一次函数与特殊四边形的存在性问题[培优拓展]

一次函数与特殊四边形的存在性问题

（培优专题）

1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2015春?校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B．

（1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值围）

（2）点M在已知直线上，点N在坐标平面，是否存在以点M、N、A、O为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点．

（1）试说明CE平分∠BED；

（2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动．

（1）当OA=时，求点C的坐标．

（2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积．

（3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2012春?石狮市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣分别与x 轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．

（1）填空：b= ；

（2）求点D的坐标；

（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．

8．（2014秋?区期末）如图，四边形ABCD为矩形，点D与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（8，12），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，点E，F分别在AD，AB上，且F点的坐标是（5，12）．

（1）求点G的坐标；

（2）求直线EF的解析式；

（3）坐标系是否存在点M，使以点A，E，F，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

9．（2014?模拟）如图，矩形OABC在坐标系中，OA＞OC，矩形面积为12，

对角线AC的长为5．

（1）求A，C的坐标；

（2）若D为AC中点，过D的直线交y轴负半轴于E，交BC于F，且OE=1，求直线EF的解析式；

（3）在（2）的条件下，在坐标平面是否存在一点G，使以C，D，F，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（2011春?家港市期末）如图，OB是矩形OABC的对角线，点B的坐标为（3，6）．D、E分别是OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，过D、E的直线交x

轴于点F．

（1）点E的坐标为；

（2）求直线DE的解析式；

（3）若点M是线段DF上的一个动点，在x轴上方的平面是否存在另一个点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2007秋?期末）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A（，0）、B（，2），∠CAO=30°．

（1）求对角线AC所在的直线的函数表达式；

（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标；

（3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．（2014?模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴、y轴于A、B两点．点C（2，0）、D（8，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：3．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．

（1）求点E、F的坐标；

（2）求s与b的函数关系式，并写出自变量的取值围；

（3）若把点O关于直线l的对称点记为点G，在直线l上下平移的过程中，平面上是否存在这样的点P，使得以A、P、E、G为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，3）．

（1）求出直线AB的解析式；

（2）点P是直线AB上的一个动点，在平面直角坐标系，是否存在另一个点Q，使得以A，O，P，Q为顶点的四边形是菱形（AP为其中一个边）？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+12与x轴、y轴交于A、B两点，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．

（1）点C的坐标为；

（2）求直线AD的解析式；

（3）P是直线AD上的点，在平面是否存在点Q，使以为O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

特殊的平行四边形培优测试

1．下列说法正确的有（） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形 ③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形⑤对角线相等的平行四边形是矩形 2．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（） 3．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=900；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 ( ) A、①④?⑥ B、①③?⑤ C、①②?⑥ D、②③?④ 4．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（） 5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（） 6．如图边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。 7.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点 O顺时针旋转75°至OA’B’C’的位置.若OB=C=120°，则点B’的坐标为 . 8.如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是． 6题图7题图8题图 9.如图,E为正方形ABCD的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值为_________. 10.如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ． 11.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN 的最小值是．

平行四边形培优讲义新打印版

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平边四边形知识点一．知识框架二．知识概念平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；

人教版《特殊平行四边形》培优

人教版八年级下册第18章《特殊平行四边形》典型考题精讲精练一：知识精析： 1.矩形：（1）定义：有一个角是的平行四边形叫矩形（2）性质：矩形的四个角都是；矩形的对角线且互相平分；矩形既是图形，又是对称图形；矩形具有平行四边形的性质（3）判定：有一个角是的平行四边形是矩形；或者对角线的平行四边形是矩形；或者有角是直角的四边形是矩形 2.菱形：（1）定义：有一组相等的平行四边形叫做菱形（2）性质：菱形的条边都相等；菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角；菱形是对称图形，也是对称图形（3）判定：一组相等的平行四边形是菱形；或者对角线的平行四边形是菱形；或者条边都相等的四边形是菱形（4）菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的 3.正方形： (1) 定义：有一组的平行四边形叫做正方形（2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形（3）判定：一组邻边相等的是正方形；或者有一个角是直角的是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的是正方形 4.方法与技巧：关联中点、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形等核心知识点，常以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法的考查。二：类题精讲：类型一：勾股模型相关的计算与分类思想典例1：.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD 相交于点O，点E在AC上，若OE CE的长．

