离散时间信号与系统
离散时间信号与系统
离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。
一、离散时间信号的定义和表示
离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。
离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。
二、离散时间系统的定义和分类
离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。
三、离散时间信号与系统的特性
离散时间信号与系统具有许多特性。其中一些重要的特性包括时域
特性、频域特性和稳定性。时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了
系统的输出是否受到输入的限制。
离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和
单位阶跃响应来描述。频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅
里叶变换来描述。
四、离散时间信号与系统的应用
离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。其中一些常
见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。
在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和
解码。它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。
在图像处理中，离散时间信号与系统用于图像的压缩、增强和恢复。它可以通过滤波、变换和插值等技术来提高图像的清晰度和细节。
在通信系统中，离散时间信号与系统用于数字调制、信号解调和信
号传输等。它可以通过编码、调制和解调等方式实现高效的数据传输。
在控制系统中，离散时间信号与系统用于控制器的设计、参数估计
和系统辨识等。它可以通过反馈控制和滤波等方式实现对系统的控制
和调节。
总结：
离散时间信号与系统是数字信号处理中重要的概念。离散时间信号通过序列来表示，可以分为有限长序列和无限长序列。离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统，可以分为不同类别。离散时间信号与系统具有时域特性、频域特性和稳定性等特性，应用于音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等领域。通过对离散时间信号与系统的研究和应用，可以实现对数字信号的处理和控制，提高系统的性能和效果。
第1章 离散时间信号和系统
第1章 思考题参考解答 1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。 2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。 3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。 4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。若 ∞<=∑∞ -∞ =P n h n |)(|，则系统是稳定的。 5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。ω=ΩT (T 表示采样周期)。 6．不一定。只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。 7． 常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。 8．该说法错误。需要增加采样和量化两道工序。 9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。 11、时域采样在频域产生周期延拓效应。 12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。因此，该滤波器亦称为抗混叠滤波器。 经抗混叠滤波后的模拟信号，在采样和模/数(A/D)转换器中每间隔T (采样周期)采样的x a (t )的幅度一次，并将其量化为二进制数据。即模拟信号x a (t )经A/D 转换为数字信号序列x (n )。 数字信号序列x (n )按照不同目的要求在DSP 中进行加工处理后，转化为输出序列y (n )。 输出序列y (n )经数/模(D/A)转换为阶梯模拟信号y a (t )，y a (t )又经过低通滤波器滤除其高频成分，使阶梯信号得到平滑后，得到所需要的模拟信号y (t )。故这里的低通滤波器又称之为平滑滤波器。 第1章 练习题参考答案 1．解：序列h (n )可用单位脉冲序列δ(n )及其加权和表示为
离散时间信号与离散时间系统
§7-1 概述 一、 离散时间信号与离散时间系统 离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的 信号。 离散时间系统：处理离散时间信号的系统。 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。 二、 连续信号与离散信号 连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理： 三、 离散信号的表示方法： 1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。 例如：)1.0sin()(k k f = 2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如： f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,} 时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。 四、 典型的离散时间信号 1、 单位样值函数： ?? ?==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k -δ的波形。 连续信号 离散信号 数字信号 取样 量化
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着 与其相似的性质。例如： )()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。 2、 单位阶跃函数： ?? ?≥=其它001)(k k ε 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数) (t ε相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。 3、 单边指数序列： )(k a k ε 比较：单边连续指数信号： )( )()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。 4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+ (a) 0.9a = (d) 0.9a =- (b) 1a = (e) 1a =- (c) 1.1a = (f) 1.1a =-
离散时间系统概念附常见离散信号
连续时间信号：一般也称模拟信号。 连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。 离散时间信号：离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系统生成。 离散时间系统： 系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字计算机。 量化： 采样过程：就是对模拟信号的时间取离散的量化值过程。——得到的就是离散信号。 幅值量化：幅值只能分级变化。 数字信号：离散信号在各离散点的幅值被量化的信号。 系统分析： 连续时间系统——微分方程描述 时域分析：经典法（齐次解 + 特解） 【零输入响应 + 零状态响应】
变换域分析（频域分析）：拉氏变换法。 离散时间系统——差分方程描述 时域分析：经典法（ 齐次解 + 特解 ） 【零输入响应 + 零状态响应】 变换域分析（频域分析）：Z 变换法。 离散时间系统的数学模型——差分方程 单位序列： 时移性： 比例性： 抽样性： δ(k)与δ(t) 差别: 0,0()1,0k k k δ≠?=?=?k O ()k δ110,()1,k j k j k j δ≠?-=?=?k (1)k δ-11O (),() c k c k j δδ-()()(0)() f k k f k δδ=???≠=∞=000)(t t t δ1)(=?∞ ∞ -dt t δ
? δ(t)用面积表示强度， (幅度为∞,但强度为面积)； ? δ(k)的值就是k=0时的瞬时值（不是面积）； ? δ(t) ：奇异信号，数学抽象函数； ? δ(k)：非奇异信号，可实现信号。 利用单位序列表示任意序列 单位阶跃序列： ???=≠=0,10,0)(k k k δ0()()() i x k x i k i δ∞ ==-∑ 10()00k k k ε≥?=?
