_函数关系式的建立方法专项题

函数关系式的建立方法专项题

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面五方面进行函数关系式建立方法的探讨：（1）应用待定系数建立函数关系式；（2）应用等量关系建立函数关系式；（3）应用几何关系建立函数关系式；（4）应用分段分析建立函数关系式；（5）应用猜想探索建立函数关系式。

一、应用待定系数建立函数关系式：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。这种方法适用于已知了函数类型（或函数图象）的一类函数建模问题。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数，写出表达式。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比

例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，

k

y

x

=的形

式(其中k、b为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。

典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于．

练1：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．练2：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF ＝2，EF＝3，

(1)求抛物线所对应的函数解析式；

(2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

练3. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．

（注：总成本=每吨的成本×生产数量）

练4. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数

2

y=x2

3

-+的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．

练5. （2012湖北荆门3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数

k1

y=

x

-

的解析

式为【】

A．

1

y=

x

B．

3

y=

x

- C．

1

y=

x

或

3

y=

x

- D．

2

y=

x

或

2

y=

x

-

二、应用等量关系建立函数关系式：等量关系法，又可称作方程转化法，即

根据等量关系列出含有两个未知数的等式（二元方程），然后整理成函数形式。这种方法适用于“已知了关于变量之间的等量关系（含公式）”类函数建模题。常用的寻找等量关系的方法有：（1）从常见的数量关系中找等量关系；（2）从关键句中找等量关系；（3）从题中反映的（或隐蔽的）基本数量关系确定等量关系。（有关几何问题的等量关系我们在下面介绍）

典型例题：例1. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.

（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y （元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？

（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：

每天售出瓶数17 18 19 20

频数 1 2 2 5 根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；

（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明. 练1. （2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；

（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

练2. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）

练3. （2012新疆区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A 村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为y A元，y B元．

（1）请填写下表，并求出y A，y B与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，A村的运费较少？

（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．

三、应用几何关系建立函数关系式：即在几何问题中，应用几何中的数量

等量关系建立函数关系式。常用的数量等量关系有面积公式，勾股定理，比例线段（相似三角形的相似比），锐角三角函数，有关圆的公式等。

典型例题：例1. （2012黑龙江哈尔滨3分）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD ．设BC 边的长为x 米，AB 边的长为y 米，则y 与x 之间的函数关系式是【 】．

(A)y=－2x+24(0

2

x ＋12(0

1

2

x －12(0

练2. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ， 且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数k

y x

（k ＞0） 的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例 函数的解析式为 ．

练3. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合， 连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD.已知正方形ABCD 的边长为1cm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm.设正方形移动时间为x （s ），线段GP 的长为y （cm ），其中 0≤x≤2.5.

⑴试求出y 关于x 的函数关系式，并求出y =3时相应x 的值；

⑵记△DGP 的面积为S 1，△CDG 的面积为S 2．试说明S 1－S 2是常数； ⑶当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长.

练4. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，点M 为边BC 的中点，点P 为边CD 上的动点（点P 异于C 、D 两点）。连接PM ，过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E （如图）。设CP=x ，DE=y 。

（1）写出y 与x 之间的函数关系式 ； （2）若点E 与点A 重合，则x 的值为 ；

（3）是否存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D′落在边AB 上？若存在，求x 的值；若不存在，

请说明理由。

练5. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

四、应用分段分析建立函数关系式：对于自变量的不同的取值范围，函数有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数，而不是几个函数。它的函数关系式的建立，就得分段分析，应用前述方法分别进行，最后归纳。

典型例题：例1. （2012广东广州12分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．

（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y与x间的函数关系式．

（2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？

练1. （2012浙江义乌10分）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；

（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？

（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．

例3. （2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，

每件产品的成本为2400 元，销售单价

定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新

型产品，公司决定商家一次购买这种

新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产

品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价

均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?

(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，

并写出自变量x 的取值范围．

(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数

量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)

五、应用猜想探索建立函数关系式：当题目中“既没有已知函数类型，又没有已知关于变量之间的等量关系（含公式）”时，就要用猜想探究法探求函数关系式。即先得猜想函数的类型，应用待定系数法求出函数关系式，再进行探究。

猜想探究法包括：

（1）逐一验证法：根据所学过的三类函数，逐一假设并求出其关系式，然后将其余对应值代入验证。它是直接从假设函数关系入手，方法最基础，说理较清楚，但步骤较繁。

（2）描点画图法：将已知的各组对应值分别作为点的坐标，在平面直角坐标系中，描出相应的点，观察点的分布情况，猜想函数类型，求出其关系式，并将其余对应值代入验证。它是从形的角度分析，较直观，体现了数形结合思想，但要耗时画图。

（3）数据特征法：分析所给数据的变化特征，猜想函数类型，求出关系式，并将其余对应值代入验证。它是单纯从数的角度分析，解题较简捷，但抽象思维能力要求较高。

因此，在做题时，可根据具体问题选择探索方法。

典型例题：例1. （2012福建厦门3分）已知两个变量x 和y ，它们之间的3组对应值如下表所示.

则y 与x

之间的函数关系式可能是【 】 A ．y ＝x B ．y ＝2x ＋1

C ．y ＝x 2

＋x ＋1 D ．y ＝3

x

练1. （2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．

【答案】4n ﹣2。

【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。

【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个，…，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），…。

设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b ，

将（1，2），（2，6）代入，得k+b=22k+b=6???，解得k=4

b=2

??-?。

∴y=4x 2

-。检验：（3，10）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=4x 2-。 ∴当x= n 时，y=4n 2-。

∴第n 个图案中阴影小三角形的个数是4n 2-。

练2. （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】

A ．54

B ．110

C ．19

D ．109 【答案】D 。

【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。

【分析】由图知，图中平行四边形的个数与次序之间形成数对（1，1），（2，5），（3，11），…。 设平行四边形的个数与次序之间的关系为2y=ax +bx+c ，

将（1，1），（2，5），（3，11）代入，得a+b+c=1

4a+2b+c=59a+3b+c=11

??

???

，解得a=1b=1c=1????-?。

∴平行四边形的个数与次序之间的关系为2y=x +x 1-。 ∴当x= 10时，y=109。

∴第⑩个图形中平行四边形的个数是109。故选D 。

练3.（2012山东济宁6分）问题情境：

用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？

建立模型：

有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；

第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并

求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这

个关系式去求解．

解决问题：

根据以上步骤，请你解答“问题情境”．

练4.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地

砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 .

练5.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中

按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是．

练6.（2012青海省2分）观察下列一组图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．练7.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第5个图形有多少黑色棋子？

（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．