四边形培优综合题

特殊的平行四边形教学目标：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容．教学内容：（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形。正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。（注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定）（2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质（3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的一半教学重点：让学生在多种题目中区分每种特殊四边形的考点，学到解题的关键所在，会应用。教学过程：一、例题赏析例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF 与GH互相垂直平分吗？分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可．解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分．例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图，若折痕EF 长为6，求另一边长．分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD 中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求 AB的长的问题．解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2．得y= 2 25 10 x - ，AE=5-y= 2 25 10 x + ．又在Rt△AOE中，AO=1 2 AC= 2 25 2 x + ，EO= 1 2 EF= 6 2 ．

平行四边形经典题型(培优提高)

1.平行四边形的性质： ①平行四边形两组对边相等。 ②平行四边形两组对角相等。 ③平行四边形对角线互分平分。 2.平行四边形判定：定理1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定理3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。定理4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4.逆定理1：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。逆定理2：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

第四节：中心对称图形课堂练习 1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（） A．正三角形B．平行四边形C．等腰直角三角形D．正六边形 2.下列图形中，不是中心对称图形的是（） 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）． 4.下三图是由三个相同的小正方形拼成的图形，请你再添加一个同样大小的小正方形，使所得的新图形分别为下列A，B，C题要求的图形，请画出示意图．（1）是中心对称图形，但不是轴对称图形；（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形；（3）既是中心对称图形，又是轴对称图形．第五节：平行四边形的判定例题讲解例1：判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图 ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。( ) ②一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形. ( ) ③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．( ) ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．( ) ⑤两组邻角互补的四边形是平行四边形。( )

特殊平行四边形专项培优训练

特殊平行四边形专项训练）（一） B卷（20分填空题每题3分） 1.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形的边数是_________. 2.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是_________ 3.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是______ 4.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为_____________ ．第2题第3题第4题 5.在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标; (2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，请直接说出h的取值范围．（8分）

6.如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC =90°．（10分）（1）求证：四边形AECF 是菱形；（2）若∠B =30°，BC =10，求菱形AECF 面积． 7.如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =6，点E 、F 分别在边CD 、AB 上．（12分）（1）若DE =BF ，求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若四边形 AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长． 8. 如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD =1，BC =3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形；（2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．（12分）已知：在ABC △中，AB AC a ==，M 为底边BC 上的任意一点，过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于点P ，交AB 于点Q 。（1）求四边形AQMP 的周长；（用含a 的代数式表示）

初三特殊的平行四边形培优同步讲义

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理二、知识概念（一）菱形 1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2、菱形的性质： ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 3、菱形的面积计算

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．考点一：菱形的性质与判定例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（） A．B．C．5 D．4 例2、如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG； ③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2 其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交 BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接EF．（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．考点二：矩形的性质与判定

例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（） A．对角线相等B．两组对边分别平行 C．对角线互相平分D．两组对角分别相等例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分 ∠DMB，则DM的长是（） A．B． C．D．例3、如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．考点三：正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（） A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角相等例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD 交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（） A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+1 例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE．

【数学】数学平行四边形的专项培优易错难题练习题附答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，对角线AC 平分BAD ∠. （1）如图1，若120DAB ∠=?，且90B ∠=?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B ∠=?”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB ∠=?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB AC +=.理由见解析. 【解析】试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD= 12AC ，AB=1 2 AC 即可解决问题；（2）（1）中的结论成立．以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE=60°，∠ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明△DAC ≌△BEC 即可解决问题；（3）结论：AD +AB ＝2AC ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明△ACE 是等腰直角三角形，△DAC ≌△BEC 即可解决问题；试题解析：解：（1）AC=AD+AB ．理由如下：如图1中，在四边形ABCD 中，∠D+∠B=180°，∠B=90°， ∴∠D=90°， ∵∠DAB=120°，AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC=∠BAC=60°， ∵∠B=90°，

