最新黄冈名师高三数学第二轮专题复习-直线与圆的方程

高三数学第二轮专题复习--直线与圆的方程

一、重点知识结构

本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；

两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；

用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；

曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；

圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求

1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

3、会用二元一次不等式表示平面区域；

4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；

5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；

6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析

在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议

本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直

线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

直线

【例题】

【例1】

已知点B （1，4），C （16，2），点A 在直线x －3y ＋3 = 0上，并且使?AB C 的面积等于21，求点

A 的坐标。

解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| =

29，设点A 坐标(3y －3,y )，则可求A 到B C 的距离为

29

|

2811|-y ，∵

?AB C 面积为21，∴

2129

|

2811|2921=-?y ， ∴11141170-=

或y ，故点A 坐标为（1170,11177）或（11

14

,1175--）. 【例2】

已知直线l 的方程为3x +4y －12=0, 求直线l ′的方程, 使得：

(1) l ′与l 平行, 且过点(－1,3) ;

(2) l ′与l 垂直, 且l ′与两轴围成的三角形面积为4.

解： (1) 由条件, 可设l ′的方程为 3x +4y +m=0, 以x =－1, y =3代入, 得－3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′的方程为 3x +4y －9=0; (2) 由条件, 可设l ′的方程为4x －3y +n=0, 令y =0, 得4n x -

=, 令x =0, 得3

n

y =, 于是由三角形面积43

421=?-?=

n

n S , 得n2=96, ∴64±=n ∴直线l ′的方程是06434=+-y x 或06434=--y x

【例3】

过原点的两条直线把直线2x ＋3y －12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。

解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点， 则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为所求角。

∵2=CA BC ，∴??

???

=+?+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38

）.

又2=DB AD ，∴??

???=+==+?+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k .

∴1393

13413134|1|

=?+-=

+-=OD

OC OD

OC k k k k tg θ，∴139arctg =θ. 【例4】

圆x 2＋y 2＋x －6y ＋c = 0与直线x ＋2y －3 = 0相交于P ,Q 两点,求c 为何值时,OP ⊥OQ(O 为原点).

解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,)12(5

1

21c y y +=?, 消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5

1

21-=?c x x , ∵OP ⊥OQ,∴

12

211-=?x y x y ,∴527

4512--=+c c ，解得c = 3. 【例5】

已知直线y =－2x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0相切,求b 的值和切点的坐标.

解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0,

整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2＋2b －15 = 0,令?= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，5

)

2(2+=

b x ，得x =－2或x = 6， 代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1，

∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.

【例6】

已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c .

证明：设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜b ＜1.

∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0

f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0

∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c .

【例7】

某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作

为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为

下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB

取得最大值.

由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、

(b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为：

kAC =t a n xCA =

x

a a -αcos α

sin ,

.αcos α

sin tan x

b b xCB k BC -=

=

于是t a n ACB =

AC BC AC BC k k k k ?+-1α

cos )(α

sin )(αcos )(αsin )(2?+-+?-=++-?-=b a x x

ab b a x x b a ab x b a

由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则t a n ACB ≤

α

cos )(2αsin )(b a ab b a +-?-,当且仅当

x

ab

=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳.

【例8】

预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少

于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件

为??

?????≥≥≤≥≤+0

,05.120002050y x x y x y y x 由???????

==???==+72007200,20002050y x x y y x 解得

∴A 点的坐标为(

7200，7

200

) 由??

???==???==+27525

,5.120002050y x x y y x 解得

∴B 点的坐标为(25，

2

75

) 所以满足约束条件的可行域是以A (

7200，7200

)，B (25，2

75)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图)

由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，

2

75

)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.

故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.

【例9】

已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千

克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B .

甲 乙 丙 维生素A （单位/千克） 600 700 400 维生素B （单位/千克） 800 400 500 成本（元/千克）

11

9

4

（Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元； （Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使成本最低．

解：（Ⅰ）由题，1194c

x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．

（Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥?=--?