信号与系统中的离散时间信号分析
信号与系统中的离散时间信号分析信号与系统是现代通信工程、电子工程和信号处理领域的重要基础学科。在信号与系统中，信号的表示形式很多，其中离散时间信号在系统分析与设计中占据重要地位。离散时间信号是指信号的自变量（时间）为离散值的信号，与连续时间信号相对应。 离散时间信号分析是指对离散时间信号进行研究和处理的过程，通过对信号的分析，可以获取信号的各种特性，并对系统进行建模和优化。在离散时间信号分析中，常常使用离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）和离散傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）等工具来分析信号的频谱特性。 一、离散时间信号的表示形式 离散时间信号可以用多种方式进行表示，其中最常见的方式是序列表示法。离散时间序列是指在离散时间点上取得的信号值的序列。通常用{x[n]}表示，其中n表示时间的离散值。离散时间信号可以是实数序列，也可以是复数序列。 除了序列表示法，离散时间信号还可以用图形表示法来描述。在图形表示法中，将离散时间序列在时间轴上进行绘制，以便更直观地观察信号的变化。 二、离散时间信号的基本操作 在离散时间信号分析中，常常需要进行一些基本的信号操作，例如时间延迟、时间压缩和时间扩展等。时间延迟操作将信号在时间轴上
向右平移一定的距离，表示为x[n-m]；时间压缩操作将信号在时间轴 上水平压缩，表示为x[mn]；时间扩展操作将信号在时间轴上水平拉伸，表示为x[n/m]。 此外，还可以进行幅度缩放操作和序列反转操作。幅度缩放操作将 信号的幅度进行缩放，表示为ax[n]；序列反转操作将信号的序列进行 反转，表示为x[-n]。 三、离散时间信号的频域分析 频域分析是对信号在频率域上进行分析的方法。在离散时间信号分 析中，常常使用离散傅里叶变换（DTFT）和离散时间傅里叶变换（DFT）来进行频域分析。 离散傅里叶变换是将离散时间信号转换为连续频率的复数函数，通 过对离散时间信号进行傅里叶变换，可以得到其频谱特性。离散傅里 叶变换的表示形式为： X(e^jω) = Σ(x[n]e^(-jωn)) 其中，X(e^jω)表示信号的频谱，x[n]为离散时间信号的序列。 离散时间傅里叶变换是将离散时间信号转换为离散频率的复数函数，它是离散傅里叶变换在有限时间窗口上的采样。离散时间傅里叶变换 常用于对有限长度的信号进行频谱分析。 四、离散时间信号的系统分析
离散时间信号与系统基础讲义
离散时间信号与系统基础讲义 离散时间信号与系统基础讲义 一、引言 离散时间信号与系统是现代数字信号处理的基础。数字信号处理在众多领域中有着广泛的应用，包括通信、音频处理、图像处理等。在数字信号处理中，采样是一个重要的步骤，它将连续时间信号转换为离散时间信号。而离散时间信号与系统的基础则是离散时间信号的表达与分析。 二、离散时间信号的表示 1. 基本概念 离散时间信号是在离散时间点上取值的信号。离散时间信号可以用数学函数表示，其中n为时间的整数值，x[n]为信号的取值。离散时间信号可以有有限长度或无限长度。有限长度信号在n的某个范围内取值，超过该范围后取值为0；无限长度信号在整个整数范围内取值。 2. 常见离散时间信号 常见的离散时间信号有单位样本序列、阶跃序列、冲激序列、正弦序列等。单位样本序列在n=0时取值为1，其他时刻取值为0；阶跃序列在n≥0时取值为1，其他时刻取值为0；冲激序列在n=0时取值为1，其他时刻取值为0；正弦序列为离散
时间下的正弦函数。 三、离散时间系统的基本概念 离散时间系统是对离散时间信号进行处理的系统。离散时间系统可以用差分方程或差分方程组表示。其中，差分方程描述了输入序列与输出序列之间的关系。离散时间系统可以是线性的，也可以是非线性的。线性系统满足叠加原理，即输入序列的线性组合经过系统处理后，输出序列的线性组合等于各个输入序列分别经过系统处理后的输出序列的线性组合。 四、离散时间系统的性质 离散时间系统具有多种性质，常见的性质包括因果性、稳定性、线性性和时不变性。 1. 因果性 因果性是指输出序列的每一个取值只依赖于过去和现在的输入序列的取值，而不依赖于未来的输入序列的取值。因果性要求系统的差分方程只包含非负整数时刻的输入和输出。 2. 稳定性 稳定性是指输入序列有界时，输出序列也有界。稳定性要求系统的响应对有界输入有有界输出。 3. 线性性
实验四 离散时间信号与系统分析
实验四离散时间信号与系统分析
实验四离散时间信号与系统分析 一、实验目的 1、理解离散信号及系统的时频域分析方法 2、掌握Matlab进行信号的卷积、z变换及逆z变换的方法。 3、掌握Matlab进行离散系统时频域的分析方 法 二、实验时数： 2学时 三、实验相关知识 （一）离散信号的卷积 利用函数(,) 可以计算离散信号的卷积和， c conv a b 即c(n)=a(n)*b(n)，向量c长度是a，b长度之和减1。若a(n)对应的n的取值范围为：[n1, n2]；b(n)对应的n的取值范围为：[n3, n4]，则 c(n)=a(n)*b(n)对应的n的取值范围为：[n1+n3, n2+n4]。 例4-1：已知两序列： x(k)={1,2,3,4,5;k=-1,0,1,2,3},y(k)={1,1,1; k=-1,0,1}，计算x(k)*y(k)，并画出卷积结果。
