 8、在n x x ??? ? ?-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11 ax y x by +=??+=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值 为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ?? -sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组 ()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P
2018高职高考数学模拟试卷
页脚内容1 2018高职高考数学模拟试卷 本试题卷共24小题，满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填定在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴除” 2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3、非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上。 4、考生必须保持答题卡的整洁。不能使用涂改液。 试卷类型：A 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分。 1.已知集合{}4,3,2,1,0=M ，{}5,4,3=N ,则下列结论正确的是（ ） A. N M ? B. M N ? C. {}4,3=?N M D. {}5,2,1,0=?N M 2、函数x x x f --=2) 1(log )(2的定义域是（ ） A )0,(-∞ B )2,1( C ]2,1( D ),2(+∞
页脚内容2 3.“01a <<”是“log 2log 3a a >”的（ ） A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充分必要条件 D.非充分非必要条件 4. 下列等式正确的是( ) . A. lg 7lg31+= B. 7 lg 7 lg 3lg 3= C. 3lg 3 lg 7lg 7= D. 7lg 37lg 3= 5. 设向量()4,5a =r ，()1,0b =r ，()2,c x =r ，且满足→→+b a 与→c 垂直,则x = ( ). A. 2- B. 1 2- C. 1 2 D. 2 6.不等式312x -<的解集是（ ） A.1 13??- ???， B.1 13?? ???， C.（－1，3） D.（1，3） 7、过点A （2，3），且垂直于直线2x +y -5=0的直线方程是（ ）. A 、 x -2y +4=0 B 、y -2 x +4=0 C 、2x -y -1=0 D 、 2x +y -7=0 8. 函数()4sin cos ()f x x x x R =∈的最大值是( ). A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
上海市2021届高考数学考点全归纳
2021上海高考数学考点笔记大全 1．上海高考数学重难点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何。 难点：函数、数列、圆锥曲线。 2．上海高考数学考点： （1）集合与命题：集合的概念与运算、命题、充要条件。 （2）不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用。 （3）函数：函数的定义、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数的零点、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用。 （4）三角比与三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、万能公式、辅助角公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用、反三角函数、最 简三角方程。 （5）平面向量：有关概念与初等运算、线性运算、三点共线、坐标运算、数量积、三角形“四心”及其应用。 （6）数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、通项公式求法、数列求和、数列的应用、数学归纳法、数列的极限与运算、无穷等比数列。 ⑺直线和圆的方程：方向向量、法向量、直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆的方程、直线与圆的位置关系。 （8）圆锥曲线方程：椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、中点弦问题、圆锥曲线的应用、参数方程。 （9）立体几何与空间向量：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球与球面距离、几何体的三视图与直观图、几何体的表面积与体积、空间向量。 （10）排列、组合：排列、组合应用题、二项式定理及其应用。 （11）概率与统计：古典概型、系统抽样、分层抽样、互斥事件、对立事件、独立事件、平均数、中位数、众数、频率分布直方图。 （12）复数：复数的概念与运算、复数的平方根与立方根计算、实系数一元二次方程。 （13）矩阵与行列式初步：二元线性方程组、矩阵的基本运算、二阶行列式、三阶行列式、对角线法则、余子式与代数余子式。 （14）算法初步：流程图、算法语句、条件语句、循环语句。
高考数学模拟复习试卷试题模拟卷192 3
高考模拟复习试卷试题模拟卷 【高频考点解读】 1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 【热点题型】 题型一函数零点的判断与求解 【例1】 (1)设f(x)＝ex ＋x －4，则函数f(x)的零点位于区间() A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3) (2)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为() A ．{1，3} B ．{－3，－1，1，3} C ．{2－7，1，3} D ．{－2－7，1，3} 【提分秘籍】 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即方程f(x)＝g(x)的根． 【举一反三】 已知函数f(x)＝? ????2x －1，x≤1，1＋log2x ，x ＞1，则函数f(x)的零点为() A.12，0 B ．－2，0 C.12 D ．0 题型二根据函数零点的存在情况，求参数的值 【例2】已知函数f(x)＝－x2＋2ex ＋m －1，g(x)＝x ＋e2x (x ＞0)． (1)若y ＝g(x)－m 有零点，求m 的取值范围； (2)确定m 的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