++≥?及得，46320

3130

x y x y +≥??-≥?，

所以，75450.x y +≥ 所以，40075400450850,c

x y =++≥+=

当且仅当4632050

, 313020

x y x x y y +==???

?

-≥=??即时等号成立．

所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．

点评：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问

题的解实际上是

由四条直线所围成的区域00463203130x y x y x y ≥??≥?

?+≥??-≥?上使得

40075c x y =++最大的点．不难发现，应在点

M

（50，20）处取

得．

【直线练习1】

一、选择题

1．设M =1

20110,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为( )

A .M ＞N

B .M =N

C.M ＜N

D.无法判断

2．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )

A .15

B .30 C.36 D.以上都不对

二、填空题

3．直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________. 4．自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，

则光线l 所在直线方程为_________.

5．函数f (θ)=

2

cos 1

sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________.

6．设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，则x 的范围为_________. 三、解答题

7．已知过原点O 的一条直线与函数y =log8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log2x 的图象交于C 、D 两点.

(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.

8．设数列{an }的前n 项和Sn =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0. (1)证明：{an }是等差数列. (2)证明：以(an ,n

S n

－1)为坐标的点Pn (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设a =1,b =

2

1

,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围. 参考答案

一、1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，

因为B 、C 两点的直线方程为y =

10

1

x ，点A 在直线的下方，∴kAB ＞kAC ,即M ＞N . 答案：A

2.解析：设三角形的另外两边长为x ,y ,则

??

?

??>+≤<≤<11110110y x y x

点(x ,y ）应在如右图所示区域内

当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11； 当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11; 当x =5时，y =7,8,9,10,11.

以上共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以

共有36个.

答案：C

二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6）

4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切. 答案：3x +4y －3=0或4x +3y +3=0

5.解析：f (θ)=2

cos 1

sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.

答案：

3

4 0 6.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：

2

1

3217+<<-x 三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1, 点A (x 1,log8x 1),B (x 2,log8x 2).

因为A 、B 在过点O 的直线上，所以

2

2

8118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log2x 1）、(x 2,log2x 2). 由于log2x 1=3log8x 1,log2x 2=3log8x 2,则

2

2

8222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====

由此得kOC =kOD ,即O 、C 、D 在同一直线上.

(2)解：由BC 平行于x 轴，有log2x 1=log8x 2,又log2x 1=3log8x 1 ∴x 2=x 13

将其代入

2

2

8118log log x x x x =,得x 13log8x 1=3x 1log8x 1, 由于x 1＞1知log8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=

3,于是A (3，log83).

9.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，

有an =Sn －Sn －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有an －an －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{an }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.

(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有2

1)1(2)1()1(2)1()11()1(

11=--=--+--+=----b n b n a b n a a

a b

n n na a a S n S n n

∴所有的点Pn (an ,

n

S n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)=21

(x

－a ),即x －2y +a －2=0.

(3)解：当a =1,b =

21时，Pn 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2,2

1

)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是 ???????>-+->-+->+-2222

22222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ??

?

??

??>+->+

->-0

108041750

)1(222r r r r r 即 由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜

25－2或r ＞2

5

+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6

再注意到r ＞0,1＜

25－2＜4－6=2

5

+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,

2

5

－2)∪(4+6,+∞).

① ②

【直线练习2】

1．l 1的方程为032=--y x ，l 1关于x 轴对称的直线为l 2，l 2关于y 轴对称的直线为l 3，那么直线l 3的方程为( B )

A ．032=+-y x

B ．032=+-y x

C ．032=-+y x

D ．062=+-y x

2．与圆x

y x 2

2430+-+=相外切，且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是。??

?

?

?-=2162x y

3．已知定点A (1,1)，B (3,3)，点P 在x 轴上，且∠APB 取得最大值，则P 点坐标为（ B ）

A ．()02，

B ．(

)

06，C ．??

