一元二次方程两个相等的根的解释
一元二次方程两个相等的根的解释
一元二次方程是一个二次函数，表示为ax² + bx + c = 0，其
中a、b和c是实数常数，并且a≠0。如果一个一元二次方程的解中，存在两个相等的根，那么这个方程的解叫做"两个相等的根"。
简单来说，一元二次方程的两个相等的根是指该方程在坐标平面
上的图像与x轴相交于同一个点，即方程的解重复出现。这种情况下，方程对应的二次函数的图像会与x轴相切，并且该点就是方程的根。
例如，对于方程x² - 4x + 4 = 0来说，它的两个根都是2。这意味着该方程所表示的二次函数的图像与x轴在点(2,0)处相切。
两个相等的根在数学和实际情况中都有重要意义。在数学上，它
可以帮助我们解决一元二次方程的问题。在实际中，比如物理学和工
程学中的问题建模，找到方程的两个相等的根可以提供有关问题的特
定信息，例如某个过程发生的时间点或某个系统的平衡点。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为：x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 （3）公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ∆=-> 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -=② 当2 40b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ∆=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+-== 所以：12b x x a += +=-， 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----⋅=⋅===
初中数学一元二次方程知识点汇总,基础全面考前必掌握
初中数学一元二次方程知识点汇总，基础全面考前必掌握 一、一元二次方程的定义及一般形式： 只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程。 一元二次方程的一般形式：ax^{2}＋bx+c =0 (a≠0)，其中a 为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 因此，一元二次方程必须满足以下3个条件： ① 方程两边都是关于未知数的等式 ② 只含有一个未知数 ③ 未知数的最高次数为2 如： 2x^{2}-4x+3=0 ， 3x^{2}=5 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。 二、一元二次方程的特殊形式 （1）当b=0，c=0时，有： ax^{2} =0，∴ x^{2} =0，∴x=0 （2）当b=0，0≠0时，有： ax^{2}+c=0 ，∵a≠0，此方程可转化为： ①当a与c异号时， -\frac{c}{a}>0 ，根据平方根的定义可知，x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} ，即当b=0，c≠0，且a与c 异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。
②当a与c同号时， -\frac{c}{a}<0 ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。 （3）当b≠0，c＝0时，有 ax^{2}+bx=0 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 ax^{2}+bx=0 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。 三、一元二次方程解法： 1.第一步:解一元二次方程时，如果没有给出一元二次方程的通式，先将其化为一元二次方程的通式，再确定求解的方法。 2. 解一元二次方程的常用方法： （1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。 解法步骤：①把常数项移到等号右边， ax^{2}=-c ； ②方程中每项都除以二次项系数， x^{2}=-\frac{c}{a} ； ③开平方求出未知数的值：x=±\sqrt{-\frac{c}{a}} (2)因式分解法:将一元二次方程化为通式后，如果方程左边的多项式可以因式分解，就可以用这种方法求解。 解法步骤：①把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式； ②令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根； 例：解关于x的方程： x^{2}-（m+n）x+mn=0
一元二次方程知识点总结
一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次 方程。 2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关 于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系 数；c 叫做常数项。 3.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方 根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 (2)配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做 未知数x ，并用x 代替，那么有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 (3)公式法:公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方 法。一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的 系数为b ，常数项的系数为c (4)因式分解法:因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单 易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法〔这里指的 是分解因式中的公式法〕或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形 式 4.一元二次方程根的判别式:一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆〞来表示，即ac b 42 -=∆ I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解
一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程 教学目的 1. 回顾已学过的关于方程（组）与方程的解的概念 掌握方程的一些特点以及常规考点，特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方，巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。 重难点 1. 二元一次方程组，一元二次方程的应用 在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系，并运用存在的关系建立方程 教学过程 一．一次方程与一次方程组 1.方程（组）与方程的解的概念 （1）方程：含有未知数的等式叫做方程 （2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a ≠0)。 （4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a ≠0, b ≠0)。 （5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。 （6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解 2.解方程的依据 等式的性质： （1） 等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式 （2） 等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式 2. 方程或方程组的解法与步骤 （1） 解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未 知数的系数化为一 （2） 解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解， 通常的消元法有代入法和加减法。 3. 列方程（组）解应用题的一般步骤 （1） 审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求 什么； （2） 设未知数（注意单位的同意）； （3） 根据相灯关系列出方程（组）； （4） 解方程（组），并检验； （5） 写出答案（包括单位名称）。 注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。 基础训练（一） 1. 在方程y x 4 13 ＝5中，用含x 的代数式表示y 为y ＝ ；当x ＝3时，y