∴AB＝1 2 AC，同理AD＝ 1 2 AC． ∴AC=AD+AB．（2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作∠ACE=60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E， ∵∠BAC=60°， ∴△AEC为等边三角形， ∴AC=AE=CE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠DAB=120°， ∴∠DCB=60°， ∴∠DCA=∠BCE， ∵∠D+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠D=∠CBE，∵CA=CE， ∴△DAC≌△BEC， ∴AD=BE， ∴AC=AD+AB．（3）结论：AD+AB＝2AC．理由如下：过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D+∠B=180°，∠DAB=90°， ∴DCB=90°， ∵∠ACE=90°， ∴∠DCA=∠BCE，又∵AC平分∠DAB， ∴∠CAB=45°， ∴∠E=45°． ∴AC=CE．又∵∠D+∠ABC=180°，∠D=∠CBE，

八年级下册平行四边形的培优专题训练

八年级数学下册平行四边形的培优专题训练一、基础归纳

1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．平行四边形的性质 .. .???? ??????? ????? ?对边平行；边对边相等对角相等；角邻角互补对角线：对角线互相平分另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等． 2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．边 ?? ??? 两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等角：两组对角分别相等对角线：对角线互相平分 3．注意的问题：平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理．学习时注意它们的联系和区别，对照记忆． 4．特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）二、基本思想方法研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角形及平移、旋转和对称图形的问题来研究．【典例分析】例1．已知：如图1，在 ABCD 中，AB =4cm ，AD =7cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = cm ．解析：由平行四边形的性质知，AD ∥BC ，得∠AEB =∠EBC ，的四边形是平行四边形 A D C F E

又BF 是∠ABC 的平分线，即∠ABE =∠EBC ，所以∠AEB =∠ABE ．则AB = AE = 4cm ．所以DE = AD －AE = 7－4 =3（cm ）．又由AB ∥CD ，则∠F =∠ABE ，所以∠F =∠AEB ．因为∠AEB=∠FED ，所以∠F =∠FED ，故DF = DE = 3cm ．例2．已知：如图2，在平形四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AF =CE ．求证：DE =BF ．例3．已知：如图3，在△ABC 中，AB =AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使 ED = DF = EB ，连接FC ．求证：四边形AEFC 是平行四边形．例4．已知：如图，D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AC,DF ⊥AB, (图2) ＡＤＣＢＦＥ (图3) A C E F Ｄ

《特殊的平行四边形》培优训练

E D A L K J F E D C B A E D C B A D C B A Q P 'A y x O C B A D C B A D C B A D C B A H G F E D C B A 《特殊的平行四边形》培优训练 1、已知如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠ADB=300且BC=34，则△ECD 面积为 1题图 2题图 2、动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5。如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的'A 处，折痕为PQ ，当点'A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动。若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点'A 在BC 边上可移动的最大距离为。 3、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值应是。 4、在菱形ABCD 中，∠A=720，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（注：两种分法中只要有一条分割线的位置不同，就认为是两种不同的分法）。 5、如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以GC 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H 。（1）求证：△BCG ≌△DCE ，BH ⊥DE ；（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？ 6、如图（1）所示，在平行四边形ABCD 的形外分别作等腰直角三角形ABF 和等腰直角三角形ADE ，∠FAB=∠EAD=900，连接AC 、EF ，在图中找一个与△FAE 全等的三角形，并加以证明。应用：以平行四边形ABCD 的四边为边，在其形外分别作正方形，如图（2）所示，连接EF 、GH 、IJ 、KL 。若平行四边形ABCD 的面积为5，则图中阴影部分的四个三角形的面积和为。

2021年八年级数学下特殊的平行四边形学霸题卡优生尖子生必刷培优训练题好题精选含试题解析

2021年八年级数学下特殊的平行四边形学霸题卡优生尖子生必刷培优训练题好题精选一、矩形的性质 1．（2018春?长白县期中）如图所示，矩形纸片ABCD ，AB ＝3，点E 在BC 上，且AE ＝EC ．若将纸片AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是（） A ．3 B ．6 C ．8 D ．9 2 2．（2018秋?青羊区校级月考）如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 边长为1．则重叠部分四边形EMCN 的面积为（） A ．2 3 B ．1 4 C ．5 9 D ．4 9 二、矩形的判定 3．（2017春?秀屿区校级期中）如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：OE ＝OF ；（2）若CE ＝12，CF ＝9，求OC 的长；（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．

