____多元函数积分学总结

第九章 多元函数积分学

（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）

1、 三重积分的引入：

三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦

）

问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。

2、 三重积分的计算：

（1） 作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力要

大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。

（2） 计算

三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之……

投影法

方法概要

该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的质量，立体区域V 是曲面()y x z z

,1=（称为下曲面）

，()y x z z ,2=（称为上曲面）与以σxy

边界为准线，母线平行于Oz 轴的柱面为侧面。

图形示例

适用范围 投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。

注意点

若xy σ是x 一型区域：()()b x a x y x ≤≤≤≤,21??，则有 若σxy 是y 一型区域：()()d x c y x y ≤≤≤≤,21??，则有

若σxy 是圆域或圆域的一部分时，也可化为σxy 上的二重积分以后，再用

极坐标变换化为累次积分。

平面截割法

方法概要

该方法是将所求立体看作是一根平行于某一坐标轴的细棒，通过将细棒上任意一小截面上的质量积分，最终得到总质量。设立体V 介于两平面d z c z ==,之间（d c <，知对立

体V 中任意一点()z y x P

,,，有d z c ≤≤）。过()[]d c z z ,,,0,0∈，作垂直于Oz 轴的平

面与立体相截，截面区域为z D ，如图6-26所示，（知对立体V 中的任意一点()z y x P ,,，有

()z D y x ∈,）

，从而立体区域V 可表示为： 于是

()()???

???=z

D d c

V

dxdy z y x f dz dv z y x f ,,,,

图形示例

适用范围

()z y x f ,,仅是

z 的表达式或是常数，而z D 的面积有公式可计算，可使这种方法，

()()()().dz S z g dxdy dz z g dxdy z g dz dv z g z

z

z D d

c D d

c D d

c V

?===??????????

从而直接化成了关于z 的一元函数定积分。

注意点

根据具体情况，也可作垂直于Oy 轴或Ox 轴的平面去截割立体。()z y x f ,,仅

是x （y ）的表达式或是常数，而D 的面积有公式可计算

煮面坐标变换（

多好听的名字，大家把柱体当成锅，就可以煮面了，最好是圆底

锅）

方法概要

.

,0,20.,sin ,cos +∞<<-∞+∞<≤≤≤===z r z z r y r x πθθθ由直角

坐标与柱面坐标可知，()θ,r 是点()z y x M ,,在Oxy 平面上投影点()y x M ,'的极坐标，z

是

原

直

角

坐

标

系

中

的

竖

坐

标

，

如

图

6-27.

此

时

()().,sin ,cos ,,dz rdrd z r r f dv z y x f V

V

θθθ??????=

设平行于Oz 轴的直线与区域V 的边界至多只有两个交点，设V 在Oxy 平面上的投影区域为xy σ。区域xy σ用θ,r 不等式表示与平面中的极坐标变换把平面区域用θ,r 不等式表示完全相同，把上面投影法中的上曲面与下曲面表示成()().,,,12θθr z z r z z ==于是立体区域

V 可表示为 从而

()()()

()??????=θθθ

θθθ,,621,sin ,cos ,,r z r z r

V

dz z r r f rdrd dv z y x f

图形示例

适用范围若立体在Oxy平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有2

2y

x+），可用柱面坐标系下的计算。（另外两个坐标平面同样适用）

注意点在柱面坐标系下，一般总是先积z，后积r，最后积θ。煮面坐标系变换实质上是投影法与极坐标变换的结合，在积分计算的过程中不要忘记添加r因子

球面坐标变换

方法概要

.

0,

0.

2

0.

cos

,

sin

sin

,

cos

sin+∞

≤

≤

≤

≤

≤

≤

=

=

=ρ

π

?

π

θ

?

ρ

θ

?

ρ

θ

?

ρz

y

x

由直角坐标和球面坐标可知。θ就是点()z y

x

M,

,在Oxy平面上投影点()y

x

M,

'的极坐标()θ,r中

的θ，此时()().

sin

cos

,

sin

sin

,

cos

sin

,

,2ρ

?

θ

?

ρ

?

ρ

θ

?

ρ

θ

?

ρd

d

d

f

dv

z

y

x

f

V

V

???

???=

1、找出立体V在Oxy平面上投影区域xy

σ的极角θ的范围β

θ

α≤

≤。即立体V在两半平面ZOA与ZOB之间，即立体V中的任意一点()ρ

?