一元二次方程的求根公式及根的判别式
一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以
一元二次方程根与系数的关系
第一讲 一元二次方程根与系数的关系 一、一元二次方程的根的判别式 一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a -+= (1) 当2 40b ac ->时，方程有两个不相等的实数根： x = (2) 当2 40b ac -=时，方程有两个相等的实数根：1,22b x a =-； (3) 当2 40b ac -<时，方程没有实数根． 由于可以用2 4b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2 4b ac -叫 做一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：?=2 4b ac -. 二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+--== 所以：12b x x a += +=-， 22122 2()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===定理：如果一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ， 那么： 12x x +=______________, 12x x =______________. 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0?≥． 例1：已知实数x 、y 满足22 210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 例2：若12,x x 是方程2 220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax (3)四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0） 例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351 =--x x ，其中是一元二次方程的有 。 变式:方程：①13122 =-x x ②05222=+-y xy x ③0172 =+x ④02 2=y 中一元二次程的是 。 例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。 变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（ ） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 （1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程知识点汇总
第二十一章 一元二次方程 一、一元二次方程的概念 1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 2、一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠ 3、一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的值，叫做一元二次方程的根（解）. 【注意】 1、定义的隐含条件：①是整式方程；②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 2、任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式。其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 3、任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20 ax bx c ++=()0a ≠． 对于关于x 的方程2 0ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程． 二、一元二次方程的解法 １．一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法 2．一元二次方程解法的灵活运用 直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法． （1）因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法． 【注意】应用因式分解法解一元二次方程时，方程的右边必须是零． （2）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算2 4b ac -的值． 求根公式：x = 2(40)b ac -≥
（3）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如2ax b =或 ()()2 0x a b b +=≥或()2 ax b +=()2 cx d +的方程，能利用 平方根的意义得到方程的解． （4）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）转化为它的简单形式2Ax B =，这种转化方法就是配方，具体方法为： 2ax bx c ++2 2222244424b b b b ac b a x x c a x a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⎛ ⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 所以方程20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数，0a ≠）就转化为22424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭的形式，即2 22424b b ac x a a -⎛ ⎫+= ⎪⎝⎭， 之后再用直接开平方法就可得到方程的解． 三、根的判别式 1、一元二次方程根的判别式：24b ac ∆=- 2、根的判别式用来判别根的个数情况： （1）0∆>⇔方程2 0(0)ax bx c a ++=≠ 有两个不相等的实数根1,2x = （2）0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a ==-． （3）0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 3、一元二次方程根的判别式的应用 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的值或取值范围； （3）讨论因式分解问题及方程组的解的情况． 四、根与系数的关系——韦达定理 1、设一元二次方程20ax bx c ++=的两个根为12x x ， ，则两个根满足：1212b c x x x x a a +=-⋅=，
一元二次方程知识点总结及例题解析