4．（2018?南开区三模）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．三、菱形的性质 5．（2017?嘉兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（√2，0），B（1，1）．若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（） A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B．向左平移（2√2?1）个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移√2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 6．（2013?武汉模拟）已知：如图：菱形ABCD中，∠BAD＝120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM＝60°，且直线PM与直线CD相交于点Q，Q点到直线BC的距离为QH．

八年级培优提升专题(六) 特殊的平行四边形

D C 例1题图 A B O E F D C 例3题图1 A B E F D C 例3题图2 A B E F D 例3题图3 A B E F D C 例5题图 A B E α例8题图 A B C D O E P D C 例10题图1 A B P D C 例10题图2 A B P D C 例10题图2 A B C D 例4题图 M M 培优提升专题（六）特殊的平行四边形一．基础知识回顾 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 2．常考知识点：⑴矩形：对角线相等且互相平分；⑵菱形：对角线互相垂直平分；⑶正方形：四边相等、对角线相等且互相垂直平分、对称性；二．典例分析 1．已知，如图，矩形 ABCD 中，对角线,AC BD 相交于O ，AE BD ⊥于E ，若:3:1DAE BAE ∠∠=，则EAC ∠= 2．如图，已知矩形ABCD 中，将BCD 沿对角线BD 折叠，记点C 的对应点为E ，若20ADE ∠= ，则BDC ∠= 3．如图①是长方形纸带，20DEF ∠= ，将纸带沿EF 折叠成图②，再沿BF 折叠成图③，则图③中的CFE ∠的度数是 4．如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF CE =。（1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（2）当B ∠的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？（3）四边形ACEF 有可能是正方形吗，为什么？ 5．如图，菱形ABCD 的边长为2，2,BD E =、F 分别是边 ,AD CD 上的两个动点，且满足 2AE CF +=。⑴判断BEF 的形状，并说明理由；⑵设BEF 的面积为S ，求S 的取值范围。 6．有一个边长为5的正方形纸片 ABCD ，要将其剪拼成边长分别为,a b 的两个小正方形，使得2225a b +=。⑴,a b 的值可以是（写出一组即可）；⑵请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性。 7．如图，边长为1的菱形ABCD 中，60DAB ∠= ，连接对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11ACC D ，使160D AC ∠= ，连接1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形122AC C D ，使2160D AC ∠= ；…，按此规律所作的第 n 个菱形的边长为，面积为。 8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，60B ∠= ，2BC =。点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与 AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D 。过点C 作CE AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α。⑴当α= 时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为； ⑵当α= 时，四边形EDBC 是直角梯形，，此时AD 的长为； ⑶当90 α = 时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由。 9．已知正方形ABCD ，如图，P 是其内部一点，PC PD =，连接, PA PB ，若15PCD ∠= ，求证：PAB 为正三角形。 10．已知矩形 ABCD 和点P 。 ⑴当点P 在图①的位置时，则有结论：PBC PAC PCD S S S =+ ，请证明⑵当点P 在图②、图③中的位置时，,,PBC PAC PCD S S S 又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明。 11．⑴如图①，已知正方形ABCD 和正方形()CGEF CG BC >， ,,B C G 在同一条直线上，M 为线段AE 的中点，探究：线段,MD MF 的关系； ⑵若将正方形CGEF 绕点C 顺指针旋转45 ，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形 ABCD 的边BC 的延长线上，M 为 AE 的中点。例9题图

【数学】数学平行四边形的专项培优练习题及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们解决几何问题的途径之一．例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=3，AD=6，问△ABC的高AD与CE的比是多少？小聪的计算思路是：根据题意得：S△ABC=1 2 BC?AD= 1 2 AB?CE．从而得2AD=CE，∴ 1 2 AD CE 请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2，在?ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AF=CE，并相交于点O，连接BE、BF，求证：BO平分角AOC．（2）（探究延伸）如图3，已知直线m∥n，点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线段CD中点，且∠APB=90°，两平行线m、n间的距离为4．求证：PA?PB=2AB．（3）（迁移应用）如图4，E为AB边上一点，ED⊥AD，CE⊥CB，垂足分别为D，C，∠DAB=∠B， AB=34，BC=2，AC=26，又已知M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN．求 △DEM与△CEN的周长之和．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）34 【解析】分析：(1)、根据平行四边形的性质得出△ABF和△BCE的面积相等，过点B作OG⊥AF于