2000年上海高考数学理科卷
2000年上海高考数学理科卷
2000年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分 一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。 2．函数，x x y --=312log 2 的定义域为 。 3．圆锥曲线 ?? ?=+=θ θtg y x 31 sec 4的焦点坐标是 。 4．计算：lim()2 n n n n →∞ += 。 5．已知b x f x +=2 )(的反函数为) (),(1 1 x f y x f --=若的图象经过点 ) 2,5(Q ，则b = 。 6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300） 7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。 9．在二项式11 )1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数 为 ，（结果用数值表示） 10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。 11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。 12．在等差数列{} n a 中，若 =z a ，则有等式 ) ,19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++πΛΛ成立，类比上述性质，相就 夺：在等此数列{} n b 中，若1 0=b ，则有等式 成立。 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题
2018年高三数学模拟卷及答案
高级中学高三数学（理科）试题 一、选择题：（每小题5分，共60分） 1、已知集合A={x ∈R||x|≤2}，B={x ∈Z|x 2≤1}，则A∩B=（ ） A 、[﹣1，1] B 、[﹣2，2] C 、{﹣1，0，1} D 、{﹣2，﹣1，0，1，2}【答案】C 解：根据题意，|x|≤2?﹣2≤x≤2，则A={x ∈R||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}， x 2≤1?﹣1≤x≤1，则 B={x ∈Z|x 2≤1}={﹣1，0，1}，则A ∩B={﹣1，0，1}；故选：C ． 2、若复数 31a i i -+（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A 、3 B 、﹣3 C 、0 D 、 【答案】A 解：∵ = 是纯虚数，则 ，解得：a=3．故选A ． 3、命题“?x 0∈R ， ”的否定是（ ） A 、? x ∈R ，x 2﹣x ﹣1≤0 B 、? x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＞0 C 、? x 0∈R ， D 、? x 0∈R ， 【答案】A 解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“?x 0∈R ， ”的否定为：?x ∈R ，x 2﹣x ﹣ 1≤0．故选：A 4、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ） A 、18 B 、20 C 、21 D 、25 【答案】C 解：设公差为d ，由题意可得：前30项和S 30=390=30×5+ d ，解得d= ． ∴最后一天织的布 的尺数等于5+29d=5+29× =21．故选：C ． 5、已知二项式 43x x ? - ? ? ?的展开式中常数项为 32，则a=（ ） A 、8 B 、﹣8 C 、2 D 、﹣2【答案】D 解：二项式（x ﹣ ）4的展开式的通项为T r+1=（﹣a ）r C 4r x 4﹣ r ，令4﹣ =0，解得r=3，∴（﹣a ） 3 C 43=32，∴a=﹣2，故选：D 6、函数y=lncosx （﹣ ＜x ＜ ）的大致图象是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 【答案】A 解：在（0， ）上，t=cosx 是减函数，y=lncosx 是减函数，且函数值y ＜0， 故排除B 、C ； 在（﹣ ，0）上，t=cosx 是增函数，y=lncosx 是增函数，且函数值y ＜0，故排除D ，故选：A ．
2020年上海市高考数学试卷
2020年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1?6题每题4分，第7?12题每题5分） 1．已知集合A ＝{1，2，4}，集合B ＝{2，4，5}，则A ∩B ＝_____________． 2．计算：1 31lim -+∞→n n n ＝__________． 3．已知复数z ＝1?2i （i 为虚数单位），则|z|＝___________． 4．已知函数f （x ）＝x 3，f 1-（x ）是f （x ）的反函数，则f 1-（x ）＝_________． 5．已知x 、y 满足?? ???≥≤-+≥-+003202y y x y x ，则z ＝y ?2x 的最大值为_____________． 6．已知行列式0 0321d c b a ＝6，则d c b a ＝______________． 7．已知有四个数1，2，a ，b ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则ab ＝___________． 8．已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1＋a 10＝a 9，则10 921a a a a +++ ＝______． 9．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有____________种安排情况． 10．已知椭圆C ：42x ＋3 2 y ＝1的右焦点为F ，直线l 经过椭圆右焦点F ，交椭圆C 于P 、Q 两点（点P 在第二象限），若点Q 关于x 轴对称点为Q ′，且满足PQ ⊥FQ ′，求直线l 的方程是_________________________． 11．设a ∈R ，若存在定义域为R 的函数f （x ）同时满足下列两个条件： （1）对任意的x 0∈R ，f （x 0）的值为x 0或x 20； （2）关于x 的方程f （x ）＝a 无实数解， 则a 的取值范围是_______________． 12．已知1a ，2a ，1b ，2b ，…，k b （k ∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足|1a ?2a |＝1，且|i a ?j b |∈{1，2}（其中i ＝1，2，j ＝1，2，…，k ），则k 的最大值是__________． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列等式恒成立的是（ ） A 、a 2＋b 2≤2ab B 、a 2＋b 2≥?2ab C 、a ＋b ≥2||ab D 、a 2＋b 2≤?2ab 14．已知直线方程3x ＋4y ＋1＝0的一个参数方程可以是（ ）