θ,

,

M满足β

θ

α≤

≤。2、在β

α,之间过极点作射线θ

θ=，该射线与Oz轴组成的半平面与立体起截得一截面区域。若对[2，B]之任一Q值。对应的射

线与OZ轴组成的半平面与立体V截面的圆形相同。我们一般选取特殊的Q值如Q=

2

π

，此时得到的截面，我们观察更清楚。找出该区域?的范围()()

[]θ

?

θ

?

2

1

,，即()()θ

?

?

θ

?

2

1

≤

≤（一般情况下

()0

1

=

θ

?，且()θ

?

2

）为常数）。过极点O在该截面上作射线与截面的边界交于两点。极径小的交点落在下曲面()?

θ

ρ

ρ,

1

=，极径大的交点落在上曲面()?

θ

ρ

ρ,

2

=，即截面上任意一点()ρ

?,满足()()?

θ

ρ

ρ

?

θ

ρ,

,

2

1

≤

≤，()()θ

?

?

θ

?

2

1

≤

≤,如图6-28.从而在球面坐标立体区域V可表示为()()()()()

{}.

,

,

,

,

:

,

,

2

1

2

1

β

θ

α

θ

?

?

θ

?

?

θ

ρ

ρ

?

θ

ρ

ρ

?

θ≤

≤

≤

≤

≤

≤

=

v于是

图形示例

适用范围 若立体V 是由以原点为心的球面围成的立体或是由以原点为球心的球面与以原点为顶点的维面围成的主体，（或被积函数中含有222

z y x

++）

。此时用球面坐标系下的计算。 注意点

球面坐标系下，总是先积

ρ

，再积

?

，最后积

θ

，而且在大多数情况下，

()()()θ?θ??θρ211,0,0,==为常数。不要忘记

因子哦。

3、 第一类曲线积分概念的引入：

第一类曲线积分是一直曲线的线密度函数，来求解曲线的质量，当线密度函数恒为常数1时，积分的结果就是我们在微积分一当中遇到过的解曲线弧长的问题。关建是把曲线Γ表示成参数方程，并且找出参数的区间

[]βα,即可化成t 的一元函数定积分。

总结看来共有五种类型：设平面第一类曲线积分为

()?Γ

ds y x f ,

（1）若()().,

,

:βα≤≤??

?==Γt t y y t x x 则()()()()()().,,,22??'+'=Γβα

dt t y t x t y t x f ds y x f

（2）若(),,:

b x a x y ≤≤=Γ?则()()()()??'+=Γ

b

a

dx x x x f ds y x f .1,,2??

（3）若(),,:d y c y x ≤≤=Γψ则()()()()?

?'+=Γ

d c

dy y y y f ds y x f .1,,2ψψ

（4）若(),,:βθαθ≤≤=Γr r 即()().,sin ,cos βθαθθθθ≤≤==r y r x 则

(5)另外也可以表示为r 的函数，但是这种方法不常用 以上各种转化的目标是将积分最终转化为 一元函数的定积分，小心公示运用过程中的平方和开放

4、第一类曲面积分的引入：

第一类曲面积分是已知曲面的面密度函数，来求曲面的的质量

若曲面()()xy z x z x y y S σ∈=,,,:，则 若曲面()(),,,,:yz z y z y x x S σ∈=则

这里的各种转化实质上是将将积分转化为二重积分，所以在选择变量的时候要注意好究竟在哪一个坐标平面上的积分更好积一些

两个第一类积分都是的被积函数往往都是可以化简的 5.点函数积分的基本性质

设

()()P g P f ,在有界闭区域Ω上都可积，有

性质1 ()()[]()().???Ω

Ω

Ω

Ω±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f

性质2

()()??Ω

Ω

Ω=Ωd P f k d P kf （k 为常数）

。

上面两条性质称为线性运算法则。 性质3 ()()()???ΩΩΩ

Ω+Ω=Ω2

1

d P f d P f d P f ，其中Ω=Ω?Ω

21

，且1Ω与2Ω无公共内

点。

性质4 若()Ω∈≥P P f ,0，则().0?Ω

≥Ωd P f

若

()()0,0≠≥P f P f ，且()P f 连续，Ω∈P ，则().0?Ω

>Ωd P f

性质5 若()()P g P f ≤，Ω∈P ，则()().??Ω

Ω

Ω≤Ωd P g d P f

若

()()()()P g P f P g P f ≠≤,，且()()P g P f ,连续，Ω∈P ，则()().??Ω

Ω

Ω<Ωd P g d P f

性质6

()().??Ω

Ω

Ω≤Ωd P f d P f

性质7 若

()P f 在积分区域Ω上的最大值为M ，最小值为m ，则().Ω≤Ω≤Ω?Ω

M d P f m

性质8（中值定理） 若

()P f 在有界闭区域Ω

上连续，则至少有一点

Ω

∈*P ，使得

()()

.Ω=Ω*Ω

?