解：利用conv()函数进行离散信号的卷积，注意卷积信号的k 值范围 k_x = -1:3; x=[1,2,3,4,5]; k_y = -1:1; y=[1,1,1]; z=conv(x,y); k_z= k_x(1)+k_y(1):k_x(end)+k_y(end); stem(k_z,z); （二）离散信号的逆z 变换 离散序列的z 变换通常是z 的有理函数，可表示为有理分式的形式，因此可以现将X(z)展开成一些简单而常用的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，把各逆变换相加即可得到X(z)的逆变换x(n)。 设离散信号的z 变换式如下， 120121212()()1()m m n n b b z b z b z num z X z a z a z a z den z ------++++==++++ 在Matlab 中进行部分分式展开的函数为residuez ()，其调用形式如下： [r,p,k] = residuez(num,den) 其中num=[b0, b1, …, bm]表示X(z)有理分式的分子多项式为12012m m b b z b z b z ---++++；den=[a0, a1, …, am]表示X(z)有理分式的分母多 项式为12012m m b b z b z b z ---++++，注意分子分母多项式均为按z -1的降幂排列的
离散时间信号与系统
9 离散时间信号与系统 在这一章中，我们首先考虑离散时间信号，或者，更简单，离散信号。一个离散时间信号被定义在一个确切的时间点。我们定义一个离散时间信号为x[n]。其中地理变了n只可以去证书的值。在本张杰的第二个问题，我们考虑离散时间系统，或者，更简单，离散系统。离散时间系统是指所有信号在时间上都是离散的。这章紧跟着第二章的概要。 如上所述，一个离散信号只被定义为在离散的时间。例如，假设一个连续时间信号f(t)被一个数字电脑处理。[这个操作成为数字信号处理DSP。]因为计算机处理一个数字，连续时间信号必须被转换成一个序列。这种转换过程叫做采样。如果信号是按时间t的增量采样的，数字序列f(nT),n=…,-2,-1,0,1,2,…,结果。时间增量T被称为采样周期。（这里与接下来的章节有一点混乱的危险，符号T被用于表示采样周期，而在章节5和6不是这样.）图9.1(a)所示是采样过程，其中每个样本值由通过一条垂线端点表示。 通常被用于采样的硬件在标9.1(b)中。正如第一章所述，模数转换器（A/D或ADC）是一个电子电路，将每个样品取样电压信号并将其转换成一个二进制数，二进制数字可以被发送到数字计算机来被处理。因此，一个A/D勇于生成和传输数列给计算机。取样时间是由计算机的定时脉冲决定。 一个信息是关于符号整齐的。符号f（t）表示一个连续信号。符号f(nT)表示在f(t)值在t=nT。符号f[n]表示一个时域离散信号，只被定义在整数。圆括号表示连续时间；括号表示离散时间。然而，这个符号不是万能的；他在这里是用来区分f(nT)和f[n].如果f[n]是有f(t)间隔T秒采样而得，然后 f(nT)=f(t)|t=nT 还有 f[n]=f(t)|t=nT≠f(t)|t=n （9.1）公式9.1(c)阐述了数字信号处理的整个系统。将时域连续信号f(t)采样，得到时域离散信号f(nT)=f[n]；处理器输出的信号是g[n]；f(t)定义在所有的时间，g[n]仅被定义在n个整数；例如，g[1.2]根本不存在。 一个时域离散信号x[n]可以作为一个幅度连续的信号，他的振幅可以是任意值-∞ 离散时间信号与系统 离散时间信号与系统是数字信号处理领域中的重要概念。离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，而离散时间系统则是对离散时间信号进行处理或操作的系统。在本文中，我们将详细探讨离散时间信号与系统的基本概念、特性和应用。 一、离散时间信号的定义和表示 离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用序列表示。离散时间序列可以用数学公式或图形方式表示。其中，数学公式表示常用的形式是$x[n]$，而图形表示则可以通过绘制离散时间序列的点来展示。 离散时间信号可以分为有限长序列和无限长序列。有限长序列在某一区间上有值，而在其他区间有值或为零。无限长序列在整个时间轴上有值，通常会满足某些性质，如周期性或衰减性。 二、离散时间系统的定义和分类 离散时间系统是对离散时间信号进行处理或操作的系统。离散时间系统可以通过输入输出关系来定义。输入为离散时间信号，输出为对输入信号进行处理或操作后得到的信号。 离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、因果系统和非因果系统、稳定系统和非稳定系统等不同类别。不同类别的系统具有不同的特性和性质，对信号的处理方式也会有所不同。 三、离散时间信号与系统的特性 离散时间信号与系统具有许多特性。其中一些重要的特性包括时域 特性、频域特性和稳定性。时域特性描述了信号或系统在时间上的行为，频域特性描述了信号或系统在频率上的行为，而稳定性则描述了 系统的输出是否受到输入的限制。 