2016年上海高考数学(理科)真题含解析
2016年上海高考数学（理科）真题 一、解答题（本大题共有14题，满分56分） 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4) 【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 2. 设32i i z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ 【答案】3- 【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =- 3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________ 【解析】d == 4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.76 5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x - 【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+ ∴2log (1)x y =- ∴12()log (1)f x x -=- 6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3 ， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】 【解析】BD =, 123 DD BD =?= 7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________
2018年江苏高考数学全真模拟试卷附答案
（第3题） 2018年江苏高考数学全真模拟试卷（1） 试题Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．． ． 1．已知集合{}1A =，{}1,9B =，则A B =U ▲ ． 2．如果复数 2i 12i b -+（i 为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，那么b = ▲ ． 3．对一批产品的长度（单位：mm ）进行抽样检测，样 本容量为400，检测结果的频率分布直方图如图 所示．根据产品标准可知：单件产品的长度在区间 ［25，30）内的为一等品，在区间［20，25）和［30， 35）内的为二等品，其余均为三等品．那么样本中 三等品的件数为 ▲ ． 4．执行下面两段伪代码． 若Ⅰ与Ⅱ的输出结果相同，则Ⅱ输入的x 的值为 ▲ ． 5．若将一枚质地均匀的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷两次，向上的点数依次为m ，n ，则方程220x mx n ++=无实数根的概率是 ▲ ． 6．如图1，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，则 AEC BEC S AC S BC ??=．将这个结论类比到空间：如图2，在三棱锥A BCD -中，平面DEC 平分二面角A CD B --且与AB 交于点E ，则类比的结论为 ▲ ． 7．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8．已知集合{} ()0A x x x a =-<，{ } 2 7180B x x x =--<．若A B ?，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 9．已知函数2 4()2. x x a f x x x x a +
(完整)2018年上海高考数学试卷
2018年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷 时间120分钟，满分150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1.行列式41 25的值为_________. 2.双曲线2 214 x y -=的渐近线方程为_________. 3.在7(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为_________.（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+。若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则 a =_________. 5.已知复数z 满足(1)17i z i +=-（i 是虚数单位），则z =_________. 6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =_________. 7.已知12,1,,1,2,32α? ?∈---???? 。若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则 α=_________. 8.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ?u u u r u u u r 的最小值为_________. 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个。从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）