G，OH⊥CE于H，从而得出AF=CE，然后证明△BOG和△BOH全等，从而得出 ∠BOG=∠BOH，即角平分线；(2)、过点P作PG⊥n于G，交m于F，根据平行线的性质得出△CPF和△DPG全等，延长BP交AC于E，证明△CPE和△DPB全等，根据等积法得出 AB=AP×PB，从而得出答案；(3)、，延长AD，BC交于点G，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x，根据Rt△ABF和Rt△ACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出AE=2DM=2EM，BE=2CN=2EN， DM+CN=AB，从而得出两个三角形的周长之和．同理：EM+EN=AB 详解：证明：（1）如图2，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴S△ABF=S?ABCD，S△BCE=S?ABCD，∴S△ABF=S△BCE，过点B作OG⊥AF于G，OH⊥CE于H，∴S△ABF=AF×BG，S△BCE=CE×BH， ∴AF×BG=CE×BH，即：AF×BG=CE×BH，∵AF=CE，∴BG=BH，在Rt△BOG和Rt△BOH中，，∴Rt△BOG≌Rt△BOH，∴∠BOG=∠BOH， ∴OB平分∠AOC，（2）如图3，过点P作PG⊥n于G，交m于F，∵m∥n，∴PF⊥AC， ∴∠CFP=∠BGP=90°，∵点P是CD中点，在△CPF和△DPG中，，∴△CPF≌△DPG，∴PF=PG=FG=2，延长BP交AC于E，∵m∥n，∴∠ECP=∠BDP，∴CP=DP，在△CPE和△DPB中，，∴△CPE≌△DPB，∴PE=PB， ∵∠APB=90°，∴AE=AB，∴S△APE=S△APB， ∵S△APE=AE×PF=AE=AB，S△APB=AP×PB， ∴AB=AP×PB，即：PA?PB=2AB；（3）如图4，延长AD，BC交于点G，∵∠BAD=∠B， ∴AG=BG，过点A作AF⊥BC于F，设CF=x（x＞0），∴BF=BC+CF=x+2，在Rt△ABF中，AB=，根据勾股定理得，AF2=AB2﹣BF2=34﹣（x+2）2，在Rt△ACF中，AC=，根据勾股定理得，AF2=AC2﹣CF2=26﹣x2， ∴34﹣（x+2）2=26﹣x2，∴x=﹣1（舍）或x=1，∴AF==5，连接EG，∵S△ABG=BG×AF=S△AEG+S△BEG=AG×DE+BG×CE=BG（DE+CE），

第四讲特殊的平行四边形(培优)

第四讲特殊的平行四边形（培优） 1. 在等腰直角三角形ABC 中，0 90=∠BAC ，BC=45，四边形DEFG 是内接矩形，且满足：DG ：DE=5：2，求DE 、EF 的长 2. 矩形ABCD ，O 是BC 中点，0 90=∠AOD ，矩形ABCD 的周长为20，求AB 的长 3. ABC ?中，AB=AC ，BC AD ⊥于D ，AE 是BAC ∠外角平分线，DE//AB 交AE 于E ，求证：四边形ADCE 是矩形 4. 矩形ABCD ，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 中点，求证：DF BF ⊥ 5. 在菱形ABCD 中，E 是AB 中点，且AB DE ⊥，AB=a ，求：（1）ABC ∠的度数；（2）菱形ABCD 的面积 6. 已知菱形ABCD 中，072=∠A ，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形

7. 在三角形ABC 中，090=∠BAC ，AH 是高，BD 平分ABC ∠交AH 于E ，交AC 于D ，BC DF ⊥于F ，求证：四边形AEFD 是菱形 8. 如图，D 是等腰直角三角形ABC 的直角边BC 上一点，AD 的垂直平分线EF 分别交AC 、AD 、AB 于E 、O 、F ，BC=2， (1)2= CD 时，求AE 的长（2）证明：当)12(2-=CD 时，四边形AEDF 是菱形 9. 已知点E 、F 在正方形ABCD 的对角线AC 上，AE=CF ，求证：四边形BFDE 是菱形 10. 已知点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且BE=CF ，求证：（1）AE=BF ；（2）BF AE ⊥ 11. 已知点M 、 N 分别是正方形ABCD 两边DC 、AD 的中点，CN 与BM 交于点P ，求证：PA=AB