离散时间信号的时域特性可以通过序列的幅值、相位和频率来描述。离散时间系统的时域特性可以通过系统的冲激响应、单位样值响应和 单位阶跃响应来描述。频域特性则可以通过离散时间信号和系统的傅 里叶变换来描述。 四、离散时间信号与系统的应用 离散时间信号与系统在数字信号处理中有广泛的应用。其中一些常 见的应用包括音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等。 在音频处理中，离散时间信号与系统用于音频信号的录制、编码和 解码。它可以通过滤波和均衡等方式改善音频信号的质量。 在图像处理中，离散时间信号与系统用于图像的压缩、增强和恢复。它可以通过滤波、变换和插值等技术来提高图像的清晰度和细节。 在通信系统中，离散时间信号与系统用于数字调制、信号解调和信 号传输等。它可以通过编码、调制和解调等方式实现高效的数据传输。 在控制系统中，离散时间信号与系统用于控制器的设计、参数估计 和系统辨识等。它可以通过反馈控制和滤波等方式实现对系统的控制 和调节。 第1章时域离散时间信号和时域离散系统 第1章时域离散信号和时域离散系统本章主要内容时域离散信号的基本概念及典型序列时域离散系统的定义及其性质线性时不变系统的输入/输出δ(n )求解法时域离散系统的输入输出法：线性常系数差分方程模拟信号数字处理方法Matlab实现1.1引言信号的分类系统的分类信号的分类时 域连续信号（模拟信号）：信号的自变量和函数值都取连续值，例如语言信号、温度信号等；时域离散信号：如果自变量取离散值，而函数值取连续 值，这种信号通常来源于对模拟信号的采样；数字信号：信号的自变量和函数值均取离散值。模拟信号采样间隔T=0.005s进行等间隔采样 ，得时域离散信号x(n)，={…，0.0，0.6364，0.9，0.6364，0.0，-0.6364，-0.9，-0.63 64，…}显然,时域离散信号是时间离散化的模拟信号。如果用四位二进制数表示该时域离散信号，得到相应的数字信号x［n］={…， 0.000，0.101，0.111，0.101，0.000，1.101，1.111， 1.101，…}数字信号是幅度、时间均离散化 的模拟信号，或者说是幅度离散化的时域离散信号。系统的分类模拟系统时域离散系统数字系统模拟网络和数字网络构成的混合系统1.2 时域离散信号—序列序列的定义及表示常用的典型序列序列的周期性用单位脉冲序列表示任意序列序列的基本运算1.2.1序列的定义及表示序列的定义数字序列：离散时间信号{-2,5,-6,8,3,-7}一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出数值{ (x) -2T),X(-1T),X(0),X(T),X(2T),…}序列的表示用集合符号表示用公式表示用图形表示序列表示用集合符号 表示x(n)={x(n)}，-∞＜n＜+∞x(n)={……,x(-2),x(- 第一章 离散时间信号与系统 1. 讨论一个输入为x(n)和输出为y(n)的任意线性系统。证明如果对于所有n,x(n)=0,则对于所有n,y(n)必然为零. 证 证法1 设y(n)=T[x(n)],因为对于所有n,x(n)=0,所以 x(n)=x(n)-x(n)=0 由于线性系统满足叠加原理,因此 y(n)=T[x(n)]=T[x(n)-x(n)]=T[x(n)]-T[x(n)]=0 证法2 设y(n)=T[x(n)],对于所有n,x(n)=0,并设11()[()]y n T x n =,因为线性系统满足叠加原理,所以111[()()][()][()][()]T x n x n T x n T x n T x n +=+= 因此 [()]()0T x n y n == 2．对于图p1.2中的每一组序列,试用离散卷积法求线性非移变系统[单位取样响应为h(n)]对于输入x(n)的响应 解 计算可按下式进行: ()()()()(k y n x n h n x k h n k ∞ =-∞ =* =-∑ (a) y(0)=1*2=2, y(1)=1, y(n)=0, 0,1n ≠ (b) y(1)=1*2=2, y(2)=1, y(n)=0 1,2n ≠ (c) y(0)=-1⨯2=-2 y(1)=2⨯2+(-1) ⨯(-1)=5, y(2)=1⨯2+2⨯(-1)=0, y(3)=-1⨯1=-1, y(n)=0; n ≠0,1,2,3, (a) 、(b)和(c)中求得的序列y(n)如图p1.2-1(a)、(b) 、(c)所示. 3．讨论一个单位取样响应为h(n)的时域离散线性非移变系统.如果输入x(n)是周期为N 的周期序列,即x(N)=x(n+N),证明输出y(n)亦是周期N 的周期序列 证 按照卷积的定义,可以得到下面两式: ()()()k y n h k x n k ∞ =-∞ = -∑ ()()()()()k k y n N h k x n N k h k x n k N ∞∞ =-∞ =-∞ += +-=-+∑∑ 因为x(n)是周期为N 的周期序列,所以 x(n-k+N)=x(n-k) 比较上面两式,便可以得到 y(n)=y(n+N) 既y(n)也是周期N 的周期序列. 4．一个时域离散系统如图p1.15所示,系统变换y(n)=T[x(n)]是任意的,它还可以是非线性的和时变的,只知道系统是有定义的,即对于任意给定的输入,系统的输出是唯一的,假设选择输入为()jwn x n Ae = ,并测量输出的某个参数 p(例如,最大 幅度),一般来说,p 将是w 的函数. 