10.设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q -=（*n ∈N ），前n 项和为n S 。若1 1lim 2n n n S a →+∞+=，则q =_________. 11.已知常数0a >，函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6,5P p ?? ???、1,5Q q ??- ?? ?。若236p q pq +=，则a =_________. 12.已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212 x x y y += ，则的最大值为_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13.设P 是椭圆22 153 x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）14.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a <”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） （A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）16 16.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数。若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6 π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ） A 1
辽宁省高考数学模拟试卷(3月份)
辽宁省高考数学模拟试卷（3月份） 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、填空题 (共12题；共12分) 1. （1分） (2019高一上·阜新月考) ，，则 ________. 2. （1分） (2020高二上·哈尔滨开学考) 不等式的解集为________. 3. （1分） (2019高一上·兴平期中) 函数y=lnx的反函数是________. 4. （1分） (2015高三上·如东期末) 如果复数z= （i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=________ ． 5. （1分）(2019·浙江模拟) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________． 6. （1分）直线y=x+1按向量 =（﹣1，k）平移后与圆（x﹣1）2+（y+2）2=2相切，则实数k的值为________． 7. （1分） (2019高二上·涡阳月考) 若满足约束条件 ,则的最大值为________. 8. （1分）(2019·南昌模拟) 已知，则等于________． 9. （1分） (2017高三下·深圳月考) 已知是锐角，且cos（ + ）= ，则 ________． 10. （1分） (2018高二下·黑龙江月考) 下图中共有________个矩形.
11. （1分） (2017高三上·天水开学考) 在边长为4的等边△ABC中，D为BC的中点，则? =________． 12. （1分） (2017高一上·南昌月考) 对于函数有如下命题： ①函数可改写成； ②函数是奇函数； ③函数的对称点可以为； ④函数的图像关于直线对称. 则所有正确的命题序号是________． 二、选择题： (共4题；共8分) 13. （2分）若矩阵满足下列条件： ①每行中的四个数所构成的集合均为{1，2，3，4}中不同元素； ②四列中有且只有两列的上下两数是相同的． 则满足①②条件的矩阵的个数为（） A . 48 B . 72 C . 144 D . 264 14. （2分） (2016高二上·黄陵期中) 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
2016年上海市高考数学试卷(理科)
2016年上海市高考数学试卷（理科） 一．选择题（共4小题） 1．（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1， 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 2．（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（） A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程． 【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论． 【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值， 只有D满足上述条件． 故选：D． 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列 条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（） A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．
2018年高考数学模拟试卷(文科)
2018年高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）已知集合A={x|x2≤1}，B={x|0＜x＜1}，则A∩B=（） A．[﹣1，1）B．（0，1） C．[﹣1，1]D．（﹣1，1） 2．（5分）若i为虚数单位，则复数z=在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．（5分）已知等差数列{a n}前3项的和为6，a5=8，则a20=（） A．40 B．39 C．38 D．37 4．（5分）若向量，的夹角为，且||=4，||=1，则||=（）A．2 B．3 C．4 D．5 5．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x+4）2+y2=8无交点，则双曲线离心率的取值范围是（） A．（1，）B．（）C．（1，2） D．（2，+∞） 6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 7．（5分）函数y=log（x2﹣4x+3）的单调递增区间为（） A．（3，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（0，+∞）8．（5分）宜宾市组织“歌颂党，歌颂祖国”的歌咏比赛，有甲、乙、丙、丁四个单位进入决赛，只评一个特等奖，在评奖揭晓前，四位评委A，B，C，D对比赛预测如下： A说：“是甲或乙获得特等奖”；B说：“丁作品获得特等奖”； C说：“丙、乙未获得特等奖”；D说：“是甲获得特等奖”． 比赛结果公布时，发现这四位评委有三位的话是对的，则获得特等奖的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁 9．（5分）某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（） A．B．C．2 D． 10．（5分）若输入S=12，A=4，B=16，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出 的结果为（） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（5分）分别从写标有1，2，3，4，5，6，7的7个小球中随机摸取两个小球，则摸得的两个小球上的数字之和能被3整除的概率为（）A．B．C．D． 12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e x（x+1），给出下列命题： ①当x≥0时，f（x）=e﹣x（x+1）；