一元二次方程 一）一元二次方程的定义 )0a (0c bx ax 2≠=++是一元二次方程的一般式，只含有一个末知数、且末知数的 最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。0ax 0c ax 0bx ax 2 2 2 ==+=+；；这三个方 程都是一元二次方程。求根公式为() 0ac 4b a 2ac 4b b x 2 2≥--±-= 二）)0a (0c bx ax 2 ≠=++。a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项，注意的是系数连同符号的概念。这些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢？ 1、ac 4b 2 -∆＝当Δ>0时方程有2个不相等的实数根； 2、当Δ＝0时方程有两个相等的实数根； 3、当Δ< 0时方程无实数根. 4、当Δ≥0时方程有两个实数根（方程有实数根）; 5、ac<0时方程必有解,且有两个不相等的实数根; 6、c=0，即缺常数项时，方程有2个不相等的实数根，且有一个根是0.另一个根为a b - 7、当a 、b 、c 是有理数，且方程中的Δ是一个完全平方式时，这时的一元二次方程有有理数实数根。 8、若1x ,2x 是一元二次方程)0a (0c bx ax 2 ≠=++的两个实数根， 即① a b x x 21- =+ a c x x 21=•（注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足 Δ≥0这个条件，否则解题就会出错。） 例：已知关于X 的方程()0m x 2m 2x 2 2 =+--,问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。 ②一元二次方程)0a (0c bx ax 2 ≠=++可变形为()()0x x x x a 21=++的形式。可以用求 根公式法分解二次三项式。 9、以两个数x 1 x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-（x 1+ x 2）x+ x 1 x 2＝0 10几种常见的关于21x ,x 的对称式的恒等变形 ①()212 212 22 1x x 2x x x x -+=+ ②()( )()()[] 212 21212 2 212 1213 23 1x x 3x x x x x x x x x x x x -++=+-+=+
一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的概念及解法和讲义 知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax (3)四个特点： (1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，假设是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． 〔4〕将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足〔a ≠0〕 例1：以下方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351 =--x x ，其中是一元二次方程的有 。 变式:方程：①13122 =-x x ②0522 2=+-y xy x ③0172=+x ④02 2=y 中一元二次程的是 。 例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。 变式1：一元二次方程3〔x —2〕2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。 变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是〔 〕 A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程 知识点二：一元二次方程的解 （1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 （2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一知识讲解(提高) 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用 【要点梳理】 要点一、一元二次方程根的判别式 1. 一元二次方程根的判别式 ____ 2 2 2 一元二次方程ax bx c = 0(a = 0)中，b -4ac叫做一元二次方程ax bx 0(a = 0)的 根的判别式，通常用“厶”来表示，即厶二b2 _4ac (1 )当厶>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； (2)当厶=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； (3)当厶<0时，一元二次方程没有实数根• 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c 的值；③计算b2 -4ac的值；④根据b2 -4ac的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程ax2■ bx ■ c = 0 a = 0 中， (1)方程有两个不相等的实数根 -b2 -4ac > 0； (2)方程有两个相等的实数根―b2 -4ac=0； (3)方程没有实数根=b2 -4ac < 0. 要点诠释： (1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； (2)若一元二次方程有两个实数根则b2 -4ac > 0. 要点二、一元二次方程的根与系数的关系 1•一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax2• bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是x1?x2,
一元二次方程两个相等实数根
一元二次方程两个相等实数根一元二次方程两个相等实数根 一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数。如果这个方程有两个相等的实数根，意味着方程的判别式D=b^2-4ac等于零。 那么我们应该如何解这样的方程呢？下面我们来详细的介绍一下。 解法一： 使用求根公式，对于方程ax^2+bx+c=0，它的两个根分别是：x1 = (-b + sqrt(b^2-4ac))/(2a) x2 = (-b - sqrt(b^2-4ac))/(2a) 当方程的判别式D等于零时，即b^2-4ac=0时，可以发现 sqrt(b^2-4ac)=0，这样就不管加上还是减去sqrt(b^2-4ac)都会得到相同的根，也就是x1=x2=-b/2a。 解法二： 通过配方法来求得一元二次方程的根。将方程ax^2+bx+c=0变形为： x^2 + (b/a)x + c/a = 0
再将方程左右两边同时减去c/a，可以得到： x^2 + (b/a)x = -c/a 接下来，我们可以将方程左右两边同时除以a，可以得到一个更简化的式子： x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a 等式左侧这个式子可以写成(x+b/2a)^2的形式，所以： (x+b/2a)^2 = (b^2-4ac)/4a^2 所以，方程的根就是： x = -b/2a +/- sqrt(b^2-4ac)/2a 当方程的判别式D等于零时，即b^2-4ac=0时，可以发现 sqrt(b^2-4ac)=0，此时方程的两个根相同，即x1=x2=-b/2a。 综上所述，我们可以通过求根公式或者配方法来求解一元二次方程的根，当方程的判别式D等于零时，即方程有两个相等的实数根时，方程的根相同，可以直接求解得到。
一元二次方程解的个数问题，5大重要题型，详尽解析
一元二次方程解的个数问题，5大重要题型，详尽解析 初中数学，一元二次方程解的个数问题，5大重要题型，详尽解析。这节课主要练习两个问题，一、如何判断一元二次方程解的个数：对于△＝b2－4ac，其大于0时，方程有两个不相等的实数根，等于0时，方程有两个相等的实数根，小于0时，方程无实数根；二、给出一元二次方程实数解的个数，可以得出△＝b2－4ac的符号：有两个不等实根时，△大于0，有两个相等实根时，△等于0，无实根时，△小于0。 第1题： 第（1）问是一元二次方程有两个不相等的实数根的情况。
第（2）问，通用的解法是：根据方程有两个相等的实数根可以列一个等式，以此可以求出m的值，然后解原方程即可求出方程的根，详细过程如下。 对于第（2）问，给大家介绍一个简便解法：观察可以发现方程的二次项系数和一次项系数都是确定的数字，所以可以使用韦达定理中的两根之和公式直接求出方程的根，过程如下。
第2题： 第2题，判断一元二次方程根的个数，只需判断△＝b2－4ac的符号，容易求出△＝b2＋8，明显其值为正数，所以方程一定有两个不相等的实数根，故选B。 第3题：