我们研究一下不同的激励频率下p 的性态,证明p 是w 的周期函数,试求其周期.类似的结果在时域连续情况下是否成立? 解 假设输入为()jwn x n Ae = ,它是周期为2π的w 的周期序列,对于的系统 实验一 离散时间信号与系统分析 一、实验目的 1．掌握离散时间信号与系统的时域分析方法。 2．掌握序列傅氏变换的计算机实现方法，利用序列的傅氏变换对离散信号、系统及系统响应进行频域分析。 3．熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对采样定理的理解。 二、实验原理 1．离散时间系统 一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以][⋅T 来表示这种运算，则一个离散时间系统可由下图来表示： 图 离散时间系统 输出与输入之间关系用下式表示 )]([)(n x T n y = 离散时间系统中最重要、最常用的是线性时不变系统。 2．离散时间系统的单位脉冲响应 设系统输入)()(n n x δ=，系统输出)(n y 的初始状态为零，这是系统输出用)(n h 表示，即)]([)(n T n h δ=，则称)(n h 为系统的单位脉冲响应。 可得到：)()()()()(n h n x m n h m x n y m *=-= ∑∞ -∞= 该式说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲序列的卷积。 3．连续时间信号的采样 采样是从连续信号到离散时间信号的过渡桥梁，对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域何频域特性发生的变化以及信号内容不丢失的条件，而且有助于加深对拉氏变换、傅氏变换、Z 变换和序列傅氏变换之间关系的理解。 对一个连续时间信号进行理想采样的过程可以表示为信号与一个周期冲激脉冲的乘 积，即：)()()(ˆt t x t x T a a δ= 其中，)(ˆt x a 是连续信号)(t x a 的理想采样，)(t T δ是周期冲激脉冲 ∑∞ -∞=-= m T mT t t )()(δδ 设模拟信号)(t x a ，冲激函数序列)(t T δ以及抽样信号)(ˆt x a 的傅立叶变换分别为)(Ωj X a 、)(Ωj M 和)(ˆΩj X a ，即 )]([)(t x F j X a a =Ω )]([)(t F j M T δ=Ω )](ˆ[)(ˆt x F j X a a =Ω 根据连续时间信号与系统中的频域卷积定理，式（2.59）表示的时域相乘，变换到频域为卷积运算，即 )]()([21)(ˆΩ*Ω=Ωj X j M j X a a π 其中 ⎰∞ ∞ -Ω-==Ωdt e t x t x F j X t j a a a )()]([)( 由此可以推导出∑∞-∞=Ω-Ω=Ωk s a a jk j X T j X )(1)(ˆ 由上式可知，信号理想采样后的频谱是原来信号频谱的周期延拓，其延拓周期等于采样频率。根据香农定理，如果原信号是带限信号，且采样频率高于原信号最高频率的2倍，则采样后的离散序列不会发生频谱混叠现象。 4．有限长序列的分析 对于长度为N 的有限长序列，我们只观察、分析在某些频率点上的值。 ⎩⎨⎧-≤≤=n N n n x n x 其它010),()( 一般只需要在π2~0之间均匀的取M 个频率点，计算这些点上的序列傅立叶变换： ∑-=-=1 0)()(N n jn j k k e n x e X ωω 其中，M k k /2πω=，1,,1,0-=M k 。)(ωj e X 是一个复函数，它的模就是幅频特 性曲线。 三、主要实验仪器及材料 实验一离散时间信号与系统时域分析实验目的1学习MATLAB语言编程和调试技巧2学会简单的矩阵输入和图形表示法3掌握简单的绘图命令 一实验目的 1学习MATLAB语言编程和调试技巧 2学会简单的矩阵输入和图形表示法 3掌握简单的绘图命令 二、实验原理 本实验主要为了熟悉MATLAB环境，重点掌握简单的矩阵（信号）输入和绘图命令，特别是绘图命令tem()和plot()。 实验内容中涉及到信号的无失真采样、离散卷积运算和差分方程求解这三个主要的问题。其基本原理分别如下： 对一个模拟信号某(t)进行采样离散化某(n)，为了不失真地从采样信号某(n)中恢复原始信号某(t)，采样时必须满足采样定理，即采样频率必须大于等于模拟信号中最高频率分量的2倍。 一个离散时间系统，输入信号为某(n)，输出信号为y(n)，运算关系用T[﹒]表示，则输入与输出的关系可表示为y(n)＝T[某(n)]。 （1）线性时不变(LTI)系统的输入输出关系可通过h(n)表示： y(n)=某(n)某h(n)= 式中某表示卷积运算。 （2）LTI系统的实现 可物理实现的线性时不变系统是稳定的、因果的。这种系统的单位脉冲响应是因果的（单边）且绝对可和的，即： h(n)0,n0;nh(n)0在MATLAB语言中采用conv实现卷积运算，即： Y=conv(某,h),它默认从n=0开始。常系数差分方程可以描述一个LTI系统，通过它可以获得系统的结构，也可以求信号的瞬态解。