2020年上海市高考数学试卷(有详细解析)
2020年上海市高考数学试卷 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. 下列等式恒成立的是( ) A. a 2+b 2≤2ab B. a 2+b 2≥?2ab C. a +b ≥2√|ab| D. a 2+b 2≤?2ab 2. 已知直线方程3x +4y +1=0的一个参数方程可以是( ) A. { x =1+3t y =?1?4t B. {x =1?4t y =?1+3t C. {x =1?3t y =?1+4t D. {x =1+4t y =1?3t 3. 在棱长为10的正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，P 为左 侧面ADD 1A 1上一点，已知点P 到A 1D 1的距离为3，P 到AA 1的距离为2，则过点P 且与A 1C 平行的直线交正方体于P,Q 两点，则Q 点所在的平面是( ) A. AA 1B 1B B. BB 1C 1C C. CC 1D 1D D. ABCD 4. 命题p ：存在a ∈R 且a ≠0，对于任意的x ∈R ，使得f(x +a)
高三数学(理科)模拟试卷及答案3套
高三数学（理科）模拟试卷及答案3套 模拟试卷一 试卷满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡．．．．．． 上） 1． 2020i = ( ) A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 2．设i 为虚数单位，复数()()12i i +-的实部为（ ） A.2 B.-2 C. 3 D.-3 3.若向量,)()3,(R x x a ∈=ρ ，则“4=x ”是“5=a ρ ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（ ） A. B. C. x y 2 1log = D. 5.已知)cos(2)2 cos( απαπ +=-，且3 1 )tan(= +βα，则βtan 的值为（ ） .A 7- .B 7 .C 1 .D 1- 6.将函数()()()sin 20f x x ??=+<<π的图象向右平移 4 π 个单位长度后得到函数()sin 26g x x π? ?=+ ?? ?的图象，则函数()f x 的一个单调减区间为( ) A ．5,1212ππ?? - ???? B ．5,66ππ?? - ???? C ．5,36ππ?? - ???? D ．2,63ππ?? ? ??? 7. 如图，在平行四边形ABCD 中,11 ,,33 AE AB CF CD G ==为EF 的中点，则DG =u u u r （ ）
A ．1122A B AD -u u u r u u u r B ．1122 AD AB -u u u r u u u r C. 1133AB AD -u u u r u u u r D ．1133 AD AB -u u u r u u u r 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（ ） A ．3- B ． 13 C.1 2 - D ．2 9. 公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O 为圆心的大圆直径为4,以AB 为直径的半圆面积等于AO 与BO 所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB 的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（ ） A ． 384ππ++ B ．684ππ++ C. 342ππ++ D ．642 ππ++ 10．设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径 的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M 、N 两点，则|||| || FM FN FA +等于（ ）
2013年上海高考数学(理科)试卷及答案
2013年上海市秋季高考理科数学 一、填空题 1．计算：20 lim ______313 n n n →∞+=+ 【解答】根据极限运算法则，201 lim 3133 n n n →∞+=+． 2．设m R ∈，2 2 2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 【解答】22 20 210m m m m ?+-=?=-?-≠?． 3．若22 11 x x x y y y = --，则______x y += 【解答】2 2 20x y xy x y +=-?+=． 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若2 2 2 32330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【 解 答 】 2222222 323303 a a b b c c a b ab ++-=?=++，故 11 cos ,arccos 33 C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若5 2a x x ??+ ?? ?的二项展开式中7 x 项的系数为10-，则______a = 【解答】2515()(),2(5)71r r r r a T C x r r r x -+=--=?=，故1 5 102C a a =-?=-． 6．方程 1 313313 x x -+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233 238034log 4x x x x -?-=?=?=． 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ 【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=?= ，又0ρ≥ ，故所求为12 +． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两 个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913 118 C C -=．