? ??037，

D ．()04，

解：P 点即为过A 、B 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为

222)()(b b y a x =-+-)0,0(>>b a

所以有????

?==???

???=-+-=-+-06

)3()3()1()1(222222b a b b a b b a 4．圆02

2=++x y x 上的点到直线033=-+y x 的最知距离为（A ）

A ．

23B ．4

5 C ．

4

3

D ．

4

9 5．条件甲：方程12

2=-n

y m x 表示一双条双曲线，条件乙：m n >>00且则乙是甲的（ A ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件 6．设点P 在有向线段的延长线上,点P 分

所成的比为λ, 则( A )

A ．1-<λ

B ．01<<-λ

C ．10<<λ

D ．1>λ

7．如果AC <0且BC <0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过( C )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

8．若点(4, m)到直线431x y -=的距离不大于3, 则m 的取值范围是( B )

A ．(0, 10)

B ．[]010,

C ．??

?

???331,

31

D ．()[

)-∞+∞,,010 9．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为( D )

A ．232,??

???B ．258256,??

?

?

? C ．(3, 4) D ．(4, 3)

10．如果直线y ax =+2与直线y x b =-3关于直线y = x 对称, 那么( A )

A ．a b =

=13

6,B ．a b ==-1

36,

C ．a = 3, b = －2

D ．a = 3, b = 6

11．已知直线l l 12和的夹角的平分线为y x =, 如果l 1的方程是ax by c ab ++=>00(),那么l 2

的方程是( A )

A ．bx ay c ++=0

B ．ax by c -+=0

C ．bx ay c +-=0

D ．bx ay c -+=0

12．如果直线ax y ++=220与直线320x y --=平行, 那么系数a = ( B )

A ．－3

B ．－6

C ．-

3

2

D ．

23

13．两条直线A x B y C 1110++=,A x B y C 2220++=垂直的充要条件是( A )

A ．A A

B B 12120+=B ．A A B B 12120-=

C ．

A A

B B 12

12

1=- D ．

B B A A 12

12

1= 14．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是( A )

A ．-

1

3

B ．－3

C ．

13

D ．3

15．设a 、b 、c 分别是△ABC 中, ∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长, 则直线sin A x ay c ·++=0

与bx B y C -+=sin sin ·0的位置关系是( C )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

16．求与点A (1, 2)的距离等于4, 且到x 轴的距离等于2的点的坐标:。（3, 2）

17．直线L ：y =k x -1与曲线

y x --=211

2

不相交，则k 的取值范围是( A ) A ．12或3 B ．12 C ．3 D ．[1

2

，3]

18． 2．如果a ·c<0，b ·c<0，那么直线ax +by +c=0不通过（C ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

19．直线y =－x －1被圆25)1()3(22=++-y x ，所截的弦长为（C ）

A ．98

B ．40

1

4

C ．82

D ．9843+ 20．斜率为1的直线与两直线2x +y －1=0，022=-+y x 分别相交于A ，B 两点，线段AB 的

中点的轨迹方程为（ B ）

A 、01=+-y x

B 、01=-+y x

C 、032=+-y x

D 、032=--y x

21．已知双曲线1C 和椭圆2C ：

124

)1(49)2(2

2=-++y x 有公共的焦点，它们的离心率分别是1e 和

2

e ，且

21

11

1=+e e 。

（1）求双曲线1C 的方程；（2）圆D 经过双曲线1C 的两焦点，且 与x 轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D 的方程。