利用MATLAB 自带的filter（），可以代替手工迭代运算求解系统的 差分方程，求解的过程类似于对输入信号进行滤波处理。 三、实验内容 1、试画出如下序列的波形 （1）某(n)3(n3)(n2)2(n1)4(n1)2(n2)3(n3)（2）某(n)0.5R10(n)解：用MATLAB描述波形 1(1)某=[3120-42-3];%矩阵输入某 n=-3:1:3;%输入自变量n,以间隔为1从-3到3变化n 实验目的1学习MATLAB语言编程和调试技巧2学会简单的矩阵输入和图形表示法3掌握简单的绘图命令 tem(n,某);%tem()函数绘制火柴杆图，注意n,某元素个数必须相等某label('n');%横坐标显示n ylabal('某(n)');%纵坐标显示某(n) grid;%绘制网格 实验一 离散时间信号和系统 一． 实验目的： 掌握时域离散信号的产生及基本时域处理的Matlab 实现方法；掌握离散信号卷积和相关的Matlab 实现；线性时不变系统及性质验证；进一步理解和巩固理论知识，提高分析和解决实际问题的能力。 二． 实验原理： 1．时域离散信号的产生及时域处理 当模拟信号X(t)中变量t 取整数的并代表时间的离散时刻，就形成了时域离散信号，即独立时间被量化了，但是幅度还是连续的，它是一个数字的序列，所以在MATLAB 中可以用两个列向量x 和n 来表示一个有限长的序列，且可以对序列各种运算。 2．卷积与相关 任何序列可以表示为移位和倍率后的单位采样序列响应的加权和，卷积有很多灵活的作用，可以用来描述一个线性是不变系统的响应，而相关也是卷积的一个运用，两个序列的相关性可以通过计算它们的卷积得到结果。 3．线性时不变系统 当一个系统的某一输入是由N 各信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和，那这个系统就是线性系统；当线性系统的输入和输出对x （n ） y （n ）不随时间移位n 而变化，这个系统就是线性时不变系统，线性时不变系统在数字信号处理中起重大的作用，简化系统的分析。 三．实验内容： 1．用Matlab 产生并画出（用stem 函数）下列序列的样本： 1) []1010()(1)(2)(21)025m x n m n m n m n δδ== +----≤≤∑ 2) [][]22()(5)(6)10()20(0.5)(4)(10)n x n n u n u n n u n u n δ=+--++--- 其中u(n)是阶跃信号。 x=sy11_2(n) 2．已知序列：(0.10.3)3()cos(20.2)()/101010j n x n e n R n n ππ-=+++-≤≤ 其中R(n)均匀分布的随机序列。 1) 在四个子图中画出其幅度、相位、实部和虚部。 时域离散信号和系统的频域分析 信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分 析方法。 在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z变换和序列傅立叶变换法。 Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在 连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程 转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此，对求解 离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。 2．2序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换） 一、序列傅立叶变换： 正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1） 反变换：DTFT-1 式（2.2.1）级数收敛条件为 ||= (2.2.2) 上式称为x(n)绝对可和。这也是DTFT存在的充分必要条件。 当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用 冲激函数的形式表示出来。 二、序列傅立叶变换的基本性质： 1、DTFT的周期性 ，是频率ω的周期函数，周期为2π。 ∵ = 。 问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。 == == 设N为4，画出幅度与相位曲线。 2、线性 设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)] = = a+b 3、序列的移位和频移 设 = DTFT[x(n)]， 则：DTFT[x(n-n0)] = = DTFT[x(n)] = = = 4、DTFT的对称性 共轭对称序列的定义：设序列满足下式 则称为共轭对称序列。 共轭对称序列的性质： 共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数 证明：=+j（实部加虚部） ∵ ∴+j=-j ∴=（偶函数） ∴=－（奇函数） 一般情况下，共轭对称序列用表示： 共轭反对称序列的定义：设序列满足下式 则称为共轭反对称序列。 