P f d P f ()()Ω

Ω

=?Ω

*d P f P f 称为函数

()P f 在Ω上的平均值。

（对于中值定理的理解就是求平均值的过程，在连续函数范围内必有一个函数的函数值可取到平均值）

6.对称区域上点函数的积分 （1）设3R ?

Ω，Ω或曲线或曲面或立体。

（i ）若21Ω+Ω=Ω，且21,ΩΩ关于Oxy 平面对称，则

（ii ）若43Ω+Ω=Ω，且43,ΩΩ关于Oyz 平面对称，则 （iii ）若65Ω+Ω=Ω，且65,ΩΩ关于Ozx 平面对称，则

简单地说，若3R ?

Ω关于坐标平面对称，当()P f 关于垂直该平面坐标轴的坐标是奇函数时为0；

是偶函数时，为平面一侧区域积分的2倍。

若2R ?

Ω关于坐标轴对称，当()P f 关于垂直该轴的坐标是奇函数则为0；是偶函数时，则为该轴

一侧区域积分的2倍。

同理可得，若

3R ?Ω关于z

轴对称，当

()()z y x f z y x f ,,,,-=--时，积分为

0；当

()()z y x f z y x f ,,,,=--时，积分为

z 轴一侧区域上积分的2倍。若Ω关于原点对称，当

()()z y x f z y x f ,,,,-=---时，积分为

0；当

()()z y x f z y x f ,,,,=---时，积分为原点一侧区

域上积分的2倍

6.应用（求重心（质心、形心），求转动惯量，求引力）

重心公式

设密度函数为()()z y x P ,,μμρ

==连续，求空间形体3R ?Ω的重心坐标（Ω是曲线、曲面

或空间立体），设Ω的重心坐标为

().,,z y x

同理 ()(),,M

zd P z M

yd P y ??Ω

Ω

Ω

=

Ω

=

μμ ()z y x ,,是Ω的重心。

特别=ρ常数时，.,,Ω

Ω

=

Ω

Ω

=

Ω

Ω

=

???Ω

Ω

Ω

zd z yd y xd x 其中M 是Ω的质量，Ω是Ω的大小。

当=ρ

常数时，Ω关于Oxy 平面对称知，z 关于z 是奇函数，有0=Ω?

Ω

zd ，则.0=z 同理，当=ρ常数时，Ω关于Ozx 平面对称，则

.0=y 当=ρ常数时，Ω关于Ozy 平面对称，则.0=x

同理，当2R ?

Ω（Ω是曲线或平面区域），设密度函数()()y x P ,μμρ==连续，设重心坐标

为

(),,y x 有 ()().,M

yd P y M

xd P x ??Ω

Ω

Ω

=

Ω

=μμ当=ρ常数时， .,Ω

Ω

=

Ω

Ω

=

??Ω

Ω

yd y xd x

=ρ常数，Ω关于x 轴对称，有,0=y Ω关于y 轴对称，有.0=x

转动惯量（转动惯量的定义是质量乘以到转轴距离的平方，具有可加性）

若3

R ?Ω（Ω是空间曲线或曲面或立体）， 当L 是z 轴时，()()()

().,,2222

??Ω

Ω

Ω+=Ω+=d z y x y x d P y x J z μμ 当L 是x 轴时，()

()()

().,,2222

??Ω

Ω

Ω+=Ω+=d z y x z y d P z y

J x μμ 当L 是y 轴时，()

()()

().,,2222

??Ω

Ω

Ω+=Ω+=

d z y x x z d P x z

J y μμ

若2R ?Ω（Ω是平面曲线或平面区域）， 当L 是x 轴时，()().,22

??Ω

Ω

Ω=Ω=

d y x y d P y J x μμ

当L 是y 轴时，()().,22?

?

Ω

Ω

Ω=Ω=d y x x d P x J y μμ

引力公式（引力与转动惯量的不同之处在于引力是矢量，要三个坐标轴上分别计算）