证明一元二次方程有两个不相等的实数根，只需证明△＝b2－4ac 大于0。一般情况下，计算b2－4ac的结果都会是一个代数式，就如本题，而判断一个代数式的符号常常采用分解因式的方法：先对其分解因式，然后判断每一个因式的符号，最后即可得出代数式的符号。 第4题：
根据一元二次方程有两个相等的实数根，可以列一个关于a、b、c的等式，然后进行变形化简，即可得到a、b、c之间的关系，从而判断出三角形的形状。一定要理解为何要对题中的等式进行因式分解。
初三数学一元二次方程知识点总结
初三数学一元二次方程知识点总结 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有 个未知数，并且未知数的 次数是2的 方程叫做一元二次方程. 2、一元二次方程的一般形式: 。 它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项， 叫做二次项系数； 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做 . 二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接 开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2 )(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时,b a x ±=+， b a x ±-=，当b 〈0时,方程 实数根. 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤：先把 移到方程的右边，再把 的系数化为1， 再同时加上一次项的 的平方，最后配成 平方公式。 3、公式法 公式法是用 公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 )0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： 公式法的步骤：就把一元二次方程的 分别代入，二次项的 系数为a ，一次项的系数为b,常数项的系数为c 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种
方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 分解因式法的步骤:把方程 化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为 的形式 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中， 叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式,通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21, a c x x = 21。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 一元二次方程练习题： 一、 选择题 1、方程2370x x -=中，常数项是（ ） A ．3 B ．-7 C ．7 D ．0 2、解方程2 3(51)7(51)x x +=+最适当的方法是（ ） A.直接开平方法 B.配方法 C 。公式法 D 。因式分解法 3、若关于x 的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m 的值等于( ） A ．1 B 。 2 C. 1或2 D 。 0 4、一元二次方程22(32)(1)0x x x --++=化为一般形式为( ） A 、2550x x -+= B 。2550x x +-= C 。2550x x ++= D 。2 50x +=
一元二次方程的知识点总结
一元二次方程知识点的总结 知识结构梳理 (1）含有 个未知数。 （2)未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。 (4）一元二次方程的一般形式是 。 （1) 法，适用于能化为 的一元。 二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式, 2、解法 （a ，b 为两个因式）, 则a=0或 （3） 法 （4) 法,其中求根公式是 当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时,方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根. 可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用 （2) （3) 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） (6) 知识点归类 建立一元二次方程模型 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2。同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴;⑵；（3）；（4）;（5） 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为（a ，b ，c 是已知数，).其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号. （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把 它先化为一般形式。 (3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。 例1 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1)； （2）; （3) 例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则 知识点三 一元二次方程的解 一元二次方程
根与系数关系及根的判别式
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系 一、根的判别式 2 1.402 2.0204 3.,22ac b b ac b x x a a ⎧ ⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪ ⎪-±--±∆⎪== ⎪⎩ 22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根 公式法：解为即为 二、根与系数的关系（韦达定理）： 如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则a c x x a b x x =⋅-=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0 一、选择题 1. 若关于x 的方程x 2 +2(k -1)x +k 2 =0有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 12 k < B. 12 k ≤ C. 12 k > D. k ≥ 12 2.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2 (2)M at b =+的关系（ ） A. M = B.M > C.M < D.大小关系不能确定 3．已知关于x 的一元二次方程2 20x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A.a ≤1 B. a<1 C. a ≤-1 D. a ≥1 4.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） A.012 =+x B.0122=++x x C.0322=++x x D.0322=-+x x 5.若1x 、2x 是一元二次方程0572 =+-x x 的两根，则 2 11 1x x + 的值是（ ） A. 57 B.57- C.75 D.7 5- 6.已知x 1、x 2是方程x 2 －3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2 的值是( ) A 、3 B 、－3 C 、1 3 D 、1 7. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.