解：（1）椭圆2C 的两个焦点坐标是)1,3(),1,7(21F F -离心率7

5

2=

e 由

21

121=+e e 可知双曲线1C 的离心率3

51=e ∴16,9,252

2222=-===a c b a c

故双曲线1C 的方程为116

)1(9)2(2

2=--+y x

（2）∵圆D 经过双曲线的两个焦点，∴圆心D 在直线x = –2上

设圆D 的方程为2

222)1(5)()2(-+=-++b b y x

整理得：0222242

2=-+-++b by x y x

令y =0，得022242=-++b x x

设圆D 与x 轴的两个交点为（0,1x ），（0,2x ），则

222,42121-=-=+b x x x x

依题意|21x x -|=84)(21221=-+x x x x 即16–4（2b –22）=64，解得b =5

所以圆的方程为41)5()2(2

2=-++y x

高三数学专题复习

圆

【例题】

【例1】

设正方形AB CD 的外接圆方程为x 2+y 2–6x +a =0(a <9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为

3

1

,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线A C 、B D 的斜率。 解：由(x –3)2+y 2=9－a (a <9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0） 依题意：.3

1

,4==

∠=∠AB k BAM ABM π

M A ,M B 的斜率k 满足:

11313

1=+-k

k 解得:k A C=2,2

1

=-

BD k 【例2】

设圆1C 的方程为2

224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ．

（1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程； （2）当m 变化且0≠

m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程．

解：（1）圆C1的圆心为C1（－2，3m+2），设C1关于直线l 对称点为C2（a ，b ）

则??

???++-=++-=+--2

22223122

3m a b m a m b 解得：???+=+=112m b m a

∴圆C2的方程为2

224)1()12(m m y m x =--+--

（2）由?

?

?+=+=11

2m b m a 消去m 得a －2b +1=0

即圆C2的圆心在定直线x －2y +1=0上。 设直线y =k x +b 与圆系中的所有圆都相切，则

m k

b

m m k 21)1()12(2

=+++-+

即0)1()1)(12(2)34(2

2=-++-+-+--b k m b k k m k

∵直线y =k x +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，所以有：??

?

??=-+=-+-=-- 0)1(0)1)(12(20342b k b k k k 解

之得：??

??

?=

-=4743b k 所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4

7

43+-

=x y 【例3】

已知圆C ：04422

2=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径

的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解：圆C 化成标准方程为2

223)2()1(=++-y x

假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ）

由于CM ⊥l ，∴kCM ×k l = －1 ∴kCM=

11

2

-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ，

即x －y +b －a =0

CM=

2

3

+-a b

∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==

2

)3(922

22

+--

=-=a b CM

CB MB

，222

b a OM +=

∴222

2

)3(9b a a b +=+--②

把①代入②得 0322=--a a ，∴12

3-==a a 或

当2

5

,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a

时此时直线l 的方程为x －y +1=0

故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0

【例4】

已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m2，当圆C 与线段．．AB 没有公共

点时，求m 的取值范围.

解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.

由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m2无交点.

（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：

22|m |2

|1||m |<

?<

，即

22m 22<<-. （II ）当

m ＞OB 时,

22||32||13m m >+?>,

即13m 13m >-<或. ∴当2

2m 2

2<<-和0m 13m 13m ≠>-

<且与时，

圆x 2＋y 2 = m2与线段AB 无交点.

【例5】

已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(2

2=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，

（1）如果3

2

4||=

AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.

解：（1）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由3

24||=

AB ，

P

B A O

可得,3

1)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP

由射影定理，得,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，

523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，

故55-==a a 或，所以直线AB 方程是

;0525205252=+-=-+y x y x 或

（2）由点M ，P ，Q 在一直线上， 得

(*),22x y a -=-

由射影定理得|,|||||2

MQ MP MB ?= 即(**),14)2(222=+?-+a y x 把（*）代入（**）消去a ，

并注意到2

1)47(22

≠=-

+y y x

【例6】

有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得

商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系， 则A （－5，0），B （5，0）.

设某地P 的坐标为（x ，y ），且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低，并设A 地的运费为3a 元/km ，则B 地运费为a 元/km.

由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费，

P n

P n+1

y

o

x

即22)5(3y x a ++22)5(y x a +-≤，整理得222)4

15

()425(≤++

y x . 所以，以点C )0,425(-

为圆心，4

15为半径的圆就是两地居民购货的分界线.

