应用比例式建立函数解析式

应用比例式建立函数解析式

例1、如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB ∽△EAC, ∴AC

BD CE AB =,

∴

1

1x

y =, ∴x y 1=.

(2) 由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2

90α

-?,且函数关系式成立,

∴2

90α

-?=αβ-, 整理得=-

2

α

β?90. 当=-

2

α

β?90时,函数解析式x

y 1

=

成立. 二、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例2如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.

∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21

BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ?=

?2

1

, ∴4+-=x y (40<

在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴2

22)2(2)1(x x -+=+. 解得6

7=

x . 此时,△AOC 的面积y =6

17674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,

在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴2

22)2(2)1(-+=-x x . 解得2

7=

x . 此时,△AOC 的面积y =2

1274=-

. A

E

D

C

B 图2

A

B

C

O 图8

H

C

综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为

6

17或21. 动态几何型压轴题

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．

1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，

以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；

（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．

[区分度性小题处理手法]

1．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 2．圆与圆的位置关系的存在性(相切问题)的处理方法：利用d=R ±r(r R >)建立方程．

3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

解：（1） 证明CDF ?∽EBD ?∴BE CD

BD

CF =

，代入数据得8=CF ，∴AF=2 （2） 设BE=x ,则,10==AC d ,10x AE -=利用（1）的方法

x CF 32

=

，

相切时分外切和内切两种情况考虑： 外切，

x x 32

1010+

-=，24=x ；

内切，

x x 32

1010-

-=，17210±=x ．100<

∴当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为24或17210-．

A

B

C

D

E

O

l

A ′

A

B

C

D

E

O l

F （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，

320=

BE ．

类题 ⑴一个动点：09杨浦25题（四月、五月）、09静安25题、

⑵两个动点：09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题． （二）线动问题

在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长；

(2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41

AC ，设AD 的长为x ，五边形

BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；

②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43

长为半径的圆与直线l

相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． [题型背景和区分度测量点]

本题以矩形为背景,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到．第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；当直线l 沿AB 边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系(相切问题)的存在性的研究形成了区分度测量点二． [区分度性小题处理手法]

1．找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法．

2．直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解]

(1)∵A ’是矩形ABCD 的对称中心∴A ’B ＝AA ’＝21

AC

∵AB ＝A ’B ，AB ＝3∴AC ＝6 33=BC

(2)①92

+=x AC ，9412+=x AO ，)9(1212+=x AF ，x x AE 492+= ∴

AF 21?=?AE S AEF

x x 96)9(22+=，x x x S 96)9(32

2+-=

x x x S 9681

27024-+-=

(333<

②若圆A 与直线l 相切，则

941432+=-

x x ，01=x (舍去)，582=x ∵3582<=x ∴

不存在这样的x ，使圆A 与直线l 相切．

[类题]09虹口25题． （三）面动问题

如图，在ABC ?中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）试求ABC ?的面积；

（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；

（3）设x AD =，ABC ?与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关

系式，并写出定义域；

（4）当BDG ?是等腰三角形时，请直接写出AD 的长．

[题型背景和区分度测量点]

本题改编自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题,当D 点在AB 边上运动时，正方形DEFG 整体动起来，GF 边落在BC 边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是相似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD 的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二． [区分度性小题处理手法]

图3-5

图3-4

图3-3

图3-1

C

C C C

C

1．找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2重叠部分分别为正

方形和矩形包括两种情况．

2．正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4、3-5用方程思想解决． 3．解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. [ 略解] 解：（1）

12=?ABC S .

C

（2）令此时正方形的边长为a ，则446

a a -=，解得512=

a . （3）当20≤x 时，

22

253656x

x y =???

??=， 当52 x 时，

()2

252452455456x x x x y -=-?=

.

（4）

720,1125,73125=

AD .

[类题] 改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时”,去掉，同时加到第（3）题中.

已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠B=30o，BC=6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE=3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ； （2）设BD=x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为

y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．

（3）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．

例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 . 分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，

则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=21

∠AOB=300，

当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500.

反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需

要分类讨论。这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。 变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32=AB ，求∠C 的大小.

本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上

A B

F D E

M N C