共轭反对称序列的性质： 共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数 证明：=+j（实部加虚部） ∵ ∴+j=+j ∴=（奇函数） ∴=（偶函数） 一般情况下，用来表示 一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。即： x(n)= + (2.2.16) 问题1： =？ =+ % 实指数序列 n 0:35; a 1.2; K 0.2; x K*a.^n; stem n,x ; xlabel 'Time index n' ;ylabel 'Amplitude' ; % 正 弦序列 n 0:40; f 0.1; phase 0; A 1.5; x A*cos 2*pi*f*n - phase ; clf; % Clear old graph stem n,x ; axis [0 40 -2 2] ; grid on; title 'Sinusoidal Sequence' ; xlabel 'Time index n' ; ylabel 'Amplitude' ; function [y,n] seqadd x1,n1,x2,n2 % 序列相加函数 % 实现y n x1 n +x2 n % y 在包含n1和n2的n点上求序列和, % x1 在位置向量n1上的第一序列 % x2 在位置向量n2上的第二序列 n2可与 n1不同 % y n 的长度 n min min n1 ,min n2 : max max n1 ,max n2 ; y1 zeros 1,length n ; y2 y1; % 初始化 % 具有y的长度的x1 y1 find n min n1 & n max n1 x1; % 具有y的长度的x2 y2 find n min n2 & n max n2 x2; % 序列相加y y1+y2; function [y,n] seqmult x1,n1,x2,n2 % 序列相乘函数 % 实 现y n x1 n +x2 n % y 在包含n1和n2的n点上求序列和, % x1 在位置向量n1上的第一序列 % x2 在位置向量n2上的第二 序列 n2可与 n1不同 % y n 的长度 n min min n1 ,min n2 : max max n1 ,max n2 ; y1 zeros 1,length n ; y2 y1; % 初始化 % 具有y的长度的x1 y1 find n min n1 & n max n1 x1; % 具有y的长度的x2 y2 find n min n2 & n max n2 x2; % 序列相加 y y1 .* y2; 信号与系统离散时间系统习题详解 8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。 图 题8-2 解： 1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶 8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。 （1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3 解：1 [][1][]3 y n y n x n --= （1） 1[][]3n y n u n ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ （2）311[](())[]223n y n u n =- 8-7 求解下列差分方程的完全解。 （1）[]2[1]2, [0]1y n y n n y +-=-= （2）[]5[1],y n y n n =--+ [1]0y -= 解：（1）方程齐次解为：h [](2)n y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程 121212142(1)2 2 , 39 D n D D n D n D D ++-+=-→==- 完全响应为：()14[]239n y n C n =-+-，代入1]0[=y 得：9 13=C ()1314[]2939 n y n n ∴=-+- （2）方程齐次解为：h [](5)n y n C =-，特解为：p 12[]y n D n D =+，代入原方程 0234 12121215 5(1)5 , 636D n D D n D n D D +=---+→== 完全响应为：()1 5 []5636 n y n C n =-++ ，代入0]1[=-y 得：36 5-=C ()1 1[][565]36 n y n n += -++ 8-12 用单边z 变换解下列差分方程。 （1）y [n ] + 0.1y [n -1] - 0.02y [n -2] = 10 u [n ]，y [-1] = 4，y [-2] = 6 （2）y [n ] - 0.9y [n -1] = 0.05 u [n ]，y [-1] = 1 （3）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解： （2）差分方程两边同时进行z 变换： 1 1 211 ()0.9[()[1]]0.05 1 (){10.9}0.050.9[1] 1 0.050.90.050.9()(1)(0.9)(0.9) (1)(10.9)(10.9)()0.50.45 10.910.9 0.50.45[][]0.10.9 z Y z z Y z y z z z Y z z y z z z z Y z z z z z z z Y z A B z z z z z z z y n z z -----+-=--=+--=+=+------=+=+----=+=---1Z 5[]0.45(0.9)[] n u n u n +（3）由差分方程得： 2(0)3(0)2(1)2(1)22 y y y y --+-=-∴-==- 差分方程两边同时进行z 变换： 1 2 211 1222 2 ()2[()(1)]21(1) 22(1) ()(1)(12)(1)(12)(12) ()33(1)2(1)(2)(1) 3949139(1)2(1)z z Y z z Y z y z z z z z y Y z z z z z z Y z z z A B C z z z z z z z z z ----++-=----=---+-++-+==++-+-+--=++ -+- 第二章离散时间信号和系统分析基础•2-1 引言 •2-2 连续时间信号的取样及取样定理 •2-3 离散时间信号的表示及运算规则 •2-4 离散时间线性非时变系统与差分方程 •2-5 离散时间信号与系统的频域分析 •2-6 引言 •2-7 z变换 •2-8 拉氏变换、傅式变换及z变换之间的关系 •2-9 逆z变换 •2-10 z变换的定理与性质 •2-11 单边z变换及双、单边z变换的应用场合 •2-12 系统函数 2-1 引言 数字信号处理系统的分析方法基于取样信号及系统，其后考虑幅度量化及有限字长效应。因此，离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 本章就一维信号讨论离散时间信号和信号处理的基本概念。 2-2 连续时间信号的取样及取样定理 （1）信号的取样（抽样） 有两种：实际（包括平顶及曲顶取样）取样，理想取样。 如P8 图2-1（曲顶取样，也称自然取样 ） 及P9 图2-2（理想取样）所示。 理想抽样：抽样脉冲序列是理想冲激脉冲序列)(t T δ；实质上是一个连续时 间信号经过抽样变成离散序列后，能否由此离散序列样值恢复原始模拟信号的问题。 （I ） 低通抽样定理：一个频带限制在（0，H f ）内的连续时间信号)(t x ，如果 以H f T 21 ≤ 的间隔（即抽样频率H s f f 2≥）对它进行等间隔抽样，则可以由抽样序列{})(s nT x 无失真地恢复原始信号)(t x 。若抽样频率H s f f 2<则会产生混叠。 证明：设)(t m 为频带限制在（0，H f ）内的低通信号，抽样脉冲序列是一个周期性冲激函数)(t T δ。抽样过程是)(t m 与)(t T δ相乘的过程。 评阅人实验成绩 装 订 线 本科生实验报告 数字信号处理课程实验报告 实验名称离散时间信号和系统响应 一、实验原理、目的与要求 1.实验目的 （1）熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。 （2）熟悉时域离散系统的时域特性。 （3）利用卷积方法观察分析系统的时域特性。 （4）掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。 2. 实验原理与方法 采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。 对一个连续信号 xa(t) 进行理想采样的过程可用下式表示。 其中xˆa(t)为xa(t)的理想采样，p(t) 为周期冲激脉冲，即 xˆa (t)的傅里叶变换为 代入并进行傅里叶变换得， 装 订 线 式中的 xa(nT ) 就是采样后得到的序列 x(n)，即 x(n) 的傅里叶变换为 比较可知 在数字计算机上观察分析各种序列的频域特性，通常对 ( ) jw X e 在[0,2p ] 上进行 M 点采样来观察分析。对长度为 N 的有限长序列 x(n) ，有 一个时域离散线性非移变系统的输入/输出关系为 上述卷积运算也可以在频域实现 3.实验要求 （1）简述实验目的及实验原理。 （2）按实验步骤附上实验过程中的信号序列、系统单位脉冲响应及系统响应序列的时 域和幅频特性曲线，并对所得结果进行分析和解释。 （3）总结实验中的主要结论。 （4）简要回答思考题 装 二、实验仪器设备（标注实验设备名称及设备号） 订 线 Windows 计算机台号 22 Matlab 软件 三、实验内容步骤及结果分析 1.分析采样序列的特性。 分析采样序列的特性。产生采样信号序列 xa(n)，使 A = 444.128 ， a = 70.711， W0 = 70.711 。离散时间信号与系统
第1章时域离散时间信号和时域离散系统
离散时间信号与系统
实验一离散时间信号与系统分析
实验一离散时间信号与系统时域分析
实验一 离散时间信号和系统
时域离散信号和系统的频域分析
数字信号处理(第三版)课件1离散时间信号与系统
信号与系统离散时间系统习题详解
第二章离散时间信号和系统分析基础
离散时间信号和系统响应实验报告及代码展示