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

平行四边形和特殊四边形提高练习常考题和培优题一．选择题（共5小题） 1．如图，把大小相同的两个矩形拼成如下形状，则△FBD是（） A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．一般三角形D．等腰三角形 2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（） A．B．C．D．2 3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（） A．3 B．5 C．D． 4．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF=7， BC=10，则△EFM的周长是（） A．17 B．21 C．24 D．27 5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．C．6 D．5 二．填空题（共4小题） 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数等于．

7．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE=CD，连接AE交BC于F，∠AFC=n∠D，当n=时，四边形ABEC是矩形． 8．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是． 9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C （0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是．三．解答题（共31小题） 10．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，求∠BEF的度数．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长． 12．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，BE和CF交于点P．求证：AP=AB． 13．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）求证：PA=EF；（2）若正方形ABCD的边长为a，求四边形PFCE的周长． 14．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．（1）求∠EDG的度数．（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．

10-1特殊的平行四边形__培优题 2

特殊的平行四边形知识点归纳：菱形：四条边相等的四边形。（1）菱形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于：对角线互相垂直，对角线平分对角。（2）菱形的对称性：菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是对角线），它有两条对称轴。（3）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的倍。（4）菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算。对角线互相垂直，这个特性容易和勾股定理相结合。 2．矩形：四个角都是直角的四边形。（1）矩形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于:四个角均为直角，对角线相等。（2）矩形的对称性：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它有两条对称轴。 3．正方形：四边相等且四个角都是直角的四边形。（1）正方形具有平行四边形的一切性质，确切的说，它是矩形和菱形的交集，因此具有矩形和菱形的一切特性。（2）正方形的对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴，分别是两条对角线和两条中点连线）。（3）正方形的两条对角线把正方形分成8个等腰直角三角形。典型例题讲解及练习：例1 已知菱形的一条对角线是另一条的对角线的2倍，面积为S，则它的边长是________. 练习：

1. 边长为13的菱形ABCD的对角线BD长10cm，则对角线AC长为 _________,面积是________. 2．菱形两个邻角度数比是1：3，边长是，则高是________. 3. 菱形ABCD的周长为16，一个内角为60°，则这个菱形的两条对角线AC、BD的长度分别是__________,菱形的面积是__________. 例2 如图，CD为斜边AB边上的高，的平分线交CD于E，交BC于F，于G，求证：四边形EGFC是菱形。练习： 1．中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN 于E，连接AE、CD。求证：ADCE为菱形。 2．菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足。求证：（1）；（2）判断的形状，并说明理由，同时指出是由如何变换得到的？例3 矩形ABCD中，，BE:ED=1:3,AB=2,AC长为________.

特殊四边形培优习题精选及复习资料

《特殊平行四边形习题精选》 1、矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则∠BOE=________° 2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，△AOB 的周长为33 ，∠ABC=60o，则菱形ABCD 的面积为__________ 3、如图，矩形ABCD 长为a ，宽为b ，若s 1=s 2=21 (s 3+s 4)，则s 4等于（）（A ）ab 83 （B ）ab 43 （C ）ab 32 （D ）ab 21 4、菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________° 5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上，，已知△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求∠MAN 的度数。 6、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF=DF. 7、如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 的中点，求∠AED 的度数； D C B A M N A B C D O E A B C D E F S1S2 S4S3A B C D E F F E D C B A

8、如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长； 9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求证：四边形EDGF 是等腰梯形； 10、如图1，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。（1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE 。（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。 11、如图，正方形ABCD 中，过D 做DE ∥AC ，∠ACE =30°，CE 交AD 于点F ，求证：AE = AF ； 12、如图，在⊿ABC 中，∠BAC = 90，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，求证：四边形AEFG 是菱形； A B C D E F A G F A B D C E F 12题 G F D A C B