圆内的居民从A 地购货费用较低； 圆外的居民从B 地购货费用较低；

圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，因此可以随意从A 、B 两地之一购货.

【例7】

例8、在xoy 平面上有一系列点,),,(),,

(222111???y x P y x P ),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n

P 位于函数)0(2

≥=x x y 的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n

n x x <+1()n N +∈．

（1）求证：数列}1

{n

x 是等差数列；

（2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +???++=

21,求证：2

3π

<

n T 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2

n

n n x y r ==， ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，

11+++=∴n n n n r r P P , 12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x ,

两边平方，化简得12

14)(++=-n n n n y y x x , 即2

12214)(++=-n n n n

x x x x .

01>>+n n x x ，∴112++=-n n n n x x x x , 111

2()n n

n N x x ++?

-=∈． ∴数列?

??

??

?n x 1是等差数列． (2) 由题设，11

=x ，∴

1212)1(111-=??-+=n x n x x n n , 4

4

2

2

)12(-=

===n x y r S n

n

n

n π

πππ,

n n S S S T +???++=21

??????-++++=222)12(1513

11n π≤??????-?-++?+?+)12()32(15313111n n π ＝

?

??

?

????

????---++-+-+)121321()5131()311(211n n π

＝??

????--+)1211(211n π23)12(223πππ<--=n ． 【例8】

已知圆

C

：

22(1)1x y +-=和圆1

C ：

22(2)(1)1

x y -+-=,现在构造一系列的圆

123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答：

(1)求圆n C 的半径n r ;

(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为2

1

n

C ;

(3)求和)1

1

1

(

lim 223

22

n

n C C C +

++

∞

→ .

解：(1)在直角梯形1n ODC C -中,

AC=1－n r ,n CC =1＋n r ,1n CC -=1＋1-n r ,n C 1-n C =n r ＋1-n r .1n C B -=1-n r －n r .

∴有

n AC =

，n

BC =

1n EC -=

1n EC AB -==n n AC BC +

∴

()()()()()()2

12121212

21111------+=

--++

--+n n n n n n n n r r r r r r r r

∴11444--=+n n n n r r r r .即11--=-n n n n r r r r .

由此可得1111

=-

-n n

r r .

∴{n r 1}成等差数列,

11r =.

∴

n n r r n

=?-+=

1)1(111

,∴2

1n

r n =

.

(2)公切线长为n l =

2(1)n n n C ==

=-.

(3)

22223111n C C C +++111112(1)2()2()2231n n =-+-++--＝12(1)n

-.

∴)1

11(lim 22322

n n C C C +++∞→ =2.

【圆·练习】

一、选择题 1、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是

（ ）.

(A )直线与圆相切 (B ) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心 2、点

()M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线2

00a y y x x =+与该圆的位置关系是

( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．相切或相交

3、直线()00≠=++ab c

by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于

4，则以|a |、|b |、|c |为边长的确良三角形一定是（）

（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）不存在

4、已知两点A (–2,0),B (0,2), 点C 是圆x 2+y 2–2x =0上的任意一点,则△AB C 面积的最小值是（）

(A )23- (B )23+ (C)

226- (D)2

2

3- 5、已知集合?

??

?

??

∈--==R y x x y y x p 、,25),(2及{}

Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,,),(，则实数b 的取值范围是 （ ）

（Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(-（Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[-

6、若曲线x 2+y 2+a 2x =(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ ）． （Ａ）21±

（Ｂ）22± （Ｃ）2221-或 （Ｄ）2

221或- 7、若圆2

2

2

)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离等于1，则半径R 的取值范围是 （）．

（A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1

8、已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：

交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是_______________________。 9、直线

1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是。

10、已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为

2的切线方程为。

11、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是

三、解答题

12、半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程。

13、已知圆0242

2=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若?=∠90APB 。求